Parte II Le funzioni di una variabile

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1 Parte II Le unzioni di una variabile Clelia Cascella Il concetto di unzione reale di una variabile reale Il graico di una unzione Richiami al piano cartesiano e al prodotto cartesiano per l individuazione delle coordinate di un punto Tecniche per disegnare il graico di una unzione Esercizi Anticipazioni sulla prossima lezione. 1 0 / 1 1 / 0 1 4

2 PARTE II Le unzioni di una variabile Il concetto di unzione reale di una variabile reale. Una unzione (tra due variabili) è una regola di associazione che a corrispondere a una variabile una ed una sola altra variabile. Con notazioni insiemistica, diremo quindi che, dati un insieme X ed un insieme Y, una certa unzione associa ad un elemento x di X uno ed uno solo elemento y di Y: Una unzione da X in Y si scrive quindi x, x' X e y, y' Y : X Y Figura 1 - Rappresentazione graica di una unzione di A in B con i diagrammi di Eulero-Venn. Una unzione reale di una variabile reale è quindi tale quando X e Y e quindi : Tanto per provare a chiarirci un pò le idee, vediamo esempi di unzione reale di variabile reale.

3 - Funzione identità (cioè una unzione che associa un elemento di un certo insieme a se stesso). Formalmente questa unzione si presenta nel seguente modo: x : x Quindi, banalmente, avremo ad esempio: Prendiamo ora ad esempio la unzione x 1x 4 il cui valore cambia, chiaramente, in unzione del valore attribuito all incognita x. Per cui, con x = 1, x = e x = 3, avremo, ad esempio: 1 1(1) 4 5 1() (3) Del pari, se ad esempio avessimo la unzione x , x, avremo per x = 1, x = e x = 3 x 1 Il graico di una unzione Il graico di una unzione reale di una variabile reale, che abbiamo detto ormalizzabile nel seguente modo o, equivalentemente : : x y è il luogo geometrico dei punti del piano per cui, ad ogni ascissa x appartenente all'insieme di deinizione della unzione, detto anche dominio della unzione si associa l'ordinata y=(x). L'unione di tutti i punti (x,y) del piano individuati dalla regola y=(x) costituisce il graico della unzione. Ciascun punto di coordinate (x,y) è, come abbiamo visto nella precedente lezione, il risultato di un prodotto cartesiano. Come abbiamo detto in quell occasione, il prodotto cartesiano si onda sul concetto di corrispondenza biunivoca tra due insiemi X e Y, cioè sulla relazione binaria tale per cui a ogni elemento x dell insieme X corrisponde uno ed un solo elemento y dell insieme Y (ig. 3), e viceversa. 3

4 Figura - La corrispondenza biunivoca. X per Y X Y Quindi, se consideriamo due insiemi (ovviamente, non vuoti) X e Y, deiniamo prodotto cartesiano, l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (x,y) con x X e y Y. Questa operazione viene ormalizzata adoperando la seguente notazione: X Y x, y x X e y Y che si legge X per Y o, equivalentemente, X cartesiano Y ed in cui il primo elemento della coppia (x,y) è detto prima coordinata mentre il secondo è detto seconda coordinata. Stabilire quale sia la prima e la seconda coordinata è un elemento di primaria importanza perché x, y y, x L ordine in cui si presentano le coordinate non è inatti privo di signiicato, anzi esso indica la direzione della relazione. Quindi, le coppie (x,y) e (y,x) non sono la stessa coppia anche se tali elementi sono parti degli stessi insiemi X ed Y. Facciamo un esempio pratico. Se io ossi il manager di una certa azienda e desiderassi comprendere in che misura il volume delle vendite (y) è inluenzato dall ammontare di risorse investite in pubblicità (x), sto partendo dall ipotesi che esista una relazione (cioè una unzione) tra la variabile y che deinisco dipendente perché ipotizzo sia inluenzata da x, e quindi che : x y Con questo esempio è orse più immediato comprendere che la notazione precedente, evidentemente, non è equivalente a : y x in cui la direzione della relazione è invertita e che, quindi, ipotizza sia il volume delle vendite ad inluenzare l investimento pubblicitario. 4

