1 Integrali impropri di funzioni continue

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1 ntegrli impropri di funzioni continue. ntegrli impropri su intervlli semiperti Definizione Dt un funzione continu f : [, b) R, con b +, si dice che f è integrbile se esiste finito il t b f(x) dx ed in tl cso il vlore del ite si chim integrle di f e si denot con f(x) dx. Denotndo con F (t) := f(x)dx l funzione integrle di f, llor f è integrbile se l funzione integrle F (t) mmette ite finito per t b. Se f è integrbile si dice nche che l integrle è convergente, mentre se il ite esiste ed è infinito, si dice che l integrle è divergente. Osservimo che se f h segno costnte in [, b) llor l funzione integrle è monoton, crescente se f(x), decrescente se f(x), quindi il ite esiste, finito o infinito. Studimo or l integrbilità di lcune semplici funzioni. Esempio Si f(x) = cos x in [, + ). Allor cos x dx = [sin x]t = sin t e sin t non esiste, quindi f non è integrbile. Esempio 2 Si f(x) = x in [, + ). Allor log t = +, f non è integrbile. Esempio 3 Si f(x) = x 2 in [, + ). Allor t =, quindi f è integrbile e x dx = [log x x]t = log t ed essendo dx =. dx = [ /x] t x 2 = e t Esempio 4 Si f(x) = 2, x [, ). Allor f(x) dx = [ x] t x = t e t f(x) dx =, quindi l integrle converge e vle. Dgli ultimi due esempi or considerti segue che l re di un regione di pino ilitt non è necessrimente infinit. Come mostrto negli esempi, l verific dell integrbilità si può fre contestulmente l clcolo dell integrle, pplicndo l definizione. l integrbilità o meno

2 di un funzione si può studire nche priori, senz clcolre l integrle, utilizzndo degli opportuni criteri che verrnno stbiliti nel seguito. ntnto osservimo che l convergenz o l divergenz dell integrle dipendono solo dl comportmento dell funzione per x b, ovvero: dte due funzioni f, g : [, b) R, se < b : f(x) = g(x) x [, b), llor f(x)dx e g(x)dx hnno lo stesso comportmento (non lo stesso vlore), cioè sono entrmbi convergenti o entrmbi divergenti. nftti, quindi, poiché f(x) dx = g(x)dx converge. = f(x) dx + f(x) dx = [f(x) g(x)] dx + [f(x) g(x)]dx è un costnte, f(x) dx + g(x) dx, g(x) dx = f(x)dx converge se e solo se Nel cso in cui l integrle f(x)dx converge, quest osservzione giustific l dicitur f è integrbile intorno b o l notzione f(x)dx < +, prescindere dl primo estremo di integrzione. Al fine di studire l integrbilità priori di un funzione, enuncimo i due seguenti criteri di confronto, che permetternno di ricondurre lo studio dell integrbilità di f quell di funzioni note. Proposizione Sino f, g : [, b) R due funzioni continue, tli che f(x) g(x) per ogni x [, b) () per qulche [, b). Allor se g è integrbile lo è nche f e si h f(x) dx g(x) dx. nvece, se f(x) g(x) per ogni x [, b) (2) per qulche [, b), e se g(x)dx = +, llor nche f(x)dx = +. Dimostrzione. Se vle (), llor per ogni x [, b) si h g(x) f(x) 2g(x), quindi (g(x) f(x)) dx 2 g(x) dx e pssndo l ite per t b si h (g(x) f(x)) dx 2 2 g(x) dx < +

