Analisi Matematica I

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1 Versione: 7 settembre 23 Università di Pisa Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Testi e soluzioni degli scritti d esame di Analisi Matematica I a.a Giovanni Alberti e Vincenzo M. Tortorelli Giovanni Alberti Dipartimento di Matematica Università di Pisa largo Pontecorvo Pisa

2 Avvertenze. Gli scritti d esame per il corso di Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale si compongono di due parti: una prima parte con otto domande o problemi molto semplici a cui si deve dare solo la risposta, ed una seconda con tre problemi a cui si deve invece dare una soluzione articolata in dettaglio. Il tempo a disposizione è di un ora per la prima parte e di due ore per la seconda. Per la sufficienza piena sono solitamente richieste almeno cinque risposte corrette nella prima parte, ed un problema completamente risolto nella seconda. La prima sezione di questa raccolta contiene i testi di tutti gli scritti, incluse le prove in itinere, mentre la seconda contiene una breve traccia delle soluzioni. Programma del corso [versione: 5 dicembre 22] Sono riportati in corsivo gli argomenti non fondamentali.. Funzioni e grafici. Richiamo delle nozioni di base di trigonometria..2 Funzioni e grafici di funzioni: dominio di definizione, immagine, funzione inversa; funzioni crescenti e descrescenti. Funzioni elementari: funzioni lineari, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente) e funzioni trigonometriche inverse..3 Operazioni sui grafici di funzioni. Interpretazione di equazioni e disequazioni in termini di grafici di funzioni. 2. Numeri reali, successioni, limiti, continuità 2. Numeri interi, razionali e reali. Completezza dei numeri reali. 2.2 Successioni e limiti di successioni. Limite infinito. Proprietà elementari dei limiti. 2.3 Limiti di funzioni. Continuità: definizione e significato. Esistenza del minimo e del massimo di una funzione continua su un intervallo chiuso. 3. Derivate 3. Derivata di una funzione: definizione e significato geometrico. Interpretazioni fisiche: velocità e accelerazione. 3.2 Derivate delle funzioni elementari e regole per il calcolo delle derivate. 3.3 Teorema di Lagrange. Segno della derivata e monotonia. Segno della derivata seconda e convessità. Individuazione dei punti di massimo e di minimo di una funzione. Uso delle derivate per disegnare il grafico di una funzione. 3.4 Funzioni asintoticamente equivalenti (vicino ad un punto assegnato). Trascurabilità di una funzione rispetto ad un altra. Notazione di Landau ( o piccolo e o grande ). Parte principale di una funzione (all infinito e in zero). 3.5 Teorema di Cauch. Sviluppo di Talor (in zero) di una funzione. Formula del binomio di Newton. Uso degli sviluppi di Talor per il calcolo dei limiti e delle parti principali. 3.6 Teoremi di de l Hôpital. Confronto tra i comportamenti asintotici di esponenziali, potenze e logaritmi all infinito ed in zero. 4. Integrali 4. Definizione dell integrale definito di una funzione in termini di area del sottografico. Approssimazione dell integrale tramite somme finite. Un interpretazione fisica dell integrale. 4.2 Primitiva di una funzione e prima versione del teorema fondamentale del calcolo integrale. 4.3 Primitive delle funzioni elementari e regole per il calcolo delle primitive (integrali indefiniti) e degli integrali definiti. 4.4 Calcolo delle aree delle figure piane. Calcolo dei volumi delle figure solide. Lunghezza di un cammino nel piano e nello spazio. 4.5 Integrali impropri di funzioni positive. Criterio del confronto e del confronto asintotico. 4.6 Integrali impropri di funzioni a segno variabile: convergenza e convergenza assoluta. 5. Serie 5. Serie a termini positivi. Esempi fondamentali. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, del confronto asintotico, della radice, dell integrale. 5.2 Serie a segno variabile; convergenza e convergenza assoluta.

3 5.3 Sviuppo in serie di Talor della funzione e ed espressione della costante di Nepero e come serie. Espressione di π come serie. 6. Equazioni differenziali 6. Esempi di equazioni differenziali tratti dalla meccanica. Significato dei dati iniziali. 6.2 Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, omogenee e non omogenee. 6.3 Equazione dell oscillatore armonico semplice, smorzato e forzato. Risonanza.

4 T E S T I

5 Primo compitino, 24 novembre 22 Testi 5 Prima parte, gruppo. Determinare il dominio di definizione della funzione arcsin(2e t ). 2. Trovare le soluzioni dell equazione cos( ) = 2 nell intervallo Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) log((2) ); b) tan( 2); c) 4. Trovare il valore massimo e minimo di ep( 3 3) nell intervallo Calcolare (se esistono!) i limiti: a) lim log(sin ); b) lim (2 ) log log( ) 2 sin 6. Calcolare (se esistono!) i limiti: a) lim + 3 ; b) lim 3 ; c) lim Trovare la parte principale per di f() := ep(2 3 ) ep(3 2 ). 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che: cos 2. 2 Prima parte, gruppo 2. Determinare il dominio di definizione della funzione arcsin(log t). 2. Trovare le soluzioni dell equazione sin( + ) = 2 nell intervallo Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) log((3) ); b) tan( 3); c) 4. Trovare il valore massimo e minimo di ep( 3 3) nell intervallo Calcolare (se esistono!) i limiti: a) lim + (2 ; b) lim log(cos ). + ) log log( 2 4 ) sin 6. Calcolare (se esistono!) i limiti: a) lim 4 ; b) lim + 4 ; c) lim Trovare la parte principale per di f() := log( ) log( ). 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che: + cos. 2 Prima parte, gruppo 3. Determinare il dominio di definizione della funzione arccos(3e t ). 2. Trovare le soluzioni dell equazione cos( + ) = / 2 nell intervallo Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) log( 3 ); b) tan( + 2); c) 4. Trovare il valore massimo e minimo di ep( 3 3) nell intervallo Calcolare (se esistono!) i limiti: a) lim log( + e ); b) lim (2 + )

6 6 Primo compitino, 24 novembre 22 Testi log log(2 4 ) 2 + sin 6. Calcolare (se esistono!) i limiti: a) lim + 4 ; b) lim ; c) lim Trovare la parte principale per di f() := cos( 3 ) cos( 2 ). 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che: 2 cos. 2 Prima parte, gruppo 4. Determinare il dominio di definizione della funzione arccos(log t). 2. Trovare le soluzioni dell equazione sin( + 2) = 2 nell intervallo Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) log( 2 ); b) tan( + 3); c) 4. Trovare il valore massimo e minimo di ep( 3 3) nell intervallo Calcolare (se esistono!) i limiti: a) lim + (2 ; b) lim ep(sin ). ) log log(2 + 4 ) 2 sin 6. Calcolare (se esistono!) i limiti: a) lim 3 ; b) lim ; c) lim Trovare la parte principale per di f() := ep( 2 ) cos( 2 ). 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che: cos. 2 Seconda parte, gruppo. Determinare la parte principale per delle seguenti funzioni: a) log( 3 2 ) + [ log( ) ] 2 ; b) log( 3 2 ) + 3 [ log( ) ] 2 ; c) log( 3 3 ) 3 [ log( ) ] a) Dire se è vero o meno che 3 5 log 3 per ogni >. b) Determinare i numeri reali a tali che 3 5 log + a per ogni >. 3. Si consideri la funzione f() := 5 e, e per ogni a > sia T a il triangolo delimitato dalle seguenti rette: l asse delle, la retta passante per l origine e per il punto (a, f(a)), la retta tangente al grafico di f nel punto (a, f(a)). a) Tracciare un disegno approssimativo di f() per e disegnare T a per un a a vostra scelta. b) Calcolare l area di T a. c) Trovare il valore massimo e minimo di quest area. Seconda parte, gruppo 2. Determinare la parte principale per delle seguenti funzioni:

7 Primo compitino, 24 novembre 22 Testi 7 a) log( 2 ) + [ log( + 2) ] 2 ; b) 4 log( 2 ) + [ log( + 2) ] 2 ; c) 8 log( 3 ) + [ log( + 2) ] a) Dire se è vero o meno che 3 8 log 5 per ogni >. b) Determinare i numeri reali a tali che 3 8 log + a per ogni >. 3. Si consideri la funzione f() := e 2, e per ogni a > sia T a il triangolo delimitato dalle seguenti rette: l asse delle, la retta passante per l origine e per il punto (a, f(a)), la retta tangente al grafico di f nel punto (a, f(a)). a) Tracciare un disegno approssimativo di f() per e disegnare T a per un a a vostra scelta. b) Calcolare l area di T a. c) Trovare il valore massimo e minimo di quest area. Seconda parte, gruppo 3. Determinare la parte principale per delle seguenti funzioni: a) log( 2 ) + [ log( 2) ] 2 ; b) 4 log( 2 ) + [ log( 2) ] 2 ; c) 8 log( 3 ) [ log( 2) ] a) Dire se è vero o meno che 4 2 log 3 per ogni >. b) Determinare i numeri reali a tali che 4 2 log + a per ogni >. 3. Si consideri la funzione f() := 5 e 2, e per ogni a > sia T a il triangolo delimitato dalle seguenti rette: l asse delle, la retta passante per l origine e per il punto (a, f(a)), la retta tangente al grafico di f nel punto (a, f(a)). a) Tracciare un disegno approssimativo di f() per e disegnare T a per un a a vostra scelta. b) Calcolare l area di T a. c) Trovare il valore massimo e minimo di quest area. Seconda parte, gruppo 4. Determinare la parte principale per delle seguenti funzioni: a) log( ) + [ log( ) ] 2 ; b) log( ) 3 [ log( ) ] 2 ; c) log( ) + 3 [ log( ) ] a) Dire se è vero o meno che 4 24 log 5 per ogni >. b) Determinare i numeri reali a tali che 4 24 log + a per ogni. 3. Si consideri la funzione f() := e, e per ogni a > sia T a il triangolo delimitato dalle seguenti rette: l asse delle, la retta passante per l origine e per il punto (a, f(a)), la retta tangente al grafico di f nel punto (a, f(a)).

8 8 Primo compitino, 24 novembre 22 Testi a) Tracciare un disegno approssimativo di f() per e disegnare T a per un a a vostra scelta. b) Calcolare l area di T a. c) Trovare il valore massimo e minimo di quest area.

9 Secondo compitino, 7 dicembre 22 Testi 9 Prima parte.. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) 2 ep( ); b) Calcolare i seguenti limiti: a) lim 3. Determinare la primitiva 4. Calcolare 3 2 log d. 3 sin(2) log( + 4 ) ; b) 3 ep( 4 ) d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Dire per quali a > la serie + lim log 2 ; c) + lim ep( + sin ). + sin(/ a ) d risulta essere finito. log( + n a ) converge ad un numero finito. n= 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ = e sin t che soddisfa (π) =. 8. Disegnare il grafico di f() = e e risolvere graficamente la disequazione f() 2. Seconda parte.. a) Scrivere la soluzione generale dell equazione differenziale ẍ 4ẋ + 4 = 8t. (*) b) Trovare la soluzione della (*) che soddisfa le condizioni iniziali () = e ẋ() =. c) Trovare le soluzioni della (*) che soddisfano (t) = O(e 2t ) per t Dire per quali a > la serie n= a n sin(/n) n a converge ad un numero finito (fare attenzione al caso a = ). 3. a) Fissato a >, tracciare un grafico approssimativo della funzione f() := ( + 4 ) a. b) Sia A il solido di rotazione nello spazio ottenuto facendo ruotare il grafico di f attorno all asse delle. Tracciare un disegno approssimativo di A e dire per quali valori di a il volume è finito. c) Sia B il solido di rotazione ottenuto facendo ruotare il grafico di f attorno all asse delle. Tracciare un disegno approssimativo di B e dire per quali valori di a il volume è finito.

10 Scritto del primo appello, 8 gennaio 23 Testi Prima parte.. Risolvere la disequazione 2 4 >. 2. Trovare i valori di minimo e di massimo di log(5 2 ) relativamente all intervallo [, 2]. 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim log(2); c) lim + 4. Trovare la parte principale per della funzione log( + ). 5. Calcolare 3 2 d. 6. Dire per quali a R la funzione 4 2 sin(2 2 ). + at risolve l equazione differenziale ẋ + 42 =. 7. Trovare la soluzione generale dell equazione ẍ 2ẋ + 5 =. 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) che soddisfano > e log( + ). Seconda parte.. a) Dire se la disequazione è soddisfatta per ogni R oppure no. b) Dire per quali a R la disequazione 4 + a 4 3 è soddisfatta per ogni R. 2. a) Disegnare il grafico della funzione f() := 6 +. b) Disegnare l insieme A dei punti (, ) nel piano tali che e 3 f(). c) Dire se l area di A è finita o infinita. 3. Dato a > si consideri la serie a termini positivi + (log n) (log n)a. n=2 a) Dire se questa serie converge a un numero finito o meno per a =. b) Dire per quali a la serie converge a un numero finito. [Suggerimento: riscrivere il termine della serie nella forma n bn con b n opportuno.]

11 Scritto del secondo appello, 2 febbraio 23 Testi Prima parte, gruppo. Trovare le soluzioni della disequazione sin /2 comprese tra e 2π. 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) 2 e ; b) log 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim cos(2 ); b) 4. Calcolare la primitiva e 2 d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Dire per quali a > la serie + n= + n a è finita. + n3a 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ = et 2 8. Disegnare il grafico di f() = lim + ( 2 + ) 2. 2 ; c) lim 2 2 log( 2 ). a d risulta essere finito. e che soddisfa () = 2. e risolvere graficamente la disequazione f(). ( + ) 2 Prima parte, gruppo 2. Trovare le soluzioni della disequazione cos /2 comprese tra e 2π. 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) 3 e 2 ; b) log ( 2 ) Calcolare i seguenti limiti: a) lim 2 log ; b) lim + log( 2 3 ) ; c) lim + cos( 3 ). 4. Calcolare la primitiva 3 log(2) d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio sin( a ) 3a d risulta essere finito. 6. Dire per quali a > la serie + n= (log n) a n 2 è finita. 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ = et che soddisfa () = Disegnare il grafico di f() = e risolvere graficamente la disequazione f(). ( ) 3 Prima parte, gruppo 3. Trovare le soluzioni della disequazione sin /2 comprese tra e 2π. 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) e 2 ; b) log ( 3 + ) 3.

