Alcuni elementi di Analisi Matematica I

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1 Alcuni elementi di Analisi Matematica I Prof. Carlo Alberini 20 novembre 206 Indice Indice Elenco delle figure Il sistema dei numeri reali 2. Proprietà fondamentali del sistema dei numeri reali Estremo superiore ed estremo inferiore Numeri naturali, interi e razionali Limiti e continuità 3 2. Funzioni continue Gli intorni Limite di una funzione Teoria degli asintoti 23 Elenco delle figure Esempio di funzione iniettiva Esempio di funzione suriettiva Esempio di funzione biiettiva

2 Il sistema dei numeri reali. Proprietà fondamentali del sistema dei numeri reali Ad un livello preliminare, il punto di partenza tipico degli elementi fondanti della Analisi Matematica è rappresentato dall insieme dei numeri reali, che indicheremo con il simbolo R e le sue proprietà fondamentali. Come già noto, in R è possibile, dati due numeri reali x e y, definire il numero reale somma x + y ed il numero reale prodotto x y. Esistono inoltre due numeri reali speciali, denotati con i simboli 0 e, che godono di particolari proprietà rispetto a somma e prodotto. Per ogni numero reale x, si denota inne con x l opposto di x e, se x 0, con il reciproco di x. Ciò x premesso, le proprietà fondamentali di somma e prodotto possono essere compendiate dicendo che per ogni x, y, z R si ha:. ( x + y ) + z = x + ( y + z ) proprietà associativa della somma; 2. x + y = y + x proprietà commutativa della somma; 3. x + 0 = x x + ( x) = 0 proprietà dell elemento neutro della somma e dell opposto di un numero reale; 4. ( x y ) z = x ( yz ) proprietà associativa del prodotto; 5. x y = yx proprietà commutativa del prodotto; 6. x = x e con x 0 = x x = proprietà dell elemento neutro del prodotto e del reciproco di un numero reale; 7. ( x + y ) z = xz + yz proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto; Dati x, y R, si stabiliscono inoltre le seguenti notazioni:. x y = x + ( y ) ; 2. x y = x y. Ricordiamo poi che, per ogni x, y R, è definita la relazione x < y. A partire da questa, sono anche definite le relazioni: 2

3 . x > y che significa y < x; 2. x y che significa x < y o x = y; 3. x y che significa x > y o x = y; 4. x < y x y e x y. Un altro gruppo di proprietà fondamentali può essere compendiato dicendo che per ogni x, y, z R si ha:. x x, 2. ( x y e y x ) = x = y 3. ( x y e y z ) = x z 4. ( x y ) o ( y x ) 5. x y = x + z y + z 6. ( x y e 0 z) = xz yz. Proposizione. Per ogni x, y,u, z R si ha: x y e u z = x + u y + z; x + z = y + z = x = y; ( xz = yz e z 0) = x = y; x 0 = ( x ) = x; x y = 0 = (x = 0 o y = 0 ) ; ( x y ) = ( x) y ( x) = x; ( x y e z 0) = yz xz; x 0 = 0; 0 x x. Dimostrazione. Omessa. 3

4 Tenuto infine conto che =, si ha ad esempio 0 <. In generale, per ogni x in R si verifica una ed una sola delle seguenti eventualità: x < 0 x = 0 Un numero reale x si dice x > 0 - positivo, se x 0; - strettamente positivo, se x > 0; - negativo, se x 0; - strettamente negativo, se x < 0. A questo punto è possibile richiamare l ultima proprietà fondamentale del sistema dei numeri reali. (Principio di Dedekind) Se X ed Y sono due sottoinsiemi non vuoti di R tali che x y per ogni x X ed y Y, allora esiste z R tale che x z y per ogni x X ed y Y. Siano a,b,c,d R con a < b < c < d. La figura seguente permette di rappresentare una possibile situazione descritta dal precedente principio. X =]a,b[ a b Y =]c,d[ c d Completiamo questa prima parte richiamando la seguente Definizione. Per ogni x R poniamo { x se x 0 x := x se x < 0 Il numero reale positivo x si chiama valore assoluto o modulo di x. Proposizione.2 Per ogni x, y R si ha x < y y x y; x = 0 x = 0; 4