3 (entrmbi i iti esistono perché le funzioni integrnde sono non negtive). Di conseguenz, t b ( f(x) dx = g(x) dx t b = g(x) dx (g(x) f(x)) dx ) (g(x) f(x)) dx = dove nell ultim uguglinz bbimo usto il ftto che entrmbi i iti esistono finiti. Quindi, f(x) dx = g(x) dx (g(x) f(x)) dx g(x) dx. Ripetendo il rgionmento per f(x) (che soddisf l ipotesi ()), si ottiene l ltr disuguglinz f(x)dx nvece, se vle (2), si h g(x)dx, pertnto f(x) dx g(x) dx. f(x)dx g(x)dx, t [, b), quindi se l integrle g(x)dx diverge, nche l integrle f(x)dx diverge. Come immedit conseguenz del precedente risultto si h che se f è integrbile, llor nche f lo è e si h f(x) dx f(x) dx. l vicevers in generle non sussiste, come mostr il seguente esempio. Esempio 5 Si f : [, + ) R definit d Per ogni t > si h x sin(π 2 x)dx = [ 2 πx cos π 2 x ] t f(x) = x sin(π 2 x). 2 π Osservimo che esiste finito il ite x cos(π 2 2 x)dx = 2 πt cos(π 2 t) 2 π x cos(π 2 2 x)dx. (3) 2 πt cos(π t) =. 2 3

4 noltre, dto che x cos π 2 2 x x x 2 e che l funzione g(x) = x 2 è integrbile in [, + ) come mostrto nell Esempio 3, dll Proposizione deducimo che nche l funzione h(x) = x 2 cos π 2 x è integrbile in [, + ). Quindi nell (3) esiste finito nche il ite e l f(x) risult integrbile. x 2 cos(π 2 x)dx Dimostrimo or che f(x) non è integrbile utilizzndo ncor l Proposizione, second prte. Definimo l funzione g : [, + ) R ponendo g(x) = x 2n x per 2n x < 2n + ; n =, 2,... cioè g(x) è l funzione linere trtti che vle nei punti x = 2n e vle 2n punti x = 2n, n N. Quindi, g(x) = f(x) per ogni x N. Per l concvità dell funzione sin( π 2 x) in [, 2] e osservndo che sin( π 2 x) è periodic di periodo 2, deducimo che f(x) g(x) per ogni x. nfine, poiché g(x) per ogni x, il ite nei g(x)dx esiste, finito o infinito, e quindi può essere clcolto su un generic successione divergente (t n ) n. Scegliendo t n = 2n +, si h g(x)dx = 2n+ n + g(x)dx = n + Di conseguenz, per l Proposizione, f(x) non è integrbile. n k= 2n + = 2n + = +. l prossimo criterio è bsto su un confronto sintotico per x b. n= Proposizione 2 Sino f, g : [, b) R funzioni continue positive, tli che esiste il f(x) =: l [, + ]. Allor, x b g(x) - se l (, + ), gli integrli f(x)dx e g(x)dx hnno lo stesso comportmento (cioè sono entrmbi convergenti o entrmbi divergenti) - se l =, llor e f(x) dx = + g(x) dx < + g(x) dx = + f(x) dx < + 4

5 - se l = +, llor e g(x) dx = + f(x) dx < + f(x) dx = + g(x) dx < +. Dimostrzione. Nel cso in cui l (, + ), scegliendo ɛ (, l), dll definizione di ite segue che esiste un vlore rele < b tle che Pertnto < (l ɛ) < (l ɛ)g(x) f(x) (l + ɛ)g(x) x [, b). g(x) dx f(x) dx (l + ɛ) g(x) dx, t (, b). Dto che le funzioni integrli nell formul precedente mmettono ite (finito o infinito) per t b, deducimo che g(x)dx è finito se e solo se f(x)dx lo è. nvece nel cso in cui l =, possimo utilizzre solo l ultim delle disuguglinze dell precedente formul, cioè scelto ɛ > si h f(x) (l + ɛ)g(x) in un intorno sinistro di b, d cui l sserto. g(x) nfine, se l = +, llor = e possimo pplicre l sserto del punto x b f(x) precedente invertendo f con g. Come sopr ccennto, il precedente criterio verrà utilizzto per studire l integrbilità di un funzione priori, riconducendol quell di funzioni cmpione, che srnno: g(x) := con α prmetro rele positivo. se b < +, g(x) := se b = + (b x) α x α Lo studio dell integrbilità per tli funzioni è molto semplice e si f direttmente con l definizione. nizimo col cso di intervlli itti, cioè b < +. n tl cso, per α si h e di conseguenz dx = (b x) α α [(b x) α ] t = ( (b t) α (b ) α) α t b { (b x) dx = α 5 + se α > (b ) α α se α <

