Funzioni. Mauro Saita 22 ottobre 2011.

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1 Funzioni Mauro Saita 22 ottobre Indice 1 Funzioni Esercizi Composizione di unzioni Proprietà della composizione di unzioni Funzioni invertibili Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche Esercizi Funzioni Deinizione 1.1. Una unzione da in consiste di: 1. un insieme detto dominio della unzione; 2. un insieme detto codominio della unzione; 3. una regola o azione che assegna ad ogni elemento a del dominio un unico elemento b del codominio. L elemento b si chiama immagine di a tramite e si indica con il simbolo (a) (si legge: di a ). Si scrive oppure : per denotare una unzione il cui dominio è e il cui codominio è. Esercizio 1.2. Si consideri la unzione così deinita: 1. = {1, 2, 3, 4} 2. = {Tutte le lettere dell alabeto} 3. = la regola che associa al numero 1 la lettera r, alnumero3 la lettera t eainumeri2 e 4 la lettera e. 1 r 3 t a c b 2 e Nome ile: unzioni-1e-2011.tex 1

2 Quello della igura è un disegno della situazione, che chiamiamo diagramma interno della unzione. Per indicare che la regola associa al numero 1 la lettera r scriviamo (1) = r. Cosa dobbiamo scrivere negli altri casi? La unzione rappresenta una parola di quattro lettere, quale? Una qualunque parola (anche priva di signiicato) di lunghezza n è una unzione (speciicare dominio e codominio) Esercizio 1.3. Sia la unzione deinita nel seguente modo: 1. = {Esseri viventi} 2. = {Tutte le specie } 3. = la regola che associa ad ogni essere vivente la sua specie. Disegnare un possibile diagramma interno della unzione Esercizio 1.4. Si consideri la unzione N P deinita nel seguente modo: 1. N = {Numeri naturali} 1. P = {Quadrati peretti} 2. = la regola che associa ad ogni numero naturale il suo quadrato. N : P : L espressione analitica che esprime la regola di questa unzione è (x)= Dominio N e codominio P : quale dei due insiemi contiene il maggior numero di elementi? Perché? 2

3 Esercizio 1.5. Construire una unzione, dove è la regola che ad ogni persona associa il suo padre naturale. Ci sono alcuni aspetti generali che sono comuni a tutti i diagrammi interni di una unzione: 1. per ogni punto del dominio c è esattamente una reccia che parte da quel punto; 2. dato un punto del codominio è ammesso un numero qualunque di recce che arriva in quel punto: zero, una o più di una. La cosa ondamentale è dunque questa: da ogni punto del dominio deve partire esattamente una reccia che lo collega a un elemento del codominio. Si osservi che nella precedente discussione non è escluso che dominio e codominio siano lo stesso insieme: una unzione per la quale il dominio sia uguale al codominio, si chiama endounzione. Esempio. Si consideri l endounzione g dove = {1, 2, 3} e la regola g ècosì deinita: l elemento 1 è associato all elemento 2, l elemento 2 è associato all elemento 3 e inine, l elemento 3 è associato all elemento 2. Tale unzione può essere rappresentata graicamente mediante il seguente diagramma interno: Funzione identità Per ogni insieme, esiste una particolare endounzione, detta unzione identità di che denotiamo con la scrittura: 1 La unzione identità di è deinita nel modo seguente: il dominio e il codominio di 1 sono l insieme stesso, e (x) =x per ogni elemento x in. Se, ad esempio, = {a, b, c} allora la unzione identità di si può rappresentare così: 3

4 Esercizi Esercizio 1.6. In che modo la lista del menù di un ristorante può essere interpretata mediante il concetto di unzione? Spiegare. Esercizio 1.7. In un ilm la corrispondenza tra personaggi - attori può essere interpretata come una unzione? Pensare a un ilm speciico e discutere la situazione. Esercizio 1.8. La regola che associa a un libro il suo autore può essere utilizzata per costruire una unzione? Spiegare. Esercizio 1.9. Un pronostico al gioco del Totocalcio è una unzione. Speciicare dominio, codominio e regola. Esercizio Dati gli insiemi = {a, b, c} e = {x, y}, Rispondere alle seguenti domande motivando le risposte: 1. Quante sono le unzioni da a? 2. Quante sono le unzioni da a? 3. Quante sono le endounzioni di? 4. Quante sono le endounzioni di? Esercizio Considerare la unzione IR IR cosí deinita: x IR (x) =3(x 1). Calcolare (0), (1) e (2). (0) = (1) = (2) = Esercizio Si consideri la unzione IR IR cosí deinita: x IR (x) = 1 9 x2 4 Calcolare ( 3), (+2) e ( 3 ). 7 Deinizione 1.13 (Controimmagine). Si consideri la unzione eunelementob del codominio. Si chiama controimmagine di b mediante (e si scrive 1 (b) ) il sottoinsieme di così deinito 1 (b) ={a (a) =b} 4

