Possiamo definire un insieme indicandone gli elementi utilizzando le parentesi graffe con questa sintassi :

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1 Insiemi 01 - Definizione di insieme. Tutto l'intero edificio della matematica si basa sul concetto di insieme. Cos'è un insieme? E' quasi incredibile, ma il concetto di insieme non è definibile. Tutta la matematica, e quindi la scienza, si basa su un concetto indefinibile!!! Il concetto di insieme è innato, solamente intuibile ma non definibile. Al massimo possiamo definire dei sinonimi : aggregato, classe, collezione ecc. Possiamo indicare un insieme con una lettera maiuscola : A, B, C... Possiamo definire un insieme indicandone gli elementi utilizzando le parentesi graffe con questa sintassi : dove, in questo caso, l'insieme A contiene gli elementi a, b, c, 1 e 2. Vi è anche un modo grafico molto immediato per indicare un insieme tramite i diagrammi di Venn : Se gli elementi di un insieme sono molti e quindi non elencabili, si troverà volta per volta il modo più conveniente per indicarli, per esempio specificando una o più proprietà ad essi comune che li specifica. Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si usa la scrittura :. Per indicare che un elemento non appartiene ad un insieme si usa la scrittura :. Se un insieme non contiene elementi esso si dice vuoto e si indica con il simbolo.

2 Due insiemi si dicono uguali se sono composti dagli stessi elementi. Per esempio gli insiemi A = B. e sono uguali e si scrive : L'insieme che non contiene elementi si chiama insieme vuoto e si denota con Sottoinsieme. Un insieme i cui elementi appartengono anche ad un altro insieme si dice che è sottoinsieme di quest'ultimo. Per esempio, l'insieme è sottoinsieme dell'insieme perché i suoi elementi b e 2 appartengono anche ad A. Graficamente : Per indicare che B è sottoinsieme di A si scrive :. Si noti che un sottoinsieme di un insieme può essere anche uguale a quest'ultimo (in questo caso ne contiene tutti gli elementi e non ne contiene altri). Per questo motivo, nel simbolo di sottoinsieme si mette la sbarretta orizzontale indicando così la possibilità dell'uguale. Un sottoinsieme proprio, invece, è un sottoinsieme che non è uguale all'insieme a cui appartiene, cioè vi è almeno un elemento del secondo che non è contenuto nel primo. Nell'esempio precedente, B è sottoinsieme proprio di A e si scrive (senza la sbarretta) : 03 - Unione..

3 Dati due insiemi A e B è possibile eseguire fra di essi l'operazione di unione ottenendo così un terzo insieme, l'insieme C, formato dagli elementi del primo insieme e dagli elementi del secondo. Per esempio, se e, l'insieme C che rappresenta la loro unione (operazione che si indica con una "U" ) è : Esempi grafici : Intersezione. Dati due insiemi A e B è possibile eseguire fra di essi l'operazione di intersezione ottenendo così un terzo insieme, l'insieme C, formato dai soli elementi in comune ai due insiemi. Per esempio, se e, l'insieme C che rappresenta la loro intersezione (operazione che si indica con una "U" rovesciata) è : Esempi grafici :. Si noti che l'intersezione fra due insiemi disgiunti, cioè che non hanno elementi in comune, è

4 l'insieme vuoto Differenza. Dati due insiemi A e B è possibile eseguire fra di essi l'operazione di differenza ottenendo così un terzo insieme, l'insieme C, formato dai soli elementi di A che non sono elementi di B. Per esempio, se e, l'insieme C che rappresenta la loro differenza (operazione che si indica con - ) è : Esempi grafici :. Si noti che la differenza fra due insiemi uguali è l'insieme vuoto per cui A - A = Complementare di un insieme. Se A e X sono due insiemi ed A è sottoinsieme di X, cioè chiama complementare di A rispetto ad X e di denota con :., la differenza X - A si Graficamente :

