Fisica 1 Anno Accademico 2011/2012

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1 Matteo Luca Ruggiero di Torino Anno Accademico 2011/2012 (26 Marzo - 30 Marzo 2012)

2 1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE Sintesi Abbiamo studiato da vicino alcuni esempi di forza: partendo dal moto dei gravi, in cui i corpi materiali sono soggetti ad una costante, abbiamo considerato l effetto della forza di attrito viscoso, proporzionale al modulo della velocità. Quindi, abbiamo introdotto la forza elastica, sotto il cui effetto un punto materiale si muove di moto armonico. Abbiamo introdotto il concetto di gradi di libertà e coordinate lagrangiane e di vincoli, analizzato alcune conseguenze del vincolo di rigidità. Infine, abbiamo introdotto la trattazione fenomenologica dell attrito statico e dinamico. 1 Esercizi svolti ad Esercitazione Esercizio E.3.1 Figura 1: Esercizio E.3.1 Su un piano orizzontale privo di attrito sono posti due blocchi, di massa m 1 e m 2 ; i corpi sono sempre a contatto fra loro e, sul corpo di massa m 1 è applicata una forza costante F (Figura 1). (1) Studiare il moto del sistema (2) Calcolare la forza di interazione fra i corpi Soluzione: (1) Il sistema si muove con l accelerazione avente modulo a = F m 1 +m 2. (2) I due corpi si scambiano forze di interazioni uguali e contrarie, aventi modulo R = F m 2 m 1 +m 2 Esercizio E.3.2 (da S. Longhi, M. Nisoli, R. Osellame, S. Stagira Fisica Sperimentale ) La composizione di un convoglio ferroviario è schematizzata in questo moto: una motrice di massa M = 10 5 kg e due vagoni identici di massa m = m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 2

3 1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE Kg. Si osserva che, in un intervallo di tempo pari ad un minuto, la velocità del treno passa da 100 a 200 chilometri orari. I vagoni e la motrice sono collegati da ganci rigidi. Nell intervallo di tempo dato: (1) Calcolare la forza motrice. (2) Calcolare le tensioni nei ganci Soluzione: L accelerazione con cui si muove il convoglio si ricava (ponendo v f = 200 km/h, v i = 100km/h, t = 60 s) da a = (v f v i ) /t 0.5 m/s 2. (1) F = (M + 2m)a. (2) La forza fra il primo ed il secondo vagone è R = m a, la forza fra il secondo vagone e la motrice vale N = 2R. Figura 2: Esercizio E.3.3 Esercizio E.3.3 Si consideri un filo inestensibile di massa m non trascurabile e lunghezza L: un estremo è collegato ad un corpo di massa M, mentre all estremo opposto viene applicata una forza f. Sia µ la densità di massa lineare del filo. (1) Calcolare la forza cui è soggetto il corpo di massa M. (2) Calcolare la tensione nel filo Soluzione Commentata: Dato che il filo è inestensibile, possiamo considerare il sistema massa+filo come un unico corpo, di massa M + m, cui è applicata la forza f: f = (M + m)a a = f M + m. (1) (1) Visto che il corpo ha anche esso accelerazione a ed è unicamente soggetto alla forza F che il filo esercita su di esso, risulta F = Ma, (2) da cui si ricava, proiettando lungo la direzione della forza f che F = f m < M+m f. (2) Dato che il filo ha una densità di massa lineare costante dm = µ, dx possiamo ricavare µ = m/l, se L è la lunghezza del filo. Un elemento di filo di massa m = µ(l x) (Figura 3) contenente l estremo cui è applicata la forza m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 3

4 1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE Figura 3: Esercizio E.3.3, elemento di massa m f, si muove anche esso con accelerazione a, e pertanto soddisfa l equazione del moto f + T = µ(l x)a. (3) Proiettando nella direzione del moto, si ottiene T = m (L x)a f,, (4) L da cui si ricava la tensione in funzione della posizione x: ( T(x) = M + m x ) a (5) L In particolare, T(0) = F, T(L) = f. Esercizio E.3.4 Un proiettile di massa m viene sparato orizzontalmente su un piano privo di attrito, con una velocità v 0. Penetra quindi in un mezzo viscoso, il quale oppone una forza frenante F f = αv 2, essendo α una costante e v la velocità istantanea del proiettile. Si osserva che, dopo aver percorso un tratto d, la velocità si è ridotta del 10 per cento. Caso numerico:m = 50 g, v 0 = 300 m/s, d = 10 m. Calcolare il valore della costante α. Soluzione: α = m ln 0.9 d Esercizio E.3.5 Un corpo di massa m si muove lungo un asse orizzontale, ed è collegato ad una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l 0, il cui estremo fisso è posto in un punto A. All inizio, il corpo è fermo e la molla è a riposo. Quindi, si applica al corpo una forza che cresce linearmente nel tempo, che tende ad allungare la molla. Studiare il moto del corpo. Soluzione Commentata: La situazione del problema è descritta in Figura m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 4

