Integrale di Riemann. Approfondimenti

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1 Approfondimenti Integrale di iemann Per integrale multiplo si intende l integrale di una funzione reale di n 2 variabili. La nozione di integrale multiplo è una naturale estensione di quella dell integrale definito di una funzione reale di una variabile reale. Nel corso di Analisi Matematica I avete studiato la teoria dell integrazione secondo iemann nella quale viene introdotto l integrale di una funzione limitata su un intervallo limitato. Nel caso di funzioni di più variabili, l estensione naturale di questa situazione è quella di considerare funzioni limitate su iperrettangoli, ossia su insiemi che sono l estensione dei rettangoli nel piano e dei parallelepipedi nello spazio. Mentre in una variabile si calcola l integrale di una funzione limitata prevalentemente su un intervallo limitato, nel caso di funzioni di più variabili si calcola l integrale di una funzione limitata su un sottoinsieme limitato di n che può essere molto vario e che non è necessariamente un iperrettangolo. La teoria dell integrazione deve quindi poter discriminare fra gli insiemi buoni su cui integrare e quelli non buoni. È quindi fondamentale possedere una teoria della misura, che introduca e studi le proprietà degli insiemi misurabili (quelli buoni ) che, sostanzialmente, sono quelli a cui è possibile associare una misura, che nel piano comunemente chiamiamo area e nello spazio volume. Per questo motivo risulta più laborioso introdurre il concetto di integrale multiplo per una funzione limitata. Procediamo nel seguente modo: a) introduciamo l integrale di funzioni limitate su iperrettangoli imitando il procedimento visto nel caso dell integrale di iemann per funzioni di una variabile; b) introduciamo poi il concetto di misura di Peano-Jordan di un sottonsieme di n e quindi quello di insieme misurabile; c) introduciamo infine l integrale di funzioni limitate su un insieme misurabile; 1

2 2 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II d) infine dimostriamo i principali metodi di calcolo degli integrali di funzioni di due e tre variabili. Nel seguito considereremo n N, n 1. 1 Integrale di iemann su un iperrettangolo (1.1) Definizione Siano I 1,...,I n intervalli limitati. Si chiama iperrettangolo in n l insieme = I 1 I n. Per n = 1 si ha l intervallo = I 1. Per n = 2 si ha il rettangolo = I 1 I 2. Per n = 3 si ha il parallelepipedo (retto o rettangolo) = I 1 I 2 I 3. z O Fig. 1.1: Iperrettangolo nel piano 2. Fig. 1.2: Iperrettangolo nello spazio 3. Gli estremi degli intervalli I j possono essere o non essere inclusi nell intervallo. Come vedremo, analogamente a quanto accade per l integrale in una variabile, ciò non ha alcuna importanza nella teoria dell integrazione. Osserviamo che se è un iperrettangolo in n, allora è unione di un numero finito di iperrettangoli in m con m n 1. (1.2) Definizione Per ogni j = 1,...,n sia I j un intervallo limitato di estremi a j,b j con a j < b j e = I 1 I n un iperrettangolo in n. Si chiama misura (n-dimensionale) di il numero reale m() = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b n a n ).

3 Appendice Integrale di iemann su un iperrettangolo 3 Evidentemente la misura di un iperrettangolo è data dal prodotto delle misure dei singoli intervalli il cui prodotto (cartesiano) è l iperrettangolo stesso. Per n = 1, essendo = I 1, la sua misura è la lunghezza dell intervallo I 1, cioè m() = b 1 a 1. Per n = 2, essendo = I 1 I 2, la sua misura è l area del rettangolo, cioè m() = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ). Per n = 3, essendo = I 1 I 2 I 3, la sua misura è il volume del parallelepipedo, cioè m() = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 )(b 3 a 3 ). (1.3) Definizione Sia un iperrettangolo in n. Si chiama suddivisione di una famiglia finita 1,..., k di iperrettangoli contenuti in tali che: 1) = 1 k ; 2) per ogni i,j = 1,...,k con i j l intersezione i j contiene al più punti della frontiera di i e j. = 1 k 1 2 k O Fig. 1.3: Suddivisione di un iperrettangolo nel piano 2. (1.4) Definizione Siano un iperrettangolo in n e f : una funzione. Diciamo che f è una funzione a scala se esiste una suddivisione 1,..., k di tale che f è costante su ciascuno degli iperrettangoli j, per j = 1,...,k. In tal caso diciamo che la suddivisione è adattata a f.