5 Relazioni 01 - Coppia ordinata. Consideriamo l'insieme A = {a, b} e l'insieme B = {1, 2, 3}. Se prendiamo un elemento di A, per esempio a, ed un elemento di B, per esempio 2, possiamo costruire la coppia ordinata : (a, 2) dove è essenziale l'ordine con cui si scelgono gli elementi dai due insiemi. Il primo elemento della coppia ordinata, quello scritto a sinistra, si chiama prima coordinata mentre il secondo, quello scritto a destra, si chiama seconda coordinata : Nei diagrammi di Venn una coppia ordinata viene rappresentata da una freccia che parte dalla prima coordinata della coppia ordinata e punta alla seconda coordinata della medesima. Vi è un altro modo molto proficuo di rappresentare le coppie ordinate utilizzando gli assi cartesiani : Sugli assi cartesiani una coppia ordinata viene rappresentata con un punto come illustrato in figura. Utilizzando gli assi cartesiani occorre sottolineare che l'insieme da cui si prendono le prime coordinate va posto sull'asse delle ascisse (l'asse orizzontale) mentre l'altro insieme, da cui si prendono le seconde coordinate, va posto sull'asse delle ordinate (l'asse verticale).

6 02 - Prodotto cartesiano. L'insieme di tutte le coppie ordinate che si possono formare prendendo le prime coordinate dall'insieme A e le seconde coordinate dall'insieme B si chiama prodotto cartesiano di A per B e si indica con : A x B. Il prodotto cartesiano A x B è definito allora da : che si legge "il prodotto cartesiano dell'insieme A per l'insieme B è l'insieme di tutte le coppie ordinate che si ottengono prendendo la prima coordinata in A e la seconda coordinata in B ". Considerando gli insiemi A e B definiti sopra si ha allora : A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}. Graficamente, usando i diagrammi di Venn, il prodotto cartesiano A x B sarà visualizzato come : ovvero prendendo tutte le possibili frecce dagli elementi da A agli elementi di B. Usando invece gli assi cartesiani si ottiene il seguente grafico :

7 dove si vede bene che le coppie ordinate del prodotto cartesiano sono indicate da tutti i possibili punti che si possono ottenere considerando gli elementi dei due insiemi Relazione. In matematica, il concetto di relazione è analogo a quello del linguaggio comune. Vi è una relazione quando elementi di un insieme sono legati in qualche modo con elementi di un altro insieme. Gli elementi dei due insiemi possono essere di qualunque tipo ed il legame fra loro può essere di qualsiasi natura. In matematica, però, abbiamo bisogno di una definizione di relazione che sia chiara, univoca e che sia espressa nei termini della teoria degli insiemi. Definizioni intuitive, lacunose ed imprecise non sono ammissibili. Una relazione fra due insiemi, in matematica, è semplicemente un sottoinsieme del prodotto cartesiano fra i due insiemi. Una relazione è quindi un insieme, ovvero un oggetto del tutto definito, per il quale non è possibile alcuna ambiguità ed imprecisione. Per esempio, rispetto agli insiemi A e B degli esempi precedenti, possiamo definire la relazione : R = {(a, 2), (a, 3), (b, 2)} che è palesemente un sottoinsieme di A x B e la possiamo visualizzare nei due modi : Fra i due modi di visualizzazione, quello che utilizza gli assi cartesiani è di gran lunga il più "elegante" ed "espressivo". D'ora in poi preferiremo in generale la rappresentazione cartesiana. Presentiamo due esempi di relazione partendo da casi "concreti" Consideriamo l'insieme C formato dai componenti il nostro corso di cultura scientifica di base presenti la sera del 12/12/03. Per comodità rappresentiamo le persone (gli elementi di C ) con le lettere dell'alfabeto a, b, c,... limitando il numero delle persone a 6. Si ha allora :

