CALCOLO DIFFERENZIALE INTEGRALE a.a

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1 CALCOLO DIFFERENZIALE INTEGRALE ELENA MUSELLI Dispense per il corso di lure in Informtic dell.. 0/0

2 CAPITOLO. - Simboli e notzioni signific esiste/ono ; st per non esiste/ono ; signific per ogni, per tutti ; := signific ugule per definizione (è usto per introdurre notzioni). = e si leggono rispettivmente implic e se e solo se. Sino φ e ψ due ffermzioni: φ = ψ signific che se è ver φ llor è ver nche ψ φ ψ vuol dire che φ è ver se e solo è ver ψ Prodotto crtesino A B di due insiemi A, B è l insieme delle coppie ordinte (, b) di un elemento di A e di un elemento di B ossi A B := {(, b) : A, b B}.. - Insiemi numerici L insieme dei numeri nturli si denot con N, ossi N + := {,, 3,...} i numeri nturli positivi. Prticolri sottoinsiemi di N sono: N:={0,,, 3,...} ; denotimo con i numeri pri: {n N : n =m, m N + } i numeri dipri: {n N : n =m +,m N} Si denot con Z l insieme dei numeri interi e con Q l insieme dei numeri rzionli: Z:={..., 3,,, 0,,, 3,...} Q:={ p m : p Z, m N+ }. NUMERI REALI: costituiscono un insieme di numeri, che denotimo con R, nei quli sono definite un somm, un prodotto ed un relzione d ordine (<), che soddisfno le usuli regole lgebriche. Il sottoinsieme di R costituito d R\Q è detto insieme dei numeri irrzionli. Denoteremo R + := {x R : x>0} R := {x R : x<0}. Ricordimo lcune proprietà di R ; dti x,y,z,w R, si h: ) x<y, z w = x + z<y+ w ; ) x<y, z>0 = xz <yz ; ) x<y, z<0 = xz >yz. 3) 0 x<y, 0 z<w = xz <yw ; 4) p, q Q, x R\Q tle che p<x<q. 5) x, y R\Q, q Q tle che x<q<y. 6) Dto x R, unico un elemento m Z tle che m x<m+. Tle numero m è detto prte inter di x e si denot m =[x]. Notzioni: b = +( b), se b 0, b = b.

3 Rppresentzione grfic di R. Fissto su di un rett r un punto o, detto origine, e l unità di lunghezz, si f corrispondere d ogni numero rele x>0 il punto dell rett r, destr dell origine, l cui distnz d o misuri x. Ad un numero x<0 ssocimo il punto sinistr dell origine vente distnz x d o. Vicevers, d ogni punto destr dell origine corrisponde un numero > 0 dto dll distnz del punto d o, mentre d ogni punto sinistr dell origine corrisponde un numero < 0 dto dll opposto del vlore dell distnz del punto d o. Rppresentzione grfic di R = R R. Considerimo due rette ortogonli tr loro (un orizzontle e un verticle) dette ssi crtesini ortogonli, denotimo con (0, 0) il punto intersezione, detto origine degli ssi, e su ognun delle due rette rppresentimo R. L sse orizzontle è detto sse delle scisse l ltro sse delle ordinte. Associmo ll coppi (, b) R il punto intersezione dell rett ll sse delle scisse nel punto con l rett ll sse delle ordinte nel punto b. Denoteremo tle punto con P(, b); i vlori e b sono le coordinte di P: rispettivmente sciss ed ordint. L bisettrice del primo e terzo qudrnte è il sottoinsieme: {(x, y) :y = x, x R} = {(x, x) : x R}. Simmetrie. Dt un coppi (, b) R si hnno le seguenti simmetrie (vedi figure seguenti): il punto (, b) è il simmetrico di (, b) rispetto ll sse delle ordinte; il punto (, b) è il simmetrico di (, b) rispetto ll sse delle scisse; il punto (, b) è il simmetrico di (, b) rispetto ll origine; il punto (b, ) è il simmetrico di (, b) rispetto ll bisettrice del primo e terzo qudrnte. 3

4 .3 - Intervlli, intorni Dti, b R, < b ricordimo che, si definiscono intervlli gli insiemi seguenti: (, b) ={x R: <x<b} [, b] ={x R: x b} [, b) ={x R: x<b} (, b] ={x R: <x b} (, + ) ={x R: <x}, [, + ) ={x R: x}, (,)={x R: x<}, (,]={x R: x }. Gli intervlli (, b), (, + ), (,) sono detti perti, gli intervlli [, b], [, + ), (,] sono detti chiusi. Dto un punto x 0 R diremo intorno di x 0 di rggio r l intervllo perto (x 0 r, x 0 + r). Diremo, rispettivmente, intorno destro e intorno sinistro di x 0 di rggio r gli intervlli perti (x 0,x 0 + r) (x 0 r, x 0 )..4 - Vlore ssoluto Definizione. Il vlore ssoluto o modulo di un numero x R, che denotimo x, è definito d { x se x 0 x = x se x<0 Le seguenti proprietà discendono direttmente dll definizione precedente: ) x 0 x R; 4) x x x x R; ) x =0 x = 0; 5) xy = x y x, y R ; 3) x = x x R; 6) x y = x y x R, y R\{0}. Teorem. - Dti x,y, z R vlgono le seguenti relzioni: 7) Dto 0 si h: x x e x {x } {x }. 7 ) Dto >0 si h: x < <x< e x > {x< } {x>}. 8) y + z y + z e y z y + z (diseguglinz tringolre); 9) y ± z y z ed nche y ± z z y ; 0 ) y z y z. Dimostrzione. - Verifichimo soltnto l 7). Dll definizione di x, l relzione x si riscrive come { x 0 x { x<0 x ; il primo sistem equivle d 0 x, mentre dl secondo si h x<0 ; unendo i due risultti si ottiene l prim prte dell 7). L second prte si dimostr in modo nlogo. 4

5 Esempi - Dll definizione di vlore ssoluto si ottiene: { 3 x se 3 x 0 { 3 x se x 3 ) 3 x = (3 x) se 3 x<0 e d 3 x 0 x 3 si h 3 x = 3+x se x>3. { x x se x x 0 ) x x = (x x ) se x x < 0 { x x se 0 x x x = x + x se x<0 e x> e d x x 0 0 x si h. Osservzione. - Con dimostrzione nlog quell vist per l 7) si ottengono le relzioni che sono utili per risolvere le disequzioni con i vlori ssoluti: P (x) Q(x) () P (x) (<) Q(x) (<) P (x) Q(x) (>) () P (x) Q(x) {P (x) Q(x)} (>) (>) {P (x) Q(x)} (<) Esempi - Risolvimo le disequzioni seguenti pplicndo le relzioni dell Osservzione.: ) x 0 x (dll () Oss..) {x } {x } 3 (, ] [, 3 ] [, + ). ) x x x > x x x < x x (dll () Oss..) { x 3x <0 x>0 (0, 3 ). { x x<x x x x> (x x ) 3) x x + x > 0 x >x x (dll () Oss..) { x>x x } { x< x + x } R. Osservzione. - Poichè l distnz tr due punti distinti x, y di R è dt d y x se y > x e d x y se x > y, utilizzndo l definizione di vlore ssoluto vremo: y x è l distnz tr x ed y ; x è l distnz del punto x d o. Ne segue che l intorno di x 0 di rggio r si può scrivere nei due modi equivlenti (x 0 r, x 0 + r) x x 0 <r. 5