4 4 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II z z f f Fig. 1.4: Suddivisione adattata alla funzione a scala. Fig. 1.5: Suddivisione non adattata alla funzione a scala. Introduciamo ora il concetto di integrale di una funzione a scala su un iperrettangolo. Il significato geometrico è analogo a quello in una variabile. Infatti, se consideriamo in n+1 il trapezoide di f, T f = (, n+1 ) n+1 : n, 0 n+1 f() oppure f() n+1 0, cioè la regione delimitata dal grafico di f, dall iperrettangolo e dagli iperpiani 1 ortogonali a n (su cui giace ) passanti per, allora l integrale di f su è il volume in n+1 di questo trapezoide, dove le virgolette stanno ad indicare che le zone di questa regione che corrispondono ai valori positivi di f danno un contributo positivo, mentre quelle che corrispondono ai valori negativi di f danno un contributo negativo. z T f Fig. 1.6: Le regioni del trapezoide T f di f che corrispondono ai valori positivi di f danno un contributo positivo, mentre quelle che corrispondono ai valori negativi di f danno un contributo negativo. 1 Un iperpiano è una generalizzazione in n della nozione di piano dello spazio 3.

5 Appendice Integrale di iemann su un iperrettangolo 5 Evidentemente se f 0, allora si ha effettivamente il volume in n+1 di questo trapezoide. (1.5) Definizione Siano un iperrettangolo in n, f : una funzione a scala e 1,..., k una suddivisione di adattata a f. Per ogni j = 1,...,k sia c j il valore assunto da f su j. Si chiama integrale (multiplo) di f su il numero reale k f()d = c 1 m( 1 )+ +c k m( k ) = c j m( j ). j=1 Talvolta l integrale di f su si denota con uno dei seguenti simboli: f, f( 1,..., n )d 1 d n, Se n = 2 si usa talvolta scrivere f(, ) d d. Se n = 3 si usa talvolta scrivere f(,,z)dddz. n volte f( 1,..., n )d 1 d n. (Integrale doppio) (Integrale triplo) Si dimostra facilmente che questa definizione è ben posta, ossia non dipende dalla scelta della suddivisione di adattata a f. Introduciamo ora l integrale di una funzione limitata, non necessariamente a scala, su un iperettangolo. Siano quindi un iperrettangolo in n e f : una funzione limitata. Denotiamo con H f e H+ f di f rispettivamente, cioè gli insiemi delle funzioni a scala minoranti e maggioranti H f H + f = g : a scala tale che g f, = g : a scala tale che g f. Essendo f limitata su si ha che Hf,H+ f. Poniamo f = sup g : g Hf (Integrale inferiore di f su ), f = inf g : g H f + (Integrale superiore di f su ).

6 6 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II Essendo f limitata su si ha che f, f e evidentemente f f. h f g n Fig. 1.7: Approssimazione di f con le funzioni a scala g e h, g f h. (1.6) Definizione Siano un iperrettangolo in n e f : una funzione limitata. Diciamo che f è integrabile (secondo iemann) su se f = f. In tal casochiamiamo integrale (multiplo) di iemann di f su il comunevalore di questi due integrali e lo denotiamo con le notazioni introdotte precedentemente. Si dimostra che se f è continua e limitata su, allora è integrabile. Esistono anche funzioni non integrabili. Ad esempio, posto = [0,1] [0,1], la funzione f :

7 Appendice Misura di Peano-Jordan 7 definita da 1 se Q, f(,) = 0 se Q, non è integrabile su. Infatti, se g,h : sono due funzioni a scala rispettivamente minorante e maggiorante di f, allora essendo f(,) = 0 per ogni (,) con Q, si ha che g(,) 0 per ogni (,). Analogamente, essendo f(,) = 1 per ogni (,) con Q, si ha che h(,) 1 per ogni (,). Quindi g(,)dd 0, h(,)dd 1. Ne segue che f 0, f 1. Quindi f < f da cui segue che f non è integrabile su. 2 Misura di Peano-Jordan (2.1) Definizione Sia P n. Diciamo che P è un plurirettangolo se P è l unione di un numero finito di iperrettangoli 1,..., k tali che per ogni i,j = 1,...,k con i j l intersezione i j contiene al più punti della frontiera di i e j. La misura n-dimensionale del plurirettangolo P = 1 k è data da k m(p) = m( 1 )+ + m( k ) = m( j ). j=1 Evidentemente un iperrettangolo è un plurirettangolo.