8 C = {a, b, c, d, e, f}. assieme". Supponiamo di considerare la relazione "essere stati in montagna a fare trekking e chiamiamo questa relazione M. Supponiamo che a sia stato in montagna con b e con d (separatamente), e che d lo sia stato con f. Naturalmente sarà anche che b lo è stato con a, d con a e f con d Non sarà però che a è stato in montagna con f!!! Per fare una relazione ci vogliono due insiemi. In questo caso abbiamo a disposizione il solo insieme C per cui la relazione M sarà una relazione fra C e C (fra C e se stesso), cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano C x C. La relazione M sarà allora : M = {(a, b), (a, d), (d, f), (b, a), (d, a), (f, d)}. Riportiamo questa relazione M nel grafico : Consideriamo i seguenti insiemi formati da nomi di persona : N1 = {sandro, luca, maria} e N2 = {mario, aldo, franca, marina}. Consideriamo le relazioni : R1 "avere la stessa lettera iniziale" R2 "avere lo stesso numero di lettere" R3 "avere un numero di lettere maggiore". Visualizziamo direttamente le tre relazioni :

9 04 - Dominio e codominio. Consideriamo gli insiemi A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3}. Costruiamo fra essi la relazione : R = {(a,2), (a,3), (b,2)} Chiamiamo dominio di una relazione l'insieme degli elementi del primo insieme che sono "coinvolti" nella relazione. Denominiamo il dominio di R col simbolo D(R). Chiamiamo codominio di una relazione l'insieme degli elementi del secondo insieme che sono "coinvolti" nella relazione. Denominiamo il codominio di R col simbolo C(R). Nell'esempio considerato sopra avremo : D(R) = {a, b} e C(R) = {2, 3}. Il dominio ed il codominio di una relazione sono quindi sottoinsiemi rispettivamente del primo e del secondo insieme su cui è costituita la relazione. In particolare il dominio ed il codominio possono coincidere con il primo ed il secondo insieme (rispettivamente) Relazione identica. Se consideriamo una relazione fra un insieme e se stesso per cui ad ogni elemento corrisponda se stesso, otteniamo una relazione particolarmente importante, la cosiddetta relazione identica.

10 Per esempio, se A = {a, b, c, d, e}, la relazione identica in A (ovvero da A ad A ) è : I = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)} Si noti la particolare forma grafica a "diagonale "di una relazione identica Relazione di equivalenza. Consideriamo un insieme formato da cinque amici. Lo rappresentiamo come A = {a, b, c, d, e}. Studiamo la relazione : R = "a, b, d sono fratelli" all'interno dell'insieme A dei cinque amici. Rappresentiamo graficamente la relazione aggiungendo il fatto che ogni amico può essere considerato fratello di se stesso (in matematica si fanno spesso "bizzarre" asserzioni, tipo questa, che però non intaccano la logica, ma possono essere utili a creare opportune generalizzazioni) : Si vede bene che questa relazione soddisfa tre importanti proprietà : proprietà riflessiva : ogni elemento è in relazione con se stesso. Ovvero : a R a proprietà simmetrica : se un elemento è in relazione con un altro, allora il secondo è in relazione col primo. Ovvero : a R b ==> b R a

11 proprietà transitiva : se un elemento è in relazione con un secondo elemento ed il secondo elemento è in relazione con un terzo elemento, allora il primo elemento è in relazione col terzo elemento. Ovvero : a R b, b R c ==> a R c. (si noti che per denotare che un elemento x è in relazione con un elemento y abbiamo usato la scrittura x R y ). Orbene, tutte le relazioni fra un insieme e se stesso che soddisfano le tre proprietà definite sopra (riflessiva, simmetrica, transitiva) si chiamano relazioni di equivalenza e rappresentano un tipo di relazione di fondamentale importanza per tutta la matematica. Come altro esempio di relazione di equivalenza, consideriamo l'insieme dei triangoli e la relazione U = "essere uguali". Si può vedere facilmente che la relazione U è una relazione di equivalenza. Infatti ogni triangolo è uguale a se stesso (proprietà riflessiva) se un triangolo è uguale ad un altro, il secondo è uguale al primo (proprietà simmetrica) se un triangolo è uguale ad un secondo ed il secondo triangolo è uguale ad un terzo, allora il primo triangolo è uguale al terzo (proprietà transitiva). Le relazioni di equivalenza sono alla base della teoria dei numeri Relazione inversa. Consideriamo la seguente relazione R da A a B : Da questa relazione è possibile costruire la relazione inversa da B ad A semplicemente invertendo le coppie ordinate. La coppia (a, 1) diventa (1, a) ecc.. Così facendo si inverte il dominio con il codominio. Si ha cioè :

