Gianluca Occhetta. Note di Geometria. IV e V unità didattica. Università di Trento Dipartimento di Matematica Via Sommarive Povo (TN)

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1 Ginluc Occhett Note di Geometri IV e V unità didttic Università di Trento Diprtimento di Mtemtic Vi Sommrive ovo (TN)

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3 Indice rte I Topologi generle 1 Spzi topologici Generlità Confronto tr topologie Bse di un topologi Appliczioni continue Costruire nuovi spzi topologici Sottospzi e topologi indott rodotti e topologi prodotto Quozienti e topologi quoziente Lo spzio proiettivo rele R n L rett proiettiv rele R Il pino proiettivo rele R roprietà topologiche Spzi comptti Spzi di Husdorff Spzi connessi Spzi connessi per rchi Superfici topologiche Vrietà topologiche Somm conness Tringolzioni Orientbilità Teorem di clssificzione I rte II Topologi lgebric 5 Omotopi Omotopi di ppliczioni continue Tipo d omotopi - Retrtti

4 IV Indice 5.3 CW-complessi finiti Il gruppo fondmentle Il gruppo fondmentle Omomorfismo indotto Teorem di invrinz per omotopi Il gruppo fondmentle di S Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni Gruppi con presentzione Il teorem di Seifert-Vn Kmpen Il teorem di clssificzione delle superfici comptte II Gruppo fondmentle e retrzioni rte III Geometri differenzile 8 Vrietà differenzibili Vrietà differenzibili Funzioni e ppliczioni differenzibili Spzio tngente in un punto Crtterizzzione geometric dei vettori tngenti Differenzile di un ppliczione in un punto Immersioni, sommersioni, embedding Sottovrietà Fibrto tngente e cotngente Spzio cotngente in un punto - Fibrto cotngente Curve differenzibili Curve regolri - lunghezz d rco Il triedro di Frenet Curvtur e torsione Form cnonic locle - Enti oscultori Curve con prmetro rbitrrio Curve pine Superfici differenzibili Superfici Riemnnine Superfici in R 3 - prim form fondmentle Opertore form e second form fondmentle Curvture Curvtur normle Curvture principli - Direzioni principli Curvtur di Guss e curvtur medi Interpretzione geometric dell curvtur di Guss Linee di curvtur - Linee sintotiche Theorem Egregium

5 Indice V 10.7 Geodetiche Teorem di Guss-Bonnet locle e tringoli geodetici Superfici di rotzione Superfici rigte Rigte sviluppbili roprietà globli di superfici in R Teorem di Guss-Bonnet globle

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7 rte I Topologi generle

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9 1 Spzi topologici 1.1 Generlità Definizione. Si X un insieme e τ (X) un fmigli di sottoinsiemi di X con le seguenti proprietà: 1. τ, X τ. 2. τ è chius rispetto ll unione; cioè, dt un collezione {U j } j J con U j τ j si h che U j τ. 3. τ è chius rispetto lle intersezioni finite; cioè, se U 1, U 2 τ llor U 1 U2 τ. L coppi (X, τ) è dett spzio topologico; l insieme τ è detto topologi, mentre gli elementi di τ sono chimti perti dell topologi. Esempi 1.1. ) (X, (X)): Topologi discret. b) (X, {, X}): Topologi grossoln (o bnle). c) (X, τ c ), τ c = { } {X} {U U c è un insieme finito}: Topologi cofinit. Se {U j } j J sono elementi non bnli di τ llor per ogni j si h Uj c < +. Allor ( U j ) c = Uj c, e quindi, per ogni j, ( U j) c Uj c; essendo Uc j < + llor nche ( U j ) c < + e quindi U j τ. Se U 1, U 2 sono elementi non bnli di τ (e quindi U1 c < +, U2 c < + ) llor (U 1 U 2 ) c = U1 c Uc 2 è un insieme finito, in qunto unione finit di insiemi finiti, e pertnto U 1 U 2 τ. d) (X = R n, τ ε ), U τ ε sse U è l insieme vuoto, R n oppure è un unione di sottoinsiemi dell form B r (p) = {x R n d(x,p) < r}, con p R n e r numero rele positivo : Topologi euclide. Verificheremo più vnti che quest è un topologi, utilizzndo il concetto di bse. e) X = R n, τ d = { } {R n } {B r (0)}: Topologi dei dischi. Bri (0) = B R (0) con R = sup r i e B r1 (0) B r2 (0) = B r (0) con r = min(r 1, r 2 ). f) X = R, τ s = { } {R} {(, ) R}: Topologi delle semirette. (, i ) = (, A) con A = sup i e (, 1 ) (, 2 ) = (, ) con = min( 1, 2 ).

10 4 1 Spzi topologici g) X = [ 1, 1], τ = { } {[ 1, 1]} {U 0 U} {V ( 1, 1) V } Chimimo per comodità insiemi del primo tipo i sottoinsiemi U 0 e insiemi del secondo tipo i sottoinsiemi V ( 1, 1). E immedito osservre che l unione (o l intersezione) di insiemi del primo tipo è ncor un insieme del primo tipo, mentre l unione (o l intersezione) di insiemi del secondo tipo è ncor un insieme del secondo tipo, quindi bst verificre che U V τ e U V τ se U è un insieme del primo tipo e V è un insieme del secondo tipo. L insieme U V τ perché contiene ( 1, 1), e l insieme U V τ perché non contiene 0. h) X = R, τ = { } {R} {[, ] R + } non è un topologi, perché non è chius rispetto ll unione. Ad esempio [ n, 1 1 ] = ( 1, 1) τ. n n N Definizione. Un sottoinsieme C X si dice chiuso nell topologi τ se C c è un perto di τ. roposizione. Si (X, τ) uno spzio topologico. 1., X sono chiusi. 2. L intersezione di chiusi è un chiuso. 3. L unione finit di chiusi è un chiuso. Dim. Esercizio. Definizione. Si x X; un intorno di x è un sottoinsieme W X che contiene un perto U che contiene x: x U W. Normlmente, dicendo intorno sottintenderemo intorno perto. Definizione. Si Y X; un punto y Y è interno Y se esiste un intorno W di y tle che W Y. L insieme di tutti i punti interni di Y si chim interno di Y, e si denot con Y. Equivlentemente Y è il più grnde perto di X contenuto in Y. Osservzione. Y è perto Y = Y. Dim. = ) Se Y è perto costituisce un intorno di ogni suo punto, quindi ogni punto di Y è punto interno. =) er ogni y Y esiste un perto U y tle che y U y Y, quindi Y = U y è perto in qunto unione di perti. Definizione. Si Y X; un punto x X è di derenz per Y se per ogni intorno W x di x si h W x Y. L insieme di tutti i punti di derenz di Y in X si chim chiusur di Y in X, e si denot con Y. Equivlentemente Y è il più piccolo chiuso di X che contiene Y. Osservzione. Y è chiuso Y = Y. Dim. Esercizio.

11 Definizione. L frontier di Y, denott con Y, è l insieme Y \ Y. 1.3 Bse di un topologi 5 Esempio 1.2. Se Y = [0, 1) in (R, τ ε ) llor Y = (0, 1), Y = [0, 1] e Y = {0, 1}; considerndo lo stesso insieme come sottospzio di R con l topologi delle semirette si h invece Y =, Y = [0, + ) e Y = [0, + ). Esempio 1.3. Si X = [ 1, 1] con l topologi dell esempio 1.1 g) e si Y = [ 1/4, 1]. Y non contiene perti del secondo tipo, mentre qulsisi sottoinsieme di Y che non contiene lo zero è perto. Quindi Y = Y \ {0}. I chiusi non bnli di X sono i sottoinsiemi che contengono lo zero e quelli che hnno intersezione vuot con ( 1, 1), quindi Y è chiuso e Y = Y. L frontier di Y è quindi costituit dl punto 0, Y = {0}. 1.2 Confronto tr topologie Si X un insieme e τ 1 e τ 2 due topologie su X. Definizione. Si dice che τ 1 è più fine di τ 2 (τ 1 τ 2 ) se ogni perto di τ 2 è un perto di τ 1. Si dice che τ 1 è strettmente più fine di τ 2 (τ 1 τ 2 ) se τ 1 è più fine di τ 2 ed esiste un perto di τ 1 che non è perto di τ 2. Quest è un relzione d ordine przile: due topologie diverse possono non essere confrontbili. Esempio 1.4. Si X = R e sino τ 1 l topologi discret, τ 2 l topologi euclide, τ 3 l topologi dei dischi, τ 4 l topologi delle semirette. Si h che τ 1 τ 2, τ 3, τ 4 e che τ 2 τ 3, τ 4, mentre τ 3 e τ 4 non sono confrontbili. 1.3 Bse di un topologi Definizione. Si (X, τ) uno spzio topologico. Un sottoinsieme B τ è un bse per τ se ogni perto non vuoto di τ è unione di elementi di B. roposizione. (Crtterizzzione delle bsi) Se B è un bse per un topologi τ su X, llor 1) x X B B t.c. x B. 2) B 1, B 2 B t.c. B 1 B 2 e x B 1 B 2 B 3 B t.c. x B 3 B 1 B 2. Vicevers, dto un insieme X e un fmigli di sottoinsiemi B che h le proprietà 1) e 2) esiste un unic topologi su X che h B come bse. L condizione 2. B 1 x B 3 B 2

12 6 1 Spzi topologici Dim. Supponimo che B si un bse per un topologi. X è un perto, quindi si scrive come unione di elementi dell bse: X = i I B i, quindi ogni punto di X è contenuto in lmeno uno dei B i. Dti B 1 e B 2 pprtenenti B, tli insiemi pprtengono nche τ, quindi l insieme B 1 B 2 è un perto e pertnto si può scrivere come unione di elementi dell bse: B 1 B 2 = i I B i; ogni elemento dell intersezione è contenuto in lmeno uno di questi B i. Vicevers, supponimo che un fmigli di sottoinsiemi B verifichi 1) e 2) e costruimo l topologi in questo modo: un sottoinsieme Y X pprtiene τ se e solo se si può scrivere come unione degli elementi di B. L insieme vuoto pprtiene bnlmente τ, e X τ per l proprietà 1). L unione di elementi di τ è un unione di elementi dell bse, quindi τ per come bbimo definito τ; sino infine U 1, U 2 τ e verifichimo che U 1 U 2 τ. Scrivimo U 1 = i I B i, U 2 = j J B j; llor U 1 U 2 = ( i I B i ) ( j J B j ) = i I,j J (B i B j ). er concludere è sufficiente osservre che, per l proprietà 2), B i B j si può scrivere come unione di elementi di B. L unicità di τ segue immeditmente dll definizione di bse. Esempi 1.5. ) In X = R n i sottoinsiemi B r (x) = {y R n d(x,y) < r}, l vrire di x R n e di r R +, costituiscono un bse per un topologi, dett Topologi euclide di R n. b) Anlogmente, se (X, d) è uno spzio metrico, su di esso è possibile definire un topologi τ d che h come bse i sottoinsiemi dell form B r (x) = {y X d(x, y) < r}. c) X = R, B = {[, b) < b} è l bse per un topologi su R. d) X = R, B = {[, ]} è l bse per un topologi su R. e) Si X = N 2 l insieme dei numeri interi mggiori o uguli due, si U n = {x X x divide n} e si B = {U n } n X. Allor B è l bse per un topologi su X, dett Topologi dei divisori. Inftti ogni x X è contenuto in U x e U x1 U x2 = U MCD(x1,x 2 ). Esercizio 1.6. Si X un insieme e U = {U i } i I un collezione di suoi sottoinsiemi; U si dice sottobse per un topologi τ se le intersezioni finite di elementi di U sono un bse per l topologi τ. 1. rovre che U è un sottobse se e solo se X U i. 2. Trovre un sottobse dell topologi euclide su R. Definizione. Due bsi B 1 e B 2 si dicono equivlenti se generno l stess topologi. roposizione. (Criterio di equivlenz delle bsi) Due bsi B 1 e B 2 sono equivlenti se e solo se sono verificte le seguenti condizioni:

13 1. B 1 B 1, x B 1 B 2 B 2 t.c. x B 2 B B 2 B 2, x B 2 B 1 B 1 t.c. x B 1 B 2. Dim. Esercizio. 1.4 Appliczioni continue 7 Esempio 1.7. In R 2 i dischi perti e i rettngoli perti sono bsi per l stess topologi (quell euclide). B 1 B 2 x B 2 x B Appliczioni continue Definizione. Sino (X, τ) e (Y, σ) due spzi topologici. Un ppliczione f : X Y si dice continu se l controimmgine vi f di ogni insieme perto di Y è un perto di X, cioè se U σ si h che f 1 (U) τ. Osservzione. L continuità di un ppliczione dipende non solo dgli insiemi X e Y, m nche dlle topologie su di essi considerte. Esempi 1.8. ) f : R R definit d f(x) = x 2 è continu con l topologi euclide, non lo è con l topologi delle semirette. b) (X, τ 1 ) (X, τ 2 ); f = Id X è continu τ 1 τ 2. c) X h l topologi discret (Y, σ), f : X (Y, σ) f è continu. = ) Ovvio. =) Sceglimo Y = X, come σ l topologi discret e f = Id X. d) Y h l topologi bnle (X, τ), f : (X, τ) Y f è continu. = ) Ovvio. =) Sceglimo X = Y, come σ l topologi bnle e f = Id Y. L definizione di continuità si può dre nche utilizzndo i sottoinsiemi chiusi. roposizione. f : X Y è continu chiuso in Y. f 1 (C) è chiuso in X per ogni C Dim. Esercizio. Se si conosce un bse per l topologi di Y è sufficiente testre l continuità sugli elementi dell bse: roposizione. Si f : (X, τ) (Y, σ) un ppliczione tr spzi topologici, e si B un bse per σ. Allor f è continu se e solo se f 1 (B) τ per ogni B B.

14 8 1 Spzi topologici Dim. Se f è un ppliczione continu llor f 1 (B) τ per ogni B B perché gli elementi di B sono prticolri elementi di σ. Vicevers, se f 1 (B) τ per ogni B B, poiché ogni V σ si può scrivere come V = B i con B i B, si h f 1 (V ) = f 1 ( B i ) = f 1 (B i ) e f 1 (B i ) τ in qunto unione di elementi di τ. Esercizio 1.9. Si (X, τ) l insieme N 2 con l topologi dei divisori. Si provi che le ppliczioni f k : X X definite ponendo f k (n) = kn sono continue, mentre l ppliczione g definit ponendo g(n) = n + 1 non lo è. Definizione. Un ppliczione f : X Y si dice pert se f(u) è perto in Y per ogni U perto in X. Un ppliczione f : X Y si dice chius se f(c) è chiuso in Y per ogni C chiuso in X. Osservzione. f può essere pert, chius, pert e chius senz essere continu. Verificre che 1. Se (X, τ) = (Y, σ) = (R, τ s ) e f : X Y è definit ponendo f(x) = x 2 llor l ppliczione f è chius, non pert e non continu. 2. Se (X, τ) = (R 2, τ ε ) e (Y, σ) = (R, τ ε ) e f : X Y è definit ponendo f(x, y) = x llor l ppliczione f è pert, non chius e continu (lo vedremo più vnti). 3. f : (R, τ s ) (R, τ ε ) definit ponendo f(x) = 3x è pert e chius, m non continu. roposizione. Sino (X, τ X ), (Y, τ Y ) e (Z, τ Z ) tre spzi topologici, f : X Y e g : Y Z due ppliczioni continue. Allor l ppliczione compost h = g f : X Z è continu. Dim. Bisogn verificre che h 1 (V ) τ X per ogni V τ Z. L insieme g 1 (V ) τ Y poiché g è continu, e l insieme f 1 (g 1 (V )) τ X poiché f è continu, e quindi l sserto segue dl ftto che h 1 (V ) = (g f) 1 (V ) = f 1 (g 1 (V )). Qundo due spzi topologici sono uguli? Definizione. Due spzi topologici X e Y si dicono omeomorfi se esistono due ppliczioni continue f : X Y e g : Y X t.c. g f = Id X e f g = Id Y. f e g prendono il nome di omeomorfismi; un omeomorfismo è cioè un ppliczione continu, biunivoc e con invers continu (biunivoc e bicontinu). Indicheremo l omeomorfismo tr due spzi topologici con questo simbolo:.

15 2 Costruire nuovi spzi topologici 2.1 Sottospzi e topologi indott Si (X, τ) uno spzio topologico e S X un suo sottoinsieme non vuoto. Definizione. τ S = {U S U τ} è un topologi su S, dett topologi indott d τ su S. Osservzione. Considerimo l inclusione i : S X; si h che A X i 1 (A) = A S. L topologi indott rende continu l inclusione, nzi è l topologi meno fine che rende continu l inclusione. Osservzione. Gli perti di τ S non sono necessrimente perti di τ: d esempio se (X, τ) = (R, τ ε ) e S = [0, 1] llor [0, 1/2) è un perto di τ S, m non è un perto di τ ε. Esempi 2.1. Alcuni esempi di sottospzi di (R n, τ ε ) di importnz notevole: ) X = R, S = I := [0, 1]. b) X = R n+1, S = S n := {x R n+1 x = 1}, sfer di dimensione n. c) X = R n, S = D n := {x R n x 1} Disco di dimensione n. Esempi 2.2. Vedimo lcuni esempi di omeomorfismi. ) Due intervlli di R che includono gli estremi, con l topologi indott dll topologi euclide, sono tr loro omeomorfi. Inftti l intervllo [, b] è omeomorfo ll intervllo I per mezzo di f : [, b] [0, 1] definit d y = (x )/(b ), che h come invers g : [0, 1] [, b] definit d x = y(b ) +. L tesi segue or dl ftto che l composizione di omeomorfismi è un omeomorfismo. b) Allo stesso modo due intervlli di R che non includono gli estremi, con l topologi indott dll topologi euclide, sono tr loro omeomorfi. c) Due semirette (, ) e (, b) con l topologi indott d quell euclide sono omeomorfe. er mostrre questo ftto è sufficiente considerre l omeomorfismo f : (, ) (, b) definito ponendo f(x) = x + (b ).

16 10 2 Costruire nuovi spzi topologici d) Due semirette (, ) e (b, + ) con l topologi indott d quell euclide sono omeomorfe. In questo cso un possibile omeomorfismo è dto d f : (, ) (b, + ) definit ponendo f(x) = x + (b + ). e) Gli intervlli di R che non includono gli estremi, con l topologi indott d quell euclide, sono omeomorfi lle semirette prive dell estremo con l topologi indott d quell euclide. In virtù degli esempi precedenti bst mostrre che l intervllo (0, 1) è omeomorfo ll semirett (1, + ), e ciò si ottiene considerndo l omeomorfismo f : (0, 1) (1, + ) definito d f(x) = 1/x. f) Gli intervlli di R che non includono gli estremi, con l topologi indott d quell euclide, sono omeomorfi R con l topologi euclide. Bst mostrre che l intervllo ( π/2, π/2) è omeomorfo R, e ciò si ottiene considerndo l omeomorfismo f : ( π/2, π/2) R dto d f(x) = tn(x). g) Gli intervlli di R che non includono gli estremi, con l topologi indott d quell euclide, non sono omeomorfi gli intervlli di R che includono gli estremi, con l topologi indott d quell euclide. Lo vedremo più vnti. h) L sfer n-dimensionle meno un punto con l topologi indott d quell euclide è omeomorf R n con l topologi euclide. Sceglimo come punto il polo nord N = (0, 0,..., 0, 1) e definimo un ppliczione p : S n \{N} R n, dett proiezione stereogrfic. Tle ppliczione ssoci un punto di S n \ {N} R n+1 il punto dell iperpino di equzione x n+1 = 0 ottenuto intersecndo l rett per N e con tle iperpino. Le equzioni di p sono le seguenti: p(x 1,...,x n+1 ) = ( x1 1 x n+1,..., x n 1 x n+1 L invers di p, p 1 : R n S n \ {N} è dt d ( ) p 1 2y1 (y 1,...,y n ) = 1 + 2y n y,..., yi , i 1 yi yi 2 E semplice verificre che p e l su invers sono ppliczioni continue che dnno quindi l omeomorfismo cercto. Esercizio 2.3. Si X l insieme [0, 1] {2} con l topologi che h come bse gli perti euclidei di [0, 1] e gli insiemi dell form (, 1) {2} con [0, 1). Si consideri l ppliczione f : [ 1, 1] X definit ponendo { x x 1 f(x) = 2 x = 1 Si stbilisc se tle ppliczione è continu qundo [ 1, 1] h rispettivmente l topologi grossoln, l topologi cofinit, l topologi euclide o l topologi discret. ).