8 8 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II P = 1 2 P = O O Fig. 2.1: P è un plurirettangolo. Fig. 2.2: P non è un plurirettangolo. (2.2) Definizione Sia n limitato non vuoto. Introduciamo i seguenti insiemi: S () = P n plurirettangolo tale che P, S + () = P n plurirettangolo tale che P. Evidentemente S + (), mentre S () potrebbe anche essere l insieme vuoto (per esempio se è l insieme costituito da un solo punto). Si chiama misura interna di il numero reale m () = supm(p) : P S () e si chiama misura esterna di il numero reale m () = infm(p) : P S + (), con la convenzione che se S () =, allora m () = 0. Evidentemente 0 m () m (). Da un punto di vista pratico, stiamo approssimando dall interno e dall esterno l insieme con dei plurirettangoli, cioè con l unione di iperrettangoli. Calcoliamo la misura di questi plurirettangoli e facciamo il sup delle misure di quelli interni, quelli appartenenti a S (), e l inf delle misure di quelli esterni, quelli appartenenti a S + ().

9 Appendice Misura di Peano-Jordan 9 P Q Q P Q S () P S + () O Fig. 2.3: Approssimazione di 2 dall interno e dall esterno con plurirettangoli. (2.3) Definizione Sia n limitato non vuoto. Diciamo che è misurabile (secondo Peano-Jordan) se m () = m () e in tal caso chiamiamo misura di il comune valore e lo denotiamo con m n (), o più semplicemente, dove non vi sia ambiguità, con m(). Per convenzione poniamo m( ) = 0. Equivalentemente, è misurabile se per ogni ε > 0 esistono due plurirettangoli P 1 S + () e P 2 S () tali che m(p 2 \P 1 ) = m(p 2 ) m(p 1 ) < ε. Evidentemente se = P plurirettangolo, allora riotteniamo la nozione precedente. Se 2 è misurabile, la misura di è l area di. Se 3 è misurabile, la misura di è il volume di. In generale per n 3 la misura di è detta volume (n-dimensionale) di. (2.4) Esempio Un esempio di insieme non misurabile nel piano è = (,) [0,1] [0,1] :, Q. Infatti, in tal caso S () = e quindi m () = 0, mentre m () = 1. Ne segue che m () < m () e quindi non è misurabile.

10 10 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II (2.5) Definizione Sia n misurabile. Diciamo che è trascurabile se m() = 0. (2.6) Teorema Sia n limitato non vuoto. Allora è misurabile se e solo se è trascurabile. Dimostrazione. Sia misurabile. Dalla definizione segue che per ogni ε > 0 esistono due plurirettangoli P 1,P 2, con P 1 P 2, tali che m(p 2 ) m(p 1 ) < ε. Senza perdita di generalità possiamo supporre che P 1 sia aperto e P 2 sia chiuso (infatti, se così non fosse potremmo sostituire a P 1 la sua parte interna e a P 2 la sua chiusura, che hanno chiaramente la stessa misura di P 1 e P 2 rispettivamente). Essendo P 1, si ha che P 1 int(). Analogamente, essendo P 2, si ha che P 2. Quindi P 2 \P 1. Essendo P 2 \P 1 un plurirettangolo, si ha che m(p 2 \P 1 ) = m(p 2 ) m(p 1 ) < ε. Quindi m( ) m(p 2 \P 1 ) < ε e per l arbitrarietà di ε si ha che m( ) = 0. Viceversa supponiamo che m( ) = 0. Siano P e Q due plurirettangoli tali che Q P e P con m(q) < ε. Evidentemente P\Q è un plurirettangolo con (P \ Q) =. Conformemente alla definizione di plurirettangolo (vedi Definizione (2.1)) siano 1,, m iperrettangoli tali che P \ Q = 1 m e tali che per ogni i,j = 1,...,m con i j l intersezione i j contenga al più punti della frontiera di i e j. Evidentemente per ogni i = 1,...,m si ha che i =. Quindi per ogni i = 1,m l iperrettangolo i o è contenuto in oppure è contenuto in C. A patto di rinominarli, siano 1,, k gli iperrettangoli contenuti in (e quindi k+1,, m non intersecano ). Siano P 1 = 1, k e P 2 = Q P 1. Evidentemente P 1 ed essendo P = (P \Q) Q = [ ] ( 1, k ) Q ( k+1 m ) = P 2 ( k+1 m ), P e ( k+1 m ) =, si ha che P 2. Quindi P 1 S () e P 2 S + () e si ha che m(p 2 ) m(p 1 ) = m(q) < ε.

