FUNZIONI. Mauro Saita Ottobre 2013.

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1 FUNZIONI Mauro Saita Ottobre Indice 1 Funzioni Deinizione 1.1 (Funzione). Una unzione da in B consiste di: 1. un insieme detto dominio della unzione; 2. un insieme B detto codominio della unzione; 3. una reola o azione che assena ad oni elemento a del dominio un unico elemento b del codominio. L elemento b si chiama immaine di a tramite e si indica con il simbolo (a) (si lee: di a ). Si scrive B (oppure : B) per denotare una unzione il cui dominio è e il cui codominio è B. Deinizione 1.2 (Immaine di una unzione). Si chiama immaine Im della unzione B il sottoinsieme del codominio Im = {y B x (x) =y} Deinizione 1.3 (Controimmaine). Si consideri la unzione B eunelementob del codominio. Si chiama controimmaine di b mediante (e si scrive 1 (b) ) il sottoinsieme di così deinito 1 (b) ={a (a) =b} L insieme 1 (b) si chiama anche ibra di sull elemento b. Esso può essere ormato da uno opiùelementi oppure coincidere con l insieme vuoto. Una unzione per la quale il dominio sia uuale al codominio, si chiama endounzione. Funzione identità. 0 Nome ile: unzioni-2013.tex 1

2 Per oni insieme, esiste una particolare endounzione, detta unzione identità di che si denota con la scrittura: 1 La unzione identità di è deinita nel modo seuente: il dominio e il codominio di 1 sono l insieme stesso e 1 (x) =x per oni elemento x in. 1.1 Composizione di unzioni Se e sono due unzioni per le quali il codominio di coincide con il dominio di, ossia allora si può costruire una nuova unzione deinendo B C C ( )(x) =((x)) per oni x in. Si può visualizzare la situazione con il seuente diaramma commutativo: B C Si noti che la unzione composta non è sempre deinita: è deinita soltanto quando il codominio di coincide con il dominio di. 1.2 Proprietà della composizione di unzioni Valono inoltre le lei seuenti: LEGGI D IDENTIT. Se Dunque commutano i diarammi: B, allora 1 = e 1 B = (1.1) 2

3 1 B B B 1 B LEGGE SSOCITIV. Se allora B C h D (h ) = h ( ) (1.2) Dunque per la lee dell associatività, il diaramma seuente commuta: B h C h D La lee associativa permette di tralasciare la parentesi e scrivere semplicemente h. 1.3 Funzioni invertibili o isomorismi Deinizione 1.4 (Funzione invertibile). Una unzione B si dice invertibile (o un isomorismo dall insieme all insieme B) se esiste una unzione B per cui risulti: =1 e =1 B Una tale unzione (se esiste) si chiama unzione inversa di. Se B è invertibile la sua inversa è unica. Vale inatti il seuente Proposizione 1.5. Sia B una unzione invertibile. Se B entrambe inverse di allora =., B sono Dimostrazione. 3

4 = 1 B (deinizione di unzione identitá) = ( ) ( è l inversa di ) = ( ) (proprietá associativa della composizione di unzioni) = 1 ( è l inversa di ) = (deinizione di unzione identitá). Se B ha inversa, allora l inversa (che è unica) si denota con il simbolo 1. Deinizione 1.6. Si dice che due insiemi e B hanno la stessa cardinalità isomori) se esiste una unzione invertibile (un isomorismo) B. (o che sono Teorema 1.7. Siano X e Y e Y Z unzioni invertibili. llora X Z è invertibile ( ) 1 = 1 1. Dimostrazione. Per deinizione di inversa, per dimostrare che ( ) 1 = 1 1 si deve provare che e Ora ( )( 1 1 )=1 Z ( 1 1 )( ) =1 X. ( ) ( 1 1 ) = ( 1 ) 1 = 1 = 1 Z. naloamente si prova ( 1 1 ) ( ) =1 X. 1.4 Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche Deinizione 1.8 (Funzione iniettiva). Una unzione B si dice iniettiva se soddisa la seuente proprietà diunicità : oni elemento b B ha al più una controimmaine in. In altri termini, è iniettiva se vale una delle due seuenti proprietà tra loro equivalenti Quindi, una unzione distinti del codominio. (i) a 1,a 2 (a 1 )=(a 2 ) = a 1 = a 2 (ii) a 1,a 2 a 1 a 2 = (a 1 ) (a 2 ) B iniettiva associa a elementi distinti del dominio elementi 4