6 .5 - Mssimo e minimo di sottoinsiemi di R Definizioni. Si A R,A. ) Se esiste α A t.c. x α x A llor α è detto il mssimo di A e si denot α = mx A. Si può verificre che se il mssimo esiste è unico. ) Se esiste β A t.c. β x x A llor β è detto il minimo di A e si denot β = min A. Si può verificre che se il minimo esiste è unico. Esempi ) Si A =[, 3) ; si h: x x A e A quindi = min A. Poichè 3 A, si può verificre che: non esiste un elemento di A che si di tutti gli ltri, quindi mx A. ) Si B =(, ] ; con considerzioni simili quelle viste per l insieme A si h min B e mx B =..6 - Mggiornti, minornti, estremo superiore (sup), estremo inferiore (inf) Definizioni. Si A R,A. ) Un numero k R t.c. x k x A è detto mggiornte di A. Denotimo M(A) l insieme dei mggiornti di A. Se M(A) si può verificre che esiste sempre il minimo di M(A) detto estremo superiore di A che si denot sup A. ) Un numero h R t.c. h x x A è detto minornte di A. Denotimo m(a) l insieme dei minornti di A. Se m(a) si può verificre che esiste sempre il mssimo di m(a) detto estremo inferiore di A che si denot inf A. Notzioni. Se M(A) = cioè sea non h mggiornti si denot, per convenzione, sup A =+. Se m(a) = cioè sea non h minornti si denot, per convenzione, inf A =. Proposizione. - Si A R,A, si h: Se sup A A llor mx A e si h mx A = sup A; se sup A A llor mx A. Se inf A A llor min A e si h min A = inf A; se inf A A llor min A. 6

7 Esempi ) Si A =[, 3) si h M(A) =[3, + ) = sup A =3 A = mx A m(a) =(, ] = inf A = A = min A =. ) Si C =(, 0] (, + ) si h M(C) = = sup C =+ = mx C m(c) =(, ] = inf C = C = min C..7 - Insiemi itti. Definizioni. Si A R. ) A è detto superiormente itto se K R t.c. x K x A ; ) A è detto inferiormente itto se N R t.c. N x x A ; 3) A è detto itto se lo è si sup.te che inf.te, cioè se K,N R t.c. N x K x A o equivlentemente M > 0 t.c. x M x A. 7

8 CAPITOLO. - Definizione di funzione e notzioni. Dti due insiemi A e B non vuoti, un funzione d A in B è un legge che d ogni elemento di A ssoci un solo elemento di B ed usimo l notzione: f : A B x f(x) dove A è i l dominio o insieme di definizione di f, B è i l codominio di f x è dett vribile, f(x) è dett immgine di x. L insieme Imf = f(a) :={f(x) :x A} è detto immgine o rngo di f. Se D A, l insieme f(d) :={f(x) :x D} è detto immgine di D ( secondo f ). Si definisce grfico di f il sottoinsieme di A B dto d G f := {(x, f(x)) : x A}.. - Prolungmenti e restrizioni. Definizione. - Si f : A B ; ) se C è un insieme t.c. A C, con A C ; un qulunque funzione g : C E t.c. g(x) =f(x) x A. è dett prolungmento di f C; ) se D A, D A, definimo restrizione di f D, con notzione f /D, l funzione f /D : D B t.c. f /D (x) =f(x) x D..3 - Iniettività, surgettività, bigettività. Definizioni. - Un f : A B è dett ) iniettiv se x x = f(x ) f(x ) (o equiv. f(x )=f(x ) = x = x ) ossi punti distinti hnno immgini distinte; ) surgettiv se y B, x A t.c. y = f(x) ossi ogni elemento del codominio B è immgine di qulche punto di A; 3) bigettiv se è si iniettiv che surgettiv. Osservzione. - Dll definizione di f(a) si h: f : A B iniettiv = f : A f(a) bigettiv. Nel seguito considereremo solo funzioni reli (cioè B R )di vribile rele (cioè A R). 8

9 .4 - Funzioni itte. Definizione. - Un f : A R è ) superiormente itt se K R t.c. f(x) K x A ; cioè se l insieme Imf è sup.te itto; ) inferiormente itt se N R t.c. N f(x) x A ; cioè se l insieme Imf è inf.te itto; 3) itt se N, K R t.c. N f(x) K x A o equiv.te M>0 t.c. f(x) M x A cioè se l insieme Imf è itto..5 - Punti di mssimo e punti di minimo (ssoluti e reltivi). Estremi ssoluti e/o reltivi. Definizione. - Si f : A R ed x 0 A; ) il punto x 0 è detto di mssimo (ssoluto) se: f(x 0 ) f(x) x A cioè f(x 0 ) = mx f(a), f(x 0 ) è detto vlore mssimo; ) il punto x 0 è detto di mssimo reltivo se: δ>0 t.c. f(x 0 ) f(x) x A (x 0 δ, x 0 + δ); 3) il punto x 0 è detto di minimo (ssoluto) se: f(x 0 ) f(x) x A cioè f(x 0 )=minf(a), f(x 0 ) è detto vlore minimo; 4) il punto x 0 è detto di minimo reltivo se: δ>0 t.c. f(x 0 ) f(x) x A (x 0 δ, x 0 + δ). I punti di mssimo e di minimo ssoluto (reltivo) sono detti estremi ssoluti (reltivi). Esempio - Dto il seguente grfico di un funzione f con dominio [, + ), bbimo: tre estremi reltivi ed un estremo ssoluto, inftti 9

10 x = è p.to di mssimo ssoluto perchè f( ) f(x) x dom f; x = è p.to di mssimo reltivo perchè f() f(x) x (0, ); x = è p.to di minimo reltivo perchè f( ) f(x) x [, ) = ( 3, ) dom f; x =0 è p.to di minimo reltivo perchè f(0) f(x) x (, )..6 - Funzioni pri e funzioni dispri. Definizioni. - Si f : A R, con A t.c. x A = x A. ) f è dett pri se f( x) =f(x) x A. Dll definizione di funzione pri, segue che x A si h: ) (x, f(x)) G f = (x, f(x)) G f e ( x, f(x)) G f ; ( x, f( x)) G f quindi, se f è pri, il suo G f è simmetrico rispetto ll sse delle ordinte. ) f è dett dispri se f( x) = f(x) x A. Dll definizione di funzione dispri, segue che x A si h: ) (x, f(x)) G f = (x, f(x)) e ( x, f(x)) G f ; ( x, f( x)) G f llor, se f è dispri, il suo G f è simmetrico rispetto ll origine..7 - Funzioni monotone. Definizioni. - Un funzione f : A R è dett ) crescente se x,x A, x <x = f(x ) f(x ); ) strettmente crescente se x,x A, x <x = f(x ) <f(x ); 3) decrescente se x,x A, x <x = f(x ) f(x ); 4) strett.te decrescente se x,x A, x <x = f(x ) >f(x ); 5) monoton se verific uno dei quttro csi precedenti..8 - Funzione compost. Definizione. - Sino f : A R e g : D R. Se f(a) D l funzione denott con g f e definit su A come: (g f)(x) =g(f(x)) x A è dett funzione compost di g con f. Se f(a) D m f(a) D, l funzione compost g f vrà come dominio l insieme dom (g f) ={x A : f(x) D}. 0

11 .9 - Funzione invers e sue proprietà. Osservimo che, se f : A R è iniettiv llor f : A f(a) è bigettiv e quindi y f(a) un solo x A t.c. y = f(x). L unicità di tle x è dt dll iniettività dell f. Si può, llor, definire su f(a) un funzione, dett funzione invers di f, nel modo seguente: Definizione. - Un funzione f : A R iniettiv è dett invertibile. L funzione f : f(a) A che d ogni y f(a) ssoci l unico elemento x A t.c. y = f(x) è dett funzione invers di f. Osservzione. - Ovvimente, se f è invertibile nche f è iniettiv e quindi invertibile e si h (f ) = f. Teorem.. - Si f : A R invertibile e si f l su invers; si h: ) dom f = f(a); ) y = f(x) x = f (y); 3) (f f)(x) =x, x A e (f f )(y) =y, y f(a); 4) G f e G f sono simmetrici rispetto ll bisettrice del I o e III o qudrnte. Dimostrzione. - Le prime tre discendono (in modo immedito) dll definizione. Verifichimo l proprietà 4). Si (x, y) G f. Dll definizione di G f si h y = f(x) d cui, per l ), ottenimo (x, y) =(f (y),y) che è il punto simmetrico, rispetto ll bisettrice del I o e III o qudrnte (vedi pg.3), di (y, f (y)) G f. Il teorem seguente dimostr come l strett monotoni si un condizione sufficiente per l invertibilità dell funzione. Teorem. - Si f : A R str.te monoton. Allor f è invertibile ed f h l stess monotoni dell f. Dimostrzione. - Supponimo che f si str.te crescente (nel cso str.te decrescente si procede nello stesso modo). Sino x,x A, x x.sex <x, dll strett crescenz di f,sih f(x ) <f(x ) quindi f(x ) f(x ); l stess conclusione si ottiene se x >x e quindi f risult iniettiv cioè invertibile. Considerimo, or, y,y f(a), y <y ed osservimo che dll iniettività di f si h f (y ) f (y ). Se fosse f (y ) >f (y ) si vrebbe, per l strett crescenz di f, f(f (y )) >f(f (y )) cioè y >y che contrddice l scelt di y ed y. Allor si h f (y ) <f (y ) cioè l strett crescenz di f. Osservzione.3 - L esempio seguente dimostr che: ci sono funzioni invertibili non str.te monotone.