6 nvece, per α = t b b x l integrle è divergente. enunci: dx = t b (log(b ) log(b t)) = +, quindi Utilizzndo tle funzione come funzione cmpione g(x), l Proposizione 2 si Proposizione 3 Si f un funzione continu e positiv su [, b). Allor: i) se esiste α > tle che f(x)(b x)α = l (, + ), llor se α x b l integrle f(x)dx diverge, mentre se α < l integrle converge; ii) se esiste α < tle che x b f(x)(b x)α =, llor l integrle converge; iii) se f(x)(b x) = +, llor l integrle diverge. x b Osservimo innnzitutto che se f(x) è itt in un intorno sinistro di b, llor f(x)(b x)α = per ogni < α <, quindi l integrle converge come x b conseguenz dell (ii). nvece, nel cso in cui f(x) ± per x b, l ordine di infinito deve essere minore di, perché se è mggiore o ugule d, l integrle certmente diverge. Osservimo comunque che se un funzione è un infinito di ordine minore di, non è detto che si integrbile. l precedente risultto fferm inftti che se un funzione è un infinito di ordine minore o ugule d α per qulche α <, llor l integrle converge. A tle proposito, considerimo d esempio l funzione f(x) := Clcolndo direttmente l integrle si h t 2 x log x = x log( x), x [ 2, ). f(x) dx = t [ log log x ]t 2 = + quindi l integrle diverge. Osservimo che f(x) = + e che xf(x) =, x x quindi l funzione è un infinito di ordine minore di, m è di ordine mggiore di α, per ogni α <. Considerimo or il cso di intervlli ilitti, cioè il cso b = +. Le funzioni cmpione sono g(x) = dell integrle, che x α. È fcile verificre medinte il clcolo diretto dx converge se e solo se α >, xα cioè se l ordine di infinitesimo è mggiore di. n questo cso l Proposizione 2 si enunci: 6

7 Proposizione 4 Si f un funzione continu e positiv su [, + ). Allor: i) se esiste α > tle che x + f(x)xα = l (, + ), llor se α l integrle f(x)dx diverge, mentre se α > l integrle converge; ii) se esiste α > tle che iii) se x + f(x)xα =, llor l integrle converge; xf(x) = +, llor l integrle diverge. x + Pertnto, se f è un infinitesimo di ordine mggiore o ugule d α, per qulche α >, l integrle converge; mentre se è un infinitesimo di ordine minore o ugule d llor l integrle diverge. Esempio 6 L funzione f(x) = log x è integrbile in [, + ), inftti x 3 x 2 2 f(x) = x + e l integrbilità segue come ppliczione del punto ii) dell proposizione precedente. A proposito dell esistenz o meno del ite di f per x +, vle il seguente risultto, immedit conseguenz dell proposizione precedente, che fornisce un condizione necessri per l integrbilità. Proposizione 5 Se f è integrbile intorno + e se esiste il llor necessrimente λ =. f(x) = λ R, x + Dim. Supponimo per ssurdo λ >. Allor, per l permnenz del segno l funzione f è positiv in un semirett destr e inoltre xf(x) = + x + e quindi l integrle diverge come conseguenz dell (iii) dell Proposizione 4. nvece, se λ <, bst considerre l funzione f(x). Osservimo che l condizione λ = è necessri per l convergenz dell integrle nel cso in cui λ esiste (finito o infinito). Se invece λ non esiste, null si può dire null priori sull convergenz o divergenz dell integrle. L Proposizione 5 si può usre come criterio di divergenz dell integrle, perché se l esiste ed è diverso d, llor sicurmente l integrle diverge. nvece se l esiste ed è, llor l integrbilità dell funzione dipende dll ordine di infinitesimo per x +, come bbimo visto precedentemente. A questo punto è fcile notre l grnde nlogi tr i criteri di convergenz e divergenz delle serie e degli integrli impropri sulle semirette, m il legme è ncor più rilevnte, come emerge dl seguente criterio di confronto tr integrli e serie. 7