5 L insieme 1 (b) si chiama anche ibra di sull elemento b. Esso può essereormatodaunoopiù elementi oppure coincidere con l insieme vuoto. Esercizio Si consideri la unzione N \{0} N, (n) = 1 n. Determinare, se esiste, 1 (0) e 1 (3) (cioè determinare, se esiste, la controimmagini di 0 equelladi3). Esercizio Considerare le due seguenti unzioni N N x N (x) =2(x +1) N g N x N g(x) =(2x +2) E giusto, in questo caso, aermare che e g sono uguali? In generale, date due unzioni e g quali condizioni devono veriicarsi perchè si possa scrivere: =g? 1.2 Composizione di unzioni Se e g sono due unzioni per le quali il codominio di coincide con il dominio di g, ossia allora si può costruire una nuova unzione g g C g C deinendo (g )(x) =g((x)) per ogni x in. (Talvolta si denota più semplicemente la unzione composta g con g). Possiamo visualizzare la situazione con il seguente diagramma commutativo: g g C Si noti che la unzione composta g non è sempre deinita: è deinita soltanto quando il codominio di coincide con il dominio di g. 5

6 Esercizio Siano = {Tuttigliuomini} e = {Tutteledonne}. Considerare la unzione madre : cheassegnaadogniuomosuamadreelaunzione padre : che assegna ad ogni donna suo padre. La situazione puó essere schematizzata così {T utti gli uomini} madre {T utte le donne} {T utti gli uomini} padre {T utte le donne} nalizzare le unzioni composte madre padre e padre madre e dire che cosa rappresentano. Esercizio Siano: X = {Mauro, Monica, Silvana}; Y = {Emiliano, runo, nnalisa}; Z = {latte, caè, yogurt, the}; X g Y la unzione amare così deinita: Mauro ama nnalisa, Monica ama runo, Silvana ama runo; Y Z la unzione colazione preerita così deinita: Emiliano preerisce il latte, runo preerisce il caè, nnalisa preerisce il caè. Rappresentare mediante diagrammi interni: 1. la unzione X g Y elaunzioney 2. la unzione X g Z. Z; Rispondere alla seguente domanda: cosa dovrebbe servire per colazione Mauro alla persona che ama? Esercizio Si considerino le unzioni 1) N N (n) =n 2 2) N g N g(n) =3n +1 Trovare g e g (scrivere un espressione analitica per entrambe le unzioni). Deinizione 1.19 (Punti issi di una unzione). Si consideri la endounzione, y = (x). I punti issi di sono gli elementi x per i quali risulta (x) =x. 6

7 Esercizio Trovare, se esistono, i punti issi delle unzioni 1) N N (n) =n +3 2) N g N g(n) =2n 1.3 Proprietà della composizione di unzioni Per la composizione di unzioni valgono le seguenti proprietà : LEGGI D IDENTIT Se, allora Questo signiica che i diagrammi qui sotto riportati commutano 1 = e 1 = (1.1) 1 1 LEGGE SSOCITIV Se allora g C h D (h g) = h (g ) (1.2) Dunque per la legge dell associatività, il diagramma seguente commuta: 7