17 2.2 rodotti e topologi prodotto 2.2 rodotti e topologi prodotto 11 Sino (X, τ X ) e (Y, τ Y ) due spzi topologici. Definizione. L topologi prodotto τ X Y su X Y è l topologi su X Y che h come bse B X Y = {U X V Y U X τ X, V Y τ Y }. Un perto dell bse viene detto perto elementre dell topologi prodotto. Esempio 2.4. Sino (X, τ X ) = (Y, τ Y ) = (R, τ ε ); llor per il criterio di equivlenz delle bsi, l topologi prodotto su R 2 è l topologi euclide. Dto uno spzio prodotto X Y, sono nturlmente definite due ppliczioni, π X : X Y X, tle che π X (x, y) = x e π Y : X Y Y, tle che π Y (x, y) = y, dette proiezioni sui fttori. X Y π X π Y X Y Le proiezioni sui fttori sono ppliczioni continue, nzi, l topologi prodotto è l topologi meno fine che rende continue le proiezioni. Osservzione. Le proiezioni sono ppliczioni perte. Dim. Si A un perto di X Y ; tle insieme si può scrivere come prodotto di perti elementri: A = i I (U i V i ), ove gli U i sono perti di X e i V i sono perti di Y ; si h pertnto π X (A) = i I U i e π Y (A) = i I V i. Esempio 2.5. In generle le proiezioni non sono ppliczioni chiuse: in R 2 con l topologi euclide si consideri l insieme C costituito di punti dell iperbole equilter di equzione xy = 1; tle insieme è chiuso in qunto immgine invers dell insieme chiuso costituito dl punto 1 trmite l ppliczione continu f : R 2 R così definit: f(x, y) = xy. L immgine di C trmite l proiezione π X è R \ {0}, che non è un insieme chiuso di (R, τ ε ). roposizione. Sino (X, τ X ) e (Y, τ Y ) due spzi topologici e si (X Y, τ X Y ) lo spzio prodotto. Allor y Y lo spzio topologico X {y}, con l topologi indott, è omeomorfo d X. Y y W X Dim. Si i : X {y} X Y l inclusione, e si f : X {y} X definit ponendo f(x, y) = x; è immedito verificre che f = π X i e che f è biunivoc. Inoltre f è continu perché composizione di ppliczioni continue; per provre quindi che f è un omeomorfismo rest d mostrre che f è pert.

18 12 2 Costruire nuovi spzi topologici Un perto W di X {y} è intersezione di un perto di X Y con X {y} quindi, essendo un perto del prodotto unione di perti elementri, possimo scrivere W = ( j J (U j V j )) (X {y}); quindi W = j J (U j {y}) dove J = {j J y V j }. Si h pertnto che f(w) = j J U j e quindi f è pert. L seguente proposizione fornisce un criterio per stbilire se un ppliczione vlori in uno spzio prodotto è continu roposizione. (roprietà universle dei prodotti) Si Z uno spzio topologico e f : Z X, g : Z Y due ppliczioni. Si h : Z X Y l ppliczione definit d h(z) = (f(z), g(z)). Allor h è continu se e solo se f e g sono continue. ossimo rppresentre l situzione col seguente digrmm commu- Dim. ) ttivo: Y g Z f π Y h π X X X Y Dl ftto che f = π X h e g = π Y h segue l tesi, perché le proiezioni sono ppliczioni continue. ) oiché gli perti elementri costituiscono un bse per l topologi prodotto è sufficiente mostrre che l immgine invers di un perto elementre è un perto di Z. h 1 (U V ) = {z Z h(z) = (f(z), g(z)) U V } = = {z Z f(z) U, g(z) V } = f 1 (U) g 1 (V ), e l tesi segue perciò dll continuità di f e g. Esercizio 2.6. Sino (X, τ X ) = (R, τ ε ) e (Y, τ Y ) = (R, τ c ) e si X Y lo spzio prodotto. Si determinino l interno, l chiusur e l frontier del sottoinsieme Q = [0, 1] [0, 1] X Y. Esercizio 2.7. Si (X, τ X ) lo spzio topologico R con l topologi che h per bse i sottoinsiemi del tipo [, b) con, b R e si Z lo spzio prodotto (X, τ X ) (X, τ X ). Qul è l topologi indott sui sottoinsiemi Y 1 = {(x, x) x R} e Y 2 = {(x, x) x R}? Definizione. Si f : X Y un ppliczione; il grfico di f è l insieme Γ f = {(x, y) X Y f(x) = y} = {(x, f(x)) x X} Esercizio 2.8. Si f : X Y un ppliczione continu. Dimostrre che il grfico Γ f è omeomorfo X.

19 2.3 Quozienti e topologi quoziente 2.3 Quozienti e topologi quoziente 13 Definizione. Si f : X Y un ppliczione suriettiv d uno spzio topologico X su un insieme Y. L topologi più fine che rende f continu è dett topologi quoziente. E costituit di sottoinsiemi τ f = {U Y f 1 (U) è perto in X} Osservzione. Avere un ppliczione suriettiv tr insiemi f : X Y è equivlente d vere un relzione di equivlenz f nell insieme X così definit: x f x se e solo se f(x) = f(x ). L insieme Y è l insieme quoziente rispetto tle relzione, e f è l proiezione sul quoziente. Definizione. Si f : X Y un ppliczione suriettiv di insiemi. Un sottoinsieme A X si dice sturo se f 1 (f(a)) = A. In cso contrrio l insieme f 1 (f(a)) è detto sturzione di A. Se X è uno spzio topologico e Y h l topologi quoziente per trovre gli perti di Y è sufficiente trovre gli perti sturi di X: roposizione. Si (X, τ X ) uno spzio topologico, f : X Y un ppliczione suriettiv e si doti Y dell topologi quoziente τ f. Allor gli perti di τ f sono in corrispondenz biunivoc con gli perti sturi di X. Dim. Si S l insieme degli perti sturi di X. ossimo definire un ppliczione tr insiemi ϕ : S τ f che d ogni perto sturo A di X ssoci f(a); inftti f 1 (f(a)) = A e quindi f(a) è un perto di Y. Vicevers possimo definire un ppliczione ψ : τ f S che ssoci d un perto B di τ f l su controimmgine f 1 (B). Tle sottoinsieme è perto perché B lo è ed è sturo perché f(f 1 (B)) = B e quindi f 1 (f(f 1 (B))) = f 1 (B). E immedito verificre che le due ppliczioni sopr definite sono l invers l un dell ltr e quindi stbiliscono l corrispondenz biunivoc cerct. Corollrio. Si (X, τ X ) uno spzio topologico, f : X Y un ppliczione suriettiv e si doti Y dell topologi quoziente τ f. L ppliczione f è pert (rispettivmente chius) se l sturzione di ogni sottoinsieme perto (risp. chiuso) è un sottoinsieme perto (risp. chiuso). Dim. = ) Se f è pert, llor per ogni U τ X si h che f(u) τ f, e quindi f 1 (f(u)) τ X per definizione di topologi quoziente. =) er ipotesi per ogni U τ X si h che f 1 (f(u)) τ X. Quindi f(u) τ f per definizione di topologi quoziente. Esempi 2.9. Un prticolre tipologi di spzi quoziente si ottiene medinte contrzione d un punto di un sottoinsieme: dto un sottoinsieme A X si definisce l relzione di equivlenz A in questo modo: x A x x, x A. Denoteremo solitmente lo spzio quoziente X/ A con X/A. In questo cso l sturzione di un sottoinsieme U X è di due tipi possibili: { f 1 U U A = (f(u)) = U A U A

20 14 2 Costruire nuovi spzi topologici In prticolre, per il corollrio precedente, se A è un insieme perto llor f è un ppliczione pert, mentre, se A è un insieme chiuso llor f è un ppliczione chius. I sottoinsiemi sturi sono quelli che non tglino il sottoinsieme A e quelli che lo contengono. Nei due esempi successivi vedimo l contrzione un punto di un sottoinsieme chiuso e di un sottoinsieme perto. Notimo che nel primo cso il punto f(a) non è un perto, mentre nel secondo cso lo è. ) X = R, A = [ 1, 1]. b) X = R, A = ( 1, 1). Notimo nche, perché srà utile in seguito, che, nel secondo cso, ogni perto del quoziente che contiene il punto f( 1) - essendo immgine di un perto sturo che contiene A perché ogni perto che contiene 1 h intersezione non vuot con A - contiene nche f(a). Esempio Si X = R [0, 1] lo spzio prodotto tr R con l topologi euclide e [0, 1] con l topologi euclide. Si consideri su X l relzione di equivlenz così definit: (x, y) (x, y ) se e solo se (x, y) = (x, y ) oppure y = y 0 e si Y lo spzio quoziente X/. X Y Si f : X Y l proiezione nturle, e si A X un sottoinsieme. er tener conto del diverso comportmento dell relzione di equivlenz su R {0} e su R (0, 1] scrivimo pertnto f(a) = (f(a) f(r {0})) (f(a) f(r (0, 1])); f 1 (f(a)) = (A (R {0})) (R (π(a) (0, 1])), dove π : X [0, 1] è l proiezione sul secondo fttore. X Y 1 f (f(a)) X A f(a)

21 π X π Y 2.3 Quozienti e topologi quoziente 15 I sottoinsiemi sturi sono quindi quelli dell form A = A 1 A 2 dove A 1 R {0} e A 2 = R B 2 con B 2 (0, 1]. Se A è un insieme perto, llor A 1 dev essere un perto di R {0} e, poiché π è un mpp pert, π(a) = {0} B 2 dev essere un perto di [0, 1] (questo implic che B 2 è un perto di [0, 1] e che {0} B 2 ). L condizione è nche sufficiente, poichè, se A 1 è un perto di R {0} e {0} B 2 è un perto di [0, 1] llor A = A 1 A 2 = A 1 ({0} B 2 ) R B 2 è perto perché unione di perti. Gli perti di Y sono immgini degli perti sturi di X, e quindi sono del tipo f(a 1 ) f(r B 2 ), con A 1 perto di R {0} e B 2 perto di [0, 1] tle che {0} B 2. roposizione. (roprietà universle del quoziente) Si f : X Y un ppliczione suriettiv di spzi topologici tle che Y bbi l topologi quoziente rispetto d f; si poi g : Y Z un ppliczione tr spzi topologici. Allor g f è continu se e solo se g è continu. Dim. Se g è continu llor g f è continu perché composizione di ppliczioni continue. Vicevers supponimo che g f si continu. Si V un perto di Z; dobbimo dimostrre che g 1 (V ) è perto in Y ; sppimo che f 1 (g 1 (V )) è perto in X per l continuità di g f; m un sottoinsieme di Y è un perto dell topologi quoziente se e solo se l su controimmgine trmite f è un perto. roposizione. (Omeomorfismi di quozienti) Si f : X Y un omeomorfismo; sino X e Y relzioni di equivlenz in X e in Y. Se f pss l quoziente ( x, x X x X x f(x) Y f(x )) llor X/ X Y/ Y. Dim. Considerimo il seguente digrmm X f Y X/ X F Y/ Y e definimo F : X/ X Y/ Y in questo modo: F([x]) = [f(x)]. L ppliczione F è ben definit perché f pss l quoziente. Inftti, se x X x si h che f(x) Y f(x ) e quindi F([x ]) = [f(x )] = [f(x)]. L ppliczione F è continu per l proprietà universle del quoziente; inftti F π X è continu, essendo F π X = π Y f e quest ultim ppliczione è continu in qunto composizione di ppliczioni continue. L ppliczione F è iniettiv; inftti F([x]) = F([x ]) [f(x)] = [f(x )] f(x) Y f(x ) x X x [x] = [x ]. L ppliczione F è suriettiv perché f lo è: preso [y] Y/ Y sppimo che esiste x X tle che f(x) = y per l suriettività di f, e bbimo F([x]) = [f(x)] = [y]. L ppliczione invers F 1 è continu per l proprietà universle del quoziente (F 1 π Y = f 1 π X è continu).

22 16 2 Costruire nuovi spzi topologici Osservzione. Quest proposizione giustific il procedimento di tgli e incoll che vedremo più vnti. Definizione. Sino (X, x 0 ) e (Y, y 0 ) due spzi topologici in cui è stto scelto un punto, detto punto bse; l unione un punto di questi due spzi è lo spzio topologico (X, x 0 ) (Y, y 0 ) = (X Y )/ dove identific x 0 con y 0. Esempi ) X = I, A = {0, 1}; llor I /A S 1 ; inftti, considerimo l ppliczione e : I S 1, che mnd t in (cos 2πt, sin 2πt); tle ppliczione pss l quoziente, e pertnto risult definit un ppliczione g : I /A S 1 che f commutre il digrmm e I S 1 g f I /A E immedito verificre che g è biunivoc; g è continu per l proprietà universle del quoziente; si può mostrre (lo fremo più vnti) che nche g 1 è continu. b) X = I, A = {0, 1/2, 1}; llor I /A S 1 S 1. Si Y R 2 il sottospzio di R 2 omeomorfo S 1 S 1 costituito dlle circonferenze di rggio uno e centro (0, 1) e (0, 1): Y = {(x, y) R 2 x 2 + (y 1) 2 = 1 oppure x 2 + (y + 1) 2 = 1}. Considerimo l ppliczione e : I Y così definit: { (sin(4πt), cos(4πt) + 1) t [0, 1/2] e(t) =. (sin(4πt), cos(4πt) 1) t [1/2, 1] Tle ppliczione è ben definit e pss l quoziente perché tutti i punti di A sono mndti nell origine di R 2 e pertnto risult definit un ppliczione g : I /A S 1 S 1 che f commutre il digrmm e I S 1 S 1 g f I/A E immedito verificre che g è biunivoc; g è continu per l proprietà universle del quoziente; mostreremo in seguito che nche g 1 è continu.

23 2.3 Quozienti e topologi quoziente 17 c) X = S 1, A = { = ( 1, 0), Q = (0, 1)}, X/A S 1 S 1. Utilizzimo l proposizione sugli omeomorfismi di quozienti: si Y = I /{0, 1} e si h : X Y l inverso dell omeomorfismo g del punto ); si X l relzione su X che identific e Q, e si Y l relzione di equivlenz che identific l clsse di 0 e 1 con 1/2. E semplice verificre che h verific le ipotesi dell proposizione e induce perciò un omeomorfismo tr X/ X X/A e Y/ Y I /{0, 1/2, 1} S 1 S 1. d) X = S 1 I, A = S 1 {1}; X/A D 2. Considerimo l ppliczione p : S 1 I D 2, che mnd (x, t) in (1 t)x; tle ppliczione pss l quoziente perché tutti i punti di A sono mndti nello stesso punto di D 2 e pertnto risult definit un ppliczione g : (S 1 I)/A D 2 che f commutre il digrmm S 1 p I D 2 g f (S 1 I)/A E immedito verificre che g è biunivoc; g è continu per l proprietà universle del quoziente; mostreremosi in seguito che nche g 1 è continu.

24 18 2 Costruire nuovi spzi topologici e) X = S 1 I e considerimo l relzione di equivlenz tle che (x, 0) (x, 0) e (x, 1) (x, 1). Lo spzio quoziente X/ è omeomorfo S 2. L mpp d considerre in questo cso è l seguente: p : S 1 I S 2 così definit { (2tx, 1 4t p(x, t) = 2 ) t [0, 1/2] (2(1 t)x,. 1 4(1 t) 2 ) t [1/2, 1] f) X = S 2, A = S 1 ; X/A S 2 S 2. Esempi Relzioni d equivlenz in X = I I R 2 ) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = y ; si può dimostrre che lo spzio quoziente è omeomorfo S 1 I R 3 con l topologi indott d quell euclide. Si trtt cioè di un cilindro. b) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = 1 y ; lo spzio quoziente rispetto tle relzione di equivlenz è detto Nstro di Moebius. c) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = y oppure {y, y } = {0, 1} e x = x ; lo spzio quoziente rispetto tle relzione di equivlenz è detto Toro; si può dimostrre che tle spzio è omeomorfo l prodotto S 1 S 1. Q Q Q b b Q ) b) c)

25 2.4 Lo spzio proiettivo rele R n 19 d) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = y oppure {y, y } = {0, 1} e x = 1 x ; lo spzio quoziente rispetto tle relzione di equivlenz è detto Bottigli di Klein. e) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = 1 y oppure {y, y } = {0, 1} e x = 1 x ; lo spzio quoziente rispetto tle relzione di equivlenz è omeomorfo l pino proiettivo rele R 2. f) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che (x, y) (x, y ) (x, y) = (y, x ) e (x, y) (I I); si può dimostrre che lo spzio quoziente è omeomorfo ll sfer S 2. b Q Q b R b b b b Q Q d) e) f) Osservzione. Gli ultimi due spzi (il pino proiettivo rele e l sfer) possono essere visti nche come quozienti di D 2 (nzi, questo è il modo con cui solitmente vengono rppresentti come quozienti): Q 2.4 Lo spzio proiettivo rele R n Considerimo lo spzio topologico dto d R n+1 \ {0} con l topologi indott d quell euclide e in tle spzio considerimo l relzione d equivlenz definit in questo modo: v,w R n+1 \ {0}, v w v = λw, λ R v 1 v 2... v n+1 = λw 1 λw 2... λw n+1, λ R

26 20 2 Costruire nuovi spzi topologici L insieme quoziente viene denotto con bbimo l proiezione nturle R n := Rn+1 \ {0} ; π : R n+1 \ {0} R n. Definizione. L insieme R n dotto dell topologi quoziente rispetto ll proiezione nturle π è detto spzio proiettivo rele n-dimensionle. Vedimo nel dettglio lcuni csi prticolri di spzio proiettivo rele: l rett proiettiv rele e il pino proiettivo rele L rett proiettiv rele R 1 Supponimo che n = 1 e quindi come spzio vettorile di prtenz considerimo R 2 ; in questo cso vremo l rett proiettiv rele. Voglimo costruire un modello di R 1, ossi uno spzio topologico che si omeomorfo R 1 ; in prtic costruiremo un insieme che si in corrispondenz biunivoc con R 1 e lo doteremo dell topologi indott dll biiezione (gli perti del modello srnno i sottoinsiemi che corrispondono gli perti di R 1 ) in modo che l biiezione si l omeomorfismo cercto. Fscio di rette Ad ogni punto di R 2 diverso d 0 posso ssocire l rett che pss per quel punto e per 0. Tutti i punti di un stess rett pprtengono un unic clsse di equivlenz dell relzione e vicevers un clsse di equivlenz individu un unic rett per l origine di R 2 r R 2 l O Allor c è un corrispondenz biunivoc tr {punti di R 1 } {rette di R 2 pssnti per 0 }; inoltre l proiezione nturle π corrisponde d ssocire d ogni punto di R 2 \ {0} l rett di R 2 per 0 che pss per quel punto.

27 L topologi 2.4 Lo spzio proiettivo rele R n 21 A cos corrispondono gli perti di R 1? er definizione di topologi quoziente, un perto di R 1 è un sottoinsieme di R 1 formto d clssi di equivlenz di l cui controimmgine trmite π è perto in R 2 rispetto ll topologi euclide: U R 1 è perto π 1 (U) R 2 \ {0} è perto. Usndo l biiezione sopr citt, bbimo che un perto di R 1 è un insieme di rette di R 2 per 0 i cui punti formno un perto di R 2 con l topologi euclide. R 2 O Coppie di punti dimetrlmente opposti su S 1 Considerimo l circonferenz S 1 di centro 0 e rggio 1 in R 2 S 1 : x 2 + y 2 = 1 Ogni rett di R 2 per 0 tgli l circonferenz in due punti dimetrlmente opposti e vicevers, dt un coppi di punti dimetrlmente opposti sull circonferenz, ess individu un unic rett di R 2 per 0. r R 2 B l A O A B C è dunque un corrispondenz biunivoc {punti di R 1 } {coppie di punti dimetrlmente opposti su S 1 } e quindi bbimo un ltro modello di R 1.

28 22 2 Costruire nuovi spzi topologici L topologi A cos corrispondono gli perti di R 1? Essi sono intersezioni di perti del modello di R 1 dto dl fscio di rette con S 1 ; vedimo in figur un elemento dell bse degli perti di questo modello di R 1. R 2 O L circonferenz S 1 Considerimo or solo l semicirconferenz nel semipino {y 0}; tutte le rette di R 2 per 0 trnne l rett orizzontle tglino l semicirconferenz in un solo punto, mentre l rett orizzontle l tgli nei due punti con ordint null. R 2 B l O A A Un ltro modello di R 1 è dunque dto dll semicirconferenz con i due estremi A identificti. L topologi A cos corrispondono gli perti di R 1? Ci sono due tipi diversi di elementi dell bse dell topologi: quelli che contengono il punto A e quelli che non lo contengono. Entrmbi i tipi di perti sono, come nel cso precedente, intersezioni di perti di R 1 con l semicirconferenz; li vedimo rppresentti entrmbi in figur.