8 Proposizione 6 Si f : [, + ) R un funzione continu, decrescente e positiv. Allor l integrle + f(x)dx e l serie f(n) hnno lo stesso comportmento. noltre, in cso di convergenz, si h f(x) dx n= f(n) f() + n= f(x) dx. (4) Dim. Osservimo che n f(k) k= n f(x) dx n f(k). Quindi, ricordndo che l somm przile n-esim dell serie è S n = S n f() n k= n f(k), si h k= f(x) dx S n n N. (5) Poiché f(x) >, entrmbe le successioni (S n ) n e ( n f(x)dx) n sono monotone crescenti, quindi regolri, e il ite coincide con l estremo superiore. Dll prim disuguglinz deducimo che se l integrle converge nche l serie converge, dll second disuguglinz deducimo che se l serie converge nche l integrle converge; quindi hnno lo stesso comportmento. noltre, in cso di convergenz, pssndo l ite nell (5), si ottiene f(n) f() n= f(x) dx f(n), n= cioè l (4). Nturlmente, il criterio ppen dimostrto si può nche pplicre serie in cui l indice inizi d nziché d, f(n), confrontndole con l integrle f(x)dx n= e sostituendo f() con f() nell stim (4). Come ppliczione, considerimo l serie rmonic n= n α. l confronto con l integrle dx, riconduce l ftto che l serie converge se e solo se α >, xα m or possimo nche ottenere un stim dell somm nel cso α >. nftti, poiché l integrle vle α e f() =, dll (4) si ottiene che α n= n α 8 α α.

9 Per esempio, nel cso α = 2, si h n= n 2 2. Tutti i criteri di convergenz ppen visti vlgono per funzioni positive. Nel cso di funzioni di segno qulunque, si può studire l integrbilità del modulo dell funzione (integrbilità ssolut), che implic l integrbilità. Dt l importnz dell integrbilità ssolut di un funzione, dimo l seguente definizione. Definizione 2 Un funzione f si dice sommbile in [, b) se l funzione f(x) è integrbile. Concludimo con il seguente risultto per il clcolo integrle. Teorem 7 Si f un funzione continu e integrbile in [, b). Allor dove P è un qulunque primitiv. f(x)dx = P (t) P () t b Nturlmente, tutt l trttzione ftt per funzioni definite su intervlli semiperti destr del tipo [, b) può ripetersi in modo del tutto nlogo per funzioni definite su intervlli semiperti sinistr del tipo (, b], invertendo i ruoli di e b..2 ntegrli impropri su intervlli perti A questo punto è del tutto nturle cercre di estendere l definizione di integrbilità per funzioni continue definite su intervlli perti (, b), come d esempio tutto l sse rele. n quest ultimo cso, un prim ide potrebbe essere quell di definire l integrbilità in tutto R medinte l esistenz del ite t f(x)dx. (6) Tuttvi quest definizione port delle contrddizioni nel cso si voglino preservre proprietà del tutto nturli per gli integrli, qule d esempio l dditività sugli intervlli. nftti, è bbstnz nturle pensre che se un funzione è integrbile in tutto R, llor ess debb essere integrbile in ogni intervllo contenuto in R e che l integrle debb essere dditivo. Or, considerndo l funzione continu { x se x h(x) := se x > x 9