12 Abbiamo perciò mostrato con un esempio come si costruisce la relazione inversa di una relazione data. La definizione matematica esatta di relazione inversa è :. Le relazioni inverse ci saranno molto utili in seguito, specialmente nel grande capitolo delle funzioni numeriche Classi di equivalenza. Partizione. Consideriamo l'insieme di alcuni amici. Chiameremo A questo insieme ed indicheremo con le lettere minuscole i singoli amici. Supponiamo che sia A = {a, b, c, d, e, f}. Supponiamo anche che : a abbia 15 anni b '' 17 '' c '' 20 '' d '' 17 '' e '' 15 '' f '' 50 ''. Creiamo la relazione R da A ad A definita dall'affermazione "avere la stessa età". Graficamente :

13 Supponendo che ogni amico abbia la stessa età di se stesso, la relazione R è evidentemente una relazione di equivalenza perché soddisfa alle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Consideriamo ora un elemento dell'insieme A, per esempio a, e costruiamo l'insieme degli elementi in relazione con esso (cioè equivalenti ad esso). Indicando questo insieme col simbolo [a] otterremo allora : [a] = {a, e}. Questo insieme si chiama classe di equivalenza di a. Facendo la stessa cosa per gli altri elementi di A (e ripetendo ancora [a] ) otteniamo : [a] = {a, e} [b] = {b, d} [c] = {c} [d] = {b, d} [e] = {a, e} [f] = {f} La definizione matematica di classe di equivalenza è allora : Si noti a questo punto una proprietà molto importante. L'insieme l'unione di tutte le classi di equivalenza indotte dalla relazione R sull'insieme A dà esattamente l'insieme A. Si noti anche che le classi diverse sono disgiunte a due a due, cioè non hanno elementi in comune. In altre parole si dice che una relazione di equivalenza induce in un insieme una partizione del medesimo in classi di equivalenza, lo scompone cioè nelle sue classi di equivalenza. Questa proprietà è di estrema importanza ed è, per esempio, alla base della teoria dei numeri Relazione d'ordine parziale. Consideriamo un insieme A ed una relazione R definita su A. La relazione R sarà allora una relazione da A ad A. Supponiamo che l'insieme A contenga gli elementi a, b, c ecc. cioè sia : A = {a, b, c,...}. Supponiamo che la relazione R soddisfi le seguenti proprietà : Se a è in relazione con b e b è in relazione con a allora a è uguale a b e viceversa. Cioè.

14 La doppia freccia significa che la proprietà è vera nei due sensi (letta da sinistra verso destra e viceversa). Questa proprietà è riflessiva ed antisimmetrica Se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora a è in relazione con c. Cioè. Questa è la proprietà transitiva. La relazione R che gode delle suddette proprietà si chiama relazione d'ordine parziale e l'insieme A dotato di una tale relazione si chiama insieme parzialmente ordinato. Una relazione d'ordine parziale si denota con il simbolo (minore uguale). Esempi : L'insieme dei numeri dotati dell'usuale relazione di minore uguale. La verifica di ciò è immediata Un insieme di insiemi dotato della relazione di sottoinsieme. Infatti : 10 - Relazione d'ordine (lineare). Se e allora A = B e viceversa. Se e allora. Consideriamo l'insieme A definito come sopra ed una relazione R definita su di esso. Supponiamo che la relazione R soddisfi le seguenti proprietà : L'elemento a non è in relazione con se stesso. Cioè. Questa proprietà si dice antiriflessiva Se a è diverso da b allora o a è in relazione con b oppure b è in relazione con a. Cioè Se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora a è in relazione con c. Cioè.