12 Esempio - Considerimo l funzione f(x) = x. l iperbole in figur Si h domf = {x 0} ed il suo grfico, come noto, è Dl G f si deduce l iniettività di f : inftti, le rette orizzontli, che intersecno il G f, hnno un sol intersezione. Allor, ogni elemento di Imf è immgine di un solo elemento del dom f. L funzione f è quindi invertibile m non è str.te monoton. Inftti, mentre f /(0,+ ) (o f /(,0) ) è str.te decrescente, dll diseguglinz f( ) <f() si deduce che l funzione non è str.te decrescente sul dominio. Osservndo, inoltre, che il G f è simmetrico rispetto ll bisettrice del I o e III o qudrnte si ottiene che G f = G f e quindi l invers è dt d f (y) = y.0 - Funzioni elementri. Funzioni lineri, funzione modulo e funzione prte inter ) - f(x) =mx+ q, m, q R, m 0; dom f = R. Sono dette funzioni lineri. I loro grfici sono rette pssnti per i punti (0,q)e( q, 0). L ngolo che tli rette formno con l sse delle m scisse è: cuto se m>0, ottuso se m<0. m è detto coefficiente ngolre dell rett: se m>0 l funzione è str.te crescente, se invece m<0l funzione è str.te decrescente (vedi figur seguente): m>0 f str.te crescente m<0 f str.te decrescente

13 ) - f(x) = x ; dom f = R. { x x 0 Dll definizione di x = x x < 0 si ottiene il grfico f /(,0) è str.te decrescente f /(0,+ ) è str.te crescente f(x) = x è pri : f( x) = x = x = f(x), x R. 3) - f(x) =[x] ; dom f = R. Dll definizione di [x] (prte inter di x pg. ), si ottiene: Imf = Z ed il grfico Ne segue che f(x) =[x] è costnte trtti e crescente. Funzioni potenze intere e rdici n-esime 4) - f(x) =x n, n N + ; dom f = R, f(0) = 0. Le proprietà dipendono d n, in prticolre: n dispri: f(x) > 0 se x>0 e f(x) < 0 se x<0; f è dispri f( x) =( x) n = x n = f(x) e G f è simmetrico rispetto ll origine; f è str.te crescente su R. Inftti, se 0 <x <x moltiplicndo membro membro n-volte si h (x ) n < (x ) n ; inoltre, se x <x < 0 si h x > x > 0 = ( x ) n > ( x ) n = (x ) n < (x ) n ; infine, osservimo che x < 0 <x = (x ) n < 0 < (x ) n. n pri: f(x) 0 x R; f è pri f( x) =( x) n = x n = f(x) e G f è simmetrico rispetto ll sse delle ordinte; f è str.te crescente su [0, + ) f è str.te decrescente su (, 0]. L strett monotoni su [0, + ) e su (, 0] si verific in modo nlogo qunto visto per n dispri. 3

14 n dispri n pri Osservzione.4 - D qunto visto, se n è dispri l funzione f(x) =x n è invertibile su R mentre se n è pri considerimo l restrizione, invertibile, f /[0,+ ). n Le due inverse sono dette rdici n-esime di x e sono indicte, in entrmbi i csi, con l notzione x = x n. 5) - f(x) = n x = x n, n N + ; dom f dipende d n. n dispri: dom f = R, f str.te crescente n pri: dom f =[0, + ), f str.te crescente I grfici, ottenuti per simmetri d quelli delle funzioni potenze n-esime, sono: Osservzione.5 - Dll proprietà 3) del Teorem. (pg ) si h ( x) = x x [0, + ) mentre x = x x R, inftti { x = x se x 0 x = ( x) = x se x<0.. - Funzioni esponenzili e logritmiche. Osservzione.6 - Dto >0 e q Q,q= p m, bbimo visto che q = m p. Definizione. - Sino > e x R; definimo x = sup{ q : q Q, q x} (se 0<< x = ( ). )x L uguglinz precedente, per l unicità dell estremo superiore, definisce un funzione su R dett funzione esponenzile di bse. Poichè x = x R, trtteremo solo funzioni esponenzili di bse >0,. 4

15 6) - Funzioni esponenzili di bse >0,. Si f(x) = x con >0, si h: dom f = R, f(0) =, Imf =(0, + ); L monotoni dipende invece dll bse : x è str.te crescente se > x è str.te decrescente se 0 <<. I grfici nei due csi sono: Notzione - L funzione f(x) = x si indic nche con exp (x). Un cso importnte si h qundo l bse è ugule l numero di Nepero, un numero irrzionle che si indic con l letter e. Un pprossimzione di tle numero è: e L funzione f(x) =e x si indic nche con exp(x) ed ovvimente risult str.te crescente. Proprietà - Dti, b>0,,b, ricordimo le proprietà delle potenze:. x y = x+y x y = x y. (b) x = x b x ( b ) x = x b x x,y R x R 3. ( x ) y = xy x,y R. Osservzione.7 - Le funzioni esponenzili f(x) = x con >0, sono invertibili. Le funzioni inverse, definite su Imf =(0, + ) e dette funzioni logritmiche, sono denotte log x e le proprietà si ottengono dlle proprietà delle funzioni inverse. 5

16 7) - Funzioni logritmiche di bse >0,. Si f(x) = log x con >0, si h: dom f =(0, + ), Imf = R; I grfici, ottenuti per simmetri d quelli delle funzioni esponenzili, sono: L monotoni dipende dll bse : log x è str.te crescente se > log x è str.te decrescente se 0 <<. I grfici, ottenuti per simmetri d quelli delle funzioni esponenzili, sono: Notzione - Per il logritmo in bse nturle e si usno le notzioni: log e x, log x, ln x Proprietà - Dlle proprietà delle funzioni inverse (Teorem., pg ), se >0,, si h:. log x = x, x>0 log ( x )=x, x R dll. si ottiene. log = 0 log = log ( )= >0, le seguenti proprietà discendono dlle proprietà delle potenze (verrà verifict solo l 3. titolo esplictivo). Sino, b>0,,b : 3. log (xy) = log x + log y x, y >0 4. log ( x y ) = log x log y x, y >0 5. log (x) y = y log x x>0,y R 6. log b x = log x log b x>0 (cmbimento di bse) d cui log x = log x x>0 [Per verificre l 3., ponimo: z = log (xy) m = log x s = log y. Poichè log è l invers dell funzione esponenzile si h: z = log (xy) = xy nlogmente m = x s = y; ne segue che z = xy = m s = m+s e, per l iniettività dell funzione esponenzile, si h z = m + s cioè l tesi.] 6