29 2.4 Lo spzio proiettivo rele R n 23 R 2 2 A 1 O 1 A Questo modello di R 1 è dunque omeomorfo llo spzio quoziente dto d I con gli estremi identificti e quindi è omeomorfo S = A A 1 A Confronto tr R 1 e R 1 Tornimo l modello dell rett proiettiv dto dl fscio di rette di R 2 per 0 e considerimo l rett y = 1 (omeomorf R 1 ) 2 r R s l O Ogni rett del fscio, trnne quell orizzontle, intersec l rett y = 1 in un punto; l rett orizzontle invece non h intersezione con l rett y = 1. Allor, dl punto di vist insiemistico, bbimo che R 1 è R 1 più un punto, detto punto ll infinito. Inoltre, dl punto di vist topologico R 1 meno quel punto è omeomorfo R 1.

30 24 2 Costruire nuovi spzi topologici Il pino proiettivo rele R 2 Supponimo or che n = 2 e quindi considerimo lo spzio vettorile R 3 ; in questo cso vremo il pino proiettivo rele. Anche per R 2 voglimo costruire un modello. Stell di rette Come nel cso dell rett proiettiv, c è un biiezione R 2 {rette di R 3 pssnti per 0}; inoltre l proiezione nturle π corrisponde d ssocire d ogni punto di R 3 \ {0} l rett di R 3 per 0 che pss per quel punto. r R 3 l O L topologi Gli perti di R 2 sono gli insiemi di rette di R 3 per 0 i cui punti formno un sottoinsieme perto di R 3 nell topologi euclide. R 3 O

31 2.4 Lo spzio proiettivo rele R n 25 Coppie di punti su S 2 Sceglimo in R 3 l sfer S 2 di centro 0 e rggio 1 S 2 : x 2 + y 2 + z 2 = 1. Ogni rett per 0 tgli l sfer in due punti dimetrlmente opposti e vicevers, dt un coppi di punti dimetrlmente opposti sull sfer, ess individu un unic rett di R 3 per 0. R 3 l O A A Quindi un ltro modello di R 2 è dto dlle coppie di punti dimetrlmente opposti su un superficie sferic. L topologi Un bse per gli perti in questo modello di R 2 è formt dlle coppie di clotte sferiche perte dimetrlmente opposte, che sono intersezioni degli perti nel modello precedente con l sfer S 2. R 3 O

32 26 2 Costruire nuovi spzi topologici Disco con identificzione del bordo Dividimo or l sfer nelle due clotte seprte dll equtore (i.e. dll circonferenz sul pino z = 0). Considerimo solo l clott Nord: le rette di R 3 per 0, trnne quelle che pssno per l circonferenz equtorile, tglino l clott in un solo punto, mentre quelle che pssno per l equtore l tglino in un coppi di punti dimetrlmente opposti. R 3 l B O A B roiettndo l clott sul pino z = 0, ottenimo il disco delimitto dll circonferenz { x 2 + y 2 = 1 z = 0 Allor se ssumimo che i punti dimetrlmente opposti di quest circonferenz individuino lo stesso punto, bbimo un nuovo modello di R 2, come disco con un opportun identificzione sul bordo. A A

33 2.4 Lo spzio proiettivo rele R n 27 L topologi Gli perti che non intersecno il bordo del disco sono gli stessi dell topologi euclide, mentre quelli che intersecno il bordo sono come in figur. Confronto tr R 2 e R 2 Tornimo l modello di pino proiettivo come stell di rette di R 3 per {0}, e considerimo il pino Π : z = 1 (che è omeomorfo R 2 ). Ogni rett dell stell, trnne quelle che gicciono sul pino z = 0, tglino il pino Π in un punto, mentre le rette sul pino z = 0 non hnno intersezione con Π. R 3 Π O Quindi R 2 meno un fscio di rette è in corrispondenz biunivoc con R 2 (in reltà quest corrispondenz biunivoc è un omeomorfismo, se su R 2 prendimo l topologi euclide). Dunque R 2 è un R 2 cui sono stti ggiunti dei punti che corrispondono lle rette di un fscio di rette, e cioè un R 1.

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35 3 roprietà topologiche Definizione. Un proprietà è invrinte per omeomorfismi se ogniqulvolt uno spzio topologico X h l propriet, llor ogni spzio topologico omeomorfo X h l proprietà. Un proprietà invrinte per omeomorfismi è dett proprietà topologic. 3.1 Spzi comptti Definizione. Si X uno spzio topologico; un ricoprimento perto di X è un fmigli di perti U = {U i } i I tle che X i I U i. Definizione. Si U = {U i } i I un ricoprimento di X; V = {U j } j J con J I è un sottoricoprimento di U se V è ncor un ricoprimento di X. Definizione. Uno spzio topologico X si dice comptto se e solo se per ogni ricoprimento perto U è possibile trovre un sottoricoprimento V costituito d un numero finito di elementi. Esempi 3.1. ) Uno spzio topologico in cui l insieme degli perti è finito è comptto. L sserto segue dl ftto che ogni ricoprimento perto è finito. In prticolre un insieme finito è comptto con qulsisi topologi e un insieme qulsisi con l topologi grossoln è comptto. b) Un insieme infinito con l topologi discret non è comptto. er dimostrrlo è sufficiente prendere come ricoprimento perto di X quello formto di suoi punti. er tle ricoprimento è evidentemente impossibile trovre un sottoricoprimento finito. c) X qulsisi con l topologi cofinit è comptto. Si U = {U i } i I un ricoprimento di X, e si U 0 un perto del ricoprimento. Il complementre di U 0 è costituito d un numero finito di punti x 1,...,x n. Si scelgno or n perti del ricoprimento, U 1,...U n tli che x i U i. Gli perti U 0, U 1,...,U n costituiscono un sottoricoprimento finito dell insieme X di perti del ricoprimento U.

36 30 3 roprietà topologiche d) R n con l topologi dei dischi non è comptto. Si U = B n (0) n N ; se tle ricoprimento possedesse un sottoricoprimento finito B n1 (0),...B nk (0), llor, denotto con M il mssimo degli n i si dovrebbe vere R n i B ni (0) B M (0), un evidente contrddizione. e) Lo spzio topologico X = [ 1, 1], con l topologi dell esempio 1.1 g) è comptto. Si U un ricoprimento perto di X. In tle ricoprimento deve esistere un perto U 0 che contiene il punto 0. Gli unici perti che contengono il punto 0 contengono l intervllo ( 1, 1), quindi, denotti con U 1 e U 1 due perti del ricoprimento che contengono il punto 1 e il punto 1 rispettivmente, gli perti U 0, U 1 e U 1 costituiscono il sottoricoprimento finito cercto. roposizione. Si f : X Y un ppliczione continu, e si X uno spzio comptto. Allor f(x) è uno spzio comptto. Dim. Si V = {V j } j J un ricoprimento perto di f(x); llor U = {U j := f 1 (V j )} j J è un ricoprimento perto di X, poiché f è continu. Essendo X comptto, esiste un sottoricoprimento finito {U 1 = f 1 (V 1 ),...,U n = f 1 (V n )}; llor {V 1,..., V n } è un sottoricoprimento finito di V; inftti, preso y f(x), esiste x tle che y = f(x) e x U k per qulche k. Ne segue che y V k, poiché f(f 1 (V k )) V k. Corollrio. Sino τ e σ due topologie su X tli che τ σ. Se (X, τ) è comptto llor (X, σ) è comptto (equivlentemente se (X, σ) non è comptto (X, τ) non è comptto). Dim. Bst considerre l ppliczione identic Id : (X, τ) (X, σ), che è continu in qunto τ σ. Corollrio. 1. Il quoziente di uno spzio comptto è comptto. 2. L compttezz è un proprietà invrinte per omeomorfismi. Dimo senz dimostrzione il seguente risultto fondmentle: Teorem. L intervllo I = [0, 1] con l topologi indott d quell euclide è comptto. Corollrio. 1. Gli intervlli chiusi [, b] sono comptti in qunto omeomorfi d I. 2. S 1 è comptto in qunto quoziente di I. Teorem. X, Y sono spzi topologici comptti se e solo se X Y è uno spzio topologico comptto.

37 3.1 Spzi comptti 31 Dim. ) Le proiezioni sono continue. ) Si U = {W j } j J un ricoprimento perto di X Y ; ogni W j è unione di perti elementri U jk V jk ; ottenimo così un nuovo ricoprimento perto di X Y, V = {U jk V jk } j J,k K. Y x V i X U x er ogni x X il sottospzio {x} Y Y è comptto; quindi esiste un sottoricoprimento di V finito che copre {x} Y, {Ui x V i x} i=1,...,n e Ui x, V i x sono prticolri U jk e V jk. Si Ũx = n i=1 Ux i ; l vrire di x X gli Ũx costituiscono un ricoprimento perto di X, dl qule, per l compttezz di X è possibile estrrre un sottoricoprimento finito {Ũx t } t=1,...,m. U x xt xt V i U x jk V jk W j x L fmigli {Ũx t V xt i } i=1,...,n t=1,...,m è un ricoprimento finito di X Y ; si h che Ũ xt V xt i U jk V jk W j, per un opportun scelt di j e di k, e quindi nche dl ricoprimento inizile si può estrrre un sottoricoprimento finito. Corollrio. I n è comptto, R n non è comptto. roposizione. (Chiuso di Comptto) Un sottoinsieme chiuso C di uno spzio comptto X è uno spzio comptto (con l topologi indott). Dim. Si U = {U i } i I un ricoprimento perto di C; poiché C h l topologi indott, U i = V i C, con V i perto di X. V = {{V i } i I, C c } è un ricoprimento perto di X; poiché X è comptto è possibile estrrre un sottoricoprimento finito {V 1,...,V n, C c }; llor {U 1,...,U n } è un sottoricoprimento finito di U. Corollrio.

38 32 3 roprietà topologiche 1. Si C chiuso e limitto in R n con l topologi euclide. Allor C è comptto. 2. S n,d n sono comptti. R n è comptto. Dim. Se C è limitto, llor, per un R opportuno C è contenuto in [, ] n, che è comptto perché omeomorfo I n, e si può dunque pplicre l proposizione precedente. Gli spzi S n e D n sono quindi comptti perché chiusi e limitti di R n, e R n è comptto in qunto quoziente di S n. Esercizio 3.2. Si R l rett rele con l topologi euclide, e si A = {, b} un insieme formto d due elementi distinti con l topologi bnle. Si infine Y = R A lo spzio prodotto. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di Y : e si stbilisc se Z e W sono comptti. Z = (( 1, 1) {}) ([ 2, 2] {b}), W = (( 1, 1) {}) (( 2, 2) {b}), Esercizio 3.3. Si I = [0, 1] l intervllo unitrio e si X = I { }; si consideri l topologi τ su X un cui bse è formt di sottoinsiemi U I tli che U è un perto dell topologi indott su I dll topologi euclide e di sottoinsiemi V del tipo (, 1) { }. Si stbilisc se (X, τ) è uno spzio topologico comptto. Esistono ltre nozioni di compttezz, oltre quell d noi considert, dett nche compttezz per ricoprimenti; prticolrmente importnte è l compttezz per successioni. Definizione. Un successione {x n } n N si dice convergente l punto x X se per ogni intorno U di x esiste n 0 N tle che x n U per ogni n n 0. Definizione. Uno spzio topologico X si dice comptto per successioni se ogni successione mmette un sottosuccessione convergente. Definizione. Uno spzio topologico X verific il rimo ssiom di numerbilità se per ogni punto x X esiste un fmigli di intorni {Un x} n N con l proprietà che per ogni intorno V di x esiste n N tle che U x n V. Un tle fmigli è dett sistem fondmentle di intorni per il punto x. Definizione. Uno spzio topologico X verific il Secondo ssiom di numerbilità se mmette un bse numerbile per l topologi. Esercizio 3.4. Mostrre che se uno spzio topologico verific il secondo ssiom di numerbilità, llor verific nche il primo. Le due nozioni di compttezz non sono equivlenti: bbimo che se X è comptto per ricoprimenti e verific il primo ssiom di numerbilità llor X è comptto per successioni, mentre il vicevers è vero se X verific il secondo ssiom di numerbilità. Un esempio di spzio che verific i due ssiomi è dto d R n : preso x R n un

39 3.2 Spzi di Husdorff 33 sistem fondmentle di intorni di x è dto di dischi perti centrti in x di rggio 1/n, mentre un bse numerbile è dt di dischi perti centro rzionle e rggio rzionle. 3.2 Spzi di Husdorff Definizione. Uno spzio topologico X si dice di Husdorff (o T 2 ) se, per ogni coppi di punti diversi x, y X esistono intorni U x x, U y y t.c. U x U y =. Esempi 3.5. ) Uno spzio topologico con l topologi discret è di Husdorff. Dti x y è sufficiente prendere U x = x e U y = y. b) (R n, τ ε ) è di Husdorff. Dti x y R n, denott con δ l distnz dei due punti δ = x y bst prendere U x = B δ/3 (x) e U y = B δ/3 (y). c) Anlogmente ogni spzio metrico, con l topologi indott dll metric, è uno spzio di Husdorff. d) Uno spzio topologico con lmeno due punti in cui non esistono due perti disgiunti non è evidentemente di Husdorff. Di conseguenz uno spzio topologico con lmeno due punti e l topologi grossoln, uno spzio infinito con l topologi cofinit, R n con l topologi dei dischi e R con l topologi delle semirette non sono spzi di Husdorff. e) Un sottospzio di uno spzio di Husdorff è di Husdorff. Si A X il sottospzio; dti x y in A esistono in X due intorni disgiunti U x x e U y y tli che U x U y =. Gli insiemi U x A e U y A sono due intorni perti e disgiunti di x e y in A. Esercizio 3.6. Stbilire se sono o meno di Husdorff gli spzi topologici g) e h) degli esempi 1.1 e lo spzio topologico dell esempio roposizione. (Comptto di Husdorff) Un sottoinsieme comptto K di uno spzio di Husdorff X è un sottoinsieme chiuso. Dim. Dimostrimo che K c è perto. Si x un punto di K c ; per ogni punto y di K esistono un intorno U y di x e un intorno V y di y disgiunti. Gli perti V y costituiscono un ricoprimento perto di K, che è comptto, quindi esiste un sottoricoprimento finito V y1,...,v yn. Si U = i=1,...,n U y i ; U è un perto e U K =, quindi x è contenuto in un perto contenuto in K c, ed è quindi un punto interno K c. Corollrio. Si f : X Y un ppliczione continu e biunivoc. Se X è comptto e Y è di Husdorff llor f è un omeomorfismo.

40 34 3 roprietà topologiche Dim. Dobbimo dimostrre che f 1 è continu, e ciò è equivlente mostrre che f è un ppliczione chius. Si dunque C un chiuso di X; C è chiuso in X comptto, e quindi C è comptto. L ppliczione f è continu, e quindi f(c) è comptto in Y. oiché Y è uno spzio di Husdorff, per l proposizione precedente f(c) è chiuso. Corollrio. (Confront esempi 2.11 ), b), c), d)). X A X/A I 0, 1 S 1 I 0, 1/2, 1 S 1 S 1 S 1 ( 1, 0), (0, 1) S 1 S 1 S 1 I S 1 {1} D 2 Utilizzndo l proposizione sui sottospzi comptti di spzi di Husdorff simo or in grdo di dre l crtterizzzione dei sottospzi comptti di R n. Teorem. Un sottospzio K di R n con l topologi euclide è comptto se e solo se è chiuso e limitto. Dim. Abbimo già visto che i sottoinsiemi chiusi e limitti di R n sono comptti. L proposizione precedente ci dice che un sottospzio comptto di R n è chiuso, in qunto R n è di Husdorff. Rest dunque d mostrre che un sottospzio K, comptto di R n è limitto. Considerimo il ricoprimento U = {U n = B 0 (n) K} n N di K costituito di dischi perti di centro l origine e di rggio nturle. poiché K è comptto, tle ricoprimento mmette un sottoricoprimento finito {U i1,...,u im }; si M il mssimo dei rggi di U i1,...,u im. Il sottospzio K è quindi contenuto in B 0 (M), ed è pertnto limitto. Corollrio. Si f : X R un funzione continu definit su uno spzio comptto X; llor f mmette mssimo e minimo. Dim. oiché f è continu, f(x) è comptto in R, e quindi chiuso e limitto. Essendo f(x) limitto, esistono M = sup(f(x)) e m = inf(f(x)), ed essendo f(x) chiuso M ed m sono mssimo e minimo. Osservzione. Si f : X Y un ppliczione continu, con X spzio di Husdorff; f(x) non è necessrimente uno spzio di Husdorff. Ad esempio sino (X, A) = (R, τ ε, ( 1, 1)) (esempio 2.9 b)) e si f : X X/A l proiezione sul quoziente. Abbimo già osservto che ogni perto del quoziente che contiene il punto f( 1), essendo immgine di un perto che contiene A, contiene nche f(a). Quindi X/A non è uno spzio di Husdorff. Dimo or un condizione sufficiente perché un quoziente di uno spzio di Husdorff si uno spzio di Husdorff: roposizione. Si X uno spzio topologico comptto e di Husdorff, si X/ un suo quoziente e p : X X/ l proiezione sul quoziente. Se p è un ppliczione chius, llor X/ è uno spzio (comptto) di Husdorff.

41 3.3 Spzi connessi 35 Osservzione. Se X è uno spzio di Husdorff e f : X Y è un omeomorfismo llor Y è uno spzio di Husdorff. Dim. Sino y 1 e y 2 due punti distinti di Y e sino x 1 = f 1 (y 1 ), x 2 = f 1 (y 2 ). oiché X è uno spzio di Husdorff esistono intorni perti disgiunti U 1 x 1 e U 2 x 2. Sino V 1 = f(u 1 ) e V 2 = f(u 2 ); V 1 e V 2 sono perti e disgiunti perché f è un omeomorfismo, e sono gli intorni cercti di y 1 e y 2. roposizione. X, Y sono spzi topologici di Husdorff se e solo se X Y è uno spzio topologico di Husdorff. Dim. ) Lo spzio X {y} è di Husdorff perché sottospzio di uno spzio di Husdorff, e quindi X è di Husdorff perché omeomorfo X {y}. ) Sino (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) due punti di X Y ; se x 1 x 2 llor esistono in X intorni disgiunti U 1 x 1 e U 2 x 2, quindi U 1 Y e U 2 Y sono intorni disgiunti di (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ); se x 1 = x 2 si deve necessrimente vere y 1 y 2, e si ripete lo stesso rgionmento. 3.3 Spzi connessi Definizione. Uno spzio topologico X è connesso se e solo se non esistono due perti disgiunti e non vuoti A, B X tli che A B = X. Osservzione. X è connesso i soli sottoinsiemi contempornemente perti e chiusi di X sono, X. Esempi 3.7. ) Uno spzio topologico X con l topologi discret è connesso h un solo elemento. Si x X un punto; poiché X h l topologi discret, {x} e {x} c sono perti disgiunti l cui unione dà X, quindi X è connesso se e solo se {x} c =. Vicevers, se X h un solo elemento x, llor gli unici perti sono e X, e quindi X è connesso. b) Uno spzio topologico in cui non esistono due perti disgiunti è evidentemente connesso. Di conseguenz uno spzio topologico con l topologi grossoln, uno spzio infinito con l topologi cofinit, R n con l topologi dei dischi e R con l topologi delle semirette sono spzi connessi. c) Q, con l topologi indott d (R, τ ε ) non è connesso. Inftti possimo scrivere Q = (Q (, 2)) (Q ( 2, )). Esercizio 3.8. Stbilire se sono o meno connessi gli spzi topologici g) e h) degli esempi 1.1. roposizione. Si f : X Y un ppliczione continu, con X connesso. Allor f(x) è connesso.