10 osservimo che entrmbi gli integrli h(x)dx e h(x)dx divergono (rispettivmente + e ), mentre per l simmetri dispri dell funzione si h t h(x)dx = per ogni t, quindi esiste il ite in (6) e vle zero. Per evitre tli situzioni, si dà l seguente definizione: Definizione 3 Un funzione continu f : R R si dice integrbile se è integrbile in [, + ) e in (, ] ed in tl cso si pone f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx. Quindi, considerndo tle definizione, l funzione h(x) dell esempio precedente non risult integrbile. Osservimo comunque che se si è stbilito priori che un funzione f è integrbile in R, llor il vlore dell integrle coincide con il ite in (6). nftti, vle il seguente risultto. Proposizione 8 Se esiste f(x)dx llor f(x)dx = t f(x)dx. Dimostrzione. f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx = t f(x)dx+ dove nell ultim uguglinz si è usto il ftto che entrmbi i iti e f(x)dx = f(x)dx t t f(x)dx f(x)dx esistono finiti e pertnto l loro somm è l somm dei iti (non si verific l form di indecisione ). n certe situzioni può risultre comunque utile verificre se esiste il ite in (6), nche se l funzione non è integrbile. Per evitre equivoci, il vlore del ite in (6) viene chimto vlore principle dell integrle, e si scrive v.p. f(x)dx := f(x)dx. t Quindi, ricpitolndo, se un funzione è integrbile su R, llor l integrle coincide col vlore principle, mentre quest ultimo può esistere nche se l funzione non è integrbile. Osservimo infine che se f h definitivmente segno costnte, cioè se

11 esiste K > tle che f(x) (oppure f(x) ) per x > K, llor l funzione è integrbile se e solo se il vlore principle è finito. nftti, in tl cso non si verific l form di indecisione. Volendo generlizzre tle definizione d un generico intervllo perto (, b), possimo dire che: Definizione 4 Un funzione continu su (,b) è integrbile se scelto rbitrrimente un punto c (, b), esistono finiti entrmbi gli integrli c f(x) dx e c f(x) dx ed in tl cso l integrle di f su (, b) è l somm dei due integrli. È fcile verificre che tle definizione non dipende dll scelt del punto c, dto che come bbimo visto l integrbilità dipende solo dl comportmento dell funzione per x + e per x b, e l integrle è dditivo sugli intervlli. Esempio 7 L funzione f : ( + ) R definit d f(x) = x 2 + è integrbile in x (, + ). nftti, è positiv e per x + è un infinitesimo di ordine 2, mentre per x + è un infinito di ordine <, quindi esistono finiti entrmbi gli integrli 2 f(x) dx e f(x) dx. Anche in questo cso vle il seguente risultto per il clcolo integrle. Teorem 9 Si f un funzione continu e integrbile su (, b). Allor dove P è un qulunque primitiv. f(x)dx = P (t) P (t) t b t + 2 ntegrli di funzioni generlmente continue 2. ntegrbilità di funzioni generlmente continue Definizione 5 Si un intervllo di R (itto o ilitto). Un funzione f : R si dice generlmente continu (in breve g.c.) se l insieme dei suoi punti di discontinuità non h punti di ccumulzione reli, ovvero se in ogni sottointervllo itto di mmette l più un numero finito di punti di discontinuità.