12 2 Scritto del secondo appello, 2 febbraio 23 Testi log( + 3 ) 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim 3 3 ; b) lim ep(2 ); c) 4. Calcolare la primitiva 2 log(3) d. 5. Dire per quali a R l integrale improprio 6. Dire per quali a > la serie + n= + n a e n è finita. 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ = cos t 2 8. Disegnare il grafico di f() = lim 2. ( ) a sin 2 d risulta essere finito. che soddisfa () = 2. e risolvere graficamente la disequazione f(). ( + ) 3 Prima parte, gruppo 4. Trovare le soluzioni della disequazione cos /2 comprese tra e 2π. 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) 3 e ; b) log log( + 3 ) 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim 3 2 ; b) lim + 4. Calcolare la primitiva e d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Dire per quali a R la serie + n= + log ; c) ( 3 ) 3. + lim + ep(2 ). (log ) a d risulta essere finito. 2 ( ) n a sin n 3 è finita. 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ = cos t che soddisfa () = Disegnare il grafico di f() = e risolvere graficamente la disequazione f(). ( ) 2 Seconda parte, gruppo. Dato a R, si consideri l equazione differenziale ẍ + 4ẋ + a = 2e 2t. (*) a) Trovare la soluzione generale di (*) per a = 5. b) Dire per quali valori di a si ha che ogni soluzione di (*) soddisfa (t) = o(e t ) per t Dato a > si consideri l integrale log( ) 2a d. a) Dire per quali a la funzione integranda converge ad un limite finito per +.

13 Scritto del secondo appello, 2 febbraio 23 Testi 3 b) Spezzare questo integrale improprio in integrali impropri semplici e dire quindi per quali a esso esiste ed è finito. 3. Dato a >, consideriamo la funzione f() := ( 2 + a) 3. a) Dimostrare che la funzione f() è convessa su tutto R. b) Trovare il valore di a e di per cui il grafico della funzione f() è tangente alla retta di equazione = 27 4 nel punto di ascissa. c) Trovare i valori di a per cui f() 27 4 per ogni R. Seconda parte, gruppo 2. Dato a R, si consideri l equazione differenziale ẍ + 6ẋ + a = e 3t. (*) a) Trovare la soluzione generale di (*) per a =. b) Dire per quali valori di a si ha che ogni soluzione di (*) soddisfa (t) = o(e t ) per t Dato a > si consideri l integrale log( ) a d. a) Dire per quali a la funzione integranda converge ad un limite finito per +. b) Spezzare questo integrale improprio in integrali impropri semplici e dire quindi per quali a esso esiste ed è finito. 3. Dato a >, consideriamo la funzione f() := (4 2 + a) 3. a) Dimostrare che la funzione f() è convessa su tutto R. b) Trovare il valore di a e di per cui il grafico della funzione f() è tangente alla retta di equazione = 27 2 nel punto di ascissa. c) Trovare i valori di a per cui f() 27 2 per ogni R. Seconda parte, gruppo 3. Dato a R, si consideri l equazione differenziale ẍ + 4ẋ + a = 4e 2t. (*) a) Trovare la soluzione generale di (*) per a = 8. b) Dire per quali valori di a si ha che ogni soluzione di (*) soddisfa (t) = o(e t ) per t Dato a > si consideri l integrale log( ) a d. a) Dire per quali a la funzione integranda converge ad un limite finito per +. b) Spezzare questo integrale improprio in integrali impropri semplici e dire quindi per quali a esso esiste ed è finito. 3. Dato a >, consideriamo la funzione f() := ( 2 + a) 3. a) Dimostrare che la funzione f() è convessa su tutto R. b) Trovare il valore di a e di per cui il grafico della funzione f() è tangente alla retta di equazione = 27 4 nel punto di ascissa. c) Trovare i valori di a per cui f() 27 4 per ogni R.

14 4 Scritto del secondo appello, 2 febbraio 23 Testi Seconda parte, gruppo 4. Dato a R, si consideri l equazione differenziale ẍ + 6ẋ + a = 4e 3t. (*) a) Trovare la soluzione generale di (*) per a = 3. b) Dire per quali valori di a si ha che ogni soluzione di (*) soddisfa (t) = o(e t ) per t Dato a > si consideri l integrale log( ) 2a d. a) Dire per quali a la funzione integranda converge ad un limite finito per +. b) Spezzare questo integrale improprio in integrali impropri semplici e dire quindi per quali a esso esiste ed è finito. 3. Dato a >, consideriamo la funzione f() := (4 2 + a) 3. a) Dimostrare che la funzione f() è convessa su tutto R. b) Trovare il valore di a e di per cui il grafico della funzione f() è tangente alla retta di equazione = 27 2 nel punto di ascissa. c) Trovare i valori di a per cui f() 27 2 per ogni R.

15 Scritto del terzo appello, 8 febbraio 23 Testi 5 Prima parte, gruppo. Determinare l insieme di definizione della funzione e Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) cos( 2 ); b) 4 2 / Calcolare i seguenti limiti: a) lim 2 4. Trovare la parte principale per di 5. Calcolare + + (2) 2 d. 6. Dire per quali a > la serie + n= e 2 4 ; b) lim 2 ; c) 4 ( + 4) log( ). cos n n 2 + n a risulta essere finita. lim + 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ + cos t = che soddisfa () = Disegnare il grafico di f() = e Prima parte, gruppo 2. Determinare l insieme di definizione della funzione sin Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) ep( + 2 ); b) 2 6 / Calcolare i seguenti limiti: a) lim + 5 log ; b) lim + 4. Trovare la parte principale per di log( + 33 ) 2 ( + 3). 5. Calcolare + + (3) 2 d. 6. Dire per quali a > la serie + n= n 3 + sin n 4 + n 2a risulta essere finita. 4 ; c) lim Trovare la soluzione dell equazione ẋ + cos t = che soddisfa () = Disegnare il grafico di f() = e. e 2 4. Prima parte, gruppo 3. Determinare l insieme di definizione della funzione e Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) sin( 3 ); b) 3 5 / Calcolare i seguenti limiti: a) lim 6 e + 3 ; b) lim + 2 ; c) lim 6 log. +

16 6 Scritto del terzo appello, 8 febbraio 23 Testi 4. Trovare la parte principale per di ep(3 ). ( + 4) 5. Calcolare + (3) 2 d. 6. Dire per quali a > la serie + n= n 2 + log n 4 + n 2a risulta essere finita. 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ + sin t = che soddisfa () = Disegnare il grafico di f() = e. Prima parte, gruppo 4. Determinare l insieme di definizione della funzione sin Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) sin( 2 ); b) 9 3 / Calcolare i seguenti limiti: a) lim + 4. Trovare la parte principale per di 5. Calcolare + + (2) 2 d. 6. Dire per quali a > la serie + n= ; b) lim 5 4 ; c) ( 2 + 3) ep( 2 ). log n n 3 + n a risulta essere finita. 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ + sin t = che soddisfa () = Disegnare il grafico di f() = e. lim e 2. Seconda parte, gruppo. a) Trovare la parte principale per della funzione 4 cos(4). b) Trovare la parte principale per della funzione 4 cos(4) a) Disegnare il grafico della funzione f() := ep( 3 3). b) Risolvere la disequazione f() e 6 e disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che f() e 6. c) Dire se l area di A è finita o infinita. 3. Sia f una funzione definita su (, + ), derivabile, positiva e tale che f () < per ogni. Fissato a >, sia T il triangolo delimitato dalle seguenti rette: l asse delle, la retta verticale passante per il punto (a, ), e la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa a (vedere la figura accanto). T a) Calcolare l area di T. a b) Determinare le funzioni f per cui l area di T vale per ogni scelta di a >. =f ()

