13.1 Il circuito è un ponte; la soluzione può essere ricavata considerando i due partitori di tensione (R-R e R-C): 1 2R

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1 . l circuito è un onte; la soluzione uò essere ricavata considerando i due artitori di tensione - e -: u 4 in u in. Oltre alla funzione ricavata nell esercizio recedente, abbiao altre sette funzioni di rete: H H in in H H 4 4 ½ Y Y in in in in in Y in.4 onsiderando il artitore di corrente si ricava la corrente nella resistenza : in / u 4 s s s.5 Si alica il teorea di hevenin al biolo nel riquadro. 0 : 4 s 0 0

2 4s 0 s Dal circuito riortato al secondario si ricava: s on riferiento all esercizio recedente, la corrente del secondario è /0 quindi: 4 0,4 s l circuito ha lo schea di un alificatore invertente, ertanto ossiao ricavare la funzione di trasferiento con la relazione seguente: o H s dove è l iedenza del arallelo // e è l iedenza di. Si ottiene:.9 l resistore in serie al generatore non ha effetto oiché non è ercorso da corrente. Pertanto il circuito ha lo schea di un alificatore non invertente dove e è l iedenza del arallelo //:.0 a condizione di equilibrio del onte uò essere esressa nella seguente fora: ovvero a relazione recedente si scoone in due equazioni, una er la arte reale e l altra er la arte iaginaria:

3 * ** Sostituendo l esressione * nella ** si ottiene Sostituendo l esressione di nella * si ricava infine.. Destinato a solutori azienti. onviene alicare il teorea di hevenin al biolo nella figura seguente. / icavando la tensione a vuoto, l induttore di destra non è ercorso da corrente quindi l induttore di sinistra non risente dell accoiaento si coorta coe un induttore non accoiato. ndicando con Y l aettenza del arallelo si ottiene: Y Per l iedenza di hevenin si utilizza lo schea seguente. / ndichiao con l iedenza del arallelo. e relazioni degli induttori accoiati sono: icavando dalla ria equazione si ottiene

4 4 e sostituendo nella seconda, Quindi. Sostituendo il biolo equivalente di hevenin nel circuito originale si ottiene lo schea seguente. on la forula del artitore di tensione si ha: Sostituendo queste esressioni nella relazione recedente si ottiene: ⅓ a funzione di trasferiento è H /

5 Modulo. H 0 4 a derivata del denoinatore è aggiore della derivata del nueratore er ogni quindi il odulo è una funzione onotona decrescente figura seguente. Angolo. tan tan arcotangente è una funzione onotona crescente. l rio terine è inore del secondo er ogni ; quindi l angolo di H è sere negativo. noltre H0 0 e H 0 er. Studiando la derivata di H si trova un inio in / figura seguente. H 0,6 ½ H / -9,5 /.5 Sfruttando l analogia con l alificatore invertente, ossiao ricavare la funzione di trasferiento: l odulo è l valore assio della risosta in aiezza si ha er e vale /. a ulsazione di taglio si ricava ionendo che 5

6 Quindi c.6 a Alicando l analisi nodale al circuito sibolico si scrivono le equazioni seguenti: nodo : nodo : / - Eliinando si ottiene quindi b Dalla esressione recedente ossiao verificare che er si ha. Sostituendo, si ottiene: quindi ε 6

7 l grafico è ostrato nella figura seguente è siile alla risosta in aiezza di un filtro assa alto. ε / 0 / a funzione è onotona crescente; oiché / 0,7 la risosta all ultio quesito è </..7 on riferiento alla figura seguente si scrive l equazione del suer-nodo: vincoli dei generatori sono: 0. 0 * 0. in in 0, F / 0, u Sostituendo e nella * si ricava u in funzione di in quindi: u in b e tensioni v u t e v in t sono in oosizione di fase e con la stessa aiezza se H ; quindi dalla esressione di H si ricava l equazione 7