11 3. Integrale di iemann su un insieme misurabile 11 Ne segue che è misurabile. 3 Integrale di iemann su un insieme misurabile Nella sezione 1 abbiamo introdotto l integrale di iemann di una funzione limitata su un iperrettangolo. Per poter estendere questo concetto al caso di una funzione limitata su un insieme misurabile, ci riconduciamo al caso precedente estendendo la funzione ad un iperrettangolo che contiene l insieme misurabile con valore nullo al di fuori di questo insieme. (3.1) Definizione Siano n misurabile e f : una funzione limitata. Siano un iperrettangolo tale che e f : la funzione f() se f() = 0 se \. Diciamo che f è integrabile (secondo iemann) su se f è integrabile su nel senso della Definizione (1.6) e in tal caso poniamo f = f, lo chiamiamo integrale (multiplo) di iemann di f su e lo denotiamo con le medesime notazioni introdotte precedentemente. Si osserva che le nozioni di funzione integrabile e di integrale su un insieme misurabile non dipendono dalla scelta dell iperrettangolo. Evidentemente se è un iperrettangolo, allora si riottiene la nozione introdotta dalla Definizione (1.6). Infatti, in tal caso si ha che f = f. Se f 0, allora come nel caso precedente si ha che trapezoide di f, T f = f è il volume in n+1 del ( 1,, n, n+1 ) n+1 : = ( 1,, n ), 0 n+1 f(). Si osserva infine che se f = 1 su, allora f = m(). Si dimostra che se f : è continua e limitata, allora f è integrabile. Concludiamo questa sezione elencando alcune delle proprietà principali dell integrale multipo, utili anche nelle applicazioni.

12 12 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II (3.2) Proposizione Siano n misurabile, f,g : integrabili su e λ. Allora valgono i seguenti fatti: a) f +g è integrabile su e si ha che b) λf è integrabile su e si ha che c) se f g su, allora f d) f è integrabile su e si ha che (f +g) = g; f + g; λf = λ f; f f. (3.3) Proposizione Siano n misurabile e f : integrabile su. Allora valgono i seguenti fatti: a) se è trascurabile, allora f = 0; b) se = A B con A e B misurabili e A B trascurabile, allora f = A B f = A f + f; B c) se A è misurabile, allora f è integrabile anche su A; d) se A è misurabile e f 0 su, allora A f f.

13 4. Calcolo degli integrali multipli 13 4 Calcolo degli integrali multipli 4.1 Calcolo degli integrali doppi (4.1) Definizione Sia 2. Diciamo che è un insieme -semplice (o verticalmente convesso) se è della forma = (,) 2 : a b, α() β(), dove α,β : [a,b] sono due funzioni continue tali che α() β() per ogni [a,b]. Diciamo che è un insieme -semplice (o orizzontalmente convesso) se è della forma = (,) 2 : c d, γ() δ(), dove γ,δ : [c,d] sono due funzioni continue tali che γ() δ() per ogni [c,d]. Osserviamo che questi insiemi sono misurabili. Infatti, i loro bordi hanno misura (area) nulla e quindi per il Teorema (2.6) sono misurabili. d = β() = γ() = δ() = α() c O a b O Fig. 4.1: Insieme -semplice. Fig. 4.2: Insieme -semplice.