42 36 3 roprietà topologiche Dim. Si U f(x) un sottoinsieme di f(x) perto, chiuso e non vuoto; poiché f(x) h l topologi indott d quell di Y possimo scrivere U = A f(x) e U = C f(x) per opportuni sottoinsiemi A perto di Y e C chiuso di Y. er tli insiemi si vrà f 1 (A) = f 1 (C) e quindi, essendo f un ppliczione continu, W = f 1 (A) = f 1 (C) è perto, chiuso e non vuoto in X, e quindi, essendo X connesso W = X e pertnto U = f(x). Corollrio. 1. L connessione è un proprietà invrinte per omeomorfismi. 2. I quozienti di uno spzio topologico connesso sono spzi topologici connessi. Dimo senz dimostrzione l seguente crtterizzzione dei sottoinsiemi connessi di R con l topologi euclide: Teorem. Tutti e soli i connessi di (R, τ ε ) sono i punti, gli intervlli, le semirette e R stesso. L unione di due insiemi connessi non è necessrimente conness (si prendno due intervlli perti e disgiunti in R con l topologi euclide); l prossim proposizione fornisce delle condizioni sufficienti per cui l unione di connessi è conness: roposizione. (Condizioni per cui l unione di connessi è conness) Si {Y i } i I un fmigli di sottoinsiemi di X, con l topologi indott, tle che Y i è connesso per ogni i I. 1. Se i I Y i llor Y = i I Y i è connesso. 2. Se esiste ī tle che Y i Yī i I, llor i I Y i è connesso. Dim. 1) Si U Y un sottoinsieme perto, chiuso e non vuoto. Il sottoinsieme U deve vere intersezione non vuot con Y i per qulche i, e quindi U Y i è non vuoto, perto e chiuso in Y i ; poiché Y i è connesso si h U Y i = Y i. Essendo l intersezione degli Y i non vuot, si h che U Y j per ogni j I, e si ripete l dimostrzione precedente. 2) I sottoinsiemi Z i = Y i Yī sono connessi per l dimostrzione precedente. Inoltre Y = i I Z i e Z i Y ī e quindi si può pplicre l prte 1).

43 3.3 Spzi connessi 37 Corollrio. D n è connesso n 0; S n e R n+1 \{0} sono connessi per n 1. Dim. Il disco può essere visto come unione dei suoi dimetri, omeomorfi d intervlli di R e quindi connessi, l sfer S n come unione di due emisferi, omeomorfi D n e R n+1 \{0} come unione di S n e delle rette per l origine. Si pplic quindi l proposizione sull unione di connessi. Corollrio. R n è connesso. roposizione. X, Y sono connessi X Y è connesso. Dim. ) Le proiezioni sono ppliczioni continue. ) Si A x,y = (X {y}) ({x} Y ). I sottospzi X {y} e {x} Y sono connessi in qunto omeomorfi X e Y rispettivmente e l loro intersezione non è vuot. Quindi A x,y è connesso per l prte 1) dell proposizione precedente. ossimo vedere lo spzio prodotto come unione di sottospzi di questo tipo intersezione non vuot: fissto ȳ Y si h X Y = x X A x,ȳ; X Y è dunque connesso, ncor per l prte 1) dell proposizione precedente. Corollrio. R n e I n sono spzi topologici connessi, i quozienti di I 2 sono connessi. Un utile strumento per stbilire se un sottoinsieme è connesso è dto dll seguente roposizione. (Chiusur di connessi) Si X uno spzio topologico, A X un sottoinsieme connesso e Y un sottoinsieme di X tle che A Y A. Allor Y è connesso. Dim. Si U Y un sottoinsieme perto, chiuso e non vuoto e si y U un suo punto. Tle punto pprtiene d A, ed U è un suo intorno, quindi U A. L insieme U A è dunque non vuoto, perto e chiuso in A; quindi, essendo A connesso, U A = A, cioè A U. Il complementre di U in Y è perto e chiuso; se fosse non vuoto, con rgionmento nlogo l precedente si vrebbe A U c, quindi U c = e U = Y. Definizione. Si X uno spzio topologico e x, y X; dicimo che x è connesso d y se esiste un sottospzio connesso D X che contiene x e y. Quest relzione è un relzione di equivlenz, e le clssi di equivlenz sono dette componenti connesse di X. Esercizio 3.9. Nel pino R 2, dotto dell topologi euclide, si considerino i seguenti sottospzi: D 1 = {(x, y) (x+2) 2 + y 2 1}, D 2 = {(x, y) (x 2) 2 + y 2 1}, Γ 1 = D 1, Γ 2 = D 2, A = ( 1, 0). Sino X = D 1 D 2, Y = Γ 1 Γ 2 e si X = X/Y ; si denoti con π : X X l proiezione sul quoziente. Si stbilisc se X e X \π(a) sono spzi connessi. Y A x,y (x,y) X

44 38 3 roprietà topologiche Esercizio Si X l rett rele con l topologi euclide, si Y l rett rele con l topologi dei dischi e si Z = X Y con l topologi prodotto. In Z si considerino i seguenti sottospzi con l topologi indott: D 1 = {(x, y) Z (x + 1) 2 + y 2 < 1} D 2 = {(x, y) Z x 2 + (y 2) 2 < 1} D 3 = {(x, y) Z (x 1) 2 + y 2 < 1} Si stbilisc se qulcuno dei sottospzi U 1 = D 1 D 2, U 2 = D 1 D 3, U 3 = D 2 D 3 è connesso. 3.4 Spzi connessi per rchi Definizione. Si X uno spzio topologico. Un rco o cmmino in X è un ppliczione continu f : I X; x 0 = f(0) è detto punto inizile del cmmino, x 1 = f(1) è detto punto finle. Se x 0 = x 1 llor il cmmino è detto cmmino chiuso o cppio. Definizione. Il cmmino costnte di punto bse x 0 è l ppliczione costnte ε x0 : I x 0 X. Dto un cmmino f : I X il cmmino inverso f : I X è il cmmino f(t) = f(1 t). Definizione. Dti due cmmini f, g tli che f(1) = g(0), è possibile definire il cmmino prodotto: { f(2t) t [0, 1/2] (f g)(t) = g(2t 1) t [1/2, 1] l ppliczione f g è continu per il seguente Lemm. (Lemm d incollmento) Si X uno spzio topologico e A, B due sottoinsiemi chiusi di X tli che X = A B; sino f : A Z e g : B Z due ppliczioni continue tli che f(x) = g(x) se x A B; llor l ppliczione h : X Z definit ponendo { f(x) x A h(x) = g(x) x B è continu. Dim. Esercizio. Definizione. Uno spzio topologico X è connesso per rchi se x, y X esiste un cmmino che h x come punto inizile e y come punto finle. Esempi ) (R n, τ ε ) è connesso per rchi. Inftti, se x e y sono due punti di R n, il cmmino α : I R n definito ponendo α(t) = (1 t)x + ty congiunge x e y. b) Un perto convesso di R n è connesso per rchi. In prticolre I n e D n sono connessi per rchi.

45 3.4 Spzi connessi per rchi 39 Esercizio Stbilire se sono o meno connessi per rchi gli spzi topologici g) e h) degli esempi 1.1. roposizione. Si A un perto connesso di R n ; llor A è connesso per rchi. Dim. Si x 0 un punto di A, e si W = {x A rco che congiunge x 0 e x}. Voglimo dimostrre che W è perto; tl fine mostreremo che ogni suo punto è punto interno. Si x W e si α : I A un cmmino che congiunge x 0 x; poiché A è perto x è un punto interno di A, perciò A contiene un disco perto centrto in x di rggio opportuno B r (x). Ogni punto z in B r (x) è contenuto in W, perchè può essere congiunto x dl cmmino β : I A definito ponendo β(t) = (1 t)z + tx, e quindi può essere congiunto x 0 per mezzo del cmmino prodotto β ᾱ. Allo stesso modo si mostr che il complementre di W in A è perto. er concludere bst osservre che W poiché x 0 W. Corollrio. R n+1 \{0} è connesso per rchi. roposizione. Si f : X Y un ppliczione continu, e X si connesso per rchi. Allor f(x) è connesso per rchi. Dim. Sino x, y due punti di f(x), e sino x, ỹ due controimmgini di x e di y; poiché X è connesso per rchi esiste un rco α : I X che congiunge x e ỹ. L rco β : I Y definito ponendo β(t) = f(α(t)) congiunge x e y. Corollrio. 1. I quozienti di connessi per rchi sono connessi per rchi. 2. L connessione per rchi è un proprietà invrinte per omeomorfismi. Corollrio. R n è connesso per rchi; i quozienti di I 2 sono connessi per rchi, S n è connesso per rchi in qunto immgine di R n+1 \{0} trmite l ppliczione continu f : R n+1 \{0} S n che mnd x in x x. Corollrio. Sino τ e σ due topologie su X tli che τ σ. Se (X, τ) è connesso (per rchi) llor (X, σ) è connesso (per rchi). In prticolre R n con l topologi dei dischi e R con l topologi delle semirette sono connessi per rchi. roof. Bst osservre che Id : (X, τ) (X, σ) è continu. roposizione. X, Y sono connessi per rchi X Y è connesso per rchi. Dim. ) Le proiezioni sono ppliczioni continue. ) Sino (x 0, y 0 ) e (x 1, y 1 ) due punti di X Y. Il sottospzio X {y 0 } è connesso per rchi perché omeomorfo X; si α : I X {y 0 } un cmmino che unisce (x 0, y 0 ) d (x 1, y 0 ). Il sottospzio {x 1 } Y è connesso per rchi perché omeomorfo Y ; si β : I A x 0 x z

46 40 3 roprietà topologiche {x 1 } Y un cmmino che unisce (x 1, y 0 ) d (x 1, y 1 ) Sino i : X {y 0 } X Y e j : {x 1 } Y X Y le inclusioni; l ppliczione γ : I X Y definit ponendo γ = (i α) (j β) è il cmmino cercto che unisce (x 0, y 0 ) e (x 1, y 1 ). roposizione. Se X è connesso per rchi, llor è nche connesso. Dim. Si x X un punto; per ogni y X esiste un rco γ y : I X che congiunge x y; si Γ y = γ y ([0, 1]). Lo spzio X si può scrivere come unione di connessi intersezione non vuot X = y X Γ y; inftti Γ y è connesso in qunto immgine del connesso I trmite l ppliczione continu γ y, e y Y Γ y poiché x y Y Γ y. Si pplic quindi l proposizione sulle unioni di connessi. Osservzione. Non vle il vicevers: in R 2 considerimo il sottoinsieme A = {(0, 1)} (l pulce) e il sottoinsieme B = {(I {0}) n N { 1 } I} (il pettine). n Il sottoinsieme A B è connesso (si us l proposizione sull chiusur di connessi), m non è connesso per rchi. Esercizio Si I l intervllo [0, 1] con l topologi euclide, e si J l intervllo [0, 1] con l topologi i cui perti non bnli sono gli intervlli [0, k) con 0 < k 1. Si X = J I con l topologi prodotto. Dimostrre che Z = {0, 1} I è connesso per rchi.

47 4 Superfici topologiche 4.1 Vrietà topologiche Definizione. Uno spzio topologico X si dice loclmente euclideo se ogni suo punto x h un intorno perto U omeomorfo D n (o, equivlentemente, R n ). Si ϕ : U D n l omeomorfismo; l coppi (U, ϕ) è dett crt locle, U è detto dominio dell crt locle. Dimo senz dimostrzione il seguente: Ftto. Se x pprtiene i domini di due diverse crte locli, n non cmbi. (Teorem di invrinz dell dimensione). roposizione. Se X è connesso, llor n è lo stesso per tutti i punti, e viene detto dimensione di X. Dim. Si p X un punto con un intorno perto omeomorfo D n, e si W = {q X q h un intorno omeomorfo D n }. Si U un intorno di q omeomorfo D n ; ogni punto di U h U come intorno, e quindi U W e W è perto. Anlogmente, se q W, llor q possiede un intorno V omeomorfo d un disco perto D m, con m n, e lo stesso è vero per ogni punto di V, quindi V W c e W c è perto. oichè W è non vuoto, perto e chiuso nel connesso X segue che W = X. Definizione. Uno spzio topologico connesso, di Husdorff, loclmente euclideo bse numerbile si dice vrietà topologic. Osservzione. oiché un vrietà topologic è conness, l su dimensione è ben definit. Osservzione. E necessrio richiedere che un vrietà topologic si uno spzio di Husdorff, in qunto tle condizione non è conseguenz dell essere loclmente euclideo. Si consideri lo spzio X ottenuto come prodotto di R con l topologi euclide e di uno spzio formto d due punti, b con l topologi discret, e si Y il quoziente di X ottenuto identificndo i punti (x, ) e (x, b) se x > 0. Si può dimostrre (esercizio!) che Y è loclmente euclideo, m non di Husdorff. Esempio 4.1. Alcuni esempi di vrietà topologiche ) R n.

48 42 4 Superfici topologiche b) C n (è omeomorfo R 2n ). c) S n. L sfer di dimensione n è copert d due perti omeomorfi R n : U α = S n \ {N = (0, 0,..., 0, 1)} e U β = S n \ {S = (0, 0,..., 0, 1)} e x α e x β sono così definite ( ) x α : U α R n x1 x n : (x 1,...,x n+1 ),..., 1 x n+1 x β : U β R n : (x 1,...,x n+1 ) ( x1 1 + x n+1,..., 1 x n+1 ) x n 1 + x n+1 d) Un perto connesso di un vrietà topologic è un vrietà topologic. e) Toro, bottigli di Klein. f) Cilindro perto, nstro di Moebius perto. g) R n. Lo spzio proiettivo rele di dimensione n è coperto d n + 1 perti U i omeomorfi R n. U i = {p R n x i (p) 0} e x i : R n R n è definit ponendo x i (x 0 : : x i : : x n ) = ( x0,..., x i 1, x i+1,..., x ) n. x i x i x i x i h) Il prodotto di vrietà topologiche è un vrietà topologic. roposizione. Uno spzio topologico connesso e loclmente euclideo è connesso per rchi. Dim. Fissimo p X e si W = {q X esiste un rco congiungente p q}. Si U un intorno di q omeomorfo D n e si ϕ : U D n l omeomorfismo; ogni punto r di U può essere congiunto q usndo il cmmino immgine invers vi ϕ del segmento che congiunge ϕ(r) ϕ(q), quindi U W e W è perto. Anlogmente, se q W, llor nessun punto di un intorno V omeomorfo d un disco perto D n può essere congiunto p; pertnto W c è perto. oichè W è non vuoto, perto e chiuso nel connesso X segue che W = X. In dimensione 1 l clssificzione delle vrietà topologiche è molto semplice: Teorem. Un vrietà topologic di dimensione 1 è omeomorf S 1 o R. L situzione è molto più compless già per n = 2, e questo è il cso che studieremo, ggiungendo l ipotesi dell compttezz. D or in poi ci occuperemo cioè solo di superfici topologiche comptte, cioè di vrietà topologiche comptte di dimensione Somm conness Sino S 1 e S 2 due superfici comptte; fissimo due punti x S 1, y S 2 e due intorni U x e U y omeomorfi D 2 ; è definito perciò un omeomorfismo h : U x U y

49 Si Y = (S 1 \Ůx) (S 2 \Ůy) e si l relzione d equivlenz x y x U x, y U y e y = h(x ) 4.2 Somm conness 43 Lo spzio topologico quoziente S = Y/ è uno spzio topologico connesso, di Husdorff, loclmente euclideo di dimensione 2 e comptto; S è un superficie comptt, dett somm conness di S 1 ed S 2 : S = S 1 #S 2. Osservzione. Si può dimostrre che l somm conness è definit meno di clssi di omeomorfismo, e che non dipende dl punto scelto. Definizione. Indichimo con T g l superficie che si ottiene fcendo l somm conness di g tori, e con T 0 l sfer. b b c d c b b c d c d γ γ d b c T = T # T d 1 1 b b 1 cdc d 1 b c d Definizione. Indichimo con U h l superficie che si ottiene fcendo l somm conness di h pini proiettivi reli. b γ γ b b b U = U # U bb b

50 44 4 Superfici topologiche 4.3 Tringolzioni Definizione. Un tringolo geometrico in X è un ppliczione τ : T X che si un omeomorfismo sull immgine, dove T è un tringolo (non degenere) di R 2. Con buso di linguggio chimeremo tringolo geometrico nche l immgine di τ. Definizione. Un tringolzione di un superficie topologic X è un collezione di tringoli geometrici che h le seguenti proprietà: Ogni punto di X pprtiene d un tringolo. Se è interno d un tringolo, llor pprtiene solo quello. Se è interno d un lto, llor pprtiene due tringoli che si tglino solo in quel lto e l cui unione costituisce un intorno di. Se è un vertice llor pprtiene d un numero finito di tringoli di cui è vertice e l cui unione è un intorno di. Se due tringoli hnno due vertici in comune, llor hnno in comune il lto delimitto d essi. Teorem. (Teorem di Rdò) Ogni superficie è tringolbile e ogni superficie comptt mmette un tringolzione finit. Osservzione. er il teorem precedente è necessrio che l superficie si uno spzio topologico bse numerbile. Esempio 4.2. Il toro è tringolbile. Le prime due non sono tringolzioni (ci sono tringoli con due lti in comune o con due vertici in comune senz il lto corrispondente in comune), l terz sì. 4.4 Orientbilità Un orientzione di un tringolo geometrico τ è uno dei (due) versi di percorrenz dei suoi vertici. Un orientzione di τ induce un orientzione dei sui spigoli. Due tringoli dicenti di un tringolzione si dicono coerentemente orientti se le loro orientzioni inducono orientzioni opposte sullo spigolo comune.

51 4.5 Teorem di clssificzione I 45 Definizione. Un superficie comptt X si dice orientbile se mmette un tringolzione (finit) coerentemente orientt. roposizione. Si X un superficie tringolbile. Allor X è orientbile se e solo se X non contiene nstri di Moebius. Esempio 4.3. Il toro è orientbile. Esempio 4.4. L bottigli di Klein non è orientbile. Osservzione. Si può verificre che l somm conness S di due superfici S 1 e S 2 è orientbile se e solo se S 1 ed S 2 sono orientbili. 4.5 Teorem di clssificzione I Simo or in grdo di enuncire il teorem di clssificzione delle superfici comptte: Teorem. (Teorem di clssificzione) Si S un superficie comptt. S orientbile S T g g 0. S non orientbile S U h h 1. Inoltre se g g llor T g T g e se h h llor U h U h. Esempio 4.5. L bottigli di Klein è omeomorf ll somm conness di due pini proiettivi. er mostrrlo si utilizz il procedimento di tgli e incoll come in figur.

52 46 4 Superfici topologiche b b c c c b b c b b c c Dimostrzione dell prim prte. sso 1 Ogni superficie comptt è quoziente di un poligono pino: Lemm. Si S un superficie comptt. Allor S è omeomorf un poligono di R 2 con i lti identificti coppie. Dim. Un superficie comptt mmette un tringolzione finit. Sino T 1,...,T n i tringoli di tle tringolzione, ordinti in modo che il tringolo T i bbi uno spigolo in comune con uno dei tringoli precedenti T 1, T 2,...,T i 1. Sino T 1,...,T n i tringoli di R 2 che vengono mppti su T 1,...,T n, e supponimo che T 1,...,T n sino coppie disgiunti. Si T = n i=1 T i l unione di questi tringoli. T3 T1 T2 T3 T1 T2 T5 T6 T4 T5 T6 T4 Introducimo or un relzione di equivlenz in T in questo modo: T 2 h uno spigolo in comune con T 1, per cui incollimo T 1 e T 2 lungo lo spigolo corrispondente; T 3 h uno spigolo in comune con T 1 T 2, quindi incollimo T 3 T 1 T 2 lungo lo spigolo corrispondente, ecceter; ottenimo così un poligono i cui lti l bordo devono essere identificti coppie.

53 4.5 Teorem di clssificzione I 47 T5 T6 T3 T4 T5 T6 T3 T4 T1 T2 T1 T2 sso 2: Eliminzione delle coppie dicenti del primo tipo. Abbimo visto che un superficie comptt è omeomorf d un poligono di R 2 con i lti identificti coppie. Diremo che un coppi è del primo tipo se i lti che l compongono compiono con l orientzione oppost, del secondo tipo ltrimenti. In figur vedimo come si possibile eliminre coppie dicenti del primo tipo se il poligono h lmeno quttro lti. Se il poligono h solmente due lti ci sono due possibilità: o è del tipo 1 e quindi un sfer, o è del tipo e quindi un pino proiettivo rele. Q Q Q sso 3: Riduzione dei vertici d un unico nome. Supponimo di ver ripetuto il secondo psso finché è stto possibile; i vertici del poligono non sono necessrimente tutti identificti tr di loro, m possono pprtenere diverse clssi di equivlenz. Mostrimo or come, con un serie di operzioni successive, è possibile rrivre d un nuovo poligono in cui tutti i vertici pprtengono d un unic clsse di equivlenz. Le operzioni mostrte in figur fnno diminuire i vertici nell clsse di equivlenz di Q di un unità e fnno umentre i vertici nell clsse di equivlenz di di un unità.