12 Ad esempio, l funzione [x] (prte inter di x) è g.c., perché è discontinu solo nei numeri interi. È g.c. nche l funzione f(x) = /x per x, f() =. Nel seguito diremo che un proprietà di tipo puntule è soddisftt qusi ovunque (in breve q.o.) se l insieme dei punti in cui non vle non h punti di ccumulzione reli. n reltà nell lettertur mtemtic il termine qusi ovunque h un diverso significto. Viene usto nel contesto più generle dell teori dell misur e signific d eccezione l più di un insieme di misur null. L mbito in cui è più frequentemente usto è quello dell misur ed integrzione secondo Lebesgue, che rigurd un clsse di funzioni più mpi di quell delle funzioni generlmente continue, cui noi ci itimo. Comunque, nel contesto in cui useremo questo termine, il significto che bbimo dto è equivlente quello usule. L proprietà di invrinz per l integrle (sugli intervlli itti) fferm che se un funzione itt e integrbile viene ltert in un numero finito di punti, l funzione ottenut è ncor itt e integrbile ed il vlore dell integrle rimne invrito. Quindi, pensndo nche gli integrli impropri, è del tutto nturle considerre equivlenti due funzioni che sono uguli q.o., cioè: Definizione 6 Due funzioni f e g generlmente continue si dicono equivlenti (f g) se sono uguli q.o. Di ftto, d or in poi, non distingueremo più due funzioni equivlenti, e qundo prleremo di un funzione f, intenderemo l clsse di equivlenz di f, cioè l fmigli delle infinite funzioni g.c. d ess equivlenti. Anzi, potremo prendere in considerzione funzioni continue, definite solo q.o. su R. Per introdurre il concetto di integrbilità per funzioni g.c., distinguimo i csi in cui si un intervllo itto, un semirett o tutto R. Se = (, b) è un intervllo itto, llor un funzione f g.c. definit su mmette l più un numero finito di punti di discontinuità, dicimo c, c 2,..., c N. Allor l funzione f si dice integrbile se lo è in ogni intervllo (c k, c k+ ), k =,..., N, dove bbimo posto c = e c N+ = b. n tl cso, si pone f(x) dx := N ck+ k= c k f(x) dx. nvece, se è un semirett del tipo (, + ), llor si può decomporre in un numero finito o un infinità numerbile di intervlli perti n = ( k, k+ ), in ciscuno 2

13 dei quli f è continu. Pertnto è nturle definire l funzione integrbile se è integrbile in ogni intervllo n e se n n+ n f(x)dx < +, dove l sommtori è ftt su un numero finito di ddendi (e in tl cso h certmente un vlore finito) o un numero infinito di ddendi. n tl cso, si pone n+ f(x) dx := n n f(x)dx. Anlog è l definizione di integrbilità sulle semirette (, ). nfine, nel cso = R, dimo l seguente definizione. Definizione 7 Un funzione f : R R g.c. si dice integrbile se lo è in (, ) e in (, + ) e in tl cso si pone f(x) dx = f(x) dx + R f(x) dx. Osservimo che se = R esistono due successioni ( n ) n e (b n ) n in R (cioè tli che possono ssumere nche i vlori ± ), tli che b n+ b n b = = n n+, n N; se n o b n, n, sono reli (non ± ), llor sono punti di discontinuità di f; inf b n = e sup n = + ; f è continu in (b n+, b n ) e in ( n, n+ ), per ogni n. Per ciscun di tli successioni si possono verificre solo 2 eventulità: o sono strettmente monotone (ed in tl cso l funzione mmette infiniti punti di discontinuità, positivi o negtivi), oppure ssumono i vlori ± per qulche n (e quindi per tutti gli indici d n in poi), ed in tl cso l funzione h solo un numero finito di punti di discontinuità. Ponendo, per convenzione, f(x)dx = e f(x)dx =, è fcile verificre + che f è integrbile se e solo se f è integrbile in ogni ( n, n+ ) e (b n+, b n ), n ; le due serie n= n+ n f(x)dx e n= n b n+ f(x)dx sono entrmbe convergenti. 3