17 Scritto del terzo appello, 8 febbraio 23 Testi 7 Seconda parte, gruppo 2. a) Trovare la parte principale per della funzione 3 cos(6). b) Trovare la parte principale per della funzione 3 cos(6) a) Disegnare il grafico della funzione f() := ep(3 3 ). b) Risolvere la disequazione f() e 6 e disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che f() e 6. c) Dire se l area di A è finita o infinita. 3. Sia f una funzione definita su (, + ), derivabile, positiva e tale che f () < per ogni. Fissato a >, sia T il triangolo delimitato dalle seguenti rette: l asse delle, la retta verticale passante per il punto (a, ), e la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa a (vedere la figura accanto). T a) Calcolare l area di T. a b) Trovare tutte le funzioni f per cui l area di T vale /2 per ogni scelta di a >. =f () Seconda parte, gruppo 3. a) Trovare la parte principale per della funzione cos(4). b) Trovare la parte principale per della funzione cos(4) a) Disegnare il grafico della funzione f() := ep( ). b) Risolvere la disequazione f() e 4 e disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che f() e 4. c) Dire se l area di A è finita o infinita. 3. Sia f una funzione definita su (, + ), derivabile, positiva e tale che f () < per ogni. Fissato a >, sia T il triangolo delimitato dalle seguenti rette: l asse delle, la retta verticale passante per il punto (a, ), e la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa a (vedere la figura accanto). T a) Calcolare l area di T. a b) Trovare tutte le funzioni f per cui l area di T vale /2 per ogni scelta di a >. =f () Seconda parte, gruppo 4. a) Trovare la parte principale per della funzione cos(2). b) Trovare la parte principale per della funzione cos(2) a) Disegnare il grafico della funzione f() := ep(3 2 3 ). b) Risolvere la disequazione f() e 4 e disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che c) Dire se l area di A è finita o infinita. f() e Sia f una funzione definita su (, + ), derivabile, positiva e tale che f () < per ogni. Fissato a >, sia T il triangolo delimitato dalle seguenti rette: l asse delle, la retta verticale passante per il punto (a, ), e la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa a (vedere la figura accanto). a T =f ()

18 8 Scritto del terzo appello, 8 febbraio 23 Testi a) Calcolare l area di T. b) Trovare tutte le funzioni f per cui l area di T vale per ogni scelta di a >.

19 Scritto del quarto appello, 3 giugno 23 Testi 9 Prima parte, gruppo. Risolvere la disequazione log log >. tan ( 2. Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim + 2 cos 2 ) + 2 ; c) lim + e. 3. Trovare il polinomio di Talor di ordine 6 di log( 2 3 ). 4. Calcolare la primitiva 4 cos( 2 ) d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Calcolare il valore della serie 4 n. n= + 2 a 2 2 d è finito Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale ẋ = 2t( + 2 ). 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che cos. Prima parte, gruppo 2. Risolvere la disequazione ep(ep()) > Calcolare i seguenti limiti: a) lim + cos(2 + ); b) 3. Trovare il polinomio di Talor di ordine 8 di cos(2 2 ). 4. Calcolare la primitiva 4 ep( 2 ) d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Calcolare il valore della serie 3 n. n= + lim + log 2 a d è finito. + ; c) lim 7. Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale ẋ = 3t 2 ( + 2 ). 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che sin. 2 4 log( + 4 ). Prima parte, gruppo 3. Risolvere la disequazione log log >. 2 + e 2. Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) 3. Trovare il polinomio di Talor di ordine 8 di log( 2 4 ). 4. Calcolare l integrale π 2 cos( 2 ) d. ( lim ep ) ; c) lim sin( 3 ) 4 2.

20 2 Scritto del quarto appello, 3 giugno 23 Testi 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Calcolare il valore della serie n= n a d è finito Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale ẋ = 2te. 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che cos. Prima parte, gruppo 4. Risolvere la disequazione ep(ep()) > 4. 2 ep( 2 ) 2. Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim + log 2 2 ; c) lim ep( + 2 ). 3. Trovare il polinomio di Talor di ordine 6 di sin(3 2 ). 4. Calcolare l integrale 2 2 ep( 2 ) d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Calcolare il valore della serie n= n n a d è finito Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale ẋ = 3t 2 e. 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che sin. Seconda parte, gruppo. Dato a R, consideriamo l equazione differenziale a) Trovare la soluzione generale della (*) per a =. b) Trovare la soluzione generale della (*) per a =. c) Trovare la soluzione generale della (*) per a qualunque. 2. a) Disegnare il grafico della funzione ẍ + 4ẋ + 3 = e at. (*) f() := ( 2 ) 2. b) Per ogni numero reale a > dire quante sono le soluzioni dell equazione f() = a che soddisfano 2. c) Per ogni a > indichiamo con (a) la più grande di tutte le soluzioni dell equazione f() = a; determinare la parte principale di (a) per a Dire per quali numeri reali a la seguente serie a termini positivi è finita: + [ (n 2 + ) a n 2a]. [Suggerimento: raccogliere n 2a.] n=

21 Scritto del quarto appello, 3 giugno 23 Testi 2 Seconda parte, gruppo 2. Dato a R, consideriamo l equazione differenziale a) Trovare la soluzione generale della (*) per a = 2. b) Trovare la soluzione generale della (*) per a =. c) Trovare la soluzione generale della (*) per a qualunque. 2. a) Disegnare il grafico della funzione ẍ 4ẋ + 3 = e at. (*) f() := ( 2 4) 2. b) Per ogni numero reale a > dire quante sono le soluzioni dell equazione f() = a che soddisfano. c) Per ogni a > indichiamo con (a) la più piccola di tutte le soluzioni dell equazione f() = a; determinare la parte principale di (a) per a Dire per quali numeri reali a la seguente serie a termini positivi è finita: + [ (n 3 + ) a n 3a]. [Suggerimento: raccogliere n 3a.] n=

22 22 Scritto del quinto appello, 3 luglio 23 Testi Prima parte, gruppo. Trovare le soluzioni della disequazione cos /2 comprese tra π e π. 2. Determinare i valori minimo e massimo di f() := 3 3 relativamente all intervallo [, 3]. 3. Trovare la parte principale per di 3 3 ep( 2 ) Scrivere il polinomio di Talor di ordine 4 (in ) di Determinare la primitiva 4 sin( 2) d. 6. Calcolare e d. 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ = 2 t 2 che soddisfa () = Disegnare il grafico di sin e risolvere graficamente la disequazione sin 2. Prima parte, gruppo 2. Trovare le soluzioni della disequazione cos /2 comprese tra e 2π. 2. Determinare i valori minimo e massimo di f() := 3 3 relativamente all intervallo [ 3, ]. 3. Trovare la parte principale per di 4 4 ep( 2 2 ) Scrivere il polinomio di Talor di ordine 3 (in ) di Determinare la primitiva 4 cos(2) d. 6. Calcolare d ( 2) Trovare la soluzione dell equazione ẋ = 2 3 t 3 che soddisfa () =. 8. Disegnare il grafico di cos e l insieme dei punti (, ) tali che 2 cos. Prima parte, gruppo 3. Trovare le soluzioni della disequazione cos /2 comprese tra e 2π. 2. Determinare i valori minimo e massimo di f() := 3 3 relativamente all intervallo [, 2]. 3. Trovare la parte principale per di 4 3 log( 2 ) Scrivere il polinomio di Talor di ordine 3 (in ) di Determinare la primitiva 4 cos( 2 ) d.

