La prima forma quadratica fondamentale

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1 Cpitolo 1 L prim form qudrtic fondmentle Si M un superficie immers nello spzio euclideo R 3. Osservimo che in R 3, pensto come spzio euclideo, vi è un prodotto sclre nturle h(x 1 x 2 x 3 ) (y 1 y 2 y 3 )i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 : Ogni spzio tngente T p M (p 2 M ) M può essere pensto come sottospzio di R 3, dunque su ogni T p M si può considerre un prodotto sclre I indotto d h i. Tle prodotto sclre I è detto prim form qudrtic fondmentle dell superficie M. Più strttmente si può considerre un superficie come vrietà Riemnnin (M g) di dimensione 2, cioè come un vrietà differenzibile M, tle che su ogni T p M è definito un prodotto sclre g p (cioè un form bilinere simmetric definit positiv) che vri in modo differenzibile l vrire di p in M. Or dimo però l seguente definizione più precis che prescinde dl ftto che M è immers in R 3 :è quindi un definizione intrinsec. Definizione 1 Un metric Riemnnin g su M è un funzione che d ogni punto p di M ssoci un prodotto sclre g p, definito sullo spzio tngente T p M, che dipende differenzibilmente d p. Più precismente, per ogni coppi X Y di cmpi vettorili C 1 su M, l ppliczione è differenzibile di clsse C 1. p 7! g p (X p Y p ) XY 2 X(M ) Possimo scrivere quest definizione in un form equivlente, con il vntggio che introducimo nche un nuovo concetto: quello di cmpo tensorile. Questo concetto generlizz l nozione di cmpo vettorile: come un cmpo vettorile è un vettore dipendente d un punto che vri in modo differenzibile l vrire del punto, un cmpo tensorile è un tensore che vri in modo differenzibile. Ci occuperemo solo di cmpi tensorili di tipi molto prticolri. Per questo motivo non dimo un definizione generle. Indichimo con X(M ) l insieme dei cmpi vettorili su un vrietà M. Un cmpo tensorile ' due volte covrinte (nche detto di tipo (0,2)) è un ppliczione ' : X(M ) X(M )! C 1 (M ) che è C 1 (M ) bilinere. In tl modo possimo dire che un metric Riemnnin g su M è un cmpo tensorile due volte covrinte, simmetrico, definito positivo. Notimo che l definizione precedente si generlizz fcilmente d un vrietà di dimensione qulunque. 3

2 4 CAPITOLO 1. LA PRIMA FORMA QUADRATICA FONDAMENTALE Osservzioni e spunti per pprofondimenti. Se U è un perto di M, l restrizione d U dell funzione g(xy ) dipende solo dlle restrizioni dei cmpi vettorili X e Y U. Pertnto ogni metric Riemnnin su M induce un metric Riemnnin su ogni perto U di M. Vicevers, dto un ricoprimento perto R di M, se per ogni U 2Rè ssegnt un metric Riemnnin g U tle che per ogni V di R, con U V 6=, si bbi g U = g V su U V, llor esiste un unic metric Riemnnin g definit globlmente su M tle che g j U = g U (cf. [?]). Dlle osservzioni precedenti segue che per ssegnre un metric Riemnnin g su M è sufficiente considerre un insieme di crte locli di M e definire g su ogni crt locle, rispettndo certe condizioni di comptibilità che or srnno preciste. Si (U x 1 x 2 ) un crt locle considerti due cmpi vettorili P locli 2 X = P i=1 X i x i 2 Y = j=1 Y j x j X i Y j 2C 1 (U ) si h l seguente espressione g(xy )= X i Y j g ij dove g ij = g. Le funzioni g x i x j ij prendono il nome di componenti locli di g rispetto lle coordinte (x 1 x 2 ). Per un superficie è clssico indicre le coordinte (x 1 x 2 ) con (u v) e le componenti dell metric con E = g 11 = g u u F = g 12 = g u v G = g 22 = g v v (notzione di Guss). Si (Vy 1 y 2 ) un ltr crt locle tle che U V 6=. Tenuto conto che y ff = i=1 x i y ff x i le componenti locli g fffi = g y nei punti di U V verificno le seguenti condizioni di comptibilità ff y fi (Λ) g fffi = x i x j y ff y fi g ij : D qunto si è visto, in generle, dre un metric Riemnnin su un vrietà di dimensione n equivle d ssegnre, per ogni perto n(n+1) di un ricoprimento di M, funzioni (quindi 3 su un superficie) g 2 ij tli che l mtrice (g ij ) si in ogni punto simmetric, definit positiv e vlgno le condizioni di comptibilità (Λ). Il tensore metrico ssume, quindi, l seguente espressione locle I = g ij dx i Ω dx j : L form qudrtic ssocit tle form bilinere si indic solitmente con (ΛΛ) ds 2 = g ij dx i dx j dove dx i dx j è il prodotto simmetrico di due tensori, dto d dx i dx j = 1 2 (dxi Ω dx j + dx j Ω dx i ): ds 2 prende il nome di elemento d rco tle denominzione è collegt ll nozione di distnz tr due punti. Più clssicmente, rispetto lle coordinte (u v) si scrive ds 2 = Edu 2 +2Fdudv + Gdv 2 :