15 Questa è la proprietà transitiva. La relazione R che gode delle suddette proprietà si chiama relazione d'ordine (lineare) e l'insieme A dotato di una tale relazione si chiama insieme (linearmente) ordinato. L'aggettivo lineare viene per brevità sottointeso. Una relazione d'ordine si denota con il simbolo < (minore). Esempio : L'insieme dei numeri dotati dell'usuale relazione di minore <. La verifica di ciò è immediata Un insieme di insiemi dotato della relazione di sottoinsieme proprio non è un insieme ordinato (ovvero non è una relazione d'ordine) perché la seconda condizione non è sempre verificata!!! (per due insiemi disgiunti, per esempio, non può essere che uno sia sottoinsieme dell'altro né che il secondo lo sia del primo) Funzioni 01 - Funzioni. Una relazione f fra due insiemi A e B si dice che è una funzione se soddisfa le seguenti due condizioni : D(f) = A cioè il dominio della relazione deve essere uguale al primo insieme A anche cioè ogni elemento del dominio deve avere un solo elemento corrispondente (detto immagine) nel codominio Le funzioni sono quindi dei particolari tipi di relazione, cioè una funzione è una relazione mentre una relazione non è in generale una funzione. Per esserlo, una relazione, deve soddisfare le due condizioni precedenti. Esempi (diamo direttamente i grafici cartesiani delle relazioni) : - 1 -

16 la relazione f indicata nel grafico non è una funzione perché il dominio di f non è uguale ad A anche in questo caso la relazione f non è una funzione perché l'elemento c di A ha due immagini la relazione f è in questo caso una funzione. Le funzioni sono fra gli oggetti più importanti di tutta la matematica (così come della fisica) Esempi di funzioni numeriche.

17 Anche se ancora non abbiamo studiato sistematicamente i numeri, possiamo iniziare a fare alcuni esempi di funzioni numeriche visto che tutti noi abbiamo di essi (dei numeri) almeno una idea intuitiva. Con i numeri si fanno principalmente le quattro operazioni e l'elevamento a potenza. Non sempre, però, queste operazioni hanno un risultato. Non hanno risultato le seguenti operazioni : la divisione di qualunque numero per 0 cioè : 1 / 0, 2/ 0, 10 / 0, -1 / 0,..., 0 / 0 la potenza : 0 mentre bisogna ricordare che ogni numero (eccetto 0 ) elevato alla 0 dà 1, cioè : 1 = 3 = 10 = (-4) =... = 1. Si ricordi anche che x ¹ = x. Ritorneremo su queste "questioni" molte volte ed in particolare quando studieremo a fondo i numeri e le loro proprietà. Per il momento, possiamo affermare che tutti i numeri, da meno infinito a più infinito, si chiamano numeri reali e che essi si possono porre su di una retta orientata (dotata di una freccia) : Una generica funzione numerica si indica con la scrittura : y = f(x) dove x è la variabile indipendente, appartenente al dominio della funzione, ed y è la variabile dipendente, appartenente al codominio della funzione. Il simbolo f(x) significa che se si dà un valore alla x, facendo i calcoli indicati dalla funzione stessa, si ottiene un valore (uno solo!) della y.