14 14 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II (4.2) Teorema (di integrazione su insiemi -semplici o -semplici) Siano 2 l insieme -semplice = (,) 2 : a b, α() β(), dove α,β : [a,b] sono funzioni continue tali che α() β() per ogni [a,b], e f : una funzione continua 2. Allora si ha che [ b ] β() f(,)dd = f(,)d d. Se 2 è l insieme -semplice = a α() (,) 2 : c d, γ() δ(), dove γ,δ : [c,d] sono funzioni continue tali che γ() δ() per ogni [c,d], e f : è una funzione continua 2, allora si ha che [ d ] δ() f(,)dd = f(,)d d. c γ() Dimostrazione. Dimostriamo la formula per gli insiemi -semplici (in modo analogo si procede per gli insiemi -semplici). Sia = [a,b] J un rettangolo contenente e sia f : la funzione f() se f() = 0 se \. Siano g,h : due funzioni a scala tali che g f h. Per ogni [a,b] poniamo G() = J g(,)d, H() = J h(,)d. Le funzioni G e H sono evidentemente a scala su [a,b] e per ogni [a,b] si ha che g(,)d J J f(,)d J h(,)d che, essendo f(,) = f(,) = 0 se [α(),β()], equivale a G() β() α() f(,)d H(). 2 Per il Teorema di Weierstrass risulta che è compatto e che f è limitata.

15 4.2 Calcolo degli integrali tripli 15 Per la proprietà c) della Proposizione (3.3) si ha che b [ b ] β() G()d f(,)d d a a α() b a H() d. Poiché si ha che g(,)dd = g(,)dd b a G() d, [ b β() a α() h(,)dd = b a H() d, ] f(,)d d h(,)dd. Essendo f integrabile, si ha che da cui segue che f(,)dd = f(,)dd = [ b β() a α() f = f f(,)d ] d. 4.2 Calcolo degli integrali tripli Per gli integrali tripli esistono formule di riduzione simili a quelle degli integrali doppi. L idea di fondo è di ricondurre il calcolo di un integrale triplo a quello in cascata di un integrale doppio e uno definito in una variabile. A seconda che si calcoli prima l integrale in una variabile o quello doppio, si hanno le formule di integrazione per fili paralleli ad un asse o per strati paralleli ad un piano. Integrazione per fili paralleli ad un asse Asse z. Sia 3 l insieme = (,,z) 3 : (,) D, α(,) z β(,), dove D 2 è compatto (chiuso e limitato) e α,β : D sono due funzioni continue tali che α(,) β(,) per ogni (,) D, e sia f : una funzione continua 3. 3 Per il Teorema di Weierstrass risulta che è compatto e che f è limitata. Inoltre, si osserva che è misurabile. Infatti, il suo bordo ha misura (volume) nullo e quindi per il Teorema (2.6) è misurabile.

16 16 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II z z = β(,) D z = α(,) Allora, applicando un procedimento analogo a quello utilizzato nella dimostrazione del Teorema (4.2), si ha che [ ] β(,) f(,,z)dddz = f(,,z)dz dd. D α(,) Formula di integrazione per fili paralleli all asse z Similmente si introducono le formule di integrazioni per fili paralleli agli altri assi. Asse. Sia 3 l insieme = (,,z) 3 : (,z) D, α(,z) β(,z), dove D 2 è compatto e α,β : D sono due funzioni continue tali che α(,z) β(,z) per ogni (,z) D, e sia f : una funzione continua. Allora si ha che f(,,z)dddz = [ β(,z) ] f(,,z)d ddz. D α(,z) Formula di integrazione per fili paralleli all asse Asse. Sia 3 l insieme = (,,z) 3 : (,z) D, α(,z) β(,z),