5 x = x ; x + y x + y ; x y x y ; x 0 = x = x ; x y = x y. Un altra nozione fondamentale di carattere insiemistico è quella di applicazione o funzione. Se X ed Y sono due insiemi, un applicazione f da X in Y può essere concepita come una legge che ad ogni elemento di X associa uno ed un solo elemento di Y. Per ogni x X, si denota con f (x) l elemento di Y associato a x da f. Per denotare che f è un applicazione si possono usare le notazioni: f : X Y o anche { x f (x) } a seconda che si voglia porre l accento sugli insiemi X,Y o sul valore f (x). L insieme X si chiama dominio di f e si denota col simbolo dom ( f ), mentre l insieme Y si chiama codominio di f. Per ogni A X e B Y si pone: f (A) = { f (x) : x A } := { y Y : x A : f (x) = y }, f (B) := { x X : f (x) B } Se y Y, si usa anche la notazione abbreviata f ( y ) invece di f ({ y }). Definizione.2 Un applicazione f : X Y si dice iniettiva, se per ogni x, x 2 X con x x 2 si ha f (x ) f (x 2 ). Cfr. Figura Se f : X Y è un applicazione iniettiva, esiste una ed una sola applicazione da f (X ) in X che ad ogni y f (X ) associa l elemento x X tale che f (x) = y. Tale applicazione si denota col simbolo f e si chiama applicazione inversa di f. Evidentemente risulta dom ( f ) = f (X ). Definizione.3 Un applicazione f : X Y si dice suriettiva, se f (X ) = Y. Si dice biiettiva, se f è iniettiva e suriettiva. Cfr. Figura 2 e Figura 3 da Siano f : X Y e g : B Z due applicazioni. Si può allora definire una nuova applicazione dom ( g f ) := { x X : f (x) B } in Z associando ad ogni x dom ( g f ) l elemento g ( f (x) ) Z. Tale applicazione si denota col simbolo g f e si chiama composizione di f e g. Nel caso particolare in cui B Y, risulta dom ( g f ) = f (B). 5

6 X f (A) Y A C B D f (C) M f (B) f (D) N Figura : Esempio di funzione iniettiva Osserviamo che, se f : X Y è iniettiva, si ha x X : ( f f ) (x) = x, y f (X ) : ( f f )( y ) = y. Ad esempio, se f : R R è definita da: f (x) = x e g : R \ {0} R è definita da: g ( y ) = y risulta che ( g f ) (x) = x con dom ( g f ) = R \ {}. Se f : X Y è un applicazione e D X, si può definire una nuova applicazione da D in Y associando ad ogni x D l elemento f (x) Y. Tale applicazione si denota col simbolo f D e si chiama restrizione di f a D. Ovviamente risulta dom ( f D ) = D. Ad esempio, se f : R R è definita da f (x) = x 2 e D = {x R : x 0}, si ha che f non è iniettiva, mentre f D lo è. Se X,Y sono due insiemi e x X, y Y, denotiamo con ( x, y ) la coppia ordinata di componenti x ed y. La sua proprietà tipica è che ( x, y ) = ( x2, y 2 ) se e solo se x = x 2 ed y = y 2. Esiste uno ed un solo insieme che ha per elementi esattamente le coppie ordinate ( x, y ) con x X ed y Y. Esso si denota con X Y e si chiama insieme-prodotto di X ed Y. Noi saremo particolarmente interessati al prodotto R R ed ai suoi sottoinsiemi. Ad esempio, se E R e f : E R è una funzione, il sottoinsieme {( x, y ) R R : x E e y = f (x) } di R R si chiama grafico della funzione f. 6

7 X f (A) Y A f (C) B f (B) = f (D) C D Figura 2: Esempio di funzione suriettiva X f (A) Y A C B D f (C) f (B) f (D) Figura 3: Esempio di funzione biiettiva.2 Estremo superiore ed estremo inferiore Definizione.4 Sia E R. Diciamo che M E è un massimo per E, se Diciamo che m E è un minimo per E, se x E : x M. x E : x m. Se M e M 2 sono due massimi per E, si ha per definizione che M M 2 e M 2 M, da cui M = M 2. Pertanto il massimo, se esiste, è unico. Viene usualmente denotato col simbolo maxe 7