8 che ha coe soluzione Per 0 si ha il circuito seguente in cui v out v in /0, quindi H 0 0,0. v in 50 Ω 50 Ω v out Ω Per si ha il circuito seguente; il c.c. in alto ione che out in quindi H.Possiao considerare il circuito un filtro assa alto. Nella figura sono indicate le correnti, dove in /50. in 50 Ω 50 Ω out 50 Ω. Per 0 si ha lo schea seguente, che raresenta un alificatore invertente oiché la resistenza non è ercorsa da corrente. Quindi H0 - /. v in v o Per si ottiene lo schea seguente; i terinali di uscita sono cortocircuitati quindi H 0. l circuito è un filtro assa basso. 8

9 in o.4 Poiché l ingresso dell o-a non assorbe corrente, il condensatore con il resistore raresenta un filtro assa basso. oerazionale, con gli altri resistori, costituisce un alificatore non invertente, che alifica la tensione del condensatore il resistore non ha effetto nell o-a ideale. Pertanto: 0 Affinché sia H 0 deve essere Ω. a ulsazione di taglio coincide con quella del filtro che è / ; se c 0 4, si ottiene Ω. c Ω in µf o.5 a Alicando il teorea di hevenin al biolo nella figura seguente si ha - in, entre l iedenza equivalente vale, essendo n. in : l circuito riortato al secondario è il seguente: - in - u 9

10 0 a funzione di trasferiento è τ in u H dove τ /. a ulsazione di taglio si ricava dalla condizione τ c /τ / b a differenza di fase è uguale all angolo della funzione di trasferiento: 0 H H 0 π/4 π π/4.6 a Alicando il teorea di hevenin si ottiene: n n onsiderando il circuito riortato al secondario si ha: n n H n n esressione recedente ha la seguente fora τ τ K H dove eq τ n eq n n K : n -

11 a è una funzione di trasferiento assa alto del rio ordine, siile a quella di un circuito Poiché il fattore K non influisce sulla ulsazione di taglio, abbiao c τ n b Alicando il teorea di hevenin si ottiene: n n d d : n onsiderando il circuito riortato al secondario si ha: d n n d n d n d d n esressione recedente ha la seguente fora K τ eq n dove τ eq n d d eq n K n eq n Si noti che il valore di K è lo stesso in entrabi i casi. a è una funzione di trasferiento assa basso del rio ordine, siile a quella di un circuito. Poiché il fattore K non influisce sulla ulsazione di taglio, abbiao d c τ n l grafico della risosta in aiezza è ostrato di seguito. n bassa frequenza il trasforatore si coorta coe un filtro assa alto, in alta frequenza coe un filtro assa basso; colessivaente è un filtro assa banda. A centro banda H K. Se n ed sono trascurabili risetto alla resistenza di carico si ha K n, coe nel trasforatore ideale, inoltre d n d

12 c c n n d d n d d enendo conto dei valori tiici dei araetri del trasforatore si ha c >> c. H K 0,7K 0 c c.7 Analisi nodale. ndichiao i nodi con le lettere a,b e c. K nodo b K nodo c in u c u el. trasforatore u c in c in a : c F / / b u in u Dalla ria relazione del trasforatore si ricava c che sostituito nella equazione del in u nodo c fornisce ; sostituendo nella equazione del nodo b si ottiene u H in Quindi H H π tan

13 aiezza fase π l circuito è un filtro assa tutto equalizzatore di fase..8 Per / 0 5 rad/s la serie - è un corto circuito, ertanto il fasore della corrente nella aglia è s /0. l fasore richiesto è s s s 0.0 a differenza di fase ϕ è uguale all angolo dell iedenza. Nel biolo c l iedenza è ϕ tan angolo è nullo er 0 /. Per < 0 il nueratore è negativo quindi ϕ<0, er > 0 ϕ>0. Un coortaento oosto si rileva deterinando allo stesso odo l angolo dell iedenza nel biolo b. Quindi quest ultio è il biolo corrisondente al grafico.. Per 0 / la serie - è un corto circuito, ertanto la corrente è 4 cos 0 t/8 cos 0 t A. noltre 0 0, quindi: v t 0 sen 0t 0 0 e v t sen 0t. 0. E un circuito risonante serie. l fattore di qualità è Q 0 / 5. e ulsazioni di taglio 0 4 sono, 0 ± 0 ± , 000 rad/s. B 000 rad/s. Q

