Teoria della computabilità. Appunti tratti dal libro di testo M. Addomine, D. Pons INFORMATICA Zanichelli pag

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Orsola Pandolfi
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1 Teoria della computabilità Appunti tratti dal libro di testo M. Addomine, D. Pons INFORMATICA Zanichelli pag

2 Teoria della computabilità Si occupa dell esistenza o meno di algoritmi risolutivi di problemi (cosa può essere calcolato e cosa no) Si è sviluppata a partire dal secolo scorso con la nascita del computer Si basa sulla logica matematica o logica formale

Logica La logica è lo studio del ragionamento corretto. La possiamo considerare da almeno due punti di vista: la logica formale e la logica informale.

3 Logica La logica è lo studio del ragionamento corretto. La possiamo considerare da almeno due punti di vista: la logica formale e la logica informale. La logica formale si propone di studiare le forme del ragionamento, ossia modelli generali comuni a molti ragionamenti, codificati in linguaggio simbolico. La logica informale, invece, s impegna a individuare e analizzare i ragionamenti dei discorsi espressi, quindi nel linguaggio naturale corrente. L obiettivo specifico della logica informale è lo studio di ragionamenti concreti.

4 La logica formale Si utilizzano i simboli consentiti dal contesto = 7 Questa frase è corretta ma falsa La correttezza è fondamentale = 8 Questa frase è corretta e vera Non è sufficiente utilizzare i simboli corretti 3 + = 5 8 Questa frase non è corretta e non ha senso parlare di verità o falsità

5 Tempo di calcolo Il tempo impiegato da un computer per eseguire un calcolo e fornire la risposta dipende anche dalla complessità dell algoritmo utilizzato. X = problema da risolvere n = ordine del problema A = algoritmo utilizzato T = f(n, X, A)

6 Problema La teoria della computabilità cerca di trovare non solo la risposta al problema «Dati X ed A, quanto vale T = f(n, X, A)?» ma anche al problema «Dato un particolare X, quale A minimizza T = f(n, X, A) per tutti i valori di n?» Per definizione di algoritmo, il problema deve trovare soluzione in un numero finito di passi e quindi in un tempo finito

7 Algoritmi e problemi Non tutti gli algoritmi per risolvere un determinato problema sono equivalenti Il programmatore si rivolge all analista e quest ultimo al progettista di algoritmi

8 Domande Cosa significa computare? Cosa può essere computato? Un computer, se avesse abbastanza memoria e tempo, potrebbe risolvere qualsiasi problema? Quanto velocemente si può risolvere un problema? Quanta memoria sarà necessaria? Avendo a disposizione una certa quantità di memoria (e solo quella) quali problemi potranno essere risolti e quali no? Risponde la teoria della computabilità e la teoria della complessità

9 Qualcosa di non computabile Non esiste un metodo universale, cioè che possa essere applicato da un computer e quindi risolto attraverso la scrittura di un codice idoneo, che possa predire se un dato codice non banale ad esempio in C potrà funzionare comunque oppure se esistono casi in cui andrà in errore, per esempio entrando in un loop infinito.

10 Ricorsività Esiste un legame tra funzioni ricorsive e funzioni calcolabili? Sì Si definisce ricorsivo un algoritmo che viene definito in termini di se stesso. Esempio: funzione fattoriale 0! = 1 n! = n x (n 1) x 3 x 2 x 1 Si può riscrivere 0! = 1 n! = n x (n 1)! Definizione ricorsiva

11 Condizioni generali Si può ricondurre un qualsiasi algoritmo a funzioni ricorsive? NO Condizioni per ricondurre un algoritmo a funzioni ricorsive 1. L algoritmo deve essere espresso in funzione di se stesso 2. Deve sempre esistere una condizione di terminazione (impedire un loop) 3. L algoritmo deve convergere, cioè deve avvicinarsi al valore limite della soluzione

12 Vantaggi e svantaggi della Vantaggi: ricorsione Una funzione ricorsiva ha un codice compatto ed elegante Svantaggi Ingente utilizzo di risorse di calcolo Elevata occupazione di memoria (superamento dei limiti dello stack) Limitata efficienza: algoritmi più lenti

13 Conclusione Se una funzione f è ricorsiva, allora essa è computabile attraverso un algoritmo Alonzo Church ( )

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