8 o max x E o min x E x. x. Analogamente anche il minimo, se esiste, è unico e viene denotato col simbolo mine Definizione.5 Sia E R. Diciamo che b R è un maggiorante per E, se Diciamo che a R è un minorante per E, se Definizione.6 Sia E R. Diciamo che E è x E : x b. x E : x a. limitato superiormente, se E ammette un maggiorante b R; limitato inferiormente, se E ammette un minorante a R; limitato, se E è limitato sia superiormente che inferiormente. Teorema. Sia E R non vuoto.valgono allora i seguenti fatti: Se E è limitato superiormente, l insieme Y dei maggioranti per E è non vuoto ed ammette minimo; Se E è limitato inferiormente, l insieme X dei minoranti per E è non vuoto ed ammette massimo; Se E è limitato, risulta max X miny. Definizione.7 Sia E R non vuoto e limitato superiormente, denotiamo con supe o sup x x E (estremo superiore di E) il minimo dei maggioranti per E. Se E R non vuoto e limitato inferiormente, denotiamo con inf E o inf x (estremo inferiore di E) il massimo dei minoranti per E. x E Proposizione.3 Se E R ammette massimo, si ha maxe = supe. Se E ammette minimo, si ha mine = infe. Dimostrazione. Sia M = maxe. Per ogni x E risulta x M, per cui M è un maggiorante per E. D altronde, se y è un maggiorante per E, deve essere M y, dal momento che M E. Pertanto M è il minimo dei maggioranti. Il ragionamento per min E è simile. 8

9 Le nozioni di estremo superiore ed estremo inferiore rivestono un ruolo fondamentale nell analisi matematica. Proprio per questo, è estremamente utile estendere il più possibile la famiglia dei sottoinsiemi E per cui sono definiti supe ed infe. Questa esigenza spinge ad un ampliamento dell insieme R che ora descriveremo. Denotiamo con R l insieme R {, + }, ottenuto aggiungendo ad R due ulteriori elementi distinti, denotati con e +. Si intende quindi che +, x e + x per ogni x R. Gli elementi di R si chiamano numeri reali estesi. Stabiliamo convenzionalmente che < x < + per ogni x R ed estendiamo a R le relazioni x > y, x y e x y nel modo ovvio. Si verifica allora facilmente che per ogni x, y, z R si ha x x, (x y e y x) = x = y, (x y e y z) = x z, Vale inoltre il (non x y) = y x. Teorema.2 (Principio di Dedekind esteso) Siano X ed Y due sottoinsiemi non vuoti di R tali che x X, y Y : x y. Allora esiste z R tale che Per ogni a,b R poniamo x X, y Y : x z y. [a,b] := {x R : a x b}, [a,b[:= {x R : a x < b}, ]a,b] := {x R : a < x b}, ]a,b[:= {x R : a < x < b}. Diciamo che E R è un intervallo se può essere posto in una di queste quattro forme con un opportuna scelta di a e b. La struttura algebrica di R può essere parzialmente estesa a R ponendo per definizione: x R \ {+ } : + x = x + ( ) =, x R \ { } : + + x = x + = +, x ]0,+ ] : x = x ( ) =, Il simbolo denota da sempre il concetto matematico-filosofico di infinito. Possiamo segnalarne l impiego anche in un mosaico della Cattedrale di Aquisgrana, le cui origini sono databili a partire dal secolo VIII d.c., raffigurante l eterna lotta tra il Bene e il Male, e nella cui parte superiore compare proprio il simbolo. 9