3 5 È possibile provre che ogni vrietà differenzibile (di qulunque dimensione) mmette sempre un metric Riemnnin. Si noti che quest proprietà non vle nel cso delle metriche Riemnnine indefinite inftti non è sempre possibile costruire metriche di ssegnt segntur su un vrietà differenzibile qulsisi. Per esempio, sulle vrietà comptte non esistono metriche di segntur (1n 1) (le cosiddette metriche di Lorentz). Inftti, d esempio se M è comptto, si hnno delle ostruzioni topologiche: i vettori di tipo tempo dnno luogo dei cmpi vettorili mi nulli su M, m llor, l crtteristic di Eulero di M deve essere null (vedere d esempio [Mi]). Dt un crt locle (U x 1 x 2 ) (e più in generle, su un vrietà dt un crt locle (U x 1 x 2 :::x n)), pplicndo il procedimento di ortogonlizzzione di -Schmidt i cmpi x 1 x 2 (e, in generle, su un vrietà di dimensione qulsisi, i cmpi ), x si possono costruire i 2 cmpi vettorili locli E 1 E 2 tli che g(e i E j )=ffi ij dove ffi ij è il delt di Kronecker. In ltri termini, su ogni perto di M esistono sempre dei riferimenti ortonormli locli che, in generle, non si estendono dei riferimenti globli. Assegnt un metric g si definisce il modulo di un vettore v 2 T pm come jvj := p g(v v) : Si (Mg) un superficie Riemnnin conness. A prtire dll metric g è possibile introdurre l nozione di distnz di due punti di M. Considert un curv fl su M fl :[ b] ρ R! M differenzibile trtti, di clsse lmeno C 1, l su lunghezz è definit d Z b q Z b L fl = g fl(t) ( fl(t) _ fl(t))dt _ = k fl(t)kdt: _ Si può dimostrre che L fl non dipende dll prmetrizzzione scelt. Considerimo l funzione s(t) =L fl (t) = Z t q g fl(t) ( fl(t) _ fl(t))dt _ che, d un punto di vist geometrico, rppresent l lunghezz dell rco di curv compreso tr i punti fl() e fl(t). Se(U x 1 x 2 ) è un crt locle, le coordinte di fl(t) sono (x 1 (t)x 2 (t)), dove x i (t) =(x i ffi fl)(t). Quindi s(t) =L fl (t) = Z t 0 X n g ij (x(t)) dx i dt Quest espressione giustific si l denominzione di elemento d rco per l form qudrtic (**) si l notzione ds 2. Dti due punti p q 2 M, si definisce l distnz d(p q) tr p e q come l estremo inferiore delle lunghezze di ogni curv fl, differenzibile trtti, di clsse lmeno C 1, che unisce p q. Si verific che (Md) è uno spzio metrico e che l topologi di M coincide con l topologi di spzio metrico indott dll distnz. Nell intorno coordinto (U x 1 x 2 ), l 2-form differenzile du := det(g ij R)dx 1 ^ dx 2 rppresent l elemento infinitesimo di re. In ltre prole se R è un regione limitt contenut in U, RR du = R det(g ij)dx 1 ^ dx 2 è l re di R. Si noti che R R det(g ij)dx 1 ^ dx 2 non dipende dll scelt delle coordinte (Esercizio). Notzione. L prim form qudrtic fondmentle di un superficie srà denott in seguito con I oppure nche con g, h i o cun un puntino. dx j dt 1 A 1 2 dt : Esempi. () Si M il pino xy di R 3 che può essere ricoperto d un unic crt locle P : R 2! R 3 (u v) 7! (u v 0). Le componenti dell prim form fondmentle sono E(u v) =G(u v) =1 F (u v) =0: Un ltr crt locle, definit sul pino privto dell origine può essere costruit usndo coordinte polri (ρ ), L crt h llor l form Q :]0 +1[ ]0 2ß[! R 3 (ρ ) 7! (ρ cos ρ sin 0) : le componenti dell metric in quest crt locle sono dte d E(ρ ) =1 F (ρ ) =0 G(ρ ) =ρ 2 :