17 . - Funzioni trigonometriche. Definizione. Un funzione f : R R è dett periodic di periodo T > 0 se f(x + T )=f(x) x R Osservzione.8 - L definizione di funzione periodic di periodo T>0 implic che i vlori dell funzione si ripetono dopo intervlli di mpiezz T. Allor, per conoscere le proprietà di un funzione periodic f, bst conoscere le proprietà di f ristrett d un intervllo di lunghezz ugule l periodo T. Per trccirne il grfico, bst trccire il grfico di f ristrett d un intervllo di mpiezz T e poi ripeterlo trslndolo orizzontlmente. Possimo osservre che, dti x R e n N +, dll definizione di funzione periodic si h f(x) =f(x + T )=f((x + T )+T )=f(x +T )=f((x +T )+T )=f(x +3T )= = f(x + nt)) ed nlogmente f(x) =f((x T )+T )=f(x T )=f((x T )+T )=f(x T )=f((x 3 T )+T )=f(x 3 T ) = f(x nt)) che si possono rissumere nell formul f(x) =f(x + kt) k Z. Esempio - Disegnre il grfico dell funzione periodic di periodo T = spendo che f(x) =x se x (0, ]. Trccimo prim il grfico di f /(0,] (fig.) e poi estendimo con periodicità (cioè ripetendo il grfico in intervlli di mpiezz ) tutto R (fig.b) fig. fig. b Funzioni seno e coseno. Si γ un circonferenz di rggio ; sppimo che lunghezz(γ)= π. Nel pino di γ considerimo un sistem di ssi crtesini con origine nel centro di γ: l circinferenz γ con tle sistem di ssi è dett circonferenz goniometric (vedi fig. pgin seguente). Si A il punto di intersezione di γ con l semirett positiv delle scisse. Dto x [0, π) possimo considerre P x l unico punto di γ t.c. l rco rco(ap x ), con primo estremo A e secondo estremo P x, percorso in senso ntiorrio bbi lunghezz x. Se x ( π, 0], considerimo P x l unico punto di γ t.c. l rco rco(ap x ) percorso in senso orrio bbi lunghezz x. 7

18 Definizione. Sino x [0, π) e P x l unico punto di γ t.c. l rco rco(ap x ) percorso in senso ntiorrio bbi lunghezz x. Si definisce sen x := ordint di P x cos x := sciss di P x D semplici considerzioni geometriche si h, per x [0, π): sen x + cos x = (teorem di Pitgor) ed nche sen 0 = 0 sen π = sen π = 0 sen 3 π = cos 0 = cos π = 0 cos π = cos 3 π =0 sen x cos x sen ( x) = sen x cos ( x) = cos x sen /[0, π e ] è str. cresc. sen sen /[ π /[ 3 π, π), 3 π] è str. decresc. cos /[0,π] è str. decresc. cos /[π, π) è str. cresc. Definimo or le funzioni sen : R [, ] e cos : R [, ] estendendo per periodicità tutto R i vlori sen x e cos x determinti nell intervllo [0, π). Le funzioni seno e coseno srnno quindi periodiche di periodo T = π: sen (x) = sen (x +kπ) e cos(x) = cos(x +kπ) x R k Z ; ricordimo, inoltre, l relzione fondmentle sen x + cos x = x R. I grfici sono rispettivmente 8

19 Ricordimo inoltre lcuni vlori e proprietà sen π 6 = cos π 6 = 3 ; sen π 4 = cos π 4 = ; sen π 3 = 3 cos π 3 = ; seno e coseno sono funzioni itte: sen x cos x x R; seno è funzione dispri: sen ( x) = sen x x R; coseno è funzione pri: cos ( x) =cosx x R. Formule trigonometriche Ricordimo solo lcune tr le formule trigonometriche; ll pgin web del corso è disponibile un formulrio completo. L notzione inglese sin è ust l posto di seno. Le prime si possono dedurre d considerzioni geometriche, delle ltre omettimo l dimostrzione. sin( π x) = cos x sin( π + x) =cosx sin(π x) = sin x sin(π + x) = sin x cos( π x) = sin x cos( π + x) = sin x cos(π x) = cos x cos(π + x) = cos x Formule di dupliczione: sin( x) = sin x cos x cos( x) = cos x sin x = sin x = cos x dll second si ricv: sin x = cos( x) cos +cos( x) x = Formule di prostferesi ( solo di 4): sin x sin y = sin( x y x+y ) cos( ) cos x cos y = sin( x y x+y ) sin( ) 9

20 Funzione tngente. È definit come rpporto tr seno e coseno: tn x = sin x cos x dom tn = {x π + kπ, k Z}. (L notz. inglese tn è ust l posto di tng). Con considerzioni sui tringoli simili H0P x e A0Q x nel pino dell circonferenz γ (su cui sono stti definiti sin x e cos x ) si ottiene che tn x è l ordint del punto Q x. Il grfico dell funzione tn : {x π + kπ, k Z} R è trccito di seguito: Proprietà - Dlle proprietà del seno e del coseno si ricvno le proprietà delle tngente: tn 0 = 0 tn π 6 = 3 3 tn π 4 = tn π 3 = 3 tn(π x) = tn x; tngente è periodic di periodo T = π: tn(x) = tn(x + kπ) k Z x dom tn; tngente è funzione dispri: tn( x) = tn x x π + kπ, k Z; Teorem.3 - L funzione seno verific l seguente disuguglinz sin x x x R. Dimostrzione.. - Si x [0, π ]. Dll relzione tr corde ed rchi di un circonferenz e dll definizione di sin x, si ottiene 0 sin x x 0 sin x x x [0, π ]. Se x [ π, 0], utilizzndo l precedente relzione per rchi positivi e le proprietà del modulo, si h 0 sin( x) x 0 sin( x) x 0 sin x x 0 sin x x. Concludimo osservndo che, se x (, π ) ( π, + ) cioè x > π si h: sin x < π < x. 0

21 .3 - Trigonometri pplict ll geometri. Seno, coseno e tngente di ngoli. Sppimo che, in un circonferenz C r di rggio r, l ngolo l centro sotteso d un rco di lunghezz r misur rdinte. Avremo: sin(90 ) = sin π = sin(80 )=sinπ = 0 sin(70 ) = sin 3 π = cos(90 ) = cos π = 0 cos(80 ) = cos π = cos(70 ) = cos 3 π =0 sin(30 ) = sin π 6 = sin(45 ) = sin π 4 = sin(60 )=sin π 3 = 3 cos(30 ) = cos π 6 = 3 cos(45 ) = cos π 4 = cos(60 )=cos π 3 = Per il seno e coseno di ngoli complementri, supplementri etc. si usno le regole viste per le funzioni sin e cos. L tngente di ngoli è ncor definit come il rpporto tr seno e coseno. Trigonimetri pplict i tringoli rettngoli. - Dto un tringolo rettngolo: si h: BA : PH = CB : CP b : sen(α) = : d cui b = sin(α). Anlogmente si ottiene: c = cos(α) e b c = tn(α).

22 .4 - Funzioni: rcseno, rccoseno, rctngente. Le funzioni seno, coseno e tngente non sono iniettive sul loro dominio. Se considerimo le tre restrizioni sin /[ π, π ] cos /[0,π] tn /( π, π ) esse risultno str.te monotone e quindi invertibili; d tli restrizioni deducimo: dominio, monotoni e grfico dell invers. Tli inverse, dette rispettivmente rcseno, rccoseno e rctngente, hnno quindi le seguenti proprietà: Osservzione.9 - Osservimo che d tn x = x = π 4 + kπ, k Z non segue che rctn = π 4 + kπ m rctn = π 4 perchè l immgine dell funzione rctn è ( π, π ).

23 .5 - Simmetrie, trslzioni, compressioni e diltzioni di grfici. Dto il grfico di un funzione f, possimo ricvre il grfico delle funzioni: f(x), f( x), f(x), f( x ), f(x)+c, f(x + c), f(cx),c>0,c. Riportimo di seguito i grfici nei vri csi ed un confronto con il grfico dell funzione originri f. Si f un funzione con grfico: si h - f(x) ssume i vlori di segno opposto quelli dell f; il grfico è quindi simmetrico quello dell f rispetto ll sse delle scisse f(-x) in (0, + ) quest funzione ssume i vlori che l f vev in (, 0); il grfico è quindi simmetrico quello dell f rispetto ll sse delle ordinte 3

24 f(x) L prte positiv del grfico di f rest invrit, l prte negtiv si simmetrizz rispetto ll sse delle scisse f( x ) è funzione pri e coincide con f in (0, + ); il grfico è poi simmetrizzto rispetto ll sse delle ordinte f(x)+c se c>0 il grfico si ottiene trslndo verso l lto di un quot c il grfico di f ; se c<0 l trslzione srà verso il bsso 4