54 48 4 Superfici topologiche Q b c c Q c b Q Alternndo il psso 2 ed il psso 3 (perché è necessrio il psso 2?) rrivimo d un poligono in cui tutti i vertici devono essere identificti e in cui non sono presenti coppie dicenti del primo tipo. sso 4: Rendere dicenti le coppie del secondo tipo. Voglimo mostrre che è possibile rendere dicenti tutte le coppie del secondo tipo. er fr ciò, per ogni coppi non dicente del secondo tipo operimo un tglio tr gli estremi finli dell coppi scelt, come in figur, ed incollimo in corrispondenz dell coppi medesim. b b b b b Se nel poligono ci sono solo coppie del secondo tipo, dopo un numero finito di ppliczioni del psso 4 ottenimo un superficie il cui poligono è del tipo h h, cioè un superficie U h, e bbimo finito. Nel cso che ci sino coppie del primo tipo continuimo con il sso 5: Rggruppre le coppie del primo tipo. Supponimo quindi che ci si lmeno un coppi del primo tipo. In tl cso ne deve esistere un ltr tle che queste due coppie si seprno vicend. Inftti, se così non fosse, ci troveremmo in un situzione come quell in figur, in cui tutti i lti nell prte ross si identificno con lti nell prte ross e tutti i lti nell prte blu si identificno con lti nell prte blu.

55 4.5 Teorem di clssificzione I 49 Quest situzione non è possibile, perché in tl cso i due estremi di non vengono identificti, in contrddizione con il psso 3. ertnto esistono due coppie del primo tipo che si seprno vicend come in figur, e tli coppie possono essere rggruppte tglindo due volte in corrispondenz degli estremi finli dei lti. b c b c b c c c d d c c d Se nel poligono compiono solo coppie del primo tipo, dopo un numero finito di ppliczioni del psso 5 ottenimo un superficie il cui poligono è del tipo 1 b b g b g 1 g b 1 g, cioè un superficie T g, e bbimo finito. Rest perto il cso in cui nel poligono compino coppie del primo e del secondo tipo, cioè che il poligono si del tipo 1 b b c 1 c Tle cso viene risolto dl seguente lemm Lemm. L somm conness di un toro e di un pino proiettivo è omeomorf ll somm conness di tre pini proiettivi. Dim. Abbimo già visto che l bottigli di Klein è omeomorf ll somm di due pini proiettivi, quindi bst mostrre che l somm conness di un toro e di un pino proiettivo è omeomorf ll somm conness di un bottigli di Klein e di un pino proiettivo. Mostreremo che entrmbe sono omeomorfe ll superficie quoziente del poligono d 1 d 1 bb 1

56 50 4 Superfici topologiche T 1 # U 1 c b b b d b c b c d c d 1 d 1 bb 1 b b b d c c d K # U 1 β δ γ δ γ β δ β γ β γ δ δ α β γ γ α β δ δ β α β δ δ 1 αδ 1 βαβ 1 α

57 v / { { { { ^ WX WX T &' &' &'! * + GH GH KL KL h ) ( 4.5 Teorem di clssificzione I 51 Esempio 4.6. Concludimo con un esempio di ppliczione dei pssi dell dimostrzione del teorem: clssificre l superficie il cui poligono rppresenttivo è il seguente: bc 1 cb. Q c b Q Q c b Q c b Q d c b Q Q c b d b Q d c Q c b d b d Q c Q c b d d d d b c Q Q c b d e d b b e Q b Q e c d e d e b Q b e d d e b b Q e d Q d e b b e d d e d e e d d e e d e d ' ' ' ' ' ' ' ' &' &' &' &' &' &' &' ) ) &' &' &' &' &' &' f () () ) &' &' &' &' &' d () () () ) d &' &' &' &' d d () () () () ) f f &' &' &' () () () () () ) () () () () () () ) * * * * * * * () () () () () () () ) * + * + * + * + * + * + * + * + * + * + * + e d * + * + * + * + f * + * + * + f * + * + L superficie in esme è omeomorf ll superficie U 2.

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59 rte II Topologi lgebric

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61 5 Omotopi 5.1 Omotopi di ppliczioni continue Il toro e l sfer non sono omeomorfi. Come si può dimostrre? Intuitivmente l sfer h l proprietà che ogni cmmino chiuso può essere deformto con continuità l cmmino costnte, mentre nel toro questo non è sempre vero. Vedremo or come si può formlizzre questo concetto. α β roblem: Dte f 0, f 1 : X Y ppliczioni continue si vuole formlizzre l ide seguente: f 0 si ottiene per deformzione continu d f 1. f 1 f 0 Definizione. Due ppliczioni continue f 0, f 1 : X Y si dicono omotope se esiste un ppliczione continu F : X I Y, tle che x X si h F(x, 0) = f 0 (x) e F(x, 1) = f 1 (x). In tl cso scriveremo f 0 f 1 ; ponimo poi f t (x) = F(x, t). Abbimo cioè un fmigli di funzioni continue che vri con continuità.

62 56 5 Omotopi Esempi 5.1. ) Si X = Y = D n ; l ppliczione identic f 0 = Id D n e l ppliczione costnte che mnd ogni elemento di D n in 0, f 1 = 0 sono omotope trmite F(x, t) = (1 t)x. b) Si X = Y = R n \ {0}; l ppliczione identic f 0 = Id R n \{0} e l ppliczione f 1 (x) = x x sono omotope medinte F(x, t) = (1 t)x + t x x. c) Si X uno spzio topologico qulsisi; ogni rco f : I X di punto inizile x 0 è omotopo ll rco costnte di bse x 0 trmite l omotopi F(s, t) = f((1 t)s). Come mostr il terzo esempio l omotopi non è ncor l nozione degut descrivere l esempio dei cmmini sull sfer e sul toro. In quel cso, inftti, tutti i cmmini intermedi devono vere lo stesso punto inizile e lo stesso punto finle. Introducimo quindi un nuov definizione: Definizione. Sino f 0, f 1 : X Y ppliczioni continue e A X un sottospzio. Le ppliczioni f 0 e f 1 si dicono omotope reltivmente d A se esiste un omotopi F : X I Y tr f 0 ed f 1 tle che F(, t) = f 0 () = f 1 () t. In prticolre, nel cso dei cmmini, vremo l seguente Definizione. Due cmmini che bbino lo stesso punto inizile e lo stesso punto finle si dicono omotopi se sono omotopi reltivmente {0, 1}. Quindi due cmmini α : I X e β : I X sono omotopi se esiste F : I I X continu tle che F(s, 0) = α(s); F(s, 1) = β(s) : F(0, t) = α(0) = β(0) = x 0 ; F(1, t) = α(1) = β(1) = x 1. Osservzione. L omotopi (reltiv) è un relzione d equivlenz. 5.2 Tipo d omotopi - Retrtti Sospendimo momentnemente il discorso sui cmmini e utilizzimo le nozioni sull omotopi per introdurre un nuovo concetto di equivlenz per spzi topologici.

63 5.2 Tipo d omotopi - Retrtti 57 Definizione. Si dice che due spzi topologici X e Y hnno lo stesso tipo d omotopi (o che sono omotopicmente equivlenti) se esistono due ppliczioni continue f : X Y e g : Y X tli che g f Id X e f g Id Y. Scriveremo X Y per indicre che X e Y hnno lo stesso tipo di omotopi. Osservzione. L equivlenz omotopic è un relzione d equivlenz tr spzi topologici (Esercizio!). Definizione. Uno spzio topologico si dice contribile se h lo stesso tipo di omotopi di un punto. Esempi 5.2. ) Due spzi omeomorfi hnno lo stesso tipo di omotopi. b) D n è contribile. Sino f : D n {0} l ppliczione costnte e g : {0} D n l inclusione. Dobbimo verificre che g f Id D n e che f g Id 0. L prim ffermzione segue dll esempio 5.1 ), mentre l second è immedit, essendo f g = Id 0. c) R n \{0} S n 1. Sino f : R n \{0} S n 1 l funzione f(x) = x x e g : Sn 1 R n \{0} l inclusione. Dobbimo verificre che g f Id R n \{0} e che f g Id S n 1. L prim ffermzione segue dll esempio 5.1 b), mentre l second è immedit, essendo f g = Id S n 1. Definizione. Un proprietà omotopic è un proprietà invrinte per equivlenze omotopiche. Definizione. Si A X un sottospzio, e i : A X l inclusione. 1. A si dice retrtto di X se esiste un ppliczione continu r : X A tle che r i = Id A. 2. A si dice retrtto di deformzione se esiste un ppliczione continu r : X A tle che r i = Id A e i r Id X. 3. A si dice retrtto (forte) di deformzione se esiste un ppliczione continu r : X A tle che r i = Id A e i r A Id X. Intuitivmente un sottospzio A è un retrtto forte di deformzione di X se X può essere deformto con continuità fino frlo coincidere con A, mntenendo A fisso durnte il processo di deformzione. Osservzione. Se A è retrtto di deformzione di X, llor A h lo stesso tipo di omotopi di X. Osservzione. Si X un sottospzio di (R n, τ ε ) e si A un sottospzio di X. Se esiste un retrzione r : X A tle che per ogni x X il segmento che unisce il punto x l punto r(x) è tutto contenuto in X, llor l ppliczione F : X I X

64 58 5 Omotopi (x, t) (1 t)x + t(i r(x)) è un omotopi reltiv d A tr Id X e i r. ertnto se esiste r sifftt, A è retrtto forte di deformzione di X. Esempi 5.3. ) Un sottospzio stellto di R n è contribile. b) Si T il toro ottenuto d I I come quoziente rispetto ll relzione di equivlenz tle che (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = y oppure {y, y } = {0, 1} e x = x, e si A l circonferenz quoziente del segmento {0} I rispetto ll relzione indott d ; llor A è retrtto di T, m non è retrtto di deformzione. er mostrre che A è un retrtto di T bst considerre l ppliczione R : T A indott dll ppliczione r : I I {0} I che mnd (x, y) in (0, y). er mostrre che A non è un retrtto di deformzione di X è necessrio utilizzre il gruppo fondmentle (lo vedremo più vnti). c) R 2 \{ 1,..., k } h 1,...,k S 1 come retrtto forte di deformzione. d) R 3 \r h S 1 come retrtto forte di deformzione. L retrzione è dt componendo l proiezione sul pino perpendicolre ll rett con l retrzione di R 2 meno un punto su S 1. e) Se X è un poligono di R 2 con 2k lti identificti coppie, llor X\{ }, dove è un punto interno l poligono, h un bouquet di k circonferenze come retrtto forte di deformzione. Inftti il poligono meno il punto h il bordo come retrtto forte di deformzione, e l retrzione e l omotopi i r A Id X pssno l quoziente (esercizio!). In prticolre R 2 \{ } S 1 e T 1 \{ } S 1 S CW-complessi finiti Spesso nelle ppliczioni e negli esercizi è utile trovre spzi omotopicmente equivlenti d uno spzio dto che simo più semplici. Un operzione che può essere utile in tl senso è quell di sostituire uno spzio topogico X con il quoziente rispetto d un sottospzio contribile A X.

65 5.3 CW-complessi finiti 59 Non è però sempre vero che, dti uno spzio topologico X e un sottospzio contribile A gli spzi X e X/A sono omotopicmente equivlenti. Si prend come esempio X = S 1 e A = S 1 \ { }. Vedremo or un modo prticolre di costruire spzi topologici, che ci drà un condizione sufficiente per poter contrrre sottospzi contribili senz lterre il tipo di omotopi dello spzio topologico. Considerimo il digrmm seguente A f Y i X in cui A, X e Y sono spzi topologici, i : A X è l inclusione e f è un ppliczione continu. Voglimo costruire un nuovo spzio topologico incollndo X e Y trmite f, identificndo cioè i punti di A con le loro immgini. er fr ciò considerimo lo spzio topologico X Y e in esso considerimo l relzione di equivlenz genert dll identificzione x f(x) per ogni x A. Si dice spzio di ggiunzione di (X, Y, A, f) lo spzio topologico Z = (X Y )/. Definizione. Un CW-complesso finito X di dimensione N è uno spzio topologico costruito nel modo seguente: 1. X 0 è uno spzio finito e discreto; 2. er 0 < n N X n è ottenuto d X n 1 ttccndo un numero finito J n di coppie (X, A) = (D n i,sn 1 i ) medinte ppliczioni ϕ n i : S n 1 i X n 1 ; 3. X = X N. Il sottospzio X n X è detto n-scheletro di X. Ogni coppi (D n i,sn 1 i ) h un mpp crtteristic Φ n i, che è l composizione D n i X n 1 i D n i X n X. L immgine di Φ n i (Dn i \Sn 1 i ) è denott con e n i ed è dett n-cell (pert); si noti che Φ n i D è un omeomorfismo. n i \Sn 1 i Definizione. Un sottocomplesso di un CW-complesso finito X è un CW-complesso finito A, costituito d un unione di celle di X. Esempi 5.4. ) L sfer S n. Un su possibile struttur di CW-complesso è dt prendendo come X 0 un punto, e ttccndo un coppi (D n,s n 1 ) medinte l ppliczione costnte f : S n 1 X 0. Alterntivmente è possibile prendere come X 0 un punto, costruire l sfer S n 1 medinte l ttccmento di un n 1 cell come sopr, ottenendo X n 1 e quindi ttccre due n-celle (D n,s n 1 ) medinte l ppliczione identic S n 1 X n 1.

66 60 5 Omotopi b) Il disco D n. Un su possibile struttur di CW-complesso è dt prendendo come X 0 un punto, ttccndo un coppi (D n 1,S n 2 ) medinte l ppliczione costnte f : S n 2 X 0 e ottenendo perciò X n 1 = S n 1 e ttccndo quindi un coppi (D n,s n 1 ) medinte l ppliczione identic f : S n 1 X n 1. c) L unione un punto di k circonferenze. Si X 0 un punto, e d esso si ttcchino k coppie (D 1,S 0 ) medinte le ppliczioni costnti f i : S 0 X 0. d) Il toro. Si X 0 un punto. Ad esso si ttcchino due coppie (D 1,S 0 ) medinte le ppliczioni costnti f i : S 0 X 0, ottenendo così come X 1 l unione d un punto di due circonferenze. Si ttcchi or un coppi (D 2,S 1 ) medinte l ppliczione f : S 1 S 1 S 1 definit ponendo (1 + cos(π + 8πt), sin(8πt)) t [0, 1/4] ( 1 + cos(8πt), sin(8πt)) t [1/4, 1/2] f(t) = (1 + cos(π + 8πt), sin(8πt)) t [1/2, 3/4] ( 1 + cos(8πt), sin(8πt)) t [1/4, 1/2] Anlogmente si può dre un struttur di CW-complesso finito tutte le superfici comptte. e) Lo spzio proiettivo rele di dimensione n. Lo spzio proiettivo di dimensione zero è un punto. Si f : S n 1 R n 1 il quoziente rispetto ll identificzione dei punti ntipodli; lo spzio proiettivo di dimensione n è ottenuto dllo spzio proiettivo di dimensione n 1 medinte ttccmento di un n-cell vi f. Dimo senz dimostrzione il seguente risultto Teorem. Se X è un CW-complesso finito e A X è un sottocomplesso contribile, llor X X/A. Vedimo or lcune ppliczioni Esempi 5.5. ) Si X il sottospzio di R 2 costituito dll unione di S 1 e di [ 1, 1] {0}. Allor X h lo stesso tipo di omotopi dell unione un punto di due circonferenze. ossimo considerre l struttur di CW-complesso di X ottenut ponendo X 0 = ( 1, 0) (1, 0) e ttccndo tre coppie (D 1,S 0 ) medinte l ppliczione identic Id S 0 : S 0 X 0. Il sottospzio A = [ 1, 1] {0} è un sottocomplesso contribile, e quindi, in virtù dell proposizione precedente X X/A S 1 S 1.

67 5.3 CW-complessi finiti 61 b) Si X l unione di S 2 R 3 con il disco D 2 {0}. Allor X è omotopicmente equivlente ll unione un punto di due sfere. ossimo considerre l struttur di CW-complesso di X ottenut ponendo X 0 = ( 1, 0, 0), ttccndo un coppi (D 1,S 0 ) medinte l ppliczione identic Id S 0 : S 0 X 0 e tre coppie (D 2,S 1 ) come in figur. Il sottocomplesso costituito d X 1 e d un delle celle due dimensionli è un sottocomplesso contribile. c) Lo spzio topologico costituito d tre circonferenze in (R 2, τ ε ) come in figur è omotopicmente equivlente un bouquet di 3 circonferenze. Vedimo in figur l struttur di CW-complesso e il sottocomplesso contribile. d) Lo spzio topologico in figur (sottospzio di (R 2, τ ε )) è omotopicmente equivlente un bouquet di 4 circonferenze.

68 62 5 Omotopi Vedimo in figur l struttur di CW-complesso e il sottocomplesso contribile.

69 6 Il gruppo fondmentle 6.1 Il gruppo fondmentle Si X uno spzio topologico e x 0 un suo punto. Definizione. Un cmmino α : I X tle che α(0) = α(1) = x 0 è detto cppio di punto bse x 0. Considerimo il seguente insieme π(x, x 0 ) ={Clssi di equivlenz di cppi omotopi con punto bse x 0 }. er dimostrre che l sfer non è omeomorf l toro dovremmo dimostrre che A spzi topologici omeomorfi corrisponde lo stesso insieme. π(s 2, x 0 ) e π(t, y 0 ) sono insiemi diversi. In reltà quello che fremo srà di più: mostreremo innnzitutto che l insieme π(x, x 0 ) possiede un struttur di gruppo, e dimostreremo quindi che A spzi topologici omeomorfi corrispondono gruppi isomorfi. π(s 2, x 0 ) e π(t, y 0 ) sono gruppi non isomorfi. Definizione. Si X uno spzio topologico e x 0 X un suo punto; si π(x, x 0 ) = {Clssi di equivlenz di cppi omotopi con punto bse x 0 } e sino [α], [β] π(x, x 0 ). Si definisce il prodotto di [α] e [β] nel seguente modo: [α][β] = [α β]. Il ftto che tle operzione si ben definit segue dll seguente roposizione. (Omotopi di prodotti di cmmini) Sino α e β due cmmini in X tli che si definito il prodotto α β, e sino γ e δ ltri due cmmini tli che α γ e β δ; llor α β γ δ. Dim. Sino F e G le omotopie; llor l omotopi tr i prodotti è dt d { F(2s, t) s [0, 1/2] H(s, t) = G(2s 1, t) s [1/2, 1].

70 64 6 Il gruppo fondmentle Teorem. π(x, x 0 ) è un gruppo (in generle non belino) rispetto l prodotto di clssi di equivlenz di cppi ppen definito. Il risultto discende di tre lemmi seguenti. Dremo l dimostrzione solo del primo; gli ltri due si provno in modo del tutto nlogo. Lemm. (Associtività) Sino α, β e γ cmmini tli che sino definiti i prodotti α β e β γ. Allor (α β) γ α (β γ). Lemm. (Elemento neutro) Si α un cmmino con punto inizile x 0 e punto finle x 1 e sino ε x0 e ε x1 i cmmini costnti ε x0 (s) = x 0 e ε x1 (s) = x 1. Allor ε x0 α α α ε x1. Lemm. (Inverso) Si α un cmmino con punto inizile x 0 e punto finle x 1 ; sino ε x0 e ε x1 i cmmini costnti ε x0 (s) = x 0 e ε x1 (s) = x 1 e si ᾱ il cmmino inverso. Allor α ᾱ ε x0 ᾱ α ε x1. Dim. (del primo lemm) Dobbimo mostrre che (α β) γ e α (β γ) sono omotopi; questi due cmmini si scrivono in questo modo α(4s) s [0, 1] 4 α(2s) s [0, 1] 2 ((α β) γ)(s) = β(4s 1) s [ 1 4, 1] (α (β γ))(s) = β(4s 2) s [ 1 2 γ(2s 1) s [ 1, 1], 3] 2 4 γ(4s 3) s [ 3, 1] 2 4 L figur mostr un modo di deformre i cmmini uno nell ltro t I I I s s = (t+1)/4 s = (t+2)/4 er scrivere le equzioni considerimo omeomorfismi f i : I i I e componimo con α, β e γ; come omeomorfismi possimo considerre quelli dell form quindi f i (s) = s i b i i ;

71 6.2 Omomorfismo indotto 65 f 1 (s) = s t+1 4 = 4s t + 1 f 2 (s) = s t+1 4 t+2 t = 4s t = 4s t 1 f 3 (s) = s t t+2 = 4 L omotopi cerct è dunque ( 4s α t + 1 F(s, t) = 4s t t 2 4 ) = 4s t 2. 2 t s [0, t+1 4 ] β(4s ( t 1) ) s [ t+1 4s t 2 γ 2 t, t+2] 4 4 s [ t+2 4, 1] Definizione. π(x, x 0 ) è detto gruppo fondmentle o primo gruppo di omotopi di X con punto bse x 0. Esempio 6.1. Se X = { }, llor π(x, ) = {1}, in qunto esiste un unico cmmino, quello costnte. roposizione. Sino x, y due punti di X; se esiste un rco f : I X che congiunge x y llor π(x, x) π(x, y). Dim. Definimo l ppliczione u f : π(x, x) π(x, y) in questo modo: u f ([α]) = [ f α f]. L ppliczione è ben definit: poiché ovvimente f f e f f, pplicndo due volte l proposizione sull omotopi di prodotti di cmmini, ottenimo che, se α β, llor f α f f β f. Mostrimo or che u f è un omomorfismo di gruppi. u f ([α][β]) = u f ([α β]) = [ f α β f] = = [ f α f f β f] = [ f α f][ f β f] = u f ([α])u f ([β]). L biunivocità di u f segue dl ftto che u f u f = Id π(x,x) e u f u f = Id π(x,y). Corollrio. Se uno spzio X è connesso per rchi, llor π(x, x) π(x, y) x, y X. 6.2 Omomorfismo indotto Si ϕ : X Y un ppliczione continu, e si α un cppio di punto bse x; ϕ α è un cppio in Y con punto bse ϕ(x). Si può verificre che α β = ϕ α ϕ β; inftti, se F : I I X è un omotopi tr α e β, llor G = ϕ F è un omotopi tr ϕ α e ϕ β. E quindi ben definit l ppliczione ϕ : π(x, x) π(y, ϕ(x))

72 66 6 Il gruppo fondmentle che ssoci d un clsse di equivlenz [α] l clsse di equivlenz [ϕ α]; poiché ϕ (α β) = (ϕ α) (ϕ β), ϕ è un omomorfismo di gruppi, inftti ϕ ([α β]) = [ϕ (α β)]) = [(ϕ α) (ϕ β)] = [(ϕ α)][(ϕ β)] = ϕ ([α])ϕ ([β]) er come bbimo definito ϕ è immedito verificre che, se bbimo tre spzi topologici X, Y, Z e due ppliczioni continue ϕ : X Y e ψ : Y Z, llor (ψ ϕ) = ψ ϕ ; Inoltre, se considerimo Id X : X X, si h che Id X = Id π(x,x). Corollrio. Un omeomorfismo induce un isomorfismo di gruppi. ossimo rissumere quello che bbimo detto dicendo che bbimo costruito un funtore dll ctegori degli spzi topologici e ppliczioni continue ll ctegori dei gruppi e omomorfismi di gruppi. Top. Gr (X, x) π(x, x) ϕ : (X, x) (Y, y) ϕ : π(x, x) π(y, y) ψ ϕ ψ ϕ Id X Id π(x,x) (X, x) (Y, y) π(x, x) π(y, y) Si A X un retrtto e 0 A, e considerimo il digrmm A i X r A e il digrmm indotto sui gruppi fondmentli π(a, 0 ) oichè r i = Id A, si h che i π(x, 0 ) r π(a, 0 ) r i = Id π(a,0 ). In prticolre i è iniettiv e r è suriettiv. 6.3 Teorem di invrinz per omotopi Voglimo or mostrre che spzi che hnno lo stesso tipo di omotopi hnno gruppi fondmentli isomorfi; useremo il seguente lemm, che dimo senz dimostrzione Lemm. Sino ϕ, ψ : X Y continue e omotope, si F : X I Y un omotopi tr ϕ e ψ e si f(t) = F(x 0, t) (è un cmmino che congiunge ϕ(x 0 ) e ψ(x 0 )). Allor il seguente digrmm

73 commut, cioè ψ = u f ϕ. ϕ π(x, x 0 ) π(y, ϕ(x 0 )) ψ u f π(y, ψ(x 0 )) 6.4 Il gruppo fondmentle di S 1 67 Teorem. (Teorem d invrinz per omotopi) Sino X e Y spzi topologici, e si ϕ : X Y un equivlenz omotopic. Allor ϕ : π(x, x) π(y, ϕ(x)) è un isomorfismo. Dim. X e Y sono spzi topologici omotopicmente equivlenti, quindi esistono ϕ : X Y e ψ : Y X tli che ψ ϕ Id X e ϕ ψ Id Y. Si F un omotopi tr ψ ϕ e Id X, e si f(t) = F(x, t); f è un rco che congiunge ψ(ϕ(x)) x. Applicndo il lemm ottenimo il seguente digrmm commuttivo: (X, x) ϕ (Y, ϕ(x)) ψ (X, ψ(ϕ(x))) ϕ ψ π(x, x) π(y, ϕ(x)) π(x, ψ(ϕ(x))) Id π(x,x) u f π(x, x) oiché u f è un isomorfismo, llor ψ ϕ è un isomorfismo; in prticolre ψ è suriettiv. Applicndo or il lemm ll omotopi G tr ϕ ψ e Id Y e ottenimo il digrmm commuttivo (Y, ϕ(x)) ψ (X, ψ(ϕ(x))) ϕ (Y, ϕ(ψ(ϕ(x)))) ψ ϕ π(y, ϕ(x)) π(x, ψ(ϕ(x))) π(y, ϕ(ψ(ϕ(x)))) Id π(y,ϕ(x)) u g π(y, ϕ(x)) oiché u g è un isomorfismo, llor ϕ ψ è un isomorfismo; in prticolre ψ è iniettiv. Quindi ψ e ϕ sono isomorfismi. Corollrio. Se X è contribile, llor π(x, x) {1} per ogni x X. Corollrio. Se A X è un retrtto di deformzione e A, llor π(a, ) π(x, ). 6.4 Il gruppo fondmentle di S 1 Sino X e X spzi topologici connessi per rchi.

74 68 6 Il gruppo fondmentle Definizione. Un ppliczione continu p : X X è un rivestimento se ogni punto x X h un intorno perto U uniformemente rivestito d p, cioè se esistono perti disgiunti {U j } j J in X tli che 1. p 1 (U) = U j 2. p Uj : U j U omeomorfismo j Definizione. L ppliczione p è dett ppliczione di rivestimento mentre l insieme p 1 (x) X è detto fibr di x. Osservzione. er ogni x X l topologi indott dll topologi di X sull fibr p 1 (x) è l topologi discret. Esempi 6.2. ) Ogni omeomorfismo è un rivestimento. b) p : R S 1 così definit: p(t) = (cos(2πt), sin(2πt))). c) onendo coordinte polri nel pino R 2 possimo definire p n : S 1 S 1 in questo modo: p n (1, θ) = (1, nθ). d) Si p : S n R n l proiezione sul quoziente rispetto ll identificzione dei punti ntipodli di S n. Allor p è un rivestimento. Definizione. Si p : X X un rivestimento e f : Y X un ppliczione continu. Un ppliczione continu f : Y X che f commutre il digrmm, se esiste, è dett sollevmento di f. Y X f p X f Vedremo or lcuni importnti risultti che rigurdno l esistenz e l unicità di sollevmenti. Lemm. (Unicità del sollevmento) Si p : X X un rivestimento, Y uno spzio connesso, f : Y X un ppliczione continu e f 1, f 2 : Y X sollevmenti di f. Allor, se esiste un punto y 0 Y tle che f 1 (x 0 ) = f 2 (x 0 ) si h f 1 = f 2. Dim. Si W Y l insieme dei punti su cui f 1 e f 2 coincidono. Mostreremo che tle insieme è perto e chiuso in Y ; poichè W, in qunto contiene y 0, si vrà W = Y. Si y Y, e si U un intorno di f(y) uniformemente rivestito d p, l cui controimmgine si può quindi scrivere come unione disgiunt di perti V j ; sino V 1 e V 2 i due perti che contengono rispettivmente f 1 (y) e f 2 (y). er continuità esiste un intorno N di y tle che f 1 (N) V 1 e f 2 (N) V 2. Se y W, llor V 1 V 2 = e N è un intorno di y contenuto in W c, che è quindi perto. Se y W, llor V 1 = V 2 ; dl ftto che p f 1 (y) = p f 2 (y) e che p è un omeomorfismo su V 1, quindi iniettiv, deducimo che f 1 = f 2 su N, e quindi che W è perto.

75 6.4 Il gruppo fondmentle di S 1 69 Lemm. (Sollevmento di cmmini) Si p : X X un rivestimento e α : I X un cmmino di punto inizile α(0) = x 0. Allor, fissto x 0 p 1 (x 0 ), esiste un unico sollevmento di α, α : I X tle che α(0) = x 0. Dim. oichè X è coperto d perti uniformemente rivestiti d p, esiste un fmigli di perti {U j } j j uniformemente rivestiti d p tli che {α 1 (U j )} costituisce un ricoprimento di I. Esprimendo α 1 (U j ) come unione di intervlli: α 1 (U j ) = ( ij, b ij ) si ottiene un nuovo ricoprimento perto di I. oichè I è comptto possibile trovre un numero finito di tli intervlli che coprono I, e quindi un successione di punti 0 = t 0 < t 1 < < t m = 1 tli che per ogni k esiste j k J tle che α([t k, t k+1 ]) è contenuto in U jk. Costruimo or il sollevmento induttivmente su [0, t k ]. er k = 0 ponimo α(0) = x 0 ; supponimo di ver definito α k : [0, t k ] X con α(0) = x 0 e che tle sollevmento si unico. er costruzione α([t k, t k+1 ]) è contenuto in U jk, l cui controimmgine p 1 (U jk ) è costituit d un unione disgiunt di perti W j omeomorfi U jk medinte p. Si W l perto tr i W j che contiene α k (t k ); possimo definire α k+1 nel seguente modo { α k (t) t [0, t k ] α k+1 (t) = (p W ) 1 α(t) t [t k, t k+1 ] L continuità di α k+1 segue dl lemm di incollmento, e l unicità dl lemm precedente. Teorem. (Teorem di Monodromi) Sino α e β cmmini omotopi in X, tli che α(0) = β(0) = x 0 ; si x 0 p 1 (x 0 ), e sino α e β gli unici sollevmenti di α e β con punto inizile x 0. Allor α(1) = β(1). Teorem. (Gruppo fondmentle dell circonferenz) Il gruppo fondmentle dell circonferenz è isomorfo l gruppo ciclico infinito: π(s 1, x 0 ) Z. Un genertore è dto dll clsse del cmmino α : I S 1 così definito: α(t) = (cos(2πt), sin(2πt)).

76 70 6 Il gruppo fondmentle Dim. Considerimo l ppliczione p : R S 1 definit ponendo p(t) = (cos(2πt), sin(2πt)). Sceglimo come punto bse il punto x 0 = (1, 0) e si α un cppio di punto bse x 0 ; per il teorem di sollevmento di cmmini esiste un unico sollevmento α tle che α(0) = α 0 1 p α Chimimo grdo di α il numero intero α(1); osservimo che, per il teorem di monodromi, il grdo è ben definito sulle clssi di omotopi di cmmini. Abbimo quindi un ppliczione (di insiemi) π(s 1, (1, 0)) d Z [α] α(1) Voglimo mostrre che d è un isomorfismo di gruppi. Osservimo innnzitutto che, se α k (t) è l unico sollevmento di α con punto inizile k, llor α k (t) = α 0 (t) + k. ossimo or osservre che, se α e β sono cppi in S 1 con punto bse (1, 0), llor (α β) 0 = α 0 β α(1). Inftti il secondo membro è un sollevmento di α β con punto inizile 0 e tle sollevmento è unico. ossimo or mostrre che d è un omomorfismo di gruppi: d([α][β]) = α β 0 (1) = α 0 β α0 (1) = = β α0 (1) = β 0 (1) + α 0 (1) = d([α]) + d([β]). Verifichimo che d è un omomorfismo suriettivo: si n Z; llor il cmmino α(t) = (cos(2πnt), sin(2πnt)) è un cmmino in S 1 tle che α(1) = n. Infine mostrimo che d è iniettivo: se d[α] = 0, llor α(0) = α(1) = 0; poiché R è contribile, llor α ε 0. Si F un omotopi tr α e ε 0. L composizione p F è un omotopi tr α e ε (1,0).

77 7 Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni 7.1 Gruppi con presentzione Gruppi liberi Si S un insieme: S = {x i } i I. Definizione. Chimimo lfbeto l insieme {x i, x 1 i } i I dove x 1 i un espressione formle. Definizione. Si W l insieme delle espressioni del tipo è solmente x ε(i 1) i 1 x ε(i 2) i 2... x ε(in) i n con x i S e ε(i) = ±1, dette prole. W comprende nche l prol vuot, che non contiene nessun simbolo. Introducimo or un relzione d equivlenz in W in questo modo. Diremo che due prole w 1 e w 2 sono equivlenti se si possono ottenere l un dll ltr introducendo o cncellndo un numero finito di espressioni del tipo x i x 1 i o x 1 i x i. Si G = W/ ; tle insieme è un gruppo rispetto ll giustpposizione, ed è detto gruppo libero generto d S; l elemento neutro è dto dll clsse dell prol vuot, che indicheremo con il simbolo 1, mentre l inverso dell clsse di x ε(i 1) i 1 x ε(i 2) i 2... x ε(in) i n è dto dll clsse di x ε(in) i n... x ε(i 2) i 2 x ε(i 1) i 1. Esempi 7.1. ) S = G = {1}. b) S = {x} G = {1, x, x 1, xx, x 1 x 1,... } Z. c) S = {, b} G = {1,, b, 1, b 1, b, b,... } =: Z Z (rodotto libero). Non è belino. d) In generle, se crd(s) = n, llor G = Z Z Z è detto gruppo libero n genertori. L su struttur dipende solo dll crdinlità di S, non dll ntur degli elementi di S. Relzioni Nell insieme W delle prole, oltre ll relzione, definit sopr, possimo introdurre ltre relzioni di equivlenz. Fissto un sottoinsieme R W, dicimo che due elementi di W sono R equivlenti

78 72 7 Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni w 1 R w 2 se si ottengono uno dll ltro medinte un numero finito di operzioni del tipo i) Inserire o cncellre xx 1 o x 1 x con x S. ii) Inserire o cncellre r o r 1 con r R. L insieme W/ R è un gruppo rispetto ll giustpposizione [w 1 ] R [w 2 ] R = [w 1 w 2 ] R, detto gruppo con presentzione S R ; l insieme S si dice insieme dei genertori, mentre l insieme R è l insieme dei reltori (o delle relzioni). Osservzione. Il gruppo S R è il quoziente del gruppo libero S rispetto l sottogruppo generto dlle clssi di equivlenz degli elementi di R. Esempi 7.2. ) = {1} Gruppo bnle. b) x x n = {1, x, x 2,...,x n 1 } Z n Clssi di resti modulo n. c) x, y xy = yx Z Z. d) Ogni gruppo (G, ) è un gruppo con presentzione. Un presentzione è dt d S G R G, con S G = G e R G = {(x y)y 1 x 1 }. Osservzione. Lo stesso gruppo può vere diverse presentzioni. 7.2 Il teorem di Seifert-Vn Kmpen Si X uno spzio topologico, U 1 e U 2 due suoi perti non vuoti e connessi per rchi tli che X = U 1 U 2 e U 1 U 2 si non vuoto e connesso per rchi; si infine x 0 un punto di U 1 U 2. Le inclusioni dnno luogo l seguente digrmm commuttivo U 1 i 1 j 1 U 1 U 2 X i 2 j 2 U 2 che induce un digrmm commuttivo sui gruppi fondmentli π(u 1, x 0 ) i 1 j 1 π(u 1 U 2, x 0 ) π(x, x 0 ) i 2 j 2 π(u 2, x 0 )

79 7.2 Il teorem di Seifert-Vn Kmpen 73 Considerimo delle presentzioni per π(u 1, x 0 ), π(u 2, x 0 ), π(u 1 U 2, x 0 ) π(u 1, x 0 ) = S 1 R 1 π(u 2, x 0 ) = S 2 R 2 π(u 1 U 2, x 0 ) = S R Il Teorem di Seifert-Vn Kmpen ci permette di trovre il gruppo fondmentle di X conoscendo quello di U 1, quello di U 2 e quello di U 1 U 2. In prticolre I genertori di π(x, x 0 ) sono l unione dei genertori di π(u 1, x 0 ) e dei genertori di π(u 2, x 0 ). Le relzioni di π(x, x 0 ) sono l unione delle relzioni di π(u 1, x 0 ), delle relzioni di π(u 2, x 0 ) e di un insieme di relzioni R S costruito prtire di genertori di π(u 1 U 2, x 0 ). Vedimo or come si costruisce l insieme R S. reso un elemento s π(u 1 U 2, x 0 ), possimo considerre le sue immgini i 1 s π(u 1, x 0 ) e i 2 s π(u 2, x 0 ) e denotimo con i 1 s e i 2 s le prole corrispondenti. In ltre prole i 1 s è l prol che si ottiene scrivendo i 1 s utilizzndo gli elementi di S 1, cioè i genertori di π(u 1, x 0 ) e nlogmente con i 2 s. Simo or in grdo di descrivere l insieme R S : Rissumendo qunto detto finor: R S = { i 1 s ( i 2 s ) 1 s S}. Teorem. (Seifert-Vn Kmpen) Si X uno spzio topologico, U 1 e U 2 due suoi perti non vuoti e connessi per rchi tli che X = U 1 U 2 e U 1 U 2 si non vuoto e connesso per rchi. Sino π(u 1, x 0 ) = S 1 R 1, π(u 2, x 0 ) = S 2 R 2, π(u 1 U 2, x 0 ) = S R e si R S = { i 1 s ( i 2 s ) 1 s S}. Allor Esempi 7.3. π(x, x 0 ) S 1 S 2 R 1 R 2 R S. ) X = S 2 R 3 ; si x 0 un punto sull equtore, si 0 < ε << 1 e sino U 1 = {(x, y, z) S 2 z > ε}, U 2 = {(x, y, z) S 2 z < ε}. Gli insiemi U i sono omeomorfi dischi di dimensione 2, e perciò contribili, quindi i loro gruppi fondmentli sono bnli: π(u i, x 0 ) =.

80 74 7 Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni L intersezione U 1 U 2 h l equtore come retrtto forte di deformzione, quindi π(u 1 U 2, x 0 ) = α, dove α è un cmmino che f un giro sull equtore. Applicndo il teorem di Seifert-Vn Kmpen ottenimo quindi π(s 2, x 0 ) = X U1 U2 U1 U2 ossimo, più in generle, osservre che, qulor i gruppi fondmentli π(u i, X 0 ) sino bnli, llor nche il gruppo fondmentle di X è bnle. b) X = S 1 S 1 = {(x, y) (x + 1) 2 + y 2 = 1} {(x, y) (x 1) 2 + y 2 = 1} R 2 ; si x 0 = (0, 0) e si 0 < ε << 1. Sino U 1 = {(x, y) X x < ε}, U 2 = {(x, y) X x > ε}. X U1 U2 U1 U2

81 7.2 Il teorem di Seifert-Vn Kmpen 75 Il gruppo fondmentle dell circonferenz {(x, y) (x + 1) 2 + y 2 = 1} è ciclico infinito generto dll clsse del cmmino α(t) = (cos(2πt) 1, sin(2πt)); l perto U 1 h tle circonferenz come retrtto (forte) di deformzione, quindi bbimo un isomorfismo π(s 1, x 0 ) i π(u 1, x 0 ) [α] [i α] Denotndo con buso di linguggio ncor con α il cmmino i α possimo quindi concludere che π(u 1, x 0 ) = α. Anlogmente, denotto con β il cmmino β(t) = (cos(2πt) + 1, sin(2πt)) vremo che π(u 2, x 0 ) = β. L intersezione U 1 U 2 è contribile, quindi π(u 1 U 2, x 0 ) =. Applicndo il teorem di Seifert-Vn Kmpen ottenimo π(s 1 S 1, x 0 ) = α, β Z Z. ossimo in generle osservre che, dti due spzi topologici (X, x 0 ) e (Y, y 0 ), con gruppi fondmentli π(x, x 0 ) = S 1 R 1 e π(y, y 0 ) = S 2 R 2 e tli che x 0 e y 0 hnno un intorno contribile in X e in Y rispettivmente, llor il gruppo fondmentle dello spzio topologico Z, unione un punto di (X, x 0 ) e (Y, y 0 ) è dto d π(z, z 0 ) = S 1 S 2 R 1 R 2. c) X = K, l bottigli di Klein; si x 0 un punto interno l poligono e si δ un cmmino che congiunge il punto, vertice del poligono, con x 0. Si U 1 = K\D, ove D è un disco chiuso contenuto in K e che non contiene x 0, e si U 2 = K\{, b}. L perto U 1 h come retrtto (forte) di deformzione il bordo di K, S 1 S 1 ; bbimo dunque isomorfismi π(s 1 S 1, ) i π(u 1, ) u δ π(u 1, x 0 ) [γ] [i γ] [ δi γδ] Ricordndo che π( K, ) =, b, e detti α = δi δ e β = δi bδ bbimo che π(u 1, x 0 ) = α, β.

82 76 7 Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni L perto U 2 è contribile, e perciò π(u 2, x 0 ) =. L intersezione U 1 U 2 h un circonferenz γ pssnte per x 0 come retrtto (forte) di deformzione, e perciò, confondendo γ con i γ possimo scrivere π(u 1 U 2 ) = γ. b x 0 b δ γ b b b b b γ b x 0 b δ Vedimo or di costruire l insieme R S = { i 1 γ ( i 2 γ ) 1 }. Dobbimo considerre l clsse dell immgine di γ in π(u 1, x 0 ) e scriverl utilizzndo i genertori di tle gruppo. Osservimo che l retrzione r : U 1 S 1 S 1 mnd il cmmino i 1 γ nel cmmino b 1 b, e quindi π(s 1 S 1, ) i π(u 1, ) u δ π(u 1, x 0 ) [b 1 b] [i bi 1 i bi ] [ δi bi 1 i bi δ]

83 7.3 Il teorem di clssificzione delle superfici comptte II 77 Osservimo quindi che δi bi 1 i bi δ = δi bδ δi 1 δ δi bδ δi δ = βα 1 βα. Ripetimo il procedimento con l clsse dell immgine di γ in π(u 2, x 0 ). poiché tle gruppo è bnle, vremo che nche i 2 γ srà bnle: i 2 γ = 1. ossimo quindi concludere che π(k, x 0 ) = α, β βα 1 βα = Il teorem di clssificzione delle superfici comptte II Definizione. Dto un gruppo con presentzione G = S R, il suo belinizzto, Ab(G) è il gruppo con presentzione Ab(G) = S R {xyx 1 y 1 x, y S} Osservzione. Se G e G sono gruppi isomorfi, llor Ab(G) e Ab(G ) sono gruppi isomorfi. Esempi 7.4. ) G = S, S = {x 1,..., x n }. Allor Ab(G) Z Z Z = Z n b) Nel cso G R = S R con S = {x 1,...,x n }, llor Ab(G R ) è un quoziente di Ab(G S ) = Z n, ove G S = S c) Si G =, b b 1 b ; Ab(G) =, b b 2 = 1 Z Z 2. Teorem. (Teorem di clssificzione) Si S un superficie comptt. S orientbile S T g g 0. S non orientbile S U h h 1. Inoltre se g g llor T g T g e se h h llor U h U h. Dim. (Second prte) Clcolimo i gruppi fondmentli. Già sppimo che π(s 2, x) {1}; e che un superficie orientbile non è omeomorf d un superficie non orientbile. Considerimo dunque l superficie T g con g 1. b_2 _2 b_2 _2 b_1 _1 b_1 _1 er pplicre il teorem di Seifert-Vn Kmpen sceglimo un punto x 0 interno l poligono e un cmmino δ che congiunge il punto, vertice del poligono, con x 0. Sceglimo poi come perto U 1 l superficie T g privt di un disco, e come perto U 2 l superficie T g meno il bordo del poligono.

84 78 7 Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni b_2 _2 b_2 _2 b_1 _1 b_1 _1 b_1 _2 _1 b_2 L perto U 1 h il bordo del poligono, che è un bouquet di 2g circonferenze, come retrtto forte di deformzione; detti α i = δ i δ e β i = δb i δ e procedendo come nel cso dell bottigli di Klein bbimo che L perto U 2 è contribile, quindi π(u 1, x 0 ) = α 1, β 1,...,α g, β g. π(u 2, x 0 ) =. L intersezione U 1 U 2 si retre su un circonferenz γ pssnte per x 0, quindi π(u 1 U 2, x 0 ) = γ. Vedimo or di clcolre R S ; γ, in U 1, è omotopicmente equivlente δ 1 b b g b g 1 g b 1 g δ e quindi α 1 β 1 α1 1 β1 1...α g β g αg 1 βg 1. Invece, in U 2, γ è omotopicmente equivlente l cmmino bnle, e quindi R S = {α 1 β 1 α1 1 β α g β g αg 1β 1 g = 1}; b_2 _2 b_2 _2 b_1 _1 b_1 _1

85 7.4 Gruppo fondmentle e retrzioni 79 ertnto si h che π(t g, x 0 ) = α 1, β 1,...,α g, β g α 1 β 1 α 1 1 β α g β g α 1 g β 1 g = 1 Del tutto nlog (e lscit come esercizio) è l procedur per clcolre il gruppo fondmentle delle superfici U h, che port ll seguente conclusione: π(u h, x 0 ) = α 1,...,α h α α2 h = 1. er mostrre che i gruppi fondmentli che bbimo clcolto non sono tr loro isomorfi, clcolimo i loro belinizzti; innnzitutto scrivimo il gruppo fondmentle di U h con un presentzione divers: ponendo α = α 1... α h scrivimo π(u h, x 0 ) = α 1,...,α h 1, α α 2 = 1 Quindi si h Ab(π(T g, x 0 )) = Z 2g Ab(π(U h, x 0 )) = Z h 1 Z 2 In prticolre, essendo Ab(π(T g, x 0 )) Ab(π(T g, x 0 )) se g g vremo che π(t g, x 0 ) e π(t g, x 0 ) sono gruppi non isomorfi se g g, e quindi T g e T g sono superfici non omeomorfe se g g. Anlogmente si mostr che U h e U h sono superfici non omeomorfe se h h. 7.4 Gruppo fondmentle e retrzioni Rissumimo qunto bbimo visto in precedenz nell seguente roposizione. Condizione necessri ffinchè un sottospzio A di X si un retrtto è che, per ogni A, denotti con i : π(a, ) π(x, ) e r : π(x, ) π(a, ) gli omomorfismi indotti dll inclusione i : A X e dll retrzione r : X A si bbi r i = Id π(a,) ; in prticolre i è iniettivo e r è suriettivo. Condizione necessri ffinchè un sottospzio A di X si un retrtto di deformzione è che, per ogni A si bbi π(x, ) π(a, ). Esempi 7.5. ) S 1 non è un retrtto di D 2. Se S 1 fosse un retrtto di D 2 l mpp i : π(s 1, ) π(d 2, ) srebbe iniettiv, m ciò è impossibile, in qunto il secondo gruppo è bnle, mentre il primo è isomorfo Z.

86 80 7 Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni b) S 1 non è un retrtto di R 2 \{(1, 1)}. Dobbimo studire l omomorfismo i : π(s 1, ) π(r 2 \{(1, 1)}, ) Entrmbi i gruppi sono isomorfi Z, m un genertore del gruppo π(s 1, ) è l clsse del cmmino α(t) = (cos(2πt), sin(2πt)), mentre un genertore del gruppo π(r 2 \{(1, 1)}, ) è l clsse del cmmino γ(t) = (1 + cos(2πt), 1 + sin(2πt)). L immgine dell clsse [α] in π(r 2 \{(1, 1)}, ) è l clsse di un cmmino che non gir ttorno l punto (1, 1), ed è quindi omotopo l cmmino bnle. ertnto i non è iniettiv e S 1 non è un retrtto di R 2 \{(1, 1)}. c) Si X l bottigli di Klein, ottenut come quoziente del qudrto, come in figur: b b e si A l circonferenz b. Mostrimo che A non è un retrtto di X. Considerimo il digrmm i π(a, ) r π(x, ) π(a, ) b i, b b 1 b r b oiché i (b) = b e r i = Id si h r (b) = b. Si r () = b k. oichè in π(x, ) si h b 1 b = 1 llor r (b 1 b) = 1 e quindi b 2 = 1 in π(a, ), un contrddizione.

87 rte III Geometri differenzile

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89 8 Vrietà differenzibili 8.1 Vrietà differenzibili Si X un vrietà topologic di dimensione n, cioè uno spzio topologico connesso, di Husdorff, loclmente euclideo di dimensione n bse numerbile. Ogni punto p X h un intorno perto U omeomorfo d un disco perto di R n trmite x : U D n ; l coppi (U,x) si dice crt locle. Scriveremo x(p) = (x 1 (p),..., x n (p)), dove x 1,..., x n : U R sono le componenti di x, dette coordinte locli in U definite d x. Definizione. Un tlnte (topologico) è un collezione di crte locli {(U α,x α )} α A tle che X α A U α. Considerimo or due crte (U α,x α ) e (U β,x β ) tli che U α U β ; l funzione x βα = x β x 1 α : x α (U α U β ) x β (U α U β ) è dett funzione di trnsizione. E un funzione definit su un perto di R n e vlori in R n, quindi h senso studirne l differenzibilità. Uβ Uα x α x β x βα Definizione. Un tlnte di clsse C k è un tlnte tle che tutte le funzioni di trnsizione sino C k. Se k = si dirà che le funzioni di trnsizione e l tlnte sono lisci.

90 84 8 Vrietà differenzibili Definizione. Due tlnti di clsse C k si dicono equivlenti se l loro unione è ncor un tlnte di clsse C k. Un clsse di equivlenz di tlnti è dett struttur differenzibile di clsse C k su X. L unione di tutti gli tlnti di un struttur differenzibile è ncor un tlnte, detto tlnte universle. Definizione. Un vrietà differenzibile di clsse C k (lisci) è un vrietà topologic dott di un tlnte differenzibile di clsse C k (liscio), o equivlentemente, di un struttur differenzibile di clsse C k (lisci). Esempi R n. Un tlnte è costituito d un sol crt (U,x) = (R n, Id R n). 2. S n. Un tlnte differenzibile su S n è dto d U = {(U α,x α ), (U β,x β )} dove U α = S n \ {N = (0, 0,..., 0, 1)} e U β = S n \ {S = (0, 0,..., 0, 1)} e x α e x β sono così definite ( ) x α : U α R n x1 x n : (x 1,...,x n+1 ),..., 1 x n+1 1 x n+1 ( ) x β : U β R n x1 x n : (x 1,...,x n+1 ),..., 1 + x n x n+1 x α è continu e l su invers (continu) è ( ) x 1 α : R n 2y1 U α : (y 1,..., y n ) 1 + 2y n y,..., yi , i 1 yi yi 2 e nlogmente ( x 1 β : R n 2y1 U β : (y 1,...,y n ) 1 + 2y n,..., yi yi 2 pertnto x α e x β sono omeomorfismi su R n. Verifichimo l comptibilità: U α U β = S n \ {N, S}, x α (U α U β ) = x β (U α U β ) = R n \ {0} x α x 1 β x β x 1 α : R n \ {0} R n \ {0} : (y 1,...,y n ) : R n \ {0} R n \ {0} : (y 1,...,y n ), 1 ) yi yi 2 ( ) y1 y,..., n y 2 i y 2 i ( ) y1 y,..., n y 2 i y 2 i le funzioni di trnsizione sono C quindi bbimo un tlnte differenzibile. 3. R n. Un tlnte è costituito dlle n + 1 crte (U i,x i ), dove e x i : R n R n è definit ponendo U i = {p R n x i (p) 0}

91 L invers di x i è x 1 i x i (x 0 : : x i : : x n ) = : R n R n definit ponendo 8.2 Funzioni e ppliczioni differenzibili 85 ( x0,..., x i 1, x i+1,..., x ) n. x i x i x i x i x 1 i (u 1,...,u n ) = (u 1 : : u i 1 : 1 : u i+1 : : u n ). ertnto l funzione di trnsizione x ji = x j x 1 i è così definit ( u1 x ij (u 1,...,u n ) = : : u i 1 1 : : u i+1 : : u j 1 : u j+1 : : u ) n u j u j u j u j u j u j u j ed è infinitmente differenzibile in x j (U i U j ), dove u i Un perto di un vrietà differenzibile è un vrietà differenzibile. In prticolre un intervllo perto di R è un vrietà differenzibile. 5. Il prodotto di due vrietà differenzibili è un vrietà differenzibile. 6. Considerimo R con l tlnte costituito dll crt (R, 3 t); tle tlnte non è equivlente ll tlnte (R, Id R ), e definisce pertnto un dvers struttur differenzibile. Tuttvi le due strutture differenzibili sono diffeomorfe (si ved più vnti l definizione di diffeomorfismo). 8.2 Funzioni e ppliczioni differenzibili Definizione. Si X un vrietà differenzibile (lisci) e f : X R un funzione continu; f si dice differenzibile di clsse C k (lisci) in p X se, pres un crt locle (U α,x α ) il cui dominio contiene p, l funzione rele f α = f x 1 α : x α (U α ) R è differenzibile di clsse C k (lisci) in x α (p). Tle funzione si dice espressione locle di f nell crt (U α,x α ). Osservzione. L definizione è ben post: se (U β,x β ) è un ltr crt locle il cui dominio contiene p, llor f β = f x 1 β = f x 1 α x α x 1 β = f α x αβ è differenzibile di clsse C k (lisci) in qunto composizione di funzioni differenzibili di clsse C k (lisce) U α F V x α y F α Definizione. Anlogmente, se X e Y sono due vrietà differenzibili di dimensioni n ed m, un ppliczione continu F : X Y si dice differenzibile di clsse C k (lisci) in p X se un su espressione locle F α = y F x 1 α : x α(u α F 1 (V )) R m è differenzibile di clsse C k (lisci) in x α (p).

92 86 8 Vrietà differenzibili Osservzione. Anche in questo cso l definizione è ben post. Inftti F bβ = y b F α x αβ. Esempio 8.2. Si X un vrietà differenzibile lisci, e si (U, x) un crt locle con componenti x 1,...,x n : U R. Le funzioni x i sono lisce. Inftti l espressione locle di x i è l proiezione R n R sull i-esim coordint. Esempio 8.3. Su R con l tlnte costituito dll crt (R, 3 t) l funzione 3 t è un funzione lisci! Esempio 8.4. Considerimo l ppliczione F : R 1 R 1 definit ponendo F([x 0 : x 1 ]) = [x 1 : x 0 ]. er verificre l differenzibilità di tle ppliczione dobbimo considerre le sue espressioni locli. Sino dunque U 0 e U 1 le crte sullo spzio di prtenz e V 0, V 1 quelle sullo spzio di rrivo; denotimo inoltre con x 0 e x 1 le coordinte nello spzio di prtenz e con y 0, y 1 quelle nello spzio di rrivo. Clcolimo l espressione locle F 00 : x 0 (U 0 F 1 (V 0 )) y 0 (F(U 0 ) V 0 ). E immedito verificre che F(U 0 ) = V 1, F(U 1 ) = V 0 e, essendo F biunivoc F 1 (V 0 ) = U 1 e F 1 (V 1 ) = U 0, e quindi dominio e codominio di F 00 sono dti rispettivmente d x 0 (U 0 U 1 ) e y 0 (V 0 V 1 ) x 0 (U 0 U 1 ) x 1 0 U 0 U 1 F V 0 V 1 y 0 y 0 (V 0 V 1 ) z [1 : z] [z : 1] 1 z L perto x 0 (U 0 U 1 ) non contiene z = 0, quindi F 00 è un funzione lisci. Clcolimo or l espressione locle F 10 : x 1 (U 1 F 1 (V 0 )) y 0 (F(U 1 ) V 0 ), che, per le considerzioni precedenti h come dominio e codominio x 1 (U 1 ) e y 0 (V 0 ) rispettivmente. x 1 (U 1 ) x 1 1 U 1 F V 0 y 0 y0 (V 0 ) z [z : 1] [1 : z] z Anlogmente si scrivono le espressioni locli F 01 e F 11 e si verific che si trtt di funzioni lisce. Definizione. Un ppliczione tr vrietà differenzibili F : X Y che si biunivoc e differenzibile di clsse C k (lisci) con invers differenzibile di clsse C k (lisci) è dett diffeomorfismo di clsse C k (liscio). Esempio 8.5. L ppliczione dell esempio precedente è invertibile e coincide con l su invers. Le verifiche precedenti implicno quindi che F è un diffeomorfismo (liscio) di R 1 in sè.

93 8.3 Spzio tngente in un punto 8.3 Spzio tngente in un punto 87 Si X un vrietà differenzibile lisci e p X un suo punto. er ogni intorno perto U di p ponimo E(U) = {f : U R f lisci}. Diremo inoltre che f è loclmente lisci in p se f E(U) per qulche intorno perto U di p. Introducimo or un relzione di equivlenz nell insieme delle funzioni loclmente lisce in p in questo modo: se f E(U) e g E(V ) diremo che f è equivlente g se esiste un intorno W di p tle che W U V e f W = g W. L clsse di equivlenz di funzioni loclmente lisce in p rppresentt d f si indic con [f] e si dice germe liscio in p; l insieme quoziente rispetto tle relzione di equivlenz si indic con E p e si dice spig su p. Nell insieme E p si possono introdurre due operzioni: [f] + [g] := [f + g] [f] [g] := [f g] rispetto lle quli l insieme E p risult essere un nello commuttivo dotto di unità. L introduzione del prodotto esterno λ[f] := [λf] rende E p un R lgebr, l lgebr dei germi lisci in p. Definizione. Un vettore tngente d X nel punto p è un funzione v : E p R t.c. 1. v è linere. 2. v è un derivzione, cioè v([f][g]) = f(p)v([g]) + v([f])g(p). Definizione. L insieme dei vettori tngenti nel punto p ll vrietà differenzibile X prende il nome di spzio tngente d X in p e si indic con T p X. Osservzione. er ogni coppi di vettori tngenti v, w e per ogni sclre λ R è possibile definire un somm e un prodotto per uno sclre (v + w)([f]) = v([f]) + w([f]) (λv)([f]) = λv([f]), e questo mostr che lo spzio tngente in un punto d un vrietà differenzibile è uno spzio vettorile rele. Definizione. Si p X un punto di un vrietà differenzibile lisci e (U,x) un crt locle con coordinte locli (x 1,...,x n ), tle che p U. Si [f] E p e si f E(V ) un rppresentnte dell clsse [f]. Definimo ( ) : E p R x i p

94 88 8 Vrietà differenzibili ( ) x i p ([f]) = (f x 1 ) (x(p)) u i ( E semplice verificre che l definizione è ben post e che le funzioni derivzioni su E p. ( ) Osservzione. x i Dim. d cui l sserto. x i )p ([x j ]) = δ ij, dove δ ij = 0 se i j e δ ij = 1 se i = j. p Dll definizione si h che ( ) ([x j ]) = (x j x 1 ) (x(p)) = u j (x(p)) x i u i u i p sono Mostreremo or che gli n vettori tngenti ppen definiti costituiscono un bse per lo spzio tngente T p X. Nell dimostrzione utilizzeremo il seguente Lemm. Si p un punto di X, f E(V ) con p V e (U,x) crt locle che contiene p con coordinte locli (x 1,...,x n ); si x(p) = c = (c 1,...,c n ). Allor esistono un intorno W U V, n funzioni f 1,..., f n E(W) tli che, se p W llor n f(p ) = f(p) + (x i (p ) c i )f i (p ); ( Inoltre f i (p) = x 1 )p ([f]). i=1 Dim. Sceglimo un disco B δ (c) tle che B δ (c) x(u V ) e si W = x 1 (B δ (c)); si p un punto di W, si x(p ) = b = (b 1,..., b n ) e si τ [0, 1]. Si g = f x 1 l espressione locle di f in U e ponimo α(τ) = g(c + τ(b c)). Si h che n α g (τ) = ((c + τ(b c)))(b i c i ); u i ponimo i=1 g i (b) = 1 0 g u i ((c + τ(b c)))dτ; per il teorem fondmentle del clcolo possimo scrivere g(b) g(c) = α(1) α(0) = ertnto, posto f i = g i x vremo f(p ) f(p) = Inoltre f i (p) = g i (c) = g u i (c) = ( 1 0 α (τ)dτ = n g i (b)(b i c i ). i=1 n f i (p )(x i (p ) x i (p)). i=1 x 1 )p ([f]).

95 8.3 Spzio tngente in un punto 89 Teorem. Lo spzio vettorile tngente T p X d un vrietà differenzibile lisci di dimensione n in un punto p X è uno spzio vettorile rele di dimensione n. Dt un crt locle (U,x) con coordinte locli (x 1,...,x n ) i vettori tngenti ( x 1 )p Dim. (,..., x n )p costituiscono un bse per T p X. Si v T p X; innnzitutto mostrimo che v([1]) = 0; inftti v([1]) = v([1] [1]) = v([1]) + v([1]). Si or [f] E p ; per il lemm precedente possimo scrivere e quindi v([f]) = [f] = f(p)[1] + n ([x i ] c i [1])[f i ] i=1 n f i (p)(v([x i ] c i [1])) = i=1 ossimo quindi scrivere n ( ) v = v([x i ]) x i=1 i ( ( e quindi bbimo mostrto che,..., genertori per T p X. x 1 )p n i=1 p x n )p [f] x i (p)v([x i ]). costituiscono un sistem di er mostrre ( l indipendenz ( linere scrivimo il vettore nullo come combinzione linere di,..., x 1 )p ( ) poiché x i x n )p 0 = n i=1 ( ) µ i ; x i p ([x j ]) = δ ij, pplicndo il vettore nullo l germe [x j ] p n 0 = 0([x j ]) = i=1 trovimo che µ j = 0 j, e quindi i vettori indipendenti. ( ) µ i ([x j ]) = µ j x i p ( ( x 1 )p,..., x n )p sono linermente Osservzione. ( Si ( v T p X un vettore tngente; v si può scrivere utilizzndo l bse,..., come x 1 )p x n )p v = n i=1 ( ) v i. x i p Notimo che i coefficienti si ottengono pplicndo v lle funzioni coordinte: v i = v([x i ]).

96 90 8 Vrietà differenzibili 8.4 Crtterizzzione geometric dei vettori tngenti Definizione. Un curv differenzibile di clsse C k in X è un ppliczione differenzibile γ : J X di clsse C k, dove J è un intervllo di R; se J non è perto si ssume che γ si definit e di clsse C k su un intervllo perto contenente J. Si γ un curv differenzibile lisci definit su un intervllo J che contiene 0 e tle che γ(0) = p; e si (U α,x α ) un crt locle il cui dominio contiene p. All curv γ si può ssocire un elemento γ di T p X in questo modo: d(f γ) γ ([f]) =. dt t=0 Vicevers, se v T p X è un vettore tngente, v = ( v i x iα )p llor l curv γ v (t) = x 1 α (x 1(p) + tv 1,..., x n (p) + tv n ) è tle che γ v = v; l curv γ v con quest proprietà non è unic. Componenti del vettore tngente in coordinte locli Sino γ iα : J R( le componenti ( di γ α = x α γ; il vettore tngente γ si può scrivere sull bse x 1α,..., x )p nα )p: n ( ) γ = γ ([x iα ]) er definizione i=1 x iα. p γ ([x iα ]) = d(x iα γ) = dγ iα = γ iα (0) dt t=0 dt t=0 e quindi γ = ( ) n i=1 γ iα(0). x iα p Componenti del vettore tngente l vrire dell crt locle Cos succede cmbindo crt? Sceglimo un ltr crt (U β,x β ) che contiene p, con coordinte locli (x 1β,...,x nβ ). In tle crt l curv h un ltr espressione locle γ β = x β γ, con componenti γ iβ ; ( Il vettore tngente γ si scriverà, sull bse γ = n j=1 x 1β )p ( ) γ jβ (0) ; x jβ p Qul è l relzione che leg questi due vettori? (,..., x nβ )p: γ β (t) = x β (γ(t)) = x β (x 1 α (x α (γ(t)))) = x βα (γ α (t))

97 8.5 Differenzile di un ppliczione in un punto 91 Uβ Uα x α x β x βα γ β (t) = J(x βα ) γ α (t). 8.5 Differenzile di un ppliczione in un punto Sino X e Y vrietà differenzibili e F : X Y un ppliczione differenzibile; si p un punto di X e p = F(p). L ppliczione F induce un ppliczione definit ponendo d p F : T p X T p Y d p F(v)([f]) := v([f F]); tle ppliczione è dett differenzile di F in p. É immedito verificre che il differenzile di F in p è un ppliczione linere tr spzi vettorili. Espressione del differenzile in coordinte locli Considerimo due crte (U α,x α ) e (V,y ) contenenti rispettivmente p e p, con coordinte { locli (x 1α,...,x nα ) e (y 1,...,y m ). ( ( } { ( ( } Sino x 1α,..., x )p nα e y )p 1,..., )p y m le bsi per gli spzi )p tngenti T p X e T p Y ssocite tli crte. Si v = n j=1 v jα ( x jα )p trov pplicndo d p F(v) y i : [ ( n ( ) d p F v jα x jα p j=1 un vettore in T p X; l componente i-esim di d p F(v) si )] ([y i ]) = n j=1 ( ) v jα ([y i F]) = x jα p

98 92 8 Vrietà differenzibili e pertnto = n j=1 v jα (y i F x 1 α ) u j (x α (p)) = n v jα [J(F α ) xα(p)] ij j=1 d p F(v) = J(F α ) xα(p) v dove J(F α ) xα(p) è l mtrice jcobin in x α (p) dell funzione F α : R n R m, espressione locle di F rispetto lle crte (U α,x α ) e (V,y ). Espressione del differenzile l vrire delle crte locli Sino (U β,x β ) e (V b,y b ) ltre crte contenenti p e p ; l espressione locle di d p F in queste crte è dt d d p F(v) = J(F bβ ) xβ (p) v. oichè F bβ = y b F α x αβ, si h J(F bβ ) xβ (p) = J(y b ) y(f(p)) J(F α ) xα(p) J(x αβ ) xβ (p). Le mtrici J(x αβ ) xβ (p) e J(y b ) y(f(p)) corrispondono cmbimenti di bse in T p X e T F(p) Y. 8.6 Immersioni, sommersioni, embedding Si F : X Y un ppliczione differenzibile e p X Definizione. F si dice immersiv in p se l ppliczione linere d p F : T p X T p Y è iniettiv. F si dice sommersiv in p se d p F è suriettiv. F è un immersione (sommersione) se è immersiv (sommersiv) per ogni p X. Definizione. F è un embedding se è un immersione ed è un omeomorfismo sull immgine (X F(X) con l topologi indott d Y ). Esempi Immersione cnonic di R k in R n, con k n (x 1,...,x k ) (x 1,...,x k, 0,..., 0) 2. Sommersione cnonic di R n su R k, con k n (x 1,...,x n ) (x 1,..., x k ) 3. F : R R, F(t) = t 3 non è immersiv in 0.

99 8.6 Immersioni, sommersioni, embedding F : R R 2 F(t) = (t 2 1, t(t 2 1)) è un immersione, m non un embedding, perché non è un ppliczione iniettiv F : R R 2, F(t) = (t, t 2 ) è un embedding F : R R 2 F(t) = (t 2, t 3 ) non è immersiv in F(( 5,5)) F(( 10,10)) F(( 20,20)) 3 7. F : R R 2 F(t) = (2 cos(2 rctn(t) + π/2), sin(4 rctn(t) + π)) F è immersiv ed iniettiv, m non è un embedding, perchè non c è un intorno di F(0) = (0, 0) in F(R) con l topologi indott che si omeomorfo un intorno di 0 R.

100 94 8 Vrietà differenzibili Abbimo visto che un immersione non è necessrimente un embedding, m lo divent ptto di restringere l vrietà: roposizione. Si F : X Y un immersione; llor ogni punto p X h un intorno perto V tle che F V : V Y si un embedding. Un condizione sufficiente perché un immersione si un embedding è l seguente: roposizione. Si F : X Y un immersione iniettiv. Se X è comptt, llor F è un embedding. Dim. L ppliczione F : X F(X) è biunivoc e continu. oiché X è uno spzio topologico comptto e Y è di Husdorff, nche F 1 è continu. 8.7 Sottovrietà Si X un vrietà differenzibile e {(U α,x α )} α A il suo tlnte universle. Sino S X un sottoinsieme di X e k un intero tle che p S esiste α A con x α (U α S) = R k R n dove R k = {(x 1,...x k, 0,..., 0)}. Un tle S è dett sottovrietà differenzibile di X; le coppie {(U α S,x α Uα S)} costituiscono un tlnte per S, che è quindi ess stess un vrietà differenzibile. Il prossimo risultto ci fornisce un importnte condizione per trovre sottovrietà Teorem. Si F : X Y un ppliczione differenzibile, e si q Y. Se F è sommersiv nei punti di F 1 (q) llor F 1 (q) è un sottovrietà differenzibile di X di dimensione dim X dim Y. Esempio 8.7. Si S R n un sottoinsieme definito d equzioni F 1 = F 2 = = F k = 0; se il rngo dell mtrice jcobin F 1 x 1... F 1 x n F k x 1... F k x n nei punti di S è k llor S è un sottovrietà di R n di dimensione n k. er mostrrlo considerimo l ppliczione F : R n R k definit ponendo F(x 1,..., x n ) = (F 1 (x 1,...,x n ),...,F k (x 1,...,x n )). er tle ppliczione si h S = F 1 (0,..., 0), e l condizione richiest sull mtrice jcobin è esttmente quell dell sommersività. Esempio 8.8. L sfer S n R n+1 è un sottovrietà di dimensione n; inftti possimo vederl come il luogo di zeri dell ppliczione F : R n+1 R che (x 1,...,x n+1 ) ssoci x x2 n+1 1, e tle ppliczione è sommersiv nei punti di S n. L relzione tr embedding e sottovrietà è espress dl seguente Teorem. Si Y un vrietà differenzibile. S Y è un sottovrietà se e solo se esistono un vrietà differenzibile X e un embedding F : X Y tle che F(X) = S.

101 8.8 Fibrto tngente e cotngente 95 Il seguente fondmentle risultto ci dice che ogni vrietà differenzibile comptt può essere relizzt come sottovrietà di un opportuno spzio euclideo: Teorem. (d immersione di Whitney) Si X un vrietà differenzibile comptt di dimensione n. Allor esiste un embedding di X in R 2n+1. Osservzione. L stess vrietà differenzibile può essere immers in uno spzio euclideo in molti modi diversi. 8.8 Fibrto tngente e cotngente Definizione. Un fibrto vettorile rele di rngo k su X è uno spzio topologico E dotto di un ppliczione continu e suriettiv π : E X tle che 1. p X π 1 (p) si uno spzio vettorile rele di dimensione k. 2. p X U p perto e τ : π 1 (U) U R k omeomorfismo tle che π 1 τ = π dove π 1 : U R k U è l proiezione sul primo fttore. 3. p X π 2 τ ristretto π 1 (p) si un isomorfismo di spzi vettorili dove π 2 : U R k R k è l proiezione sul secondo fttore. τ π 2 π π 1 Definizione. Si π : E X un fibrto vettorile di rngo k; un sezione del fibrto E su un sottospzio Y X è un ppliczione continu σ : Y E tle che π σ = Id Y. Si or TX l insieme di tutti i vettori tngenti d X, cioè TX = p X T p X e si π : TX X l mpp che ssoci v TX il punto p se v T p X. roposizione. Si X un vrietà differenzibile lisci di dimensione n; llor TX = p X T px è un fibrto vettorile di rngo n, detto fibrto tngente d X; inoltre TX è un vrietà differenzibile di dimensione 2n. L prim condizione dell definizione di fibrto vettorile è chirmente verifict, in qunto π 1 (p) = T p X è uno spzio vettorile di dimensione n. er verificre l second condizione utilizzimo come perti gli perti U α di un tlnte di X; dobbimo quindi mostrre che esistono omeomorfismi τ α : π 1 (U α )

102 96 8 Vrietà differenzibili U α R n con le proprietà richieste nell definizione. Sino (x 1α,...x nα ) coordinte locli in U α e si (p, v) π 1 (U α ); possimo scrivere v = ( v i e quindi definire τ α in questo modo: x iα )p TU α := π 1 (U α ) τ α U α R n (p, v) (p, v 1,...,v n ) E immedito verificre che π 1 τ α = π e che π 2 τ α ristretto π 1 (p) è un isomorfismo di spzi vettorili. Vedimo or come è possibile dre TX un topologi rispetto ll qule le ppliczioni τ α sino omeomorfismi; tl fine considerimo le ppliczioni biunivoche Tx α : TU α R 2n = ((x α, Id) τ α ). Medinte le Tx α possimo dre TU α l topologi che rende Tx α un omeomorfismo; gli perti di TU α sono cioè i sottoinsiemi V tli che Tx α (V ) è perto in R 2n. Or è possibile dre un topologi TX, dicendo perti di TX i sottoinsiemi W TX tli che W TU α è perto in TU α per ogni α; con tle topologi le ppliczioni τ α sono omeomorfismi, e quindi bbimo terminto di verificre che TX è un fibrto vettorile di rngo n su X. Gli perti TU α e gli omeomorfismi Tx α costituiscono un tlnte differenzibile per T X, che risult essere esso stesso un vrietà differenzibile di dimensione 2n; inftti bbimo visto precedentemente come si trsformno i vettori tngenti l vrire dell crt, e quindi le funzioni di trnsizione Tx βα hnno l seguente espressione locle: e sono quindi ppliczioni lisce. Tx βα (p, v) = (x βα (p), J(x βα ) v), ossimo considerre l ppliczione definit ponendo df : TX TY df(p, v) := d p F(v); tle ppliczione risult essere un ppliczione differenzibile tr le vrietà differenzibili TX e TY, dett differenzile di F; l su espressione locle reltiv due crte TU α (p, v) e TV (p, d p F(v)) è dt d (df) α (p, v) = (F α (p), J(F α ) v). Definizione. Si X un vrietà differenzibile e U X un suo perto; un sezione σ : U TX, che si un ppliczione lisci di vrietà differenzibili è dett cmpo vettorile liscio su U.

103 8.9 Spzio cotngente in un punto - Fibrto cotngente Spzio cotngente in un punto - Fibrto cotngente Definizione. Si X un vrietà differenzibile lisci e p X un suo punto; il dule dello spzio tngente X in p è detto spzio cotngente X in p e si denot con T p X. Quindi T p X = Hom(T px, R). Lo spzio tngente R n in un suo punto p può essere identificto con R n ssocindo un vettore tngente v T p R n l ennupl (v([u 1 ]),..., v([u n ])), ove (u 1,...,u n ) sono le coordinte in R n. Nel cso n = 1 quindi l identificzione tr lo spzio tngente d R in un suo punto p ed R stesso viene ftt ssocindo l vettore tngente v T p R il numero rele v([id R ]). Se f : X R n è un ppliczione lisci, di componenti (f 1,...,f n ) llor, vi l identificzione sopr descritt d p f(v) = (v([f 1 ]),...,v([f n ])). In prticolre, se f : X R è un ppliczione lisci e p X, llor, vi l identificzione sopr descritt tr T p R e R, bbimo che il differenzile di f in p può essere visto come un elemento dello spzio cotngente: T p X v dpf T p R R. v([f]) Si (U α,x α ) un crt locle tle che p U α ; llor i differenzili delle funzioni coordinte, d p x iα sono elementi dello spzio cotngente; essendo ( ) ( ) d p x jα = ([x jα ]) = δ ij x iα x iα p bbimo che d p x 1α,.. (.,d p x nα costituiscono ( un bse di Tp X, e precismente l bse dule dell bse x 1α,..., x )p nα dello spzio tngente T p X. )p Un vettore v Tp X si può dunque scrivere v = ( viαd p x iα con viα = v x iα )p; l relzione che leg le componenti di un vettore cotngente sull bse cnonic ssocit d un crt locle (U α,x α ) lle componenti sull bse cnonic ssocit d un crt locle (U β,x β ) sono quindi le seguenti: v α = J(x βα ) T v β Ricordndo che J(x βα ) = J(x αβ ) 1 bbimo che v β = J(x αβ) T v α Si T X l insieme di tutti i vettori cotngenti d X, cioè p T X = p X T p X e si π : T X X l mpp che ssoci v T X il punto p se v T p X. In modo nlogo qunto visto per il fibrto tngente si mostr che

104 98 8 Vrietà differenzibili roposizione. Si X un vrietà differenzibile lisci di dimensione n; llor T X = p X T p X è un fibrto vettorile di rngo n, detto fibrto cotngente d X; inoltre T X è un vrietà differenzibile di dimensione 2n. Definizione. Si X un vrietà differenzibile e U X un suo perto; un sezione σ : U T X, che si un ppliczione lisci di vrietà differenzibili è dett 1-form differenzile lisci su U.

105 9 Curve differenzibili 9.1 Curve regolri - lunghezz d rco Definizione. Un curv differenzibile lisci in R 3 è un ppliczione differenzibile lisci : J R 3, dove J è un intervllo di R; se J non è perto si ssume che γ si definit e lisci su un intervllo perto contenente J. L immgine (J) R 3 si dice supporto dell curv. Definizione. Un curv regolre in R 3 è un curv differenzibile : J R 3 che si un immersione; l curv si dice semplice se è un ppliczione iniettiv. Osservzione. Si : J R 3 un ppliczione differenzibile; llor è un curv regolre se e solo se Ṗ(t) 0. In prticolre si può ssocire d ogni punto (t) dell trcci di un curv regolre : J R 3 il vettore tngente o vettore velocità Ṗ(t) 0. Dt un curv regolre : J R 3 e un diffeomorfismo θ : J J, possimo considerre l curv regolre (t) := θ : J R 3, che chimeremo riprmetrizzzione di. Si : J R 3 e [, b] J; per ogni suddivisione S del tipo = t 0 < t 1 < < t n = b considerimo il numero rele l(, S) = n (t i ) (t i 1 ) ; i=1 geometricmente l(, S) è l lunghezz di un poligonle inscritt in ([, b]) con i vertici in (t i ). Definizione. L lunghezz dell curv tr e b è definit come l() = sup l(, S). S Teorem. Si : J R 3 un curv regolre e [, b] J; llor l() = b Ṗ(t) dt.

106 100 9 Curve differenzibili Dim. Si S un suddivisione del tipo = t 0 < t 1 < < t n = b; llor e quindi (t i ) (t i 1 ) = (t i ) (t i 1 ) = d cui l() b Ṗ(t) dt. ti t t i 1 Ṗ(t) dt, ti Ṗ(t) dt t i 1 t i 1 Ṗ(t) dt, oichè Ṗ è continu sul comptto [, b], è nche uniformemente continu, quindi, dto ε > 0 esiste δ > 0 tle che Ṗ(t) Ṗ( t) < ε se t t < δ. Si S un suddivisione di [, b] tle che t i t i 1 < δ per ogni i; si t [t i 1, t i ]; per l disuguglinz tringolre e quindi ti Segue che Ṗ(t) Ṗ(t) Ṗ(t i) + Ṗ(t i) < ε + Ṗ(t i) Ṗ(t) dt < Ṗ(t i) (t i t i 1 ) + ε(t i t i 1 ) t i 1 ti = Ṗ(t i )dt + ε(t i t i 1 ) t i 1 ti ti Ṗ(t)dt + [Ṗ(t i) Ṗ(t)]dt + ε(t i t i 1 ) t i 1 t i 1 (t i ) (t i 1 ) + 2ε(t i t i 1 ) b e quindi, per l rbitrrietà di ε e il teorem è provto. Ṗ(t) l(, S) + 2ε(b ) l() + 2ε(b ) b Ṗ(t) l() In questo modo possimo trovre un prmetrizzzione intrinsec dell curv: chimimo prmetro lunghezz d rco di un curv regolre (t), fissto un punto (t 0 ) il prmetro s così definito: s(t) = t t 0 Ṗ(h) dh roposizione. Se : J R 3 è prmetrizzt con l lunghezz d rco, llor h vettore tngente (s) di norm unitri.

107 Dim. er l regol di derivzione di funzioni composte Ṗ(t) = d(s(t)) dt = (s(t)) ds dt rendendo l norm di mbo i membri si h l tesi. Esempio 9.1. Elic cilindric = (s(t)) Ṗ(t). 9.2 Il triedro di Frenet 101 Sino, b reli positivi, e considerimo l curv (t) = ( cos(t), sin(t), bt) t R Il suo vettore velocità è dto d Ṗ(t) = ( sin(t), cos(t), b), e l norm del vettore velocità è Ṗ(t) = 2 + b 2. ertnto il prmetro rco è dto d s(t) = t 0 ( 2 + b 2 )dh = ( 2 + b 2 )t