14 .4 a frequenza di risonanza è 0 Hz quindi 40π * 0 iedenza assia è 0 Ω quindi 0 Ω. e frequenze di taglio corrisondono ad un odulo di 7 Ω; dal grafico si rilevano le frequenze 5 Hz e 5 Hz. Perciò la banda assante è B 0π,59 F Dalla * si ricava infine 9,8 H..5 Per 000 rad/s il biolo orizzontale deve essere un corto circuito; ossiao utilizzare una serie - con i araetri che soddisfano la condizione /000 0, Per 6000 rad/s il biolo verticale deve essere un corto circuito; ossiao utilizzare una serie - con i araetri che soddisfano la condizione /6000, l arallelo deve essere in risonanza er 0 rad/s: 0 0 H Per 0 l ingresso è costante, ari a 0, e il circuito raresenta un artitore di tensione:.40 a iedenza del biolo è 0 v u 0 4 Ω 0 iedenza è reale se la arte iaginaria del nueratore si annulla, ovvero se 0 Per 0 ossiao dividere er : urché 0 >. l unto b si risolve in odo analogo. 0 4

15 .4 o schea uò essere trasforato in un circuito arallelo alicando il teorea di Norton al biolo seguente. 4 Ω : n S 4n N F ¼ H n a resistenza è il arallelo di e della resistenza da 8 Ω: 8 4n 64n Q 0 0 da cui si ricava n,8. 8 4n. l fattore di qualità è.4 Per trasforare lo schea in un circuito serie occorre alicare il teorea di hevenin al biolo resistivo evidenziato nella figura seguente. 4 Ω i H v in - F i 4 Ω 4 Ω ensione a vuoto v i i v in 4 Ω Poiché i 0, la corrente del generatore controllato è nulla quindi nel resistore non scorre corrente, dunque v v in. esistenza equivalente i v i 4 Ω on la K si scrive: i i v/4 v 4 i quindi la resistenza equivalente è ari a 4 Ω. 5

16 Sostituendo il biolo di hevenin nello schea originale, e cobinando le resistenze, si ottiene lo schea seguente. 4 Ω H F in l fattore di qualità è / Q 0,5..4 Per avere una resistenza di 0 Ω è necessario oltilicare le iedenze di un fattore 0. Di conseguenza l induttanza va oltilicata er 0 e la caacità divisa er 0. a ulsazione di risonanza è rad/s; er ortarla a 500 rad/s è necessario cabiare la scala della frequenza di un fattore 500. Quindi occorre dividere er 500 induttanza e caacità. n sintesi: 0 Ω, 0/500 0,04 H, /0 4 0, F..44 iedenza vista dal generatore è assia quando è assia l iedenza del arallelo, ovvero alla ulsazione di risonanza, quando // è un c.a. Quindi l iedenza assia è 8/4 4 Ω. Per ortarla a Ω dobbiao scalare le iedenze di un fattore 000/4 50. Quindi l induttanza diventa 6,5 H e la caacità 4 F. l valore dell induttanza non è realistico quindi dovreo scalare anche la frequenza, ad eseio di un fattore 000 6,5 H, 4 µf..45 icaviao ria l iedenza. 0 4 / Alicando la K alla linea chiusa si ha l equazione dalla quale si ricava 0 / ,5 0,5 valori dei coonenti doo le due oerazioni di scaling sono: Ω 00/00 ½ H / µf l araetro del generatore controllato diventa 00 è una resistenza. a nuova iedenza è 00 /00: 6

17 0,5 ' 0,5 0,005 0, Per conoscere la ulsazione di taglio del circuito assegnato si ricava la funzione di trasferiento H o / in. / in a / b o Analisi nodale la tensione del nodo b è uguale a o : K nodo a in a a o a o K nodo b a o o Dalla seconda si ricava che sostituito nella ria equazione erette di ricavare o quindi H: a o H l valore assio del odulo di H è uno, quindi la condizione er ricavare la ulsazione di taglio è c Per ottenere una ulsazione di taglio di Hz dobbiao scalare in frequenza di un fattore π0 β. Per utilizzare resistenze da Ω dobbiao scalare le iedenze di un fattore 000, c quindi il nuovo valore di caacità è c 0, µf. 0 π 0 7