17 4.2 Calcolo degli integrali tripli 17 dove D 2 è compatto e α,β : D sono due funzioni continue tali che α(,z) β(,z) per ogni (,z) D, e sia f : una funzione continua. Allora si ha che [ ] β(,z) f(,,z)dddz = f(,,z)d ddz. D α(,z) Formula di integrazione per fili paralleli all asse Integrazione per strati paralleli ad un piano Premettiamo la seguente (4.3) Definizione Siano 3 limitato e z 0. Poniamo z0 = (,) 2 : (,,z 0 ). Osserviamo che z0 è la proiezione ortogonale sul piano dell intersezione fra e il piano z = z 0. Se questa intersezione è l insieme vuoto, allora anche z0 =. z z 0 z0 In modo del tutto analogo, se 0, 0 si introducono gli insiemi 0 = (,z) 2 : ( 0,,z), 0 = (,z) 2 : (, 0,z). Formule di integrazione per strati paralleli ad un piano

18 18 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II Piano. Siano 3 l insieme dove z = = (,,z) 3 : a z b, (,) z, (,) 2 : (,,z), e f : una funzione continua e limitata. Supponiamo che z sia misurabile in 2 per ogni z [a,b] (e di conseguenzaancherisultamisurabilein 3 ). Allora, applicandounprocedimento analogo a quello utilizzato nella dimostrazione del Teorema (4.2), si ha che f(,,z)dddz = b [ a ] f(,,z)dd dz. z Formula di integrazione per strati paralleli al piano Similmente si introducono le formule di integrazioni per strati paralleli agli altri piani. Piano z. Siano 3 l insieme dove = = (,,z) 3 : a b, (,z), (,z) 2 : (,,z), e f : una funzione continua e limitata. Supponiamo che sia misurabile in 2 per ogni [a,b]. Allora si ha che f(,,z)dddz = [ b a f(,,z)ddz ] d. Formula di integrazione per strati paralleli al piano z Piano z. Siano 3 l insieme dove = = (,,z) 3 : a b, (,z), (,z) 2 : (,,z), e f : una funzione continua e limitata. Supponiamo che sia misurabile in 2 per ogni [a,b]. Allora si ha che f(,,z)dddz = b [ a ] f(,,z)ddz d. Formula di integrazione per strati paralleli al piano z

19 4.2 Calcolo degli integrali tripli 19 Introduciamo ora, senza dimostrarlo, il teorema del cambiamento di variabile negli integrali multipli. Nel seguito considereremo n N con n 1. (4.4) Teorema (del cambiamento di variabile negli integrali multipli) Siano, n aperti misurabili, f : una funzione continua e limitata e Φ : una funzione tale che: i) Φ è biiettiva; ii) Φ è di classe C 1 con detj Φ (u) 0 per ogni u. Allora f()d = f(φ(u)) detj Φ (u) du. Formula del cambiamento di variabile negli integrali multipli (4.5) Osservazione La funzione Φ è quella che produce il cambiamento di variabili, da u a che, essendo in dimensione maggiore di uno, è anche detta del cambiamento di coordinate. È evidente la somiglianza fra questa formula e l analoga nel caso unidimensionale b a f()d = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt, (a = ϕ(α), b = ϕ(β)). In questo caso si pone formalmente = ϕ(t), e nell integrale di sinistra si sostituisce con ϕ(t), il differenziale d con ϕ (t)dt e gli estremi a e b rispettivamente con α e β tali che a = ϕ(α) e b = ϕ(β). Nel caso multidimensionale si procede in modo analogo. Formalmente si pone = Φ(u) e nell integrale di sinistra si sostituisce con Φ(u). A questo punto vanno sostituiti gli estremi diintegrazione, cheinquestocasoèildominio, daa talecheφ( ) = e il differenziale, da d a detj Φ (u) du. La differenza sostanziale non è tanto nella presenza del determinante della matrice Jacobiana di Φ quanto nella presenza del modulo dello stesso. È bene non scordarlo per non commettere errori.