5 Deinizione 1.9 (Funzione suriettiva). Una unzione B si dice suriettiva se soddisa la seuente proprietà diesistenza: oni elemento di b B possiede almeno una controimmaine in, cioè In altre parole è se suriettiva se b B a (a) =b. Im () =B Deinizione 1.10 (Funzione biunivoca). Una unzione B si dice biunivoca (o biettiva) se è iniettiva e suriettiva. Proposizione Sia B una unzione da un insieme auninsiemeb. llora le due condizioni seuenti sono equivalenti: (i) è iniettiva; (ii)) ha un inversa sinistra, cioè esiste una unzione B unica) per la quale =1. Dimostrazione. (i) (ii) Si deve trovare una B nel modo seuente: (non necessariamente in modo tale che =1. Per oni b B, sideinisce(b) se b Im(), esiste, per ipotesi, esattamente un a per il quale (a) =b; si pone allora per deinizione (b) =a; se invece b/ Im(), si deinisce (b) in modo del tutto arbitrario: per esempio, si scelie un elemento a 0 ( ) e per oni b B, b/ Im(), si pone (b) =a 0. llora è acile vedere che =1. Naturalmente di inversa sinistra ne può esistere più d una. (ii) (i) Per oni a 1,a 2 Dunque è iniettiva. (a 1 )=(a 2 )= ((a 1 )) = ((a 2 )) = a 1 = a 2. Proposizione Sia B una unzione da un insieme auninsiemeb. llora le due condizioni seuenti sono equivalenti: (i) è suriettiva; (ii)) ha un inversa destra, cioè esiste una unzione B (non necessariamente unica) per la quale =1 B. 5

6 Dimostrazione. (i) (ii) Si deve trovare una B in modo tale che =1 B. Per oni b B, sideinisce(b) nel modo seuente: b Im(), perchè è suriettiva per ipotesi. Quindi esiste, almeno un a per il quale (a) =b; siponealloraperdeinizione(b) =a (per oni b in B la scelta dell elemento a può essere atta in almeno un modo). llora è acile vedere che =1 B. Naturalmente di inversa destra ne può esisterepiù d una. (ii) (i) =1 B per ipotesi. llora per oni b B ( )(b) =((b)) = b; esiste dunque un elemento a = (b) per il quale (a) =b; diconseuenza è suriettiva. Proposizione Siano, B insiemi. Una unzione B èbiunivocaseesoloseè invertibile Prima dimostrazione. B biunivoca B iniettiva e suriettiva B ha un inversa sinistra e un inversa destra Siano B 1 e B 2 rispettivamente un inversa sinistra e un inversa destra di llora 1 e 2 coincidono, inatti 1 =1 e 2 =1 B 1 = 1 ( 2 ) = ( 1 ) 2 proprietà associativa = 1 2 deinizione di inversa sinistra = 2 lee d identità Quindi esiste una unzione (= 1 = 2 )cheè contemporaneamente inversa sinistra e inversa destra di. Pertanto B è invertibile. Seconda dimostrazione. biunivoca invertibile. è suriettiva cioè per oni y B esiste almeno un x per il quale (x) =y; essendo anche iniettiva l elemento x trovato è unico. Quindi è ben deinita la unzione, chiamiamola B, che a oni y in B associa l unico x in per il quale (x) =y. Pertanto, per oni y 6