10 x [,0[: x = x ( ) = +, x ]0,+ ] : + x = x (+ ) = +, x [,0[: + x = x (+ ) =. A conti fatti non viene definita la somma di e + ed il prodotto fra 0 e + o. Le prorpietà associativa e commutativa di somma e prodotto e la proprietà distributiva continuano a valere in R, purché tutte le espressioni che compaiono siano definite. Inoltre si ha x + 0 = x e x = x per ogni x R. Le nozioni di massimo, minimo, maggiorante e minorante si adattano in modo ovvio all ambiente R. Vediamo ora alcuni risultati che giustificano l introduzione dell insieme R. Teorema.3 Sia E un sottoinsieme non vuoto di R. Valgono allora i seguenti fatti: l insieme Y dei maggioranti per E è non vuoto ed ammette minimo; l insieme X dei minoranti per E è non vuoto ed ammette massimo; risulta max X miny. Definizione.8 Se E è un sottoinsieme non vuoto di R, denotiamo con supe o sup (estremo x E superiore di E) il minimo dei maggioranti per E e con infe o inf (estremo inferiore di E) il massimo dei minoranti per E Proposizione.4 Se E R ammette massimo, si ha maxe = supe. Se E ammette minimo, si ha mine = infe. x E Definizione.9 Sia E un sottoinsieme di R. Diciamo che E è limitato superiormente, se E = o supe < +. Diciamo che E è limitato inferiormente, se E = o infe >. Diciamo che E è limitato, se E è limitato sia inferiormente che superiormente. Definizione.0 Siano X un insieme e f, g : X R due funzioni. Se si ha x X : f (x) g (x), scriviamo f g. In modo simile si definisce la scrittura f g. Proposizione.5 Siano x, y R tali che Allora si ha x y. z R : x > y = z x 0

11 .3 Numeri naturali, interi e razionali In questa sezione consideriamo alcuni sottoinsiemi notevoli di R. Il più importante è senz altro il sottoinsieme N dei numeri naturali 0,,2,..., le cui proprietà fondamentali sono compendiate dal seguente Teorema.4 Esiste uno ed un solo N [0,+ [ tale che: Vediamo alcune delle principali conseguenze. Teorema.5 Valgono i seguenti fatti: (a) risulta supn = + ; (b) ogni sottoinsieme non vuoto di N ammette minimo; 0 N, (.) n : n N = (n + ) N, (.2) n : n N = ]n,n + [ N =. (.3) (c) ogni sottoinsieme di N non vuoto e limitato superiormente ammette massimo; (d) se A N soddisfa risulta A = N; 0 A, n : n A = (n + ) A, (e) per ogni m,n N si ha m + n N e mn N. Osservazione. La proprietà (d) sta alla base di una particolare tecnica di dimostrazione. Data una frase aperta P (x), supponiamo di sapere che le due affermazioni seguenti sono vere: Allora si ha Infatti P (0), n N : P (n) = P (n + ). n N : P (n). A = {n N : P (n)} è un sottoinsieme di N conforme alla (d). Ne segue A = N, che corrisponde all affermazione desiderata. Questo particolare tipo di argomentazione si chiama dimostrazione per induzione.

12 Teorema.6 (proprietà di Archimede) Siano x, y R con x > 0. Allora esiste n N tale che nx > y. Dimostrazione. Poiché supn = +, esiste n N tale che n > y. Ne segue nx > y. x Se a R e n N,n, ricordiamo che la potenza a n è definita da a n = aa a }{{} n-volte Poniamo inoltre per definizione a 0 =. Per il seguito, è importante osservare che n N : a n+ = a n a Ricordiamo anche le proprietà principali delle potenze nella seguente: Proposizione.6 Per ogni a,b R e per ogni m,n N si ha a m+n = a m a n a mn = ( a m) n (ab) n = a n b n Definizione. Sia x R. Diciamo che x è un numero intero, se esistono m,n N tali che x = m n. Denotiamo con Z l insieme dei numeri interi. Proposizione.7 Valgono i seguenti fatti: N Z; perogni x, y Z si ha x + y Z, x y Z e x Z. Definizione.2 Sia x R. Diciamo che x è un numero razionale, se esistono m Z e n Z \ {0} tali che x = m. Denotiamo con Q l insieme dei numeri razionali. Diciamo che x R n è irrazionale, se x non è razionale. Proposizione.8 Valgono i seguenti fatti: Z Q; per ogni x, y Q si ha x + y Q, x y Q e x Q. Se poi x 0,risulta anche x Q. Teorema.7 Siano x, y R tali che x < y. Allora esiste q Q tale che x < q < y. Dimostrazione. Omessa. 2