25 f(x + c) se c>0 il grfico si ottiene trslndo verso sinistr di un intervllo di mpiezz c il grfico di f ; se c<0 l trslzione srà verso destr f(cx), c > 0,c se c> il grfico è un compressione del grfico di f ; se 0 <c< il grfico è un diltzione del grfico di f 5

26 CAPITOLO Limiti di funzioni. Definizioni. - Diremo () intorno bucto di x 0 un intorno di x 0 privto di x 0 : (x 0 r, x 0 + r) \{x 0 } con r>0 (b) intorno destro di x 0 un intervllo (x 0,x 0 + r) con r>0 (c) intorno sinistro di x 0 un intervllo (x 0 r, x 0 ) con r>0 (d) intorno di + un intervllo (b, + ) con b R (e) intorno di un intervllo (,b) con b R Notzione. - Nel seguito, denoteremo R = R {± } e, dto x 0 R, il simbolo I x0 denoterà gli intorni definiti in (), (d) ed (e) nei rispettivi csi: x 0 R,x 0 =+ e x 0 =. Limiti l finito. Considerimo i grfici delle funzioni: { { x + x x x f(x) =x +, g(x) = x =, h(x) = x + x> Osservimo che f(x 0 ) g(x 0 ) m il comportmento di f e g in un intorno bucto di x 0 è lo stesso perchè sono uguli. Vogo crtterizzre il comportmento di un funzione nell intorno bucto di un punto indipendentemente dl vlore che tle funzione potrebbe vere nel punto. Se, nel grfico di g, si consider un intorno di l = di rggio vribile (che indicheremo con l letter ε ) si riesce determinre un intorno di x 0 =, che denotimo I x0 =( δ, +δ), tle che (vedi figur seguente) g(i x0 \{x 0 }) ( ε, +ε). Nel grfico di h, invece, se si consider ε = si trov soltnto un intorno destro che verific l inclusione precedente. 6

27 Sull rig dei rgionmenti ftti grficmente, per descrivere rigorosmente il comportmento di un funzione f vicino d un punto x 0 R si us l nozione di ite. Introduzione ll definizione e notzione di ite. Se, dto l R, per ogni intorno V di l esiste un intorno U di x 0 tle che si bbi f(u\{x 0 }) V diremo che f(x) tende d l qundo x tende d x 0. Per sintetizzre tle concetto utilizzeremo l notzione f(x) =l che leggeremo il ite di f(x), per x che tende x 0, è ugule d l, o nche f(x) tende l per x che tende x 0. Un notzione nlog è dt d f(x) l per x x 0. Denotimo l intorno V di l come (l ε, l + ε) e l intorno U\{x 0 } con (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 }. È ovvio che per ottenere tutti gli intorni di l dovremo fr vrire l mpiezz ε>0 dell intorno. Scrivendo gli intorni V ed U come indicto vremo, nel cso x 0 ed l reli, l seguente definizione di ite: Definizione. - Sino f : A R, x 0 R t.c. (x 0 r, x 0 + r)\{x 0 } A per qulche r>0. Diremo che f(x) =l R ε>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) l <ε. Ricordimo che f(x) l <ε l ε<f(x) <l+ ε f(x) (l ε, l + ε). Considerimo desso i grfici delle funzioni: f (x) = x ; g (x) = x +; h (x) = x. Possimo crtterizzre il comportmento delle f e g vicino d x 0 =, osservndo che: per ogni quot M>0 esiste un intorno I x0 =( δ, +δ) (come si vede nelle prime due fig.) t.c. f (x) >M g (x) < M x I x0 \{}. Il comportmento di h, invece, è diverso second che considerimo un intorno destro o un intorno sinistro di x 0 =. 7

28 In nlogi qunto visto nel cso l R, se per ogni intorno V di + (opp. ) esiste un intorno U di x 0 tle che si bbi f(u\{x 0 }) V diremo che f(x) tende d + ( ) qundo x tende d x 0 e useremo l notzione f(x) =+ ( ). Dto M > 0, denotndo l intorno V di + come (M, + ) e l intorno V di come (, M) vremo le seguenti definizioni di ite: Definizioni. - Sino f : A R, x 0 R t.c. (x 0 r, x 0 + r)\{x 0 } A per qulche r>0. Diremo che f(x) =+ M>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) >M f(x) = M>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) < M Notzione. - Possimo considerre l notzione f(x) =l R. Ess rppresent tutte e tre le definizioni precedenti, cioè si h: f(x) =l R con l R ε>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) l <ε l =+ M>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) >M l = M>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) < M. Volendo crtterizzre il comportmento di un funzione in un intorno destro o in un intorno sinistro di un punto, vremo invece le seguenti definizioni: Definizioni di ite destro. - Sino f : A R, x 0 R t.c. (x 0,x 0 + r) A per qulche r>0. Definimo f(x) =l R x x + 0 se l R ε>0 δ>0 t.c. x (x 0,x 0 + δ) si h f(x) l <ε se l =+ M>0 δ>0 t.c. x (x 0,x 0 + δ) si h f(x) >M se l = M>0 δ>0 t.c. x (x 0,x 0 + δ) si h f(x) < M. Definizioni di ite sinistro. - Sino f : A R, x 0 R t.c. (x 0 r, x 0 ) A per qulche r>0. Definimo f(x) =l R x x 0 se l R ε>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 ) si h f(x) l <ε se l =+ M>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 ) si h f(x) >M se l = M>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 ) si h f(x) < M. Vedremo nel prgrfo successivo il teorem che leg l esistenz di un ite per x x 0 R ll esistenz ed uguglinz del ite destro e ite sinistro 8

29 Limiti ll infinito. Se il dominio di un funzione f non è itto superiormente ( inferiormente ) vogo crtterizzre il comportmento dell funzione in un intorno di + ( ) o, come si dice usulmente, qundo x tende + ( tende ). I seguenti grfici descrivono tre comportmenti diversi. Ricordndo che un intervllo (b, + ) è un intorno di +, se riproducimo grficmente le crtterizzzioni viste nel cso x 0 R, possimo osservre che si ripresentno le stesse situzioni dove l posto dell intorno di x 0 trovimo un intorno di + ( ). Notndo che x (b, + ) x>b, in nlogi qunto descritto nel cso x 0 R, vremo le seguenti definizioni: Definizioni. - Si f : A R con (d, + ) A per qulche d. Definimo f(x) =l R x + se l R ε>0 b>0 t.c. x>b si h f(x) l <ε se l =+ M>0 b>0 t.c. x>b si h f(x) >M se l = M>0 b>0 t.c. x>b si h f(x) < M. Anlogmente definimo i iti per x. Definizioni. - Si f : A R con (,d) A per qulche d. Definimo f(x) =l R x se l R ε>0 b<0 t.c. x<b si h f(x) l <ε se l =+ M>0 b<0 t.c. x<b si h f(x) >M se l = M>0 b<0 t.c. x<b si h f(x) < M. Possimo utilizzre un notzione che rcchiud tutti i nove iti visti in questo prgrfo. Notzione. - L notzione di ite viste in precedenz. f(x) =l R, con x 0 R rppresent, cso per cso, tutte le definizioni Esempi. - Utilizzre l definizione di ite per verificre che i) c = c x 0 R ii) x = x0 iii) x = ± iv) R x ± x x =+ 9

30 ii) Lscimo l lettore l verific di i) e iii). x = R x0. Considerimo f(x) =x. Si x 0 R si h: dto ε>0 poichè f(x) x 0 <ε x x 0 <ε se considerimo d es. δ = ε (o δ < ε) l definizione di ite è verifict. iv) x x =+. Considerimo f(x) =x. Si x 0 = si h: dto M>0, si h f(x) >M x >M (, M) ( M,+ ) se considerimo d es. b = M (o b< M ) l definizione di ite è verifict. Osservzione 3. - Sino x 0 R ed f definit in un intorno bucto I x0. Si h: f(x) =l R ( f(x) l )=0. (Scrivere le due def.ni di ite ed osservre che sono uguli.) Definizione di sintoto.. Se f(x) =+ ( ) l rett x = x 0 è dett sintoto verticle (Anlog def.ne per x x x x + 0 ); 0. Se f(x) =l R l rett y = l è dett sintoto orizzontle (Anlog def.ne per x ). x Teoremi sui iti di funzioni. Teorem 3.(unicità del ite) - Si x 0 R. Se f(x) esiste llor è unico. Teorem 3.(legme tr ite, ite destro e ite sinistro) - Si x 0 R ed l R. Si h: f(x) =l f(x) = f(x) =l. x x + 0 x x 0 Proposizione 3. - Sino x 0,l R ed f definit in un intorno bucto I x0. Si h ) f(x) =0 f(x) =0. b) f(x) =l = f(x) = l. Dimostrzione.. - Considerimo il cso x 0 R. Per verificre l ), bst osservre che: f(x) =0 ε>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) <ε f(x) =0 perchè f(x) = f(x). Dimostrimo l b) solo nel cso l R. Avremo f(x) =l R ε>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) l <ε e dll relzione 9) del Teor.. pg. 4 segue che d cui l tesi. f(x) l f(x) l <ε x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } 30