7 in B, ((y)) = y, cioè =1 B. D altra parte, per il modo stesso in cui è deinita, per oni x, vale((x)) = x, cioè =1. Quindi è invertibile. invertibile biunivoca. Per ipotesi esiste la unzione inversa di, chiamiamola B. è iniettiva. Inatti se per oni x 1,x 2 (x 1 )=(x 2 ), applicando la unzione, si ottiene ((x 1 )=((x 2 )), vale a dire x 1 = x 2 perchè è l identità di. è suriettiva. Inatti, sia y in B. Poichè =1 B,sihay =( )(y) =((y)). Posto (y) =x si ottiene y = (x). Proposizione Siano ( ),B,C insiemi e valono le seuenti proposizioni B, B C unzioni. llora (a), iniettive iniettiva. (b), suriettive suriettiva. (c) iniettiva iniettiva. (d) suriettiva suriettiva. Dimostrazione. (a) 1 a Dimostrazione. Una unzione (con dominio non vuoto) èiniettivaseesoloseha un inversa sinistra (proposizione 1.11). Siano allora B h e C k B inverse sinistre rispettivamente di e : questo siniica che h =1 e k =1 B. llora (h k) ( ) = h (k ) (proprietà associativa delle unzioni) = h 1 B (k è inversa sinistra di ) = h (lee d identità ) = 1 (h è inversa sinistra di ) Questo prova che h k è un inversa sinistra di, e quindi che è iniettiva. (a) 2 a Dimostrazione. Per oni x 1,x 2 : ( )(x 1 )=( )(x 2 ) ((x 1 )) = ((x 2 )) (deinizione di ) = (x 1 )=(x 2 ) ( è iniettiva) = x 1 = x 2 ( è iniettiva) Questo prova che è iniettiva (b) Dimostrazione. Una unzione è suriettiva se e solo se ha un inversa destra (proposizione 1.12). Siano allora B h e C k B inverse destre rispettivamente di e : questo siniica che h =1 B e k =1 C. llora 7

8 ( ) (h k) = ( h) k (proprietà associativa delle unzioni) = 1 B k (h è inversa destra di ) = k (lee d identità ) = 1 (k è inversa destra di ) Questo prova che h k è un inversa destra di, e quindi che è suriettiva. (c) 1 a Dimostrazione. Per ipotesi è iniettiva, quindi ha un inversa sinistra (Teorema 1.11). Questo siniica che esiste C h per la quale h ( ) =1. Per l associatività della composizione di unzioni: 1 = h ( ) =(h ) Ma allora h è un inversa sinistra di, epertanto è iniettiva. (c) 2 a Dimostrazione. Per oni x, x X: (x 1 ) = (x 2 ) ((x 1 )) = ((x 2 )) ( )(x 1 ) = ( )(x 2 ) x 1 = x 2 ( è iniettiva) Questo prova che è iniettiva. (d) Dimostrazione. Per ipotesi è suriettiva, quindi ha un inversa destra (Teorema 1.12). Questo siniica che esiste C h per la quale ( ) h =1 C. Per l associatività della composizione di unzioni: 1 C =( ) h = ( h) Ma allora h è un inversa destra di, epertanto è suriettiva. 1.5 Due diversi impiehi delle unzioni Le unzioni venono utilizzate im moltissime situazioni; qui si descrivono due impiehi molto requenti del concetto di unzione. Primo aspetto. Classiicare il dominio mediante una proprietà. Sia X B una unzione da un insieme X auninsiemeb. La controimmaine di b B tramite è il sottoinsieme (del dominio) deinito da 1 {b} = {x X (x) =b} La unzione X B può essere pensata come una amilia di sottoisiemi del dominio 1 {b}, b B 8