18 Una funzione può "contenere" altre funzioni quali la radice quadrata, il seno, il coseno, la tangente, il logaritmo, l'esponenziale ecc. Tutte funzioni "preconfezionate" importantissime che studieremo a fondo. Data una qualunque funzione numerica è di fondamentale importanza disegnarne il grafico cartesiano. La funzione, così come è scritta in termini simbolici, ci "dice" molto poco. Il suo grafico, invece, ci dà in maniera visiva e sintetica tutte le informazioni di cui abbiamo bisogno. Ecco allora che lo studio di funzione, il disegnarne il grafico, costituisce uno dei capitoli centrali di tutta la matematica. In questo corso impareremo come studiare ogni tipo di funzione e questo sarà l'argomento più importante che costituirà la base di tutti gli altri. Riportiamo qui come esempio i grafici di alcuni funzioni numeriche y = 1, y = 2, y = -1, y = -2, y = 0 Si tratta di rette parallele all'asse delle x, perché dando alla x qualsiasi valore, si ottiene sempre una y costante. Si noti che la funzione y = 0 coincide con l'asse delle x y = x

19 La funzione y = x rappresenta la retta bisettrice del I e del III quadrante y = -x La funzione y = -x rappresenta la retta bisettrice del II e del IV quadrante y = x/2, y = 2x, y = 3x, y = -2x Sono tutte rette che passano per l'origine 0. Si noti che la "pendenza" della retta y = 3x è maggiore di quella della retta y = 2x. In generale, la pendenza è maggiore quanto più è grande in valore assoluto (cioè privato del segno) il numero (coefficiente) che moltiplica la x y = mx Possiamo affermare allora che ogni funzione del tipo y = mx, dove m è un numero qualunque, rappresenta una retta che passa per l'origine. Viceversa, ogni retta che passa per l'origine è rappresentata da una funzione del tipo y = mx. Questa seconda affermazione è vera con una sola eccezione : la retta che coincide con l'asse delle y non è rappresentabile da una funzione di quel tipo, anzi non è neppure una funzione, perché al valore x = 0 corrispondono infinite immagini (per cui cade uno dei due presupposti perché una relazione sia una funzione).

20 Il fatto che la retta x = 0 (l'asse delle ordinate) non è una funzione lo si può dedurre anche considerando che la retta y = mx ha una pendenza che cresce al crescere del valore di m. Per valori di m sempre più grandi, la retta tenderà a diventare verticale senza però mai esserlo veramente. Solo se m avesse valore infinito, allora la retta diverrebbe esattamente verticale, quindi coincidente con l'asse delle y, ma l'infinito non è un numero, per cui nessuna funzione del tipo y = mx può rappresentare una tale retta (verticale). (per semplicità abbiamo disegnato solo le semirette del I quadrante) y = mx + p Le funzioni di primo grado (in x ) sono le funzioni più semplici. Esse sono riassumibili dalla espressione y = mx + p dove m e p sono due numeri reali qualunque. Per esempio : y = 2x + 1 y = 3x - 2 ecc. Orbene, tutte le funzioni del tipo y = mx + p sono rappresentate da una retta.

21 Ritorneremo su questo più approfonditamente più avanti y = f(x) In generale, una qualunque funzione ad una sola variabile, è rappresentata da una curva del piano : Le rette viste sopra, in matematica, sono allora delle curve, anche se... "dritte" Funzioni a due variabili indipendenti. Le funzioni possono avere anche due variabili indipendenti. In questo caso vengono simbolicamente indicate dall'espressione : z = f(x, y) dove le variabili x ed y, le variabili indipendenti appunto, possono assumere valori qualunque mentre la variabile dipendente z è ottenuta di conseguenza calcolando l'espressione matematica che caratterizza la funzione stessa. Come si rappresentano graficamente le funzioni a due variabili indipendenti? Prendiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali a tre dimensioni 0xyz. Diamo poi valori a caso alle variabili indipendenti x ed y. Otterremo diversi punti del piano 0xy. Facciamo questo in modo da ottenere una certa regione (dominio) del piano 0xy. Abbiamo così individuato un insieme di coppie ordinate (x, y). Adesso, per ciascuna di queste coppie calcoliamo il valore z = f(x, y). Otteniamo quindi, per ogni coppia (x, y) un numero z. Immaginiamo allora che questo numero z sia la "quota" di ciascuna coppia (x, y). Otterremo allora una superficie dello spazio. Ogni funzione del tipo z = f(x, y), a due variabili numeriche indipendenti, rappresenta così una