31 Nei csi x 0 = ± i rgionmenti sono nloghi; lscimo l lettore di scrivere l dimostrzione in questi csi. Per verificre, invece, che in b) l impliczione oppost è fls, bst considerre il controesempio seguente: { x x f(x) = x x < : si h f(x) = m x f(x) = e x + f(x) = quindi f(x). x x Teorem 3.3 (permnenz del segno) - Si x 0 R. Se f(x) =l R\{0} bucto I x0 in cui f h lo stesso segno di l. llor esiste un intorno Dimostrzione.. - Dimo l dimostrzione solo nel cso x 0 R ed l R\{0}. Se l>0 considerimo ε = l ; dll definizione di ite vremo che δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) l < l l l <f(x) <l+ l 0 < l <f(x) < 3 l d cui l tesi nel cso l>0. Se l<0 considerimo ε = l e, come prim, dll definizione di ite ottenimo, in un intorno bucto, f(x) l < l l + l <f(x) <l l 3 l <f(x) < l < 0. Eventuli relzioni tr funzioni permettono di ottenere relzioni tr i iti, qundo questi esistono, come risult di teoremi seguenti: Se Teorem 3.4 (del confronto) - Sino x 0 R e f,g funzioni t.c. f(x) g(x) x I x0 f(x) =l R e g(x) =m R llor si h l m. intorno bucto. Dimostrzione. - Dimo l dimostrzione nel cso in cui x 0, l, m R, osservndo che negli ltri csi si procede in modo nlogo. Si I x0 =(x 0 r, x 0 + r)\{x 0 } e supponimo, per ssurdo, che si l>m. Considerndo g(x) =m ε = l m vremo ( = ll metà dell distnz tr l ed m ), dlle definizioni di f(x) =l δ > 0 t.c. x (x 0 δ,x 0 + δ )\{x 0 } si h l l m δ > 0 t.c. x (x 0 δ,x 0 + δ )\{x 0 } si h m l m <f(x) <l+ l m <g(x) <m+ l m. Se prendimo δ<min{δ,δ,r}, llor, per ogni x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } vlgono entrmbe le relzioni, d cui edi g(x) <m+ l m = l + m = l l m <f(x) che contrddice l ipotesi. 3

32 Teorem 3.5 (del confronto biltero o dei crbinieri) - Sino x 0 R e f,g,h funzioni t.c. h(x) f(x) g(x) x I x0 intorno bucto. Se h(x) = g(x) =l R llor si h f(x) =l. Dimostrzione. - Si x 0 R ed I x0 =(x 0 r, x 0 + r)\{x 0 }. Dlle definizioni di h(x) = l = g(x), l R, ottenimo che: dto ε>0 δ > 0 t.c. x (x 0 δ,x 0 + δ )\{x 0 } si h l ε<h(x) <l+ ε δ > 0 t.c. x (x 0 δ,x 0 + δ )\{x 0 } si h l ε<g(x) <l+ ε. Se prendimo δ<min{δ,δ,r}, llor, per ogni x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } vlgono entrmbe le relzioni ed, in prticolre, utilizzndo l ipotesi vremo l ε<h(x) f(x) g(x) <l+ ε d cui l tesi. Se x 0 = ± si rgion in modo nlogo; si lsci l lettore il compito di scrivere l dimostrzione in questi csi. Teorem Sino x 0 R e f,g funzioni t.c. f(x) g(x) x I x0 intorno bucto. Si h ) f(x) =+ = g(x) =+ b) g(x) = = f(x) = Dimostrzione. - Si x 0 R ed I x0 =(x 0 r, x 0 + r)\{x 0 }. Per verificre l ), bst osservre che dll definizione del ite di f vremo M>0 δ>0 t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) >M dove, con considerzioni viste nei teoremi precedenti, possimo prendere δ<r. Quindi, utilizzndo l ipotesi, vremo M<f(x) g(x) d cui g(x) >M cioè l tesi. Anlogmente per l b); dll definizione del ite di g ed f(x) g(x) ottenimo M>0 δ>0,δ<r, t.c. x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } si h f(x) g(x) < M. Se x 0 = ± si rgion in modo nlogo; si lsci l lettore il compito di scrivere l dimostrzione in questi csi. Estensione clcolo in R. - Per comodità di clcolo definimo +(± ) =± R (+ ) (+ ) =+ (+ )+(+ ) =+ ( ) ( ) =+ ( ) +( ) = { ( ) (+ ) = ± se >0 0, (± ) = =0 ± =+ se <0 ± Le forme +, 0 ±, ± ±, 0 0 sono dette forme indeterminte. Dlle definizioni di ite e di teoremi precedenti uniti d lcune tecniche di clcolo, si ottiene il seguente teorem di cui dimostrimo solo il primo punto: 3

33 Teorem 3.7 (operzioni con i iti) - Si x 0 R, f(x) =l R, g(x) =m R. Si h: ) ( f(x) +g(x)) =l + m trnne forme indet +, + ) ( f(x) g(x)) =l m trnne forme indet. 0 ±, ± 0 3) se m 0 : f(x) g(x) = l m trnne f orme indet. ± ± f(x) 4) se m =0 e g(x) h segno costnte in I x0 : g(x) = 5) n dispri n f(x) = n pri ( f(x) 0 in I x0 ) n f(x) = { ± se l = ± n l { l (+ ) g(x) > 0 l ( ) g(x) < 0 se l R { + se l =+ n l se l 0. trnne f. i. 0 0 Dimostrzione. - Dimo soltnto l dimostrzione di ) nel cso in cui x 0,l,m R. Dto ε>0, considerimo ε = ε ; dlle definizioni di f(x) =l e di δ > 0 t.c. l ε <f(x) <l+ ε x (x 0 δ,x 0 + δ )\{x 0 } g(x) =m bbimo δ > 0 t.c. m ε <g(x) <m+ ε x (x 0 δ,x 0 + δ )\{x 0 }. Se prendimo δ<min{δ,δ }, per ogni x (x 0 δ, x 0 + δ)\{x 0 } vlgono entrmbe le relzioni l ε <f(x) <l+ ε m ε <g(x) <m+ ε che sommte membro membro dnno l + m ε = l + m ε <f(x)+g(x) <l+ m +ε = l + m + ε cioè l tesi. Notzioni. i) In bibliogrfi si trov l notzione f(x) =. Tle simbolo equivle f(x) =+. Notimo che esistono funzioni per le quli si h: f(x) = m f(x) come si verific fcilmente per l funzione f(x) = x ; inftti x 0 =+ m x x 0 x = =+ quindi x 0 + x x 0 x. ii) Se f(x) 0 (opp. f(x) 0 ) in un intorno bucto I x0 e f(x) = 0, può essere utile l notzione f(x) =0 + (0 ). Teorem Sino x 0 R, f e g definite in I x0 intorno bucto con f itt in I x0. Allor ) g(x) =0 = ( f(x) g(x)) =0 b) g(x) = + ( ) = ( f(x)+g(x)) = + ( ) 33