20 20 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II Si fa comunque notare che questa formula è esattamente l estensione in due variabili di quella unidimensionale. Infatti, ricordando che nel caso unidimensionale gli intervalli sono orientati, se = [α,β] e = ϕ( ) = [ϕ(α),ϕ(β)], allora ϕ è crescente. Essendo derivabile su un intervallo, ϕ 0 da cui segue che detj ϕ (t) = ϕ (t) = ϕ (t). Quindi posto = ϕ(t) si ha che = f()d = [α,β] [ϕ(α),ϕ(β)] f()d = f(ϕ(t)) detj ϕ (t) dt = β α ϕ(β) ϕ(α) f()d = f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Se invece = [α,β] e = ϕ( ) = [ϕ(β),ϕ(α)], allora ϕ è decrescente. Essendo derivabile su un intervallo, ϕ 0 da cui segue che detj ϕ (t) = ϕ (t) = ϕ (t). Quindi posto = ϕ(t) si ha che f()d = [ϕ(β),ϕ(α)] f()d = ϕ(α) ϕ(β) f()d = ϕ(β) β = f()d = f(ϕ(t)) detj ϕ (t) dt = f(ϕ(t))ϕ (t)dt. ϕ(α) [α,β] α (4.6) Osservazione La formula del cambiamento di variabile continua a valere anche se Φ non è iniettiva, oppure se detj Φ = 0, su un sottoinsieme di misura nulla di. Infatti, come sottolineato nella Proposizione (3.3), gli insiemi di misura nulla non danno alcun contributo nell integrale. Per dimostrare questa proprietà richiamiamo inizialmente un risultato notevole dell integrale di iemann del quale omettiamo la dimostrazione. (4.7) Teorema Sia A n misurabile. Allora m(a) = 0 se e solo se int(a) =. Come conseguenza di questo teorema si ha il seguente risultato. (4.8) Proposizione Siano A n misurabile con m(a) = 0 e Φ : A n una funzione continua. Allora m(φ(a)) = 0. Dimostrazione. Per assurdo supponiamo che m(φ(a)) > 0. Per il Teorema precedente allora int(φ(a)). Quindi esiste int(φ(a)), ovvero esiste interno a Φ(A). Per definizione di punto interno, esiste r > 0 tale che B r () Φ(A), dove B r () è la palla

21 4.2 Calcolo degli integrali tripli 21 aperta di centro e raggio r. Poiché Φ 1 (Φ(A)) = A, esiste A tale che Φ() =. Essendo Φ continua e B r () aperto, si ha che Φ 1 (B r ()) è aperto. Quindi esiste ρ > 0 tale che B ρ () Φ 1 (B r ()) A. Ne segue che 0 < m(b ρ ()) m(a) : assurdo perché per ipotesi m(a) = 0. Pertanto m(φ(a)) = 0. Ora siamo in grado di dimostrare l affermazione contenuta nell Ossevazione (4.6), che corrisponde alla seguente proprietà. (4.9) Teorema Siano, n aperti misurabili, A misurabile con m(a) = 0, f : una funzione continua e limitata e Φ : una funzione suriettiva tale che: i) Φ \A : \A è iniettiva; ii) Φ è di classe C 1 su con detj Φ (u) 0 per ogni u \A. Allora f()d = f(φ(u)) detj Φ (u) du. Formula del cambiamento di variabile negli integrali multipli Dimostrazione. Per la Proposizione precedente si ha che m(φ(a)) = 0. Essendo Φ suriettiva si ha che \Φ(A) = Φ( )\Φ(A) Φ ( \A ). Sia B \A tale che Φ(B) = \Φ(A). Supponiamo che f 0 su (analogamente si procede se f 0 su ). Per la Proposizione (3.3) e il Teorema (4.4) si ha che = = f(φ(u)) detj Φ (u) du f()d \Φ(A)f()d B m(φ(a))=0 Φ(B)=\Φ(A) essendo f 0 e B \A Φ (u) du = f(φ(u)) detj Φ (u) du. \Af(Φ(u)) detj m(a)=0

22 22 S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II Inoltre sempre per la Proposizione (3.3) e il Teorema (4.4) si ha che f(φ(u)) detj Φ (u) du = f(φ(u)) detj Φ (u) du = f()d \A Φ( \A) m(a)=0 essendo f 0 e Φ( \A) f()d. Ne segue che f()d = f(φ(u)) detj Φ (u) du. In generale se f cambia segno, si ha che f = f + f, dove f + e f sono rispettivamente la parte positiva e la parte negativa di f, definite da f + () = f() se f() 0 0 se f() < 0, f () = f() se f() 0 0 se f() > 0. Osservando che f +,f 0, si ha che la tesi vale per f + e f e per l additività dell integrale vale anche per f, essendo f = f + f.