23 Scritto del quinto appello, 3 luglio 23 Testi Calcolare log d. 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ = 2 e t che soddisfa () = Disegnare il grafico di cos e risolvere graficamente la disequazione cos 2. Prima parte, gruppo 4. Trovare le soluzioni della disequazione cos /2 comprese tra π e π. 2. Determinare i valori minimo e massimo di f() := 3 3 relativamente all intervallo [ 2, ]. 3. Trovare la parte principale per di 4 4 log( 4 2 ) Scrivere il polinomio di Talor di ordine 4 (in ) di Determinare la primitiva 4 log(2 + ) d. 6. Calcolare 3 d. 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ = 3 e t che soddisfa () =. 8. Disegnare il grafico di sin e l insieme dei punti (, ) tali che 2 sin. Seconda parte, gruppo. a) Disegnare il grafico di f() := 2 log. b) Disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che > e f() 2 e calcolarne l area. 2. a) Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale ẋ + 2 t = ep(t 3 ). b) Tra tutte le soluzioni individuare quelle che tendeno a per t, se ce ne sono. 3. Una macchina stampa un certo oggetto di plastica, e la velocità di stampa v (numero di pezzi prodotti in un secondo) può essere fissata a piacere tra e. Tuttavia tanto maggiore si prende v quanto maggiore è la frazione p di pezzi che risultano essere difettosi e vanno quindi scartati; si sa anzi che in prima approssimazione p = v3 3. Detta v eff la velocità effettiva della macchina (cioè il numero di pezzi non difettosi prodotti in un secondo), come bisogna prendere v in modo da rendere v eff più grande possibile? Seconda parte, gruppo 2. a) Disegnare il grafico di f() := log 2. b) Disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che > e f() e calcolarne l area. 2

24 24 Scritto del quinto appello, 3 luglio 23 Testi 2. a) Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale ẋ + 3 t = sin(t 4 ). b) Tra tutte le soluzioni individuare quelle che tendeno a per t, se ce ne sono. 3. Una macchina stampa un certo oggetto di plastica, e la velocità di stampa v (numero di pezzi prodotti in un secondo) può essere fissata a piacere tra e. Tuttavia tanto maggiore si prende v quanto maggiore è la frazione p di pezzi che risultano essere difettosi e vanno quindi scartati; si sa anzi che in prima approssimazione p = v4 4. Detta v eff la velocità effettiva della macchina (cioè il numero di pezzi non difettosi prodotti in un secondo), come bisogna prendere v in modo da rendere v eff più grande possibile?

25 Scritto del sesto appello, 24 luglio 23 Testi 25 Prima parte, gruppo. Risolvere la disequazione ep( 2 ) >. 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) log ; b) ( + e ) 2. log 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim + + tan(2 2 ) ; c) lim Scrivere il polinomio di Talor di ordine 6 (in ) della funzione sin( 2 2 ). 5. Calcolare + e 2 d. 6. Dire per quali a > la serie n= 2 + e n ( + n 2 converge ad un numero finito. ) a 7. Trovare la soluzione generale dell equazione ẍ + 4ẋ + 5 =. 8. Disegnare il grafico di f() = π arctan e risolvere graficamente la disequazione f(). 2 Prima parte, gruppo 2. Risolvere la disequazione log( 2 ) >. 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) 2 log ; b) ( + e ) e 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim tan(2 2 ; b) lim ; c) lim ) + 2 e. 4. Scrivere il polinomio di Talor di ordine 8 (in ) della funzione cos(2 2 ). 5. Calcolare d. 6. Dire per quali a > la serie n= + n ( + n 3 converge ad un numero finito. ) a 7. Trovare la soluzione generale dell equazione ẍ 4ẋ + 5 =. 8. Disegnare il grafico di f() = e risolvere graficamente la disequazione f(). Prima parte, gruppo 3. Risolvere la disequazione log(2 2 ) >. 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) log ; b) ( + e ) Calcolare i seguenti limiti: a) lim log log ; b) lim tan(2 3 ) ; c) lim 4. Scrivere il polinomio di Talor di ordine 6 (in ) della funzione log( 4 3 ). 5. Calcolare e 2 d. e.

26 26 Scritto del sesto appello, 24 luglio 23 Testi + n a 6. Dire per quali a > la serie n= e n converge ad un numero finito. 7. Trovare la soluzione generale dell equazione ẍ + 4ẋ 5 =. 8. Disegnare il grafico di f() = + e risolvere graficamente la disequazione f(). Prima parte, gruppo 4. Risolvere la disequazione ep( 2 ) <. 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) 2 log ; b) ( + e ) Calcolare i seguenti limiti: a) lim cos(e ); b) lim + tan(3 3 ) ; c) lim log log Scrivere il polinomio di Talor di ordine 4 (in ) della funzione e Calcolare 2 + d. 6. Dire per quali a > la serie n= + n a converge ad un numero finito. ( + n) a 7. Trovare la soluzione generale dell equazione ẍ 4ẋ 5 =. 8. Disegnare il grafico di f() = π arctan e risolvere graficamente la disequazione f(). 2 Seconda parte, gruppo. a) Per ogni numero reale a > determinare il numero di soluzioni dell equazione 3 = a 2. (*) b) Per ogni a >, sia (a) la soluzione negativa dell equazione (*). Determinare la parte principale di (a) per a Calcolare il perimetro del trapezio isoscele T in figura in funzione del coseno di α, e dire per quale α tale perimetro è massimo. 3. Si consideri la funzione f() := = e log. Studiare il dominio di definizione e il segno di f(), e quindi discutere i seguenti integrali impropri, cioè dire se esistono e, in caso affermativo, se sono finiti: a) + 2 f() d, b) + f() d. Τ α Seconda parte, gruppo 2. a) Per ogni numero reale a > determinare il numero di soluzioni dell equazione 4 = a 3. (*)

27 Scritto del sesto appello, 24 luglio 23 Testi 27 b) Sia (a) la più piccola delle soluzioni dell equazione (*) per ogni a > per cui esiste almeno una soluzione. Determinare la parte principale di (a) per a Calcolare il perimetro del trapezio isoscele T in figura in funzione del seno di β, e dire per quale β tale perimetro è massimo. 3. Si consideri la funzione f() := = e log. Studiare il dominio di definizione e il segno di f(), e quindi discutere i seguenti integrali impropri, cioè dire se esistono e, in caso affermativo, se sono finiti: a) /2 f() d, b) + f() d. Τ 2β