34 Dimostrzione.. - Per verificre l ) dimostrimo che f(x) g(x) = 0 ( vedi prop.3. )). Poichè f è itt, M>0 t.c. f(x) M per ogni x I x0 (vedi def. pg.9). Allor 0 f(x) g(x) = f(x) g(x) M g(x) con M g(x) 0 per x x 0 ; dl Teor.3.5 ottenimo l ). Per l b), poichè d f itt si h N f(x) K per ogni x I x0 dove N,K R (vedi def. pg.9) d cui di Teor.3.7 punto ) e Teor.3.6 vremo N + g(x) f(x)+g(x) K + g(x); g(x) =+ = (N + g(x)) = + = (f(x)+g(x)) = + g(x) = = (K + g(x)) = = (f(x)+g(x)) = Per clcolre iti di funzioni composte si utilizz il seguente teorem di cui è omess l dimostrzione Teorem 3.9 (cmbimento di vribile) - Sino f : A R,g: B R con f(a) B t.c. f(x) =l R e g(y) =m R. R y l Allor, se l B si h g( f(x)) =m. Osservzione L tesi del teor. precedente è equivlente g( f(x) ) = g(y). y l D qui l denominzione cmbimento di vribile ; inftti, il ite viene clcolto utilizzndo un nuov vribile y legt ll x dll relzione y = f(x) ed osservndo che se x x 0 llor y l. Il teorem seguente leg l monotoni delle funzioni ll esistenz dei iti. L dimostrzione è omess. Teorem 3.0 (iti di funzioni monotone) - Sino, b R, <b ed f monoton in (, b); llor f(x) =l R f(x) =m R. x + x b Inoltre, se l ed m R, si h l f(x) m x (, b) se f crescente m f(x) l x (, b) se f decrescente Clcolo dei iti di lcune funzioni. Si α 0ex 0 > 0. x α = x α 0 ; x α = x 0 + { 0 α>0 + α<0; x + xα = { + α>0 0 α<0. sin x = sin x 0 x 0 R ; x ± sin x. Verific: se x 0 R, per l prop.3. ), bst verificre che sin x sin x 0 = 0. Dlle formule di prostferesi ( pg.9 ), dl Teor..3 pg. 0 e dll ittezz del coseno ( cos( x+x 0 ) ) si ottiene: 0 sin x sin x 0 = sin( x x 0 ) cos( x+x 0 ) x x 0 = x x 0 e per il teorem del confronto biltero si h l tesi. 34

35 Omettimo l verific del ite ± l cui non esistenz dipende dll periodicità dell funzione seno. In modo del tutto nlogo si ottiene: cos x = cos x 0 x 0 R ; x ± cos x. tn x = tn x 0 x 0 dom tn ; x ( π +kπ) tn x =+ Verific: bst osservre che tn x = sin x cos x ed pplicre il Teor.3.7 punti 3) e 4). Dei seguenti iti ne omettimo l verific: tn x =. x ( π +kπ)+ rcsin x = rcsin x 0 x 0 [, ]; rccos x = rccos x 0 x 0 [, ]; rctn x = rctn x 0 x 0 R; x rctn x = π ; rctn x = π x +. x = x0 x 0 R; x x = { { 0 > + > + 0 << ; x + x = 0 0<<. { { > + > log x x x = log x 0 x 0 > 0; log x = 0 x < < ; log x = x + 0 << Limiti notevoli. sin x x 0 x = ; tn x x 0 x =; x 0 sin n x x n =, n N +. il secondo ite si ottiene dl primo osservndo che sin x mentre per il terzo si h n volte. sin n x x n = sin x x x x 0 tn x x = x 0 sin x x cos x = ; x 0 cos x x =. Verific: x 0 cos x x = x 0 cos x x +cos x +cos x = x 0 sin x x +cos x =. 35

36 x 0 rctn x x = ; x 0 rcsin x x =. Verific: omess. ( + x = e ; x ± x) ( + x) x = e. Verific omess. x 0 x 0 log ( + x) x = log e ; x log x x = log e ; >0,. Verific: x 0 x log ( + x) = x 0 log ( + x) x = log e perchè (+x) x e per x 0. log Il secondo si ottiene con il cmb.to di vr.le y = x : (x) log x x = (+y) y 0 y = log e. x 0 x x =ln ; >0,. Verific: si ottiene con il cmb. di vr. y = x, d cui x = log (y +) e x y x 0 x = y 0 log (y+) = log e =ln (perchè log e log e = vedi proprietà 6. pg 6). L verific dei iti seguenti è omess. Se > ed α>0 si h: x + x =+ e xα x ( x)α x =0 log x Se >0, ed α>0 si h: =0 e (x) α log x + x α x =0. x Esempi. Clcolre, se esistono, i iti delle seguenti forme indeterminte: x 3. f.i. x x x 0 0. x 3 x 3 + = x x x x x x x ( x)( + x) x ( x)(+ x 3) = x x 3 + x 3 = x +x x ( + x 3) = x +3 ( x x )(+ x 3) = x 4 x x ( x)(+ x 3) = x 3. x x x f.i Osservimo che il binomio x x è positivo per 0 <x<; ne segue che x x cmbi segno in un intorno del punto x 0 = e quindi per esplicitre il modulo dobbimo dividere il ite in ite destro e ite sinistro e si h: x 3 x + x x x 3 x + = x 3 + x 3 = x + x x + x + x + x 3 = x +3 x + ( x + x )(+ x 3) = = x + ( x)( + x) x (x ) ( + x 3) = ( + x) x + x ( + x 3) = ; inoltre, per il ite sinistro, con conti nloghi i precedenti si ottiene x 3 x 3 = = = x x x x x x x 3 Si conclude che x x x perchè il ite destro è diverso dl ite sinistro. 36

37 3. ( x x 4 x 3) f.i. +. x + ( x x 4 x 3) = x ( ( x ) ) x (4 ( 3 x + x + x ) = x x 4 3x =+ ( ) = x + 4. x + ( x x x 3) f.i. +. Poichè, con pssggi nloghi ll es 3, procedimo nel modo seguente: ( x x x 3) = x + = x + x x ( + 3 ) x ) = ( x + 3 x ( x x x 3) x + x + perchè x = x in un intorno opportuno di +. x ( x x x 3) = x x + x + x x + x 3 x x + x 3 = x ( + 3 ) x ) = ( x + 3 x x + x + ( x 3x ) + 3 x x + 3 x x x x +3 x x + x 3 = = f.i. + 0, 5. x 0 sin(x + x) x f.i. 0 sin y. Cerchimo di utilizzre il ite notevole = : 0 y 0 y sin(x + x) sin(x + x) = x 0 x x 0 x + x x + x x = x 0 sin(x + x) x + x x + = = inftti, posto y = x + x si h y 0 per x 0 e quindi dl Teorem 3.9 del cmbimento di vribile si ottiene sin(x +x) x +x per x 0 perchè sin y y per y x 0 + log( x ) e x f.i. 0. Come nel ite precedente, cerchimo di ricondurci iti notevoli: 0 log( x ) log( x ) x 0 + e x = ( x ) x 0 + x inftti: x e x x = x 0 + log( x ) x x e x ( x x)= 0=0 posto y = x 0 per x 0 si ottiene log( x ) x dl ite notevole log(+y) y per y 0 posto t = x 0 per x 0 + si ottiene x e x t dl ite notevole per t 0. e t Funzioni h(x) =f(x) g(x) e forme indeterminte:, 0 0, + 0. Definimo dom h := {x dom g t.c. f(x) > 0}. Ovvimente si h h(x) > 0 x dom h. Possimo riscrivere h nell form h(x) =e ln( h(x)) = e ln( f(x))g(x) = e g(x) ln( f(x)). Allor, per clcolre R f(x) g(x) bst sper clcolre R g(x) ln( f(x) ) e poi si conclude utilizzndo i iti dell funzione esponenzile. Diremo che R f(x) g(x) è form indetermint se lo è il R g(x) ln( f(x)). Avremo quindi che è form indet.; inftti se f(x) e g(x) bbimo g(x) ln( f(x) ) f.i è form indet.; inftti se f(x) 0 e g(x) 0 bbimo g(x) ln( f(x) ) f.i. 0 ( ) + 0 è form indet.; inftti se f(x) + e g(x) 0 bbimo g(x) ln( f(x) ) f.i. 0 (+ ). 37