4 6 CAPITOLO 1. LA PRIMA FORMA QUADRATICA FONDAMENTALE (b) (c) Si consideri l superficie strtt R 2+ = f(x y) 2 R 2 =y > 0g: Su di ess si defisce l metric ds 2 = dx2 + dy 2 : y 2 R 2+ dott di tle metric è detto semipino di Poincré. Si C il cilindro circolre retto e P l crt locle P :]0 2ß[ R! R 3 ( v) 7! (cos sin v) : In tle crt locle le componenti dell metric sono E( v) =G( v) =1 F ( v) =0: Perciò l prim form fondmentle h l stess espressione locle di quell del pino (nel riferimento nturle). Per rendersi conto intuivmente di perchè questo vviene si costruisc un cilindro con un foglio di crt identificndo due lti opposti. Non devo deformre in nessun modo il foglio per frlo tornre pino. In termini clssici si dice che il cilindro e il pino sono loclmente pplicbili (isometrici, in termini più moderni). Figur 1.1: il cilindro e il pino sono loclmente pplicbili Sino (M g) e (M 0 g 0 ) due vrietà Riemnnine. Un diffeomorfismo si dice isometri se f : M! M 0 g 0 f(p) (f Λpx f Λp y)=g p (x y) per ogni p 2 M e x y 2 T p M. In ltri termini, per ogni p 2 M, il differenzile f Λp : T p M! T f(p) M 0 è un isometri linere tr gli spzi vettorili euclidei (T p M g p ) e (T f(p) M 0 g 0 ). f(p) Più in generle, se (M g) e (N h) sono due vrietà Riemnnine, un ppliczione differenzibile f : M! N conserv le metriche se per ogni p 2 M, v w 2 T p M h(f Λp v f Λp w)=g(v w): In tle ottic, un immersione isometric i :(M g)! R n è un immersione i che conserv le metriche.

5 7 Definizione 2 Sino (M g) e (M 0 g 0 ) due vrietà Riemnnine. Un funzione differenzibile si dice isometri locle se, per ogni p 2 M, è un isometri linere di spzi vettorili euclidei. f : M! M 0 f Λp : T p M! T f(p) M Come dirett conseguenz del Teorem dell funzione invers, si h che se f è un isometri locle, per ogni punto p di M, esistono un intorno U di p e un intorno U 0 di f(p) tli che f j U : U! U 0 si un diffeomorfismo. Ad esempio, il cilindro circolre retto C e il pino R 2 sono loclmente (m non globlmente) isometrici. L insieme I(M ) di tutte le isometrie di un vrietà Riemnnin in sè è un gruppo rispetto ll composizione di isometrie. Un problem fondmentle in geometri Riemnnin è quello di cpire qundo due vrietà Riemnnine sono isometriche, lmeno loclmente (si dice nche pplicbili). In molti csi, un rispost soddisfciente si ottiene medinte il confronto di prticolri cmpi tensorili che sono invrinti per isometrie, detti invrinti Riemnnini. Notimo che l prim form qudrtic fondmentle di un superficie è invrinte per isometrie. Nel seguito srnno introdotti lcuni importnti invrinti Riemnnini come l olonomi e l curvtur. Esempi. () M = R n con l metric euclide g E è un esempio di vrietà Riemnnin. Se (x 1 x 2 :::x n ) è il sistem di coordinte globli stndrd su R n,sih g E = dx 1 Ω dx 1 + dx 2 Ω dx 2 + :::+ dx n Ω dx n : Si osservi che, in questo cso, x 1 x 2 ::: x è un riferimento ortonormle globle. n Si può verificre fcilmente che il gruppo delle isometrie di R n, rispetto ll metric euclide, è dto d I(R n )=ff : R n! R n j f (x) =Ax + A 2 O(n) 2 R n g dove O(n) =fa 2 GL(nR) j t AA = Ig è il gruppo ortogonle, con il prodotto (si identific f 2I(R n ) con l coppi ( A)) ( A)( 0 A 0 )=(A 0 + AA 0 )AA 0 2 O(n) 0 2 R n : Si noti che un isometri di R n è dunque un composizione di un trslzione (individut d ) e di un rotzione (individut d A 2 O(n)). (b) Sino M ed M 0 due vrietà differenzibili e f : M! M 0 un immersione. Dt un metric Riemnnin g 0 su M 0, l metric g = f Λ g 0 definit d f Λ gp 0 (v w) :=g0 f (p)(fλpv fλpw) è un metric Riemnnin su M, dett metric indott. Un esempio di quest situzione generle è dto d un superficie M ρ R 3.

6 8 CAPITOLO 1. LA PRIMA FORMA QUADRATICA FONDAMENTALE Esercizi Esercizio 1 Provre che le ppliczioni del tipo sono isometrie. f : R n! R n j f(x) =Ax + A 2 O(n) 2 R n Esercizio 2 Si M un superficie, U un crt locle con coordinte (x 1 x 2 ) e R un regione limitt contenut in U. Provre che R R det(g ij)dx 1 ^ dx 2 non dipende dll scelt delle coordinte.