28 28 Scritto del settimo appello, 6 settembre 23 Testi Prima parte, gruppo. Determinare l insieme di definizione della funzione log(2 2 ). 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) e e 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim + + log ; b) lim log e 2 ; b) arctan( 2 ). sin ; c) lim e log. + ( 2 ) 4. Determinare la parte principale per + della funzione sin Calcolare la primitiva 3 log d. 6. Calcolare π 4 sin( 2 ) d. 7. Dire per quali a R la funzione t a risolve l equazione differenziale ẍ + ẋ t + 4 t 2 =. 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che e e. Prima parte, gruppo 2. Determinare l insieme di definizione della funzione log( 2 ). 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) e + e 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim + log + log ; b) e 2 ; b) arctan. lim + sin ; c) lim e log( 2) sin( 2. ) ( ) 4. Determinare la parte principale per + della funzione log 2. + log 5. Calcolare la primitiva 4 log d. 6. Calcolare 2 4 ep( 2 ) d. 7. Dire per quali a R la funzione t a risolve l equazione differenziale ẍ + ẋ t 4 t 2 =. 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che e e. Prima parte, gruppo 3. Risolvere la disequazione log(2 2 ). 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) e + e e 3 ; b) arctan( 3 ). log + log 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim ; c) lim log. + log + sin +

29 Scritto del settimo appello, 6 settembre 23 Testi 29 ( 4. Determinare la parte principale per + della funzione sin ) Calcolare la primitiva 2 log d. 6. Calcolare 4 ep( 2 ) d. 7. Dire per quali a R la funzione t a risolve l equazione differenziale ẍ ẋ t + t 2 =. 8. Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che e e e. Seconda parte, gruppo. a) Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale ẍ 2ẋ 3 = 5e 2t (*) b) Trovare la soluzione di (*) tale che () = e (t) tende a per t Dire se la serie a termini positivi + n= (n!) 2 (2n)! è finita oppure no. 3. a) Determinare la parte principale per di f() := cos. b) Discutere il seguente integrale improprio al variare di a > (cioè dire esiste e, in caso affermativo, se è finito): π/4 f( a ) 2 d. c) Discutere il seguente integrale improprio: π/2 f() 2 d. Seconda parte, gruppo 2. a) Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale ẍ + 2ẋ 3 = 6e 2t (*) b) Trovare la soluzione di (*) tale che () = e (t) tende a per t Dire se la serie a termini positivi + n= (n!) 3 (2n)! è finita oppure no. 3. a) Determinare la parte principale per di f() := cos. b) Discutere il seguente integrale improprio al variare di a > (cioè dire esiste e, in caso affermativo, se è finito): π/4 f( a ) 2 d. c) Discutere il seguente integrale improprio: π/2 f() 2 d.

30 S O L U Z I O N I

31 Primo compitino, 24 novembre 22 Soluzioni 3 Prima parte, gruppo. Deve essere e 2t, e quindi t log = log π 4 e + π a) [ (log + log 2) ] = log + log 2 + ; b) 2 cos 2 ( 2) = 2[ + tan 2 ( 2) ] ; c) 4. min = e 2 e ma = e ( 2 ) a) ; b). 6. a) ; b) ; c) L insieme cercato è quello in grigio nella figura accanto. = / 2 =cos 2 Prima parte, gruppo 2. Deve essere log t e quindi e t e. 2. π 4 e 3π a) log + log 3 + ; b) 4. min = e 2 e ma =. 3 cos 2 ( 3) = 3[ + tan 2 ( 3) ] ; c) 2 ( 2 + ) a) ; b). 6. a) ; b) 2; c) L insieme cercato è quello in grigio nella figura accanto. = / 2 Prima parte, gruppo 3 =cos. Deve essere 3e t, e quindi t log = log π 4 e + π a) (3 log ) = 3(log + ); b) 4. min = e ma = e a) ; b). 2 cos 2 ( + 2) = 2[ + tan 2 ( + 2) ] ; c) 2 ( + 2 ) a) ; b) non esiste; c) 4.

32 32 Primo compitino, 24 novembre 22 Soluzioni L insieme cercato è quello in grigio nella figura accanto. Prima parte, gruppo 4 =/ 2 =2 cos. Deve essere log t e quindi e t e. 2. π 4 2 e 3π a) 2(log + ); b) 4. min = e 8 e ma = e a) + ; b) non esiste. 6. a) ; b) + ; c) cos 2 ( + 3) = 3[ + tan 2 ( + 3) ] ; c) 2 ( 2 ) L insieme cercato è quello in grigio nella figura accanto. Seconda parte, gruppo. a) Usando il fatto che log( + t) = t + O(t 2 ) per t si ottiene =/ 2 log( 3 2 ) + [ log( ) ] 2 = O( 4 ) + [ + O( 2 )] 2 = O( 3 ) 2 2. = cos b) In questo caso il ragionamento precedente porta solo a dire che la funzione è O( 3 ). Proviamo dunque a cercare lo sviluppo all ordine 3, e per farlo usiamo lo sviluppo log(+t) = t 2 t2 +O(t 3 ) (solo per il secondo addendo della funzione, visto che il primo è già sviluppato all ordine 3): log( 3 2 ) + 3 [ log( ) ] 2 [ = O( 4 ) + 3 ( ) 2 ( )2 + O( 3 ) [ = O( 4 ) ] O( 3 ) = O( 4 ) + 3[ O( 4 )] = O( 4 ) 3 3. c) Procediamo come al punto precedente, cercando lo sviluppo all ordine 4: log( 3 3 ) 3 [ log( ) ] 3 [ = O( 6 ) ] O( 3 ) [ = O( 6 ) ] O( 5 ) = O( 5 ) ; per sviluppare il cubo nella seconda riga ho usato il binomio di Newton (a + b) 3 = a 2 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ] 2