13 2 Limiti e continuità 2. Funzioni continue Definizione 2. Siano E R, f : E R una funzione e x E. Diciamo che f è continua in x, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che ξ E : ξ x < δ = f (ξ) f (x) < ε. Diciamo che f è continua, se f è continua in ogni x E. Teorema 2. Sia c R e sia f : R R la funzione definita da f (x) = c. Allora f è continua. Teorema 2.2 Sia f : R R la funzione definita da f (x) = x. Allora f è continua. Teorema 2.3 Omessa. Teorema 2.4 Sia f : R \ {0} R la funzione definita da f (x) = x. Allora f è continua. Dimostrazione. Sia x R \ {0} e sia ε > 0. Posto: e se ξ R \ {0} e ξ x < δ, risulta che δ = εx2 + ε x da cui ossia x ξ x ξ x ξ = ξ x < δ ξ > x δ = x εx2 + ε x = x + ε x Ne segue f (ξ) f (x) = ξ x da cui la tesi. = x ξ ξ x ξ < + ε x x = ξ x ξ x < εx2 + ε x + ε x x x = ε 3

14 Teorema 2.5 Siano E,F R, siano f : E R e g : F R due funzioni e sia x f (F ). Supponiamo che f sia continua in x e che g sia continua in f (x). Allora g f è continua in x. Dimostrazione. Omessa. Definizione 2.2 Siano E R e f, g : E R due funzioni. Si definiscono le funzioni f + g, f g, f g : E R, ponendo f /g : {x E : g (x) 0} R, (f + g )(x) := f (x) + g (x), (f g )(x) := f (x) g (x), (f g )(x) := f (x)g (x), f g (x) := f (x) g (x). Teorema 2.6 Siano E R, f, g : E R e x E. Supponiamo che f e g siano continue in x. Allora le funzioni f + g, f g, f g sono continue in x. Dimostrazione. Omessa. Teorema 2.7 Siano E R, f, g : E R e x E. Supponiamo che f e g siano continue in x e che g (x) 0. Allora la funzione f /g è continua in x. Definizione 2.3 Una funzione f : R R si dice polinomiale, se esistono n N ed a 0 a n R tali che x R : f (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a n x n. Una funzione f si dice razionale, se esistono due funzioni polinomiali P e Q tali che f = P/Q. Teorema 2.8 Sia f : R R una funzione polinomiale. Allora f è continua. Dimostrazione. Omessa. Teorema 2.9 Sia f : R R una funzione razionale. Allora per ogni x dom(f ), la funzione f è continua. 4

15 2.2 Gli intorni Definizione 2.4 Siano U R e x R. Diciamo che U è un intorno di x, se si verifica uno dei seguenti fatti: x R ed esiste un r > 0 tale che ]x r, x + r [ U; x = ed esiste un M R tale che ], M[ U; x = + ed esiste un M R tale che ]M,+ [ U; Definizione 2.5 Siano E R e x R. Diciamo che x è aderente ad E, se per ogni intorno U di x si ha U E. Teorema 2.0 Sia E un sottoinsieme non vuoto di R. Allora infe e supe sono aderenti ad E. In particolare, e + sono aderenti a R. Poniamo E := {x R : x è aderente ad E}. Osserviamo che per il teorema precedente la notazione R non è ambigua. L insieme E si chiama chiusura di E. Evidentemente per ogni E R si ha E E. Definizione 2.6 Siano X R e x R. Diciamo che x è interno ad E, se E è un intorno di x. Poniamo int(e) := { x R : x è interno ad E }. L insieme int(e) (talvolta denotato anche col simbolo E) si chiama parte interna di E. Evidentemente per ogni E R si ha int(e) E. Definizione 2.7 Siano E R e x R. Diciamo che x è un punto di accumulazione per E, se x è aderente ad E \ {x}. Definizione 2.8 Siano E R e x X. Diciamo che x è un punto isolato per E, se esiste r > 0 tale che ]x r, x + r [ E = {x}. Definizione 2.9 Siano E F R. Diciamo che E è denso in F, se F E. Definizione 2.0 Siano X R e E X. Poniamo L insieme E si chiama frontiera di E. E := X \ (int(e) int(x \ E)). 5