5 1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE Figura 4: Esercizio E.3.5 4: in alto per t = 0, in basso per t > 0. In particolare, se scriviamo la legge del moto per le due situazioni, otteniamo rispettivamente ma = Φ N + mg, t = 0 (6) ma = Φ N + mg + F el + F, t > 0 (7) Dalla (6) si ricava, visto che il corpo è in quiete Φ N = mg, ovvero la reazione normale che il piano esercita è tale da compensare la forza peso. Per t > 0, scriviamo le componenti dell equazione del moto lungo gli assi x, y, aventi origine in A. ma y = Φ N mg. (8) In particolare, visto che non c è moto lungo l asse y, a y = 0, quindi come prima Φ N = mg. Per quanto riguarda la componente lungo l asse x, osserviamo che F = bt, visto che cresce linearmente, mentre per la forza elastica possiamo scrivere F el = k(x l 0 )i, visto che se x > l 0 essa è diretta verso sinistra, mentre se x < l 0 essa è diretta verso destra (in generale il verso della forza elastica è tale da riportare la molla nella sua posizione di riposo). Possiamo quindi scrivere ma x = bt k(x l 0 ) (9) ovvero, essendo a x = ẍ mẍ = bt k(x l 0 ) (10) m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 5

6 2 ESERCIZI PROPOSTI Per risolvere l equazione differenziale non omogenea (10), poniamo z = x l 0, in modo da ottenere m z = bt kz (11) La soluzione generale dell equazione (11) è z(t) = z 0 (t) + z p (t), dove z 0 (t) è la soluzione dell omogenea associata m z = kz, (12) mentre z p (t) è una soluzione particolare. La soluzione dell omegenea è z 0 (t) = C cos (ωt + ϕ) (13) con ω = k/m, C, ϕ costanti arbitrarie da determinare. Una soluzione particolare della (11) è Di conseguenza possiamo scrivere z p (t) = b t. (14) k z(t) = C cos (ωt + ϕ) + b t, (15) k o anche x(t) = l 0 + C cos (ωt + ϕ) + b t, (16) k Ricaviamo l espressione della velocità ẋ(t) = Cω sin (ωt + ϕ) + b k (17) Per determinare le costanti arbitrarie, imponiamo le condizioni iniziali su posizione e velocità, ovvero x(t = 0) = l 0, ẋ(t = 0) = 0. Si ricava ϕ = π/2 e C = b. Quindi, la (16) diventa kω x(t) = l 0 + b [t + 1ω ] k cos (ωt + π/2) + b t, (18) k 2 Esercizi Proposti Esercizio P.3.1 Un grave di massa m viene lasciato cadere, con velocita iniziale nulla, sotto l azione della forza peso da una quota h. Calcolare il tempo di caduta e la velocita di impatto col terreno. m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 6

7 2 ESERCIZI PROPOSTI Considerare poi il caso in cui si tenga conto anche della resistenza dell aria, che supponiamo essere proporzionale alla velocita, con costante di proporzionalita k. Risolvere le equazioni del moto in questo caso, e confrontare le soluzioni ottenute con quelle che si ottengono in assenza di attrito dell aria Esercizio P.3.2 Figura 5: Esercizio 3.2 Un punto materiale, di massa m, puo scorrere su una guida orizzontale rettilinea (Figura 5), avente coefficiente di attrito dinamico µ D. E soggetto a una forza di tipo elastico, della forma F = kr, dove r e la distanza del punto materiale mobile da un punto fisso O, posto a distanza d dalla guida. A t = 0, il punto materiale e fermo a distanza l da C, nel punto P 0 ; viene quindi lasciato libero di muoversi (lungo la guida), e raggiunge dopo un tempo τ il punto C, per poi fermarsi in B. Calcolare (1) la distanza dal punto C del punto in cui l accelerazione si annulla; (2) il tempo τ; (3) la distanza del punto B dal punto C; (4) il valore minimo del coefficiente di attrito statico affinche il punto materiale resti fermo in B. (Dati Numerici: d = 20cm, m = 50Kg, µ D = 0.01, k = 50N/m, l = 50cm.) Esercizio P.3.3 Un punto materiale di massa m e posto su un piano orizzontale ed e legato ad un filo inestensibile di lunghezza l, carico di rottura F R e massa trascurabile; l altro estremo del filo e fissato al punto O della superficie di un cilindro m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 7