33 Primo compitino, 24 novembre 22 Soluzioni 33 con a := e b := O( 3 ), e ho semplificato gli addendi 3ab 2 e b 3 usando il fatto che b = O( 2 ). 2. a) Consideriamo la funzione f() := 3 5 log + 3. La domanda diventa quindi se è vero o meno che f() per ogni >. Per rispondere cerchiamo il valore minimo della funzione f() sull insieme di definizione >. Studiando il segno della derivata f () = = 3 (3 5) otteniamo che f è decrescente nell intervallo (, 3 5] e crescente in [ 3 5, + ). Ne segue che 3 5 è il punto di minimo assoluto di f, e quindi il valore minimo è f( 3 5) = 5( log 5) + 3,5. Pertanto non è vero che f() per ogni. b) Procediamo come per il punto a), ponendo f() := 3 5 log a. Il problema è quindi determinare per quali a R il valore minimo di f risulta essere positivo (o nullo). Come prima, il punto di minimo assoluto di f è 3 5 e quindi il valore minimo è f( 3 5) = 5( log 5) a. Pertanto i valori di a per cui questo minimo è positivo o nullo sono a 5( log 5). 3. a) La funzione f() è definita e positiva per tutti gli, e ha limite a +. Studiando il segno della derivata f () := (5 ) 4 e si ottiene che f è crescente nell intervallo [, 5] e decrescente in 5, + ; informazioni tracciamo il grafico di f nella figura sottostante. retta tangente in (a, f (a)) usando queste T a =f () a a 5 b) Se scegliamo come base del triangolo T a il lato che sta sull asse delle, vale a dire il segmento di estremi e a allora la lunghezza della base è a e l altezza è a (si noti che a può essere negativo). Per ottenere l area di T a dobbiamo quindi determinare a ; per far questo ricordiamo che l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (a, f(a)) è = f (a)( a) + f(a) e quindi a = af (a) + f(a) = (a 4)a 5 e a. Pertanto area(t a ) = F (a) dove F (a) := 2 a a = 2 (a 4)a6 e a. c) Per trovare il massimo e il minimo dell area di T a studiamo la funzione F (a) per a. Si vede subito che F (a) è negativa per a < 4, positiva per a > 4, e tende a per a +. Studiando inoltre il segno della derivata F (a) = 2 (a2 a + 24)a 5 e a si ottiene che F è crescente nell intervallo [3, 8] e decrescente altrove; usando queste informazioni tracciamo il grafico di F (a) e di area(t a ) nella figura sotto (il primo con tratto continuo, il secondo tratteggiato).

34 34 Primo compitino, 24 novembre 22 Soluzioni ~76 ~8 =area(ta )= F(a) =F(a) a Pertanto il valore minimo dell area di T a è e viene assunto per a = 4 (oppure quando a tende a o a + ); inoltre, confrontando il valore assoluto di F nel punto di minimo a = 3, vale a dire F (3) 8, con il valore nel punto di massimo a = 8, vale a dire F (8) 76, si ottiene che il valore massimo dell area di T a viene assunto per a = 8. Seconda parte, gruppo 2. Analogo al gruppo. a) log( 2 ) + [ log( + 2) ] 2 = 2 + O( 4 ) + [2 + O( 2 )] 2 = 2 + O( 4 ) O( 3 ) = O( 3 ) 3 2. b) 4 log( 2 ) + [ log( + 2) ] 2 = O( 4 ) + [ O( 3 ) ] 2 = O( 4 ) O( 4 ) = O( 4 ) 8 3. c) 8 log( 3 ) + [ log( + 2) ] 3 = O( 6 ) + [ O( 3 ) ] 3 = O( 6 ) O( 5 ) = O( 5 ) Analogo al gruppo. b) La domanda equivale a chiedere per quali a R il valore minimo della funzione f() := 3 8 log a è positivo o nullo. Studiando il segno della derivata f () = 3 ( 3 6) si ottiene che 3 6 è il punto di minimo assoluto di f, e quindi il valore minimo è f( 3 6) = 6( log 6) a. Pertanto i valori di a per cui questo minimo è positivo o nullo sono a 6( log 6) 4,75. () a) Siccome 5 risulta tra i valori di a che soddisfano la condizione (), è effettivamente vero che 3 8 log + 5 per ogni. 3. Analogo al gruppo. In questo caso area(t a ) = F (a) con F (a) := (a 5)a 2 e 2a ; la funzione F (a) si annulla per a = 5 e i suoi punti di minimo e massimo assoluto sono rispettivamente a = 4 e a = 5/2, e quindi i valori minimo e il massimo sono rispettivamente F (4) 5,6 3 e F (5/2) 2,4 4. Pertanto il valore minimo dell area di T a è e viene assunto per a = 5, mente dal confronto dei valori assoluti del massimo e del minimo di F si ottiene che il valore massimo dell area di T a viene assunto per a = 5/2. Seconda parte, gruppo 3. Analogo al gruppo. a) log( 2 ) + [ log( 2) ] 2 = 2 + O( 4 ) + [ 2 + O( 2 )] 2

35 Primo compitino, 24 novembre 22 Soluzioni 35 = 2 + O( 4 ) O( 3 ) = O( 3 ) 3 2. b) 4 log( 2 ) + [ log( 2) ] 2 = O( 4 ) + [ O( 3 ) ] 2 = O( 4 ) O( 4 ) = O( 4 ) 8 3. c) 8 log( 3 ) [ log( 2) ] 3 = O( 6 ) [ O( 3 ) ] 3 = O( 6 ) O( 5 ) = O( 5 ) Analogo al gruppo. b) La domanda equivale a chiedere per quali a R il valore minimo della funzione f() := 4 2 log a è positivo o nullo. Studiando il segno della derivata f () = 4 ( 4 5) si ottiene che 4 5 è il punto di minimo assoluto di f, e quindi il valore minimo è f( 4 5) = 5( log 5) a. Pertanto i valori di a per cui questo minimo è positivo o nullo sono a 5( log 5) 3,5. (2) a) Siccome 3 non risulta tra i valori di a che soddisfano la condizione (2), non è vero che 3 8 log + 5 per ogni. 3. Analogo al gruppo. In questo caso area(t a ) = F (a) con F (a) := (a 2)a 6 e 2a ; la funzione F (a) si annulla per a = 2 e i suoi punti di minimo e massimo assoluto sono rispettivamente a = 3/2 e a = 4, e quindi i valori minimo e massimo sono rispettivamente F (3/2),28 e F (4) 2,7. Pertanto il valore minimo dell area di T a è e viene assunto per a = 2 mentre dal confronto dei valori assoluti del massimo e del minimo di F si ottiene che il valore massimo dell area di T a viene assunto per a = 4. Seconda parte, gruppo 4. Analogo al gruppo. a) log( ) + [ log( ) ] 2 = O( 4 ) + [ + O( 2 )] 2 = O( 4 ) O( 3 ) = O( 3 ) 4 2. b) log( ) 3 [ log( ) ] [ 2 = O( 4 ) O( 3 ) = O( 4 ) O( 4 ) = O( 4 ) 3 3. c) log( ) + 3 [ log( ) ] [ 3 = O( 6 ) O( 3 ) = O( 6 ) O( 5 ) = O( 5 ) Analogo al gruppo. b) La domanda equivale a chiedere per quali a R il valore minimo della funzione f() := 4 24 log a ] 2 ] 3