9 indiciata con li elementi del codominio. Se nessuna ibra è vuota (cioè se è suriettiva), si dice che { 1 {b}} b B è una partizione di X. Esempio. Si consideri la unzione Z {0, 1}, (z) = { 0 se z èpari 1 se z èdispari Si può pensarea come alla partizione di Z nelle due ibre 1 {0} = {numeri pari}, 1 {1} = {numeri dispari} Secondo aspetto. Nominare il codominio. Sia X una unzione da un insieme auninsiemex. La unzione X può essere pensata come unaamiliadielementidix etichettata dali elementi di. In altre termini, per oni a in si può scrivere a al posto di (a). llora la unzione X può essere pensata come una amilia { a } a di elementi del codominio indiciata dal dominio. Esempio. Una successione di numeri reali N R è una amilia (ininita) { n } n N di numeri reali indiciata da N: 0, 1, 2,..., n,... Esempio. Se = {1, 2, 3,...n} e X = {a,b,c,...,z} è l alabeto della linua italiana, allora la unzione X è una parola di lunhezza n. nche in questo caso si è portati a vedere una parola come una amilia di elementi del codominio X (vale a dire una amilia di lettere dell alabeto) indiciata da. 9

10 1.6 Funzioni da R a R. Deinizione 1.15 (Graico di una unzione). Sia B una unzione. Il raico G di è il sottoinsieme del prodotto cartesiano B G() ={(a, b) B b = (a)} Esempio. Il raico della unzione R cos R è il sottoinsieme di R R così deinito G cos = {(x, y) R R y =cosx} y +1 2π 3 2 π π π π 2 π 3 2 π 2π x Fiura 1: Graico della unzione R cos R. Sia R R una unzione non invertibile. In molti casi è possibile restrinere opportunamente dominio e codominio di in modo tale da avere una unzione invertibile (iniettiva e suriettiva). Per esempio R cos cos R non è invertibile mentre [0,π] [ 1, 1] lo è. La unzione inversa del coseno [ 1, 1] cos 1 [0,π] è la unzione arcocoseno (si scrive arcos). Fiura 2: Graico di [0,π] cos [ 1, 1] (in nero); raico di [ 1, 1] arcos [0,π] (in blu). Il raico G 1 di 1 è il simmetrico di G rispetto alla retta y = x. 10

11 Deinizione 1.16 (Zeri di una unzione). Si consideri il sottoinsieme D di R elaunzione D R, y = (x). Glizeri di sono li elementi x D per i quali risulta (x) =0 Gli zeri di sono le ascisse dei punti di intersezione del raico G di con l asse x. Deinizione 1.17 (Punti issi di una unzione). Si consideri il sottoinsieme D di R ela unzione D R, y = (x). Ipunti issi di sono li elementi x D per i quali risulta (x) =x I punti issi di sono le ascisse dei punti di intersezione del raico G di con la retta di equazione y = x (bisettrice primo-terzo quadrante). Deinizione 1.18 (Funzione pari). La unzione R R, y = (x) è pari se vale la proprietà x R ( x) =(x) Se èpariilraicog di è simmetrico rispetto alla retta x = 0 (asse y). La unzione R cos R è pari, sono unzioni pari tutte le unzioni polinomiali del tipo p(x) = a 2n x 2n +...a 2 x 2 + a 0 (cioè i polinomi in cui compaiono esclusivamente esponenti pari). Deinizione 1.19 (Funzione dispari). La unzione R proprietà R, y = (x) è dispari se vale la x R ( x) = (x) Se è dispari il raico G di è simmetrico rispetto all oriine O deli assi cartesiani. La unzione R sin R è dispari, sono unzioni dispari tutte le unzioni polinomiali del tipo p(x) =a 2n+1 x 2n a 3 x 3 +a 1 x (cioè i polinomi in cui compaiono esclusivamente esponenti dispari). Dalle simmetrie di due unzioni e si deduce la simmetria di h = (attenzione, h = indica il prodotto puntuale di unzioni e non la loro composizione) come indicato nella seuente tabella pari dispari pari pari dispari dispari dispari pari La dimostrazione di queste proposizioni è lasciata per esercizio. 11