14 noltre f(x) dx = n+ n= n= n f(x)dx + n b n+ f(x)dx. Osservimo infine che ponendo n := b n, possimo scrivere l integrle medinte un serie bilter: f(x) dx = n= n+ n f(x)dx. Dt un funzione f : R, si definiscono le funzioni prte positiv e prte negtiv di f nel modo seguente: f + (x) := mx{f(x), }, f (x) := mx{ f(x), }. Si verific fcilmente che f(x) = f + (x) f (x) e f(x) = f + (x) + f (x). Nturlmente, f è g.c. se e solo se f + ed f sono g.c., inoltre se f è g.c. nche f lo è (m non vicevers). nfine, osservimo che f è integrbile f +, f sono entrmbe integrbili. nftti, essendo f + (x) f(x) e f (x) f(x), se f è integrbile, lo sono nche f + ed f. Vicevers, essendo f(x) = f + (x)+f (x), se queste sono integrbili lo è nche f perché somm di funzioni integrbili. Dimo llor l seguente definizione. Definizione 8 Un funzione f : R g.c. si dice sommbile se f è integrbile (o equivlentemente se f + ed f sono entrmbe integrbili). Quindi ogni funzione sommbile è integrbile (perché differenz di due funzioni integrbili), m non vle il vicevers. concetti e le definizioni sopr esposte si possono dre nche per funzioni vlori complessi f : C, pensndoli riferiti ll prte rele Re(f) e immginri m(f): Definizione 9 Un funzione f : C si dice generlmente continu, integrbile o sommbile, se lo sono rispettivmente Re(f) ed m(f). noltre, si pone f(x)dx := Re(f(x))dx + i m(f(x))dx. A proposito dell sommbilità osservimo che Re(f) ed m(f) sono sommbili se e solo se f(x) è sommbile, inftti Re(f(x)), m(f(x)) f(x) Re(f(x)) + m(f(x)). 4

15 2.2 Spzi di funzioni generlmente continue Nel seguito denoteremo con L () l fmigli delle funzioni f : C generlmente continue e sommbili, cioè L () := {f : R : f è g.c. e f(x) dx < +.} Anche questo proposito osservimo che nell lettertur mtemtic il simbolo L () denot l clsse più mpi delle funzioni sommbili secondo Lebesgue. Noi ci iteremo trttre l sottofmigli dell funzioni g.c., per le quli l sommbilità secondo Lebesgue e secondo Riemnn sono equivlenti. È fcile verificre che L () è uno spzio vettorile sul cmpo C, con le usuli operzioni di somm tr funzioni e prodotto di un funzione per uno sclre. noltre, è possible definire un norm nel modo seguente: f := f(x) dx. L norm ppen definit soddisf i 3 ssiomi crtteristici delle norme, cioè: f = f ; αf = α f per ogni α C; f + g f + g. Oltre d L (), possimo definire nche gli spzi funzionli L p (), con p : L p () := {f : C : f è g.c. e f(x) p < + } per p < + ; L () := {f : C : f è itt in } dove nell definizione di L si intende che f è ugule q.o. d un funzione itt su. Nturlmente se f, g L (), nche αf + βg L. nvece, se p <, per l convessità dell funzione x x p, per ogni, b > si h ( +b 2 )p p +b p 2, cioè (+b) p 2 p ( p + b p ). Quindi se f, g L p () llor nche αf + βg L p (), cioè L p () è uno spzio vettorile. Anche in tli spzi possimo definire delle norme nel modo seguente: ( f p := ) f(x) p p dx, f := inf g f sup x g(x). 5

16 Ad esempio, dt f(x) := in [, + ), si h che f x L2 ([, )) e f 2 = dx = x 2. Più in generle, f L p per ogni < p < e f p =. (p ) p L dimostzione che p soddisf gli ssiomi di norm richiede ulteriori risultti e non verrà riportt. Nello spzio L 2 () è possibile definire nche un prodotto sclre che induce l norm 2 : f, g := f(x)g(x)dx. Tle prodotto è ben definito, essendo f(x)g(x) 2 ( f(x) 2 + g(x) 2 ). noltre, f, f = ( ) f(x) 2 2 dx = f 2. Se è un intervllo itto, si può verificre che vlgono le seguenti inclusioni: L () L p () L q () L () per ogni q p. Tli inclusioni non vlgono se non è itto. Ad esempio, le funzioni costnti non nulle sono elementi di L (R), m non di L p (R) per qulsisi p < ; l funzione f(x) = sin x x non pprtiene d L ([, + )), m f L 2 ([, + )). Rigurdo l clcolo integrle per funzioni g.c., vle il seguente risultto, di cui non riportimo l dimostrzione. Teorem Si f : C un funzione continu su tutto, derivbile q.o. con derivt prim g.c. e sommbile sui sottointervlli itti di. Allor x2 x f (x)dx = f(x 2 ) f(x ) per ogni x, x 2. 6