16 Esempio 2. Consideriamo in R la distanza euclidea d definita da d(u, v) = v u, per ogni u, v R. Sia A il sottoinsieme di R definito da A = [0,[ {2}. Determinare parte interna, chiusura, frontiera, eventuali punti isolati. Svolgimento. Ogni punto di ]0,[ è interno ad A; infatti se x ]0,[, posto risulta che l intorno I =]x δ, x + δ[ ]0,[. δ = min{d(x,0),d(x,)}, Lo 0 non è un punto interno ad A perchè comunque si scelga δ > 0, si ha che l intorno I =] δ, +δ[ non è interamente contenuta in A (dato che gli elementi di A sono tutti numeri non negativi). 2 non è un punto interno perchè per ogni r > 0 si ha che ]2 r,2 + r [ non è interamente contenuta in A. Si vede in particolare che se r allora l intorno I =]2 r,2+r [ A = {2}. Quindi 2 è un punto isolato di A. La conclusione è quindi che la parte interna di A coincide con ]0, [. Per quanto riguarda la chiusura di A, possiamo subito affermare che A A. Abbiamo inoltre che è un punto di accumulazione per A. Infatti per ogni r > 0 l intorno di centro e raggio r, coincidente con l intervallo aperto ] r, + r [, ha intersazione non vuota in A. Precisamente si ha: se r > 0, e quindi se 0 < r <, allora A ] r, + r [=] r,[. se r 0, (se e solo se r ), allora si ha che A ] r,+r [= A, ovvero A ] r,+r [. In entrambi i casi A ] r,+r [. Infine, nessun altro punto di R è di accumulazione per A, perchè qualsiasi punto x R \ A, con x si consideri,è dato trovare δ > 0 sufficientemente piccolo tale che ] δ+x, x+δ[ A = (per ottenere ciò, basta scegliere δ < d(x, A)). La A è quindi data da [0,] {2}. Per quanto riguarda la frontiera di A, essendo costituita dall insieme dei punti di R che non sono né interni, né esterni ad A, possiamo dire che: p A r > 0, l intorno J =]p r, p + r [ A e J =]p r, p + r [ R A. Si può verificare che: A = A A Nel nostro caso si ha quindi che A = A A= {0,,2}. Abbiamo già osservato che 2 è un punto isolato di A. Esso è l unico punto isolato di A, perchè se si considerano gli altri punti di A, (ricordando che un punto isolato deve per definizione appartenere ad A) si vede che nessuno di essi soddisfa la proprietà che definisce i punti isolati: i punti dell intervallo ]0, [ sono punti interni; 0 e sono punti di accumulazione. 6

17 2.3 Limite di una funzione La nozione di intorno consente anzitutto di fornire un utile riformulazione della nozione di continuità. Proposizione 2. Siano E R, f : E R e x E. Allora f è continua in x se e solo se per ogni intorno V di f (x) esiste un intorno U di x tale che f (U E) V. Dimostrazione. Omessa. La nozione di continuità è in effetti un caso particolare di una nozione più generale, che ora introduciamo nell ambiente R. La nozione di intorno ci consente di fornire una presentazione unitaria. Definizione 2. Siano E R, f : E R una funzione, x E e l R. Diciamo che l è limite di f in x, se per ogni intorno V di l esiste un intorno U di x tale che f (U E) V. Proposizione 2.2 (Unicità del limite) Siano E R, f : E R, x E e l,l R. Supponiamo che l e l siano entrambi limiti di f in x. Allora l = l. Se f ammette limite l in x, poniamo lim f (ξ) := l ξ x e diciamo che f (ξ) tende a l per ξ tendente a x (in simboli, f (ξ) l per ξ x). Se l R, diciamo che f è convergente in x. Se l = +, diciamo che f è positivamente divergente in x. Se l =, diciamo che f è negativamente divergente in x. Come avevamo anticipato, la nozione di limite contiene come caso particolare quella di continuità. Proposizione 2.3 Siano E R, f : E R e x E. Allora f è continua in x se e solo se Dimostrazione. Omessa. lim f (ξ) = f (x). ξ x Anche se la nozione di intorno consente una formulazione unitaria della nozione di limite, è estremamente utile possedere delle caratterizzazioni più dirette. 7