8 g g h g C h D La legge associativa permette di tralasciare la parentesi e scrivere semplicemente h g (oppure hg). 1.4 Funzioni invertibili Deinizione Una unzione risulti: si dice invertibile se esiste una unzione g per cui g =1 e g =1 Una tale unzione g (se esiste) si chiama unzione inversa di. Osservazione Se ha inversa, allora l inversa (che è unica) si denota con il simbolo Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche Consideriamo i seguenti esempi: Esempio. Si considerino gli insiemi = {utomobili}, = {Targhe} e la unzione, dove è la regola che permette di associare ad ogni auto la sua targa. È importante che non vi siano due (o più ) automobili con lo stesso numero di targa in quanto, il numero di targa deve costituire il codice identiicativo di ogni automobile. Esempio. Si considerino gli insiemi = {Teleoni}, = {Numeri} e la unzione, dove è la regola che permette di associare ad ogni teleono un numero teleonico. E importante che non vi siano due (o più) teleoni con lo stesso numero teleonico altrimenti componendo quel numero non saremmo certi di parlare con la persona desiderata. Le due unzioni che abbiamo appena esaminato possiedono questa proprietà: a elementi distinti del dominio sono associati elementi distinti del codominio 1. Deinizione Una unzione si dice iniettiva se associa ad elementi distinti del dominio elementi distinti del codominio, cioè se soddisa la seguente condizione: x 1,x 2, se (x 1 )=(x 2 ), allora x 1 = x 2. Esercizio Consideriamo la unzione : N N caratterizzata dalla seguente regola: (n) = 2n +3. Dimostrare che tale unzione è iniettiva. 1 In altre parole, rierendoci ai diagrammi esterni due recce non conluiscono mai in uno stesso elemento. 8

9 Soluzione. bbiamo appena osservato che una unzione per essere iniettiva non deve avere due recce che conluiscono in uno stesso elemento. Nel nostro caso, se ciò si veriicasse, signiicherebbe che 2n 1 +3=2n 2 +3ecioè n 1 = n 2. Questo signiica che, issato un elemento del codominio vi è un unico elemento di N da cui esso proviene. Pertanto la unzione dell esempio è certamente iniettiva. Esercizio Disegnare due diagrammi interni di unzioni iniettive e due di unzioni che non lo sono. Esercizio Dati gli insiemi = {0, 1} e = {a, b, c} determinare tutte le possibili unzioni iniettive da in e disegnare i relativi diagrammi interni. Quante sono? Vediamo ora qualche altro esempio Esempio. Consideriamo la unzione Z N deinita dalla regola che permette di associare ad ogni x Z il suo quadrato e cioè x x 2 In questo caso ogni elemento del codominio è raggiunto da almeno una reccia (più precisamente, ogni numero naturale n 0 ha esattamente due controimmagini mentre n = 0 ne ha una sola). Esempio. Si considerino gli insiemi = {Persone}, = {Comuni} e la unzione dove è la regola che permette di associare ad ogni persona il proprio comune di residenza. Notate che ogni elemento di è il corrispondente di molti elementi di, (cioè, ogni elemento di è raggiunto da molte recce). Questa èlaproprietà che caratterizza le unzioni suriettive. Deinizione Una unzione si dice suriettiva se ogni elemento di è il corrispondente di almeno un elemento di cioè se b a percuirisulta : (a) =b. Esempio. Consideriamo la unzione deinita nel seguente modo: = {P anini} = {Studenti III } e è la regola che associa ad ogni panino uno studente della classe, in base all appetito di ognuno. Dire che la unzione è suriettiva è come dire che nessun ragazzo rimane senza panino (ma può anche accadere che uno studente ne riceva più di uno). Dire che la unzione è iniettiva è come dire che nessun ragazzo riceve più diunpanino(mapuò anche accadere che qualcuno rimanga senza). Si dice immagine di secondo e si indica con Im () (oppure con ()) l insieme di tutti gli elementi b che sono raggiunti da una reccia. In termini precisi In generale si ha che: Im () Im () ={b a per cui: (a) =b} 9

10 Esercizio Dimostrare che èsuriettivaseesoloim () = ) Un altra categoria di unzioni molto importanti in matematica è quella delle unzioni biunivoche cioè di quelle unzioni che sono sia iniettive che suriettive. Diamo allora l ultima deinizione di questo paragrao. Deinizione Una unzione suriettiva. si dice biunivoca se è, allo stesso tempo, iniettiva e 1.6 Esercizi Esercizio Sia X un insieme con n elementi (n >0) esia1 un insieme con un solo elemento. Quante sono le unzioni X 1? Quante sono le unzioni 1 X? Esercizio Gli insiemi e siano rispettivamente il dominio e il codominio di una unzione :. Disegnare, quando è possibile, i diagrammi interni di una unzione biunivoca nei seguenti tre casi: a] = {x 1,x 2 } = {y 1,y 2,y 3 }; b] = {x 1,x 2,x 3 } = {y 1,y 2, }; c] = {x 1,x 2,x 3 } = {y 1,y 2,y 3 }; 10