Geometria III SOLUZIONI PROVA SCRITTA 12 GENNAIO 2016

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1 Geometri III SOLUZIONI ROVA SCRITTA 1 GENNAIO 016 Eserciio 1. Si considerino gli spi topologici X e Y ottenuti come quoiente di un sfer privt di un disco rispetto lle identificioni in figur. Y Si clcolino i gruppi fondmentli degli spi topologici X Y e X#Y. Soluione 1. Un sfer privt di un disco perto è omeomorf d un disco, quindi pssndo l quoiente imo i seguenti omeomorfismi: X Y d cui deducimo che X R e Y R #R = U con gruppi fondmentli π 1 X, = [] [] = 1 e π 1 Y, = [], [] [] [] = 1. Nel cso di X Y, usimo il teorem di Seifert-Vn Kmpen che, nel cso di unioni d un punto, si trduce nel considerre l unione dei genertori e l unione delle relioni come genertori e relioni del gruppo fondmentle dello spio unione, cioè π 1 X Y, = [], [], [] [] = 1, [] [] = 1. 1 di 5

2 Nel cso dell somm conness, imo X#Y R #R #R = U 3. uest superficie può essere rppresentt d un esgono con identificione dei lti dt dll prol, quindi π 1 X#Y, = [], [], [] [] [] [] = 1. Eserciio. Si consideri il toro T e due suoi punti distinti e. Si clcolino i gruppi di omologi reltiv H q T, con q N. Si stilisc se è un retrtto di T. In cso di rispost negtiv, si esiisc un sottospio topologico A di T contenente i punti e e che si un retrtto di T. Soluione. Denotimo con B il sottospio di T formto dll unione e con e i cmmini su T corrispondenti i genertori del gruppo fondmentle di T : Lo spio B è formto d due componenti connesse contriili quindi l su omologi è Z [ ] B Z []B, q = 0, H q B = 0}, q > 0, mentre nel cso del toro T imo Z [ ] T, q = 0, Z [] Z [], q = 1, H q T = Z, q =, 0}, q >. Utiliimo l successione estt lung di omologi H q B ϕ q Hq T ψ q Hq T, B δ q Hq 1 B. Deducimo immeditmente che H q T, B = 0} per q > e per q =, imo 0 H T H T, B 0 d cui H T, B = Z. L prte rimnente dell successione è 0 H 1 T ψ 1 H1 T, B δ 1 H0 B ϕ 0 H0 T ψ 0 H0 T, B 0. di 5

3 er q = 1, considerimo l successione estt cort 0 H 1 T e per q = 0 l successione estt cort ψ 1 H1 T, B 0 ker ψ 0 H 0 T δ 1 im δ1 0 1 ψ 0 H0 T, B 0. er l estte dell successione lung, imo im δ 1 = ker ϕ 0 e ker ψ 0 = im ϕ 0, quindi studimo il morfismo di gruppi ϕ 0 : H 0 B = Z [ ] B Z []B H0 T = Z [ ] T. Dl momento che T h un sol componente conness contenente i punti e, imo ϕ 0 [ ] B = ϕ 0 [] B = [ ] T, d cui im ϕ 0 = Z [ ] T e ker ϕ 0 = Z [ ] B [] B. L successione estt cort 1 0 Z [] Z [] H 1 T, B Z [ ] B [] B 0 spe, quindi H 1 T, B = Z [] Z [] Z [ ] B [] B Z 3. Infine per q = 0, imo H 0 T, B H 0T = H 0T = Z [ ]T ker ψ 0 im ϕ 0 Z = 0}. [ ] T Riepilogndo 0}, q = 0 o q >, H q T, B = Z 3, q = 1, Z, q =. Soluione. Condiione necessri ffinché B = si un retrtto di T è che per ogni q N, H q T = H q B H q T, B roposiione 7.18 delle dispense. uindi B non è un retrtto perché H 0 T Z e H 0 B Z e H 0 T, B 0}. er costruire un sottospio A contenente B che si un retrtto di T, considerimo l rppresentione di T come quoiente di I I. Si ρ : I T l mpp di pssggio l quoiente. Considerimo un funione continu f : I I tle che f =, f = e f0 = f1. Denotto con Γ il grfico di f, sceglimo come sottospio A = ργ A 3 di 5

4 e come retrione l mpp r = ρ r : T A indott dll funione continu r : I Γ r, =, f,, I. Eserciio 3. Si rispond i seguenti quesiti. 3 Si clcolino tutte le soluioni del seguente sistem di equioni in C: i = =. 3 Si dic per quli vlori di C, l funione f : C C, definit ponendo per ogni, R, è olomorf. f + i := Soluione 3. L prim equione del sistem si fttori i = i = e i π 4 e i 5 4 π = 0. er determinre le soluioni del sistem, controllimo quli delle 3 soluioni dell prim equione risolvono nche l second. Osservimo che = = Re 5. = 0 0 = e i π 4 Re e i 5 4 π 5 = cos 4 π = = e i 5 4 π Re e i 5 π 4 π = cos 4 + 6π = = Soluione 3. Cerchimo di cpire per quli C, sono verificte le equioni di Cuch- Riemnn. Innnitutto, ponimo = + i, d cui f +i + i = i + e u, := e v, := +. Clcolimo le derivte prili: u, = + 1 +, u, = + +, v, =, v, = +. L funione f è olomorf su C se e solo se per ogni, R imo u, = v, = + = 0 u, = v, + + = = 1 = i. Eserciio 4. Si f MC l funione meromorf su C definit ponendo Si rispond i seguenti quesiti. f := 1 sinπ. 4 di 5

5 4 Si dimostri che f h un singolrità eliminile in = 0. 4 Si D := C < 3, Re > 0}, dove Re indic l prte rele di C. Si clcoli il seguente integrle: f d. Soluione 4. L singolrità in = 0 è eliminile se lim 0 f = 0. Inftti, imo lim f sinπ 0 =0 = 1 sinπ + o 0 1 π + o 0 1 π + o 0 1 π + o1 = 0. Soluione 4. Clcolimo l integrle pplicndo il teorem dei residui. L funione f h poli nei punti = n, n Z, quindi imo un polo = 1 interno l cmmino di integrione e un polo = 0 che pprtiene l supporto del cmmino di integrione. uesto punto non dà prolemi, perché trttndosi di un singolrità eliminile, possimo clcolre l intergrle utilindo l unic funione f estensione olomorf di f in 0 e coincidente con f negli ltri punti Teorem 9.34 delle dispense: f d = f d = πires 1 f = πires 1 f. Il polo in = 1 è di ordine, quindi pplichimo il Lemm 1.13 delle dispense 1 Res 1 f = 1! lim 1 1 sinπ π 1 cosπ 1 1 sinπ 1 sin. π Considerimo gli sviluppi l primo ordine centrti in = 1 delle funioni seno e coseno sinπ = sinπ =1 + sinπ =1 1 + o 1 = π 1 + o 1, cosπ = cosπ =1 + cosπ =1 1 + o 1 = 1 + o 1, d cui deducimo 1 π 1 + o 1 π o 1 Res 1 f 1 π 1 + o 1 = π o 1 + π 1 + o 1 1 π 1 + o 1 = 1 π + π + π + o 1 1 π 1 + o 1 = π 1 + o 1 1 π 1 + o 1 = 1 π lim o1 1 + o1 = 1 π. In conclusione, f d = πires 1 f = i. Ricordimo che l derivt second di sinπ si nnull in = 1, quindi sinπ = π 1 + o 1 = π 1 + o 1. 5 di 5