38 CAPITOLO Successioni: definizioni e prime proprietà. Definizione. - Un funzione f : N R è dett successione. Denotimo n := f(n) termine n-esimo dell successione n è detto indice f(n) :={ n : n N} = { 0,,, 3,, n, } l immgine dell successione. Esempi. - Esempi di successioni sono: n = n + {,, 3,, n +, }; n = n {0,,, 3,, n, }; n = n n + {0,, 5,, n n +, }; n =+( )n n + {,, 4 3,, + ( )n n +, }. Osservzione 4. - Prleremo ncor di successione nche nel cso in cui non sino definiti i termini n per un numero finito di indici. Esempi. - Sono successioni nche le seguenti: n = n, n N\{}, {,,, 3,, n, }; n = n 7, n N n 7, {0,,, 3,, n 7, }; Osservzione 4. - Alcune successioni sono restrizioni d N (o sottoinsiemi di N ) di funzioni di vribile rele, d esempio: n = n può essere considert come l restrizione f /N + di f(x) = x ; n = n 7 può essere considert come l restrizione f /{n N : n 7} di f(x) = x 7. Ci sono, però, successioni nelle quli non si può sostituire l posto dell vribile n N un vribile x R ;d esempio: n = n! ( dove n! :=n (n ) (n ) 3 ); n =( ) n. Se dt un successione { n } ne scego (estrimo) infiniti termini ottenimo ncor un successione. Se l scelt è ftt in modo str. crescente rispetto ll indice, bbimo l seguente definizione. Definizione. - Se d un successione { n } estrimo infiniti termini in modo str. crescente rispetto ll indice l successione ottenut è dett estrtt o sottosuccessione di { n }. [ Notimo che: estrrre i termini in modo str. crescente rispetto ll indice equivle scegliere ogni termine tr i "successivi" di quelli già scelti.] Esempio. - Dt l successione { n} considerimo le due successioni: { 3,, 7, 5,, 9, 5, 3, } {, 4, 9, 6,, n, } solo l second è sottosuccessione di { n}. Due sottosuccessioni importnti sono: { 0,, 4,, n, } estrtt pri {, 3, 5,, n+, } estrtt dispri. 38

39 Esempio. - Se n =( ) n 3 n si h: n =3 n estrtt pri e n+ = 3 n+ estrtt dispri. Definizioni. - Dt un successione { n } diremo che:. - { n } verific un proprietà P se n verific P per ogni n N ; es. n = n : n 0 n N;. - { n } verific definitivmente un proprietà P se n (indice) t.c. n verific P per ogni n> n ; cioè i termini sottolineti { 0,,,, n, n+,, n, } verificno P; es. n = n 50 : n > 0 definitivmente, perchè n > 0 n 8 ( n =7). Poichè le successioni sono funzioni (definite su N ), le definizioni e le proprietà viste per le funzioni vlgono, quindi, per le successioni. L prticolrità del dominio può semplificre, volte, le definizioni viste. Riscrivimo le definizioni di ittezz e di monotoni nel cso di un successione. Tli definizioni, utilizzndo l prticolrità del dominio, diventno: Definizioni. - Dt un successione { n } si h:. - { n } è itt se N, K R t.c. N n K n N o equiv.te se M>0 t.c. n M n N.. - { n } è crescente ( str. crescente ) se n n+ n N ( n < n+ n N ) { n } è decrescente ( str. decrescente ) se n n+ n N ( n > n+ n N ). Esempi. - Dt l prticolrità del dominio, può essere semplice verificre l monotoni di lcune successioni pplicndo l definizione precedente. Determinre se n = n + n + è monoton. Osservndo che il denomintore cresce in modo più rpido del numertore, provimo verificre se n è decrescente; vremo n n+ n + (n +)+ n + (n +) + (n +)(n +n +) (n +)(n +n +) (n +)(n +) (n +)(n +n +) (essendo i denomintori > 0) (n +)(n +n +) (n +)(n +) n +3n 0 che è sempre verifict n N. Quindi n è decrescente. Determinre se n = n n + è monoton. Provndo verificre se l succ.ne è decrescente, vremo n n+ n n + n + n ++ n ( n ++) n +( n +) ( n +)( n ++) ( n +)( n ++) (essendo i denom. > 0) n n + n n + mi verifict. Quindi n < n+ n N d cui n è str. crescente. 39

40 4. - Successioni: iti e proprietà. Essendo { n } un funzione con dominio N, vedimo quli definizioni di ite, viste per le funzioni, hnno senso ed in tl cso come si possono riscrivere utilizzndo le prticolrità del dominio, cioè le prticolrità di N. Osservimo, innnzi tutto, che preso un punto n 0 del dominio N, nell intorno bucto (n 0,n 0 + )\{n 0} non ci sono punti del domino N e quindi non h senso clcolre n con n 0 N. n n 0 Considerimo intorno di + in N l insieme (b, + ) N, b > 0; vremo che dto b>0 n N t.c. (b, + ) N = {n N : n> n}. Definimo llor: intorno di + in N un insieme del tipo {n N : n > n}. L unico ite che si può, quindi, clcolre per un successione è il n. n + In nlogi lle definizioni di f(x) =l R, tenendo conto dell nozione di intorno precedente, ottenimo x + le definizioni seguenti. Definizione. - Dt { n } successione definimo: n = l R n + se l R ε>0 n N t.c. n> n si h n l <ε se l =+ M>0 n N t.c. n> n si h n >M se l = M>0 n N t.c. n> n si h n < M. I due teoremi seguenti, di cui omettimo l dimostrzione, mettono in relzione il ite di un successione con i iti delle sue estrtte. Teorem 4. - Se n = l R, ogni sottosuccessione di { n } h ite ugule d l. n + Teorem 4. - Sino n e n+ l estrtt pri e l estrtt dispri di un successione n.se n l R e n+ m R, llor n + n m = l e si h n + n = l. Il seguente teorem indic come utilizzre iti di funzioni con vribile in R per clcolre iti di successioni. L dimostrzione, che discende in modo ovvio dlle definizioni di ite, è omess. Teorem Si f : A R con N A t.c. f(x) =l R.Se n = f(n) si h x + n + n = l R. Esempi. Clcolre, se esistono, i seguenti iti di successioni: ) ( n. + n ) = ( n ( n n + n ) ( n ) n + n + = n + n ( n + n n ) =.. n + n sin( n ) = dl ite sin( ) n n + n sin( n n = ) n n =+ n + n sin y y per y 0 e cmbimento di vribile y = n 0 per n +. 40

41 3. n + ( )n n + n : n pri n dispri n + = n + n n + = n + n quindi n + ( )n n + n. ( )n 4. ( + n + n ) : n pri n dispri n + ( + n )= ( n + n )= llor ( )n ( + n + n )=. 5. n + n e n =0 (dl ite pg 36 si ottiene x + (x) e x =0 e si conclude per il Teor.4.3) Limiti notevoli di successioni. n! = + Verific: d n! n si conclude per il Teor.3.6 pg 3. n + n + n n = Verific: si h n n = n n = e n ln n e 0 = (d x + ln x x = 0 e Teor.4.3). n + n n n + n! =+ >eα>0 (Verific:dllo stesso ite con vribile x R). nα =0 > (Verific omess) n! n + n =0 n (Verific omess) Proprietà legte iti di successioni. Osservzione Poichè le successioni sono funzioni, vlgono ncor tutti i teoremi sui iti visti per le funzioni. A titolo d esempio riscrivimo il teorem dell permnenz del segno utilizzndo le proprietà del dominio N. Teorem 4.4 (dell permnenz del segno) - Se stesso segno di l n> n. n = l R \{0}, llor n N t.c. n h lo n + [cioè n h definitivmente il segno di l.] I teoremi seguenti rigurdno l ittezz di successioni. L dimostrzione del secondo è omess. Teorem Se un successione { n } mmette ite rele llor tle successione è itt. Non è vero il vicevers. Dimostrzione. - Si ε =. Dll definizione di l < n <l+ n = l R, esiste n N t.c. n + n> n. Allor, se N = min{ 0,,,, n,l } e K = mx{ 0,,,, n,l+} si h Quindi { n } è itt. N n K n N 4