12 1.7 Esercizi Esercizio Per onuna delle seuenti unzioni (a) si diseni il raico qualitativo; (b) si dica se la unzione è iniettiva, suriettiva, invertibile. (c) se la unzione è invertibile si determini dominio, codominio e l espressione analitica della unzione inversa. Inine, si diseni il raico della unzione inversa. 1. R R (x) =x 2 2. R 0 R 0 (x) =x 2 3. R >0 R >0 (x) = 1 x 4. R R (x) =x 3 5. R 0 R 0 6. R R 7. R R 8. R R (x) = x (x) = 3 x (x) =2cosx (x) =3sin2x 9. R R (x) =cos(x π 2 ) 10. R \{1} R{0} (x) = R R x 1 (x) = x 12. R \{1} R (x) = 2x 3 x R exp 2 R >0 exp 2 (x) =2 x 14. R exp 2 R lo 15. R 2 >0 R exp 2 (x) =2 x lo2 x = loaritmo in base 2 di x Esercizio La unzione R R, (x) =x 2 5x. è iniettiva? è suriettiva? Determinare, se esistono, li zeri di. Esercizio Si considerino le unzioni Trovare,, Im ( ), Im ( ). 1. R 0 R 0 (x) =3x R 0 R 0 (x) = x Esercizio Sia R R, (x) =ax + b per oni x in IR. 1. Determinare i valori di a e b per i quali =. 12

13 2. Determinare i valori di a e b per i quali =1 R (l identità dir). 3. Determinare i valori di a e b per i quali è invertibile. 4. Studiare, al variare di a e b, l esistenza dei punti issi di. Risposta: 1) (a =0, b IR) o (a =1,b=0),2)(a = 1, b IR) o (a =1,b=0),3)a 0, 4)a 1. Esercizio Si consideri la unzione R R, (x) =mx + q (m, q R ). Per quali valori di m, q la unzione è pari? Per quali valori èdispari? Risposta: èpariperm =0; èdispari m e q =0. Esercizio Se R R èparier R èdispari. Cosasipuò dire delle unzioni composte,,,? Sono pari, dispari, né parinédispari? Motivarelerisposte. Risposta: èpari, èpari, èpari, èdispari. Esercizio Si considerino le unzioni Trovare,, Im ( ), Im ( ). 1) R R (x) =x 1 2) R R (x) =3 x Esercizio Trovare l immaine Im e il numero di punti issi della unzione R R, (x) =x 2 3 Esercizio La unzione R sin R è iniettiva? suriettiva? Come si può restrinere opportunamente dominio e codominio in modo da ottenere una unzione invertibile? In tal caso, come si chiama l inversa? Esercizio 1.29 (Galileo). Dimostrare che l insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2,..., n,..} ha la stessa cardinalità dell insieme S = {0, 1, 4,..., n 2,..} dei quadrati peretti. (Si dice che due insiemi X, Y hanno la stessa cardinalità se esiste una unzione invertibile (un isomorismo) : X Y.) Esercizio La unzione [ π 2, + π 2 ] tan R è iniettiva? È suriettiva? È invertibile? Se è invertibile come come si chiama l inversa? Qual èilsuoraico? Esercizio Trovare dominio, raico qualitativo e immaine delle seuenti unzioni 13

14 1. y = sinx 2. y =2 x 1 3. y =arctanx 4. y =2 x 5. y = lo x 6. y = e x y = e x Esercizio Siano R R e R R due unzioni. Se e sono entrambe pari che cosa si può dire sulla loro somma? Se èparie èdisparichecosasipuò dire sulla loro somma? Esercizio Determinare i valori di k R per i quali la unzione R k R, k (x) =x + k x è invertibile. Tracciare un raico di k e quando esiste di ( k ) 1. 14