36 36 Primo compitino, 24 novembre 22 Soluzioni è positivo o nullo. Studiando il segno della derivata f () = 4 ( 4 6) si ottiene che 4 6 è il punto di minimo assoluto di f, e quindi il valore minimo è f( 4 6) = 6( log 6) a. Pertanto i valori di a per cui questo minimo è positivo o nullo sono a 6( log 6) 4,75. (3) a) Siccome 5 risulta tra i valori di a che soddisfano la condizione (3), è effettivamente vero che 4 24 log + 5 per ogni. 3. Analogo al gruppo. In questo caso area(t a ) = F (a) con F (a) := 2 (a )a2 e a ; la funzione F (a) si annulla per a = e i suoi punti di minimo e massimo assoluto sono rispettivamente a = 8 e a = 5, e quindi i valori minimo e massimo sono rispettivamente F (8) 2,3 7 e F (5) 9,9 7. Pertanto il valore minimo dell area di T a è e viene assunto per a = mentre dal confronto dei valori assoluti del massimo e del minimo di F si ottiene che il valore massimo dell area di T a viene assunto per a = 5. Commenti Prima parte, esercizio 8. Alcuni dei presenti hanno confuso il grafico di / 2 con quello di / (sono effettivamente simili per >, ma la prima funzione è pari e sempre positiva, mentre la seconda è dispari e negativa per < ). Seconda parte, esercizio. Molti dei presenti hanno svolto l esercizio fino in fondo ottenendo risultati corretti, ma quasi nessuno ha trattato appropriatamente i resti nello sviluppo usato per il punto c); alcuni hanno completamente trascurato i resti in tutti e tre i punti. Seconda parte, esercizio. Diversi dei presenti hanno fatto errori nella sostituzione usata per passare dallo sviluppo di log( + t) a quello di log( 2 ) o delle altre funzioni presenti nelle varie versioni di questo esercizio. Seconda parte, esercizio 2. Per rispondere alla domanda a) è necessario confrontare un certo numero ( 3 o 5 a seconda dei gruppi) con un altro, dato da un espressione più complicata (5( log 5) o 6( log 6) a seconda dei gruppi); per farlo è necessario usare la calcolatrice. Seconda parte, esercizio 2. Per rispondere al punto a) diverse persone hanno usato un disegno approssimativo dei grafici delle funzioni 3 e 5 log 3 (mi riferisco al gruppo, ma vale un discorso analogo per gli altri gruppi) per sostenere a seconda dei casi che questi grafici non si intersecano oppure che si intersecano. In realtà i due grafici sono molto vicini, e quindi non è possibile usare un disegno approssimativo per decidere se si intersecano o meno. Seconda parte, esercizio 2. Nel rispondere al punto b) diversi dei presenti hanno cercato il valore del parametro a per il quale i grafici della funzione 3 e della funzione 5 log + a (mi riferisco al gruppo ) sono tangenti in un punto, impostando però il problema in modo strano, cioè imponendo solamente che in tal punto i valori delle derivate delle due funzioni coincidano (bisognerebbe anche imporre che i valori delle funzioni coincidano). Seconda parte, esercizio 2. Per errore la versione del gruppo 4 di questo esercizio che è stata stampata e distribuita in classe non era quella definitiva, e in particolare la disuguaglianza da discutere al punto a) era 4 24 log + 5 invece di 4 24 log 5, come riportato qui. Seconda parte, esercizio 3. Per rispondere alla domanda c) è necessario confrontare il valore assoluto della funzione F nei punti di minimo e di massimo; per farlo è necessario usare la calcolatrice.

37 Secondo compitino, 7 dicembre 22 Soluzioni 37 Prima parte.. a) (2 2 ) ep( ); b) 2. a) 2; b) ; c). 3. Uso il cambio di variabile = 4 : 4. Integro per parti: + 2 = ( + 2 ) /2. 3 ep( 4 ) d = log d = 3 log e d = 4 e +c = 4 ep( 4 )+c. 3 d = Siccome sin(/ a ) / a per +, deve essere a >, ovvero a > Siccome log( + n a ) /n a per n +, deve essere a >. 7. Equazione a variabili separabili: e ẋ = sin t, cioè e d = sin t dt, cioè e = cos t + c con c R. Imponendo la condizione iniziale si ottiene c = 2 e quindi = log(cos t+2). =/(+) 3 = 8. Le soluzioni sono [, ] dove è dato nella figura accanto. soluzioni Seconda parte.. a) La (*) è un equazione differenziale del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti, non omogenea. L equazione omogenea associata è ẍ 4ẋ + 4 =, e l equazione caratteristica di quest ultima, vale a dire λ 2 4λ + 4 =, ha due soluzioni coincidenti λ = 2. Pertanto la soluzione generale dell equazione omogenea è om (t) := e 2t (c + c 2 t) con c, c 2 R. Siccome il termine noto 8t è un polinomio di primo grado, cerchiamo una soluzione particolare dell equazione non omogenea (*) tra i polinomi di primo grado, vale a dire una soluzione della forma (t) = a + a t con a, a R. Per le funzioni di questo tipo l equazione (*) si riduce a (4a 8)t + (4a 4a ) = ed è verificata se 4a 8 = e 4a 4a =, cioè per a = a = 2. Dunque la soluzione particolare cercata è (t) = 2 + 2t, e di conseguenza la soluzione generale della (*) è (t) := 2 + 2t + e 2t (c + c 2 t) con c, c 2 R. () b) Dalla formula () si ottiene che ẋ(t) = 2 + e 2t (2c + c 2 + 2c 2 t) e quindi le condizioni iniziali diventano { { = () = 2 + c c = 2 ovvero = ẋ() = 2 + 2c + c 2 c 2 = 2 e dunque la soluzione cercata è (t) := 2 + 2t + e 2t (2t 2). c) Dalla formula () è evidente che quando c 2 è diverso da la soluzione soddisfa (t) c 2 te 2t e dunque non è O(e 2t ) (e anzi e 2t (t)). Se invece c 2 = allora (t) è somma di addendi che sono tutti O(e 2t ) e quindi è essa stessa O(e 2t ). In altre parole le soluzioni cercate sono tutte e solo quelle con c 2 =, vale a dire (t) := 2 + 2t + c e 2t con c R. 2. Siccome n sin(/n) converge a per n +, per a si ha che il termine generico della serie soddisfa a n sin(/n) n a a n a per n +, e quindi la serie converge se e solo se a >.

38 38 Secondo compitino, 7 dicembre 22 Soluzioni Per a = il discorso cambia: in questo caso il numeratore n sin(/n) tende a per n + e dobbiamo quindi cercarne la parte principale: usando il fatto che sin = 6 3 +O( 5 ) per e ponendo = /n otteniamo [ n sin(/n) = n n ( )] 6n 3 + O n 5 = ( ) 6n 2 + O n 4 6n 2. Pertanto il termine generico della serie soddisfa n sin(/n) n 6n 3 per n +, e quindi la serie converge. Riassumendo, la serie converge per a. 3. a) la funzione f() è ben definita per ogni R, pari, positiva, e tende a per ±. Studiando il segno della derivata prima f () = [ ( + 4 ) a] = a( + 4 ) a 4 3 si ottiene che la funzione cresce per e descresce per. Sulla base di quanto appena detto disegniamo il grafico di f. =f() b) Partendo dal grafico di f() disegnato sopra disegniamo la figura solida A: Α La formula per il volume dei solidi di rotazione dà volume(a) = = π + + π [ f() ] 2 d + ( + 4 d = 2π ) 2a ( + 4 d, ) 2a e siccome la funzione integranda è asintoticamente equivalente a / 8a per +, questo integrale improprio ha valore finito se e solo se 8a >, ovvero a > /8. c) Siccome la funzione f() è pari, otteniamo B facendo ruotare attorno all asse delle il grafico della funzione f() ristretta alla semiretta : Β Per poter applicare la formula per il volume dei solidi di rotazione dobbiamo esplicitare come funzione di (ovvero calcolare l inversa della restrizione di f() alla semiretta ): partendo dall equazione = ( + 2 ) a con otteniamo = ( /a ) /4