5 Graicamente, ogni prodotto cartesiano individua quindi un punto sul piano cartesiano, appunto, come mostrato in igura 4. Figura 3 - Piano cartesiano. Consideriamo un piano euclideo e issiamo in esso un punto O, detto origine, in cui due assi, quello delle ascisse (x) e quello delle ordinate (y), si intersecano perpendicolarmente. Ognuna delle parti in cui resta diviso il piano si chiama quadrante. Nel primo quadrante, entrambe le coordinate sono positive; nel secondo, la prima coordinata (x) è negativa e la seconda (y) è positiva; nel terzo, sono entrambe negative; e, nel quarto, la prima (x) è positiva e la seconda (y) è negativa. Se le unità di misura issate su entrambi gli assi sono uguali (centimetri, etti, litri, e così via...) si dirà che il rierimento è monometrico. Si dice che si è issato un rierimento cartesiano ortogonale. Se le unità di misura issate su r e s sono uguali si dirà che il rierimento è monometrico. Ad ogni punto P individuato sul piano cartesiano corrisponde una ed una sola coppia (x,y) che, quindi, univocamente, individua uno ed un solo punto (che è quindi il risultato di un prodotto cartesiano). Come si disegna il graico di una unzione. Per disegnare il graico di una unzione esistono diversi metodi. Il più semplice consiste, data una certa unzione, nel sostituire alla variabile dipendente due o più valori e calcolare, poi, il valore della variabile indipendente. 5

6 volume delle vendite (y) Facciamo un esempio pratico. Si disegni il graico della seguente unzione y6x. Costruiamo una semplice tabella per calcolare più acilmente il prodotto cartesiano e, quindi, per individuare le coordinate sul piano cartesiano (tab. 1). Tabella 1 - Prodotto cartesiano. x y x y 1 8 (1, 8) 14 (, 14) 3 0 (3, 0) 4 6 (4, 6) Figura 4 - Graico della unzione investimento in pubblicità (x) Un modo alternativo per disegnare il graico di una unzione è quello di mettere a sistema l equazione della curva con una altra equazione in cui poniamo pari a zero una delle due coordiante. Prendiamo ad esempio la unzione yx 1. Fissando y = 0 e mettendo a sistema, si arriva alla seguente procedura y x 1 0 x 1 x 1 y 0 y 0 y 0 Otteniamo, quindi, un punto P di coordinate (0,5, 0). Parimenti, si può procedere issando x = 0. y x 1 y 0 1 y x0 x 0 x0 In questo caso, otteniamo un punto P di coordinate (0, -1). È più che agevole veriicare che i due metodi sono perettamente sostituibili (tab. ). 6

7 y Tabella - Prodotto cartesiano. x y x y 0,5 0 (0,5, 0) 0-1 (0, -1) Rivediamo, di seguito, i calcoli che abbiamo dovuto are per arrivare ai risultati mostrati in tabella. y x1 y 0,5 1 y 11 0 Equivalentemente, avremo, per x = 0, il seguente svolgimento: y x1 y 0 1 y 01 y 1 Figura 5 - Graico della unzione. 0-0, 0 0, 0,4 0,6-0,4-0,6-0,8 Serie1 Lineare (Serie1) -1-1, x Esercizi. 1. Si disegni il graico della unzione y3x.. Si disegni il graico della unzione x y. x 7

8 Gli argomenti della prossima lezione. - Deinizione di immagine, preimmagine, dominio e codominio - Le proprietà delle unzioni reali di una variabile reale - Funzioni elementari e loro proprietà - Le unzioni lineari e le unzioni quadratiche - Le unzioni logaritmiche e le unzioni esponenziali 8