Applicazioni in economia

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1 Studio delle unzioni di più variabili Applicazioni in economia

2 Massimi e minimi di una unzione Per una unzione di due variabili ha senso all interno del suo dominio ricercare i punti in cui essa raggiunge il massimo ed i punti in cui raggiunge il minimo. In economia ricercare il massimo può signiicare trovare i parametri che massimizzano ad esempio il proitto oppure quelli che minimizzano i costi per un produttore. Un punto P ( ma ma è detto di massimo quando: ( ( ma ma Un punto P ( min min è detto di minimo quando: ( ( min min

3 Massimi e minimi di una unzione Per una unzione a più di due variabili vale lo stesso discorso anche se risulta diicile visualizzare massimi e minimi con un graico essendo la unzione non rappresentabile in tre dimensioni. Un punto P ( _ma _ma n_ma è detto di massimo quando: (... n ( _ ma _ ma... n _ ma Un punto P ( _min _min n_min è detto di minimo quando: (... n ( _ min _ min... n _ min

4 Massimi e minimi di una unzione Come è possibile ricercare i massimi ed i minimi di una unzione a più variabili? Per le unzioni ad una sola variabile si veriica che in corrispondenza dei massimi e dei minimi la derivata diventa una retta con tratto orizzontale. Esempio di unzione di una sola variabile la derivata si azzera: ( Punto di minimo Rette tangenti con pendenza uguale a zero Punto di massimo

5 Massimi e minimi di una unzione Per le unzioni a più variabili si annullano contemporaneamente tutte le derivate. Per le unzioni a due variabili: z ( ( Le due derivate si azzerano: ( Non ci sarà più la retta tangente orizzontale ma il piano tangente orizzontale! Esempio di massimo Esempio di minimo Per le unzioni a più variabili: z... Tutte le derivate si azzerano: ( n n

6 Ricerca dei massimi e minimi Ricerca dei massimi e minimi Quindi per trovare i punti di massimo e minimo si impone che tutte le derivate siano nulle. ( z Esempio. ( ( P ( potrebbe essere punto di ma/min. Esempio. z 4 3 ( 4 6 ( 4 ( P (/4 3/8 potrebbe essere punto di ma/min.

7 Ricerca dei massimi e minimi Potrebbero esserci più di un punto di ma/min: Esempio 3. z 3 ( 3 ( 3 6 ( P ( e P ( potrebbero essere entrambi punti di ma/min. Potrebbe anche non esistere alcun punto di ma/min: Esempio 4. z ( ( 4 4 ( Il valore della è zero ma non è possibile valutare la variabile. Inoltre la prima equazione risulta impossibile quindi concludiamo che non esiste nessun punto di massimo o di minimo interno al dominio per la unzione.

8 Distinguere i massimi e minimi Come si distinguono i punti di massimo dai punti di minimo? Si introduce a tale scopo l Hessiano il determinante di una matrice che contiene tutte le derivate seconde. Funzione di due variabili: z ( H Casi possibili: H > e < P è punto di massimo relativo H > e > P è punto di minimo relativo H < P è punto di sella H = nulla si può dire

9 I punti di sella e di rontiera Cosa sono i punti di sella? Essi sono dei punti in corrispondenza dei quali le derivate si annullano (il piano tangente è orizzontale ma non sono né di massimo e né di minimo! Esempio di punto di sella Anche sulla rontiera del dominio vanno cercati i punti di massimo e minimo in quanto in questi punti estremi le derivate potrebbero non azzerarsi. Punti di minimo sulla rontiera in cui le derivate non si annullano

10 Esempi di ricerca dei punti di Ma e Min Distinguiamo i punti di massimo e di minimo per gli esempi dati in precedenza. Esempio. z ( ( ( P ( è punto di ma o di min? Calcoliamo le derivate seconde e l Hessiano: ( ( ( ( H 4 Poiché H = 4 quindi maggiore di zero così come anche la derivata seconda = possiamo concludere in base allo schema data in precedenza che P ( è punto di minimo.

11 Esempi di ricerca dei punti di Ma e Min Esempio. z ( 3 4 Calcoliamo anche in questo caso le derivate seconde e l Hessiano: ( 6 ( ( ( ( ( 4 P (/4 3/8 è punto di ma o min? H Poiché H = -6 quindi minore di zero in base allo schema dato il punto P (/4 3/8 è punto di sella. Si può notare ciò anche dal graico.

12 Esempi di ricerca dei punti di Ma e Min Esempio 3. z 3 ( 3 ( 3 6 ( P ( e P ( che tipo di punti sono? ( 6 6 ( 4 ( ( H Nel punto P ( si ha H = 4(- = -4 quindi è presente una sella; Nel punto P ( l Hessiano assume invece valore H = 4(- = +4 e la derivata seconda assume valore = 6-6 = +6 concludiamo quindi che esso è un punto di minimo.

13 Esempi di ricerca dei punti di Ma e Min Esempio 4. z ( ( 4 ( 4 In questo caso la unzione non ha valori interni di massimo o di minimo. Ha senso in questo caso ricercare i punti di massimo e di minimo sulla rontiera. Si può notare inatti dal graico che è presente un dorso (lungo = il quale assume valori via via crescenti al crescere della. Possiamo quindi concludere che il massimo si troverà in corrispondenza del valore più grande che la può assumere ed a =.

14 Massimi e minimi vincolati Arontiamo il problema di dover individuare i punti di massimo e di minimo per una unzione di due variabili in cui la e la sono soggette ad un vincolo sono cioè legate tra di loro da una equazione. Esempio (Libro Pag. 8 Par. Il metodo della sostituzione z Supponiamo che la e la siano legate dalla relazione: Abbiamo a questo punto il sistema che risolviamo per sostituzione: z ( 4 ( 3 4 z z Esiste quindi un unico punto di massimo che si ottiene dalla z riconoscendo che essa è una parabola nell unica variabile : z Ha la concavità verso il basso poiché il termine al quadrato è negativo ed il suo punto di massimo si trova al vertice. v z v b a v Punto di massimo in P (96 con valore del massimo Ma v = 8.