8 3 QUESITI PROPOSTI Figura 6: Esercizio 3.3 fisso, su cui il filo e libero di avvolgersi. Il raggio del cilinro e R. Nell istante inziale, il filo giace lungo l asse x (vedere figura 6) e viene impressa al punto materiale la velocita v 0, ortogonale al filo. (1)Dimostrare che il modulo della velocita del punto materiale e costante. (2) Calcolare, inoltre, l angolo θ R di cui e ruotato il punto materiale nell istante t R di rottura del filo. 3 Quesiti Proposti 3.1 Un punto materiale sta viaggiando su una guida circolare. 1. Posso affermare che se la velocità è costante in modulo, esso non è soggetto ad alcuna forza 2. Posso affermare che se la velocità è costante in modulo, esso non è soggetto ad una forza tangenziale 3. Posso affermare che non agiscono forze su di esso se la guida è liscia 4. Posso affermare che non agiscono forze su di esso se trascuro ogni attrito m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 8

9 3 QUESITI PROPOSTI 3.2 Consideriamo il moto di una pallina nello spazio tridimensionale, e supponiamo che essa sia vincolata a muoversi in un piano inclinato. 1. La pallina ha due gradi di libertà 2. La pallina ha un grado di libertà 3. La pallina ha tre gradi di libertà 4. Per conoscere i gradi di libertà è necessaria conoscere le forze agenti 3.3 Un automobile di massa M trascina dietro di se un rimorchio di massa M/2. Schematizzando il gancio che unisce l automobile al rimorchio come perfettamente rigido e trascurando ogni attrito, se F è la forza che il motore dell auto sprigiona nella direzione del moto: 1. Il rimorchio è anche esso soggetto ad una forza di modulo pari ad F nella direzione del moto 2. Il rimorchio si muove con accelerazione maggiore di quella dell automobile 3. Il rimorchio si muove con accelerazione minore di quella dell automobile 4. Il rimorchio è soggetto ad una forza di modulo minore di F, nella direzione del moto 3.4 Una pallina di massa m si muove su un piano orizzontale privo di attrito, essendo legata ad una molla di costante elastica k. 1. Quando la compressione della molla è massima la velocità della pallina è massima 2. Quando l allungamento della molla è massimo, la velocità della pallina è massima 3. Quando ha lunghezza pari alla sua lunghezza di riposo, il modulo della velocità è massimo 4. Quando ha lunghezza pari alla sua lunghezza di riposo, il modulo della velocità è nullo m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 9

10 4 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI PROPOSTI 4 Soluzioni degli Esercizi Proposti Esercizio P.2.1 L angolo che descrive un punto materiale, in moto lungo una traiettoria circolare di raggio R, ha la seguente espressione θ(t) = θ 0 + ωt + αt 2. (1) Calcolare la velocità angolare. (2) Calcolare l accelerazione angolare; (3) Sapendo che la velocità angolare iniziale vale π rad/s, e che dopo 2 secondi la velocità angolare è pari a 3/2π rad/s, determinare le costanti ω e α. Soluzione: L ascissa curvilinea risulta s(t) = Rθ(t). (1) Otteniamo per la velocità ṡ = R θ, quindi l espressione della velocità angolare è θ = ω + 2αt. (2) Derivando ulteriormente, si ottiene l espressione dell accelerazione angolare θ = 2α. Imponendo le condizioni date nell espressione θ = ω + 2αt, si ottiene ω = π rad/s, α = π/8 rad/s 2. Esercizio P.2.2 L orbita della Luna attorno alla Terra è approssimativamente circolare e ha il raggio di circa km (circa 60 volte il raggio della Terra). Il periodo è di circa 27.3 giorni. Si determini l accelerazione centripeta della Luna rispetto alla Terra. Soluzione Commentata: L accelerazione centripeta è (in modulo): a = v2 R = ( 2πR T ) 2 1 R = 4π2 R T (19) Esprimendo R e T in metri e secondi rispettivamente R = m ( 24 h T = 27.3 giorni giorno 3600 s ) = s h e sostituendo nella (19) si trova Esercizio P.2.3 a = m s 2 (20) Un pianeta si muove intorno al sole lungo un orbita ellittica, di cui il sole occupa un fuoco. Il moto avviene in modo che, durante l orbita, r 2 θ = costante, ovvero si mantiene costante la velocità areolare. (1) Calcolare le componenti del vettore accelerazione. m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.itpagina 10

11 4 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI PROPOSTI Soluzione Commentata: Le componenti dell accelerazione in coordinate polari sono Osserviamo che la (22) si può scrivere nella forma: a r = r r θ 2 (21) a θ = r θ + 2ṙ θ (22) a θ = 1 r d ( ) r 2 θ dt (23) Ma dato che r 2 θ = costante, aθ 0: l accelerazione del pianeta è diretta costantemente verso il Sole: esso è soggetto ad una forza puramente radiale. Per calcolare l accelerazione radiale, occorre calcolare r, θ. In particolare, ponendo r 2 θ = 2σ, otteniamo θ = 2 σ r 2 (24) Per calcolare r, deriviamo due volte l espressione dell ellisse in coordinate polari r (1 e cosθ) = p (25) Derivando una prima volta, si ottiene ṙ (1 e cosθ) + er θ sin θ = 0 (26) Moltiplicando per r, e tenendo conto delle eq. (24-25), si ottiene Derivando ulteriormente, si ha pṙ + 2eσ sin θ = 0 (27) p r + 2eσ θ cos θ = 0 (28) A questo punto, facendo nuovamente uso delle eq. (24-25), si riesce finalmente a scrivere l espressione cercata per r: r = 4σ2 pr 2 + θr 2 (29) Andando a sostituire la (29) nell espressione dell accelerazione radiale (21), otteniamo a r = 4σ2 pr 2 (30) m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.itpagina 11

12 5 SOLUZIONI DEI QUESITI Esercizio P.2.4 Si consideri π = A quante cifre va arrotondato affinché: (1) π 2 sia noto con la precisione dell un per cento? (2) π 3 sia noto con la precisione dell un per mille? Soluzione: (1) Se π 2 è noto con la precisione dell un pe rcento, questo vuol dire che (π2 ) = 0.01, allora, dato che (π2 ) = 2 π, si ricava π = 0.02, va π 2 π 2 π quindi arrotondato alla seconda cifra decimale. (2) Analogamente, si ricava π = 0.001, quindi va arrotondato alla terza cifra decimale. Esercizio P.2.5 Un sensore misura la velocità media su un percorso di 10 metri. Supponendo che i tempi vengano con un incertezza relativa dell uno per cento, con che incertezza relativa devo misurare la distanza di 10 metri se voglio che le misure di velocità siano accurate entro il 10 per cento? Soluzione: Essendo v = d/t, v v v = 0.1, si ricava d = 0.9 v d 5 Soluzioni dei Quesiti = d + t d t. Quindi, ponendo t t = 0.01, 2.1 Una persona esercita una forza costante orizzontale su una grande scatola che si muove alla velocità costante di 1,0 m/s. Quale relazione è vera? 1. Quando la forza sulla scatola è doppia, la velocità costante sarà anch essa doppia 2. La forza esercitata sulla scatola deve essere più grande del peso della scatola 3. La forza esercitata sulla scatola deve essere uguale alla forza totale che si oppone al moto della scatola 4. La forza esercitata sulla scatola deve essere più grande della forza totale che si oppone al moto della scatola 2.2 Una persona esercita una forza costante orizzontale su una grande scatola che si muove alla velocità costante di 1,0 m/s. Se la forza esercitata sulla scatola non viene più esercitata, la scatola 1. si ferma immediatamente m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.itpagina 12

13 5 SOLUZIONI DEI QUESITI 2. continua a muoversi a velocità costante per un pò e poi rallenta fino a fermarsi 3. continua a velocità costante 4. comincia immediatamente a rallentare fino a fermarsi 2.3 Un libro è poggiato su un tavolo. Considera le seguenti forze: 1. una forza di gravità diretta verso il basso; 2. una forza diretta verso l alto esercitata dal tavolo; 3. una forza netta diretta verso il basso esercitata dall aria. Quali forze stanno agendo sul libro? 1. solo la e , 2 e 3 4. Nessuna forza. (Poichè il libro è fermo, non agiscono forze su di esso) 2.4 Una pallina scorre su un tavolo privo di attrito. Considera le seguenti forze: 1. una forza di gravità diretta verso il basso; 2. una forza diretta verso l alto esercitata dal tavolo; 3. una forza nella direzione del moto. Quali forze stanno agendo sulla pallina? 1. 1 e ,2 e Nonostante un vento molto forte, una tennista riesce a colpire una palla da tennis con la sua racchetta in modo tale che la palla superi la rete e cada nel campo dell avversaria. Considera le seguenti forze: 1. una forza di gravità diretta verso il basso; 2. una forza dovuta al colpo 3. una forza esercitata dall aria. Quale/quali forza/forze sta/stanno agendo sulla pallina dopo che essa non è più in contatto con la racchetta e prima che tocchi terra? , 2 e e e 2 m Home Page di ML Ruggiero T B matteo.ruggiero@polito.itpagina 13