22 superficie dello spazio Funzioni iniettive, suriettive, biunivoce. Torniamo ad una funzione ad una sola variabile indipendente y = f(x) che rappresenta una curva nel piano 0xy. Consideriamo che il dominio di questa funzione sia l'insieme A. Supponiamo che B sia un insieme di valori della y. Supponiamo che A ed B siano due intervalli (segmenti limitati). Si hanno allora alcuni casi di particolare importanza. Una funzione si dice "1-1" od iniettiva se ogni immagine è immagine di un solo elemento del dominio, ovvero se non c'è nessun elemento del codominio che è immagine di più elementi del dominio : Una funzione si dice "più a 1" se una immagine (o più) è immagine di più elementi del dominio, ovvero se più elementi del dominio hanno la stessa immagine :

23 Una funzione si dice "su" o suriettiva se il codominio della funzione coincide col secondo insieme (nel nostro caso B ) : Una funzione si dice "1-1 su" o biunivoca se è contemporaneamente 1-1 e su : 05 - Invertibilità di una funzione. Una relazione può essere sempre invertita e la relazione inversa si ottiene invertendo tutte le coppie ordinate che fanno parte della relazione. Si ha allora che il dominio della relazione diventa il codominio della relazione inversa e viceversa. Cioè se la coppia (a, b) appartiene alla relazione R, la coppia (b, a) apparterrà alla

24 relazione inversa R ¹. Graficamente, per "disegnare" la relazione inversa, basta fare l'immagine speculare del grafico della relazione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante : L'immagine speculare può essere considerata anche come una rotazione di 180 rispetto alla suddetta bisettrice. Proviamo allora ad invertire una funzione. Supponiamo che la funzione f sia più a 1. Facendo l'immagine speculare del suo grafico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante si ha però una sorpresa "spiacevole" : la funzione che si ottiene, f ¹, non è più una funzione!!! Ad un elemento del dominio corrispondono più elementi del codominio. Cade così uno dei presupposti perché una relazione sia una funzione. Proviamo adesso ad invertire una funzione biunivoca. In questo caso si ottiene una funzione!!!

25 Abbiamo così scoperto un teorema della massima importanza in matematica : "una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca" Altri esempi di funzione. Seguono alcuni esempi di funzioni numeriche da A a B, dove A e B sono indicati nei rispettivi grafici.

26 Ed ora due esempi di inversione di una funzione.

27 07 - Funzioni composte. Consideriamo ora la funzione y = f(x) da A a B e la funzione z = g(y) da B a C. I loro grafici cartesiani, per esempio, siano : Se rappresentiamo le due funzioni con i diagrammi di Venn otteniamo : (si noti che la rappresentazione con i diagrammi di Venn fornisce un altro interessante e "suggestivo" modo di visualizzare una funzione). A questo punto ci chiediamo : è possibile "andare" da x a z direttamente, senza passare da y? Basta considerare la funzione composta (detta anche funzione di funzione) : z = g(f(x)) che si ottiene sostituendo alla y di g(y) il suo valore f(x) :

28 La funzione composta quindi fornisce una "scorciatoia" matematica che lega due funzioni, facendoci andare da x direttamente a z. Con i diagrammi di Venn si ha : Facciamo un esempio numerico di funzione composta. Supponiamo che : y = f(x) corrisponda a y = 2x + 1 e z = g(y) corrisponda a z = y ². La funzione composta z = g(f(x)) sarà allora : z = (2x + 1) ² che si ottiene semplicemente sostituendo alla y di g(y) la f(x).