18 Proposizione 2.4 Siano E R, f : E R, x E e l R. Allora l affermazione può essere così caratterizzata: (a) caso x R e l R : per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che lim f (ξ) = l ξ x ξ E : ξ x < δ = f (ξ) f (l) < ε; (b) caso x R e l = : per ogni M R esiste δ > 0 tale che ξ E : ξ x < δ = f (ξ) < M; (c) caso x R e l = + : per ogni M R esiste δ > 0 tale che ξ E : ξ x < δ = f (ξ) > M; (d) caso x = e l R : per ogni ε > 0 esiste N R tale che ξ E : ξ < N = f (ξ) l < ε; (e) caso x = e l = : per ogni M R esiste N R tale che ξ E : ξ < N = f (ξ) < M; (f ) caso x = e l = + : per ogni M R esiste N R tale che ξ E : ξ < N = f (ξ) > M; (g ) caso x = + e l R : per ogni ε > 0 esiste N R tale che ξ E : ξ > N = f (ξ) l < ε; (h) caso x = + e l = : per ogni M R esiste N R tale che ξ E : ξ > N = f (ξ) < M; 8

19 (i) caso x = + e l = + : per ogni M R esiste N R tale che ξ E : ξ > N = f (ξ) > M. Proposizione 2.5 Siano E R, f : E R, x E e l R. Allora sono fatti equivalenti: lim f (x) = l ξ x lim f (x) l = 0. ξ x Dimostrazione. Omessa. Vediamo ora qualche esempio notevole di limite. Teorema 2. Risulta lim ξ = +, lim ξ lim ξ ξ = 0, lim lim ξ 0 ξ = +. ξ = +. ξ + ξ + ξ = 0 Vediamo ora qualche risultato generale riguardante la nozione di limite. Teorema 2.2 Siano E,F R, siano f : E R e g : F R due funzioni e siano x E F e l,l R. Supponiamo che Valgono allora i seguenti fatti: lim f (ξ) = ξ x l, lim g (ξ) = l. ξ x (a) se la somma l + l è definita, si ha che x è aderente a dom(f + g ) e lim (f + g )(ξ) = ξ x l + l ; (b) se il prodotto l l è definito, si ha che x è aderente a dom(f g ) e lim (f g )(ξ) = ξ x l l. 9

20 Teorema 2.3 Siano E R, f : E R, x E e l R. Supponiamo che Allora valgono i seguenti fatti: lim f (ξ) = l. ξ x (a) se l R \ 0, si ha che x è aderete a dom(/f ) e lim ξ x f (ξ) = l ; (b) se l = e l = +, si ha che x è aderete a dom(/f ) e lim ξ x f (ξ) = 0; (c) se l = 0 e se x è aderete a dom(/f ), si ha lim ξ x f (ξ) = +. Dimostrazione. Omessa. Osservazione 2. La funzion f g può essere interpretata come f +λg, dove λ è la funzione costantemente uguale a. Di conseguenza il limite di una differenza è riconducibile al limite di prodotto e somma. Similmente la funzione f /g può essere interpretata come (/g )f. Pertanto il limite di un quoziente è riconducibile al limite di reciproco e prodotto. Teorema 2.4 (del confronto) Siano E R, φ, f,ψ : E R, tre funzioni, x E e l R. Supponiamo che φ f ψ, Allora si ha lim φ(ξ) = lim ψ(ξ) = l. ξ x ξ x lim f (ξ) = l. ξ x Dimostrazione. Omessa. 20

21 Definizione 2.2 Siano E R e f : E R una funzione. Diciamo che f è: crescente, se x, x 2 E : x < x 2 = f (x ) f (x 2 ); strettamente crescente, se x, x 2 E : x < x 2 = f (x ) < f (x 2 ); decrescente, se x, x 2 E : x < x 2 = f (x ) f (x 2 ); strettamente decrescente, se monotòna, se f è crescente o decrescente; x, x 2 E : x < x 2 = f (x ) > f (x 2 ); strettamente monotòna, se f è strettamente crescente o strettamente decrescente. Definizione 2.3 Siano E un insieme, f : E R una funzione e x E. Diciamo che x è un punto di massimo (assoluto) per f, se un punto di minimo (assoluto) per f, se ξ E : f (ξ) f (x); ξ E : f (ξ) f (x). Teorema 2.5 (di Weierstrass) Siano a,b R con a b e sia f : [a,b] R una funzione continua. Allora f ammette un punto di massimo ed un punto di minimo. Teorema 2.6 Vale il seguente limite notevole: Dimostrazione. sin x lim = (2.) x 0 x Il teorema si basa sulla stima delle aree per x 0 del triangolo OBC, del settore circolare ODC e del triangolo ODE e sottolinea il fatto che in un intorno di 0 la funzione y = sin x e y = x sono confrontabili. Si ha: 2

22 y x = y = mx.0 c C E 0.5 sinα tanα α B D x area del triangolo OBC = 2 OB BC = cosα sinα; 2 2. area del settore circolare ODC = 2 OD x = 2 x; 3. area del triangolo ODE = 2 OD DE = 2 tanα. Dal confronto di aree si ha: ovvero: 2 cosαsinα < 2 x < tanα (2.2) 2 cosα < x sin x < cosα (2.3) cosα > sin x > cosα (2.4) x A questo punto per il teorema del confronto si ha: essendo lim x 0 cosα = lim cosα =. x 0 sin x lim = (2.5) x 0 x 22

23 3 Teoria degli asintoti In questa sezione vedremo come sia possibile trovare un approssimazione della funzione oggetto di studio attraverso il concetto di asintoto. Ciò premesso diamo la seguente Caratterizzazione 3. Data nel piano la curva generica γ, diciamo che tale curva ammette la retta r come asintoto se la distanza di un generico punto P γ tende a zero quando P si allontana indefinitamente su γ. Osservazione 3. Il precedente enunciato è stato catalogato come caratterizzazione e non come definizione a causa del fatto che in esso non compaiono le necesarie caratteristiche tipiche della definizione matematica. L avverbio di modo indefinitamente, infatti, non appartiene alla logica di definizione matematica. Osservazione 3.2 Il concetto di asintoto può essere esteso a qualsiasi curva cartesiana, anche dello spazio. Tratteremo, però, in questa sede solo il caso di rette asintotiche. Distinguiamo, in Analisi Matematica, tre tipi di rette asintotiche:. Asintoti verticali, caratterizzati da lim f (x) = ±. x c Nel nostro caso, tali asintoti saranno sempre determinati in corrispondenza di punti reali esclusi dal campo di esistenza di una funzione. L asintoto in questione avrà allora equazione x = c. 2. Asintoti orizzontali, caratterizzati da lim f (x) = l. x ± L asintoto in questione avrà allora equazione y = l. 3. Asintoti obliqui, di equazione generica y = mx + q, dove con m si indica il coefficiente angolare della retta candidata ad asintoto per la funzione, e con q si indica l intercetta sull asse y della medesima. L asintoto in questione è quindi caratterizzato da lim f (x) (mx + q) = 0. x ± I passaggi algebrici, di facile dimostrazione, necessari alla definizione di questo tipo di asintoto sono essenzialmente tre: (a) lim f (x) = ± ; x ± f (x) (b) m = lim x ± x ; 23

24 (c) q = lim (f (x) mx), dove m è proprio il coefficiente m calcolato al punto precedente. x ± Osservazione 3.3 Affiché si possa determinare compiutamente l equazione di un asintoto obliquo, è necessario che i limiti dei punti (b) e (c) precedenti siano finiti. Se anche uno solo di essi risultasse non finito (caso ± ), allora per la funzione in esame non vi sarebbero asintoti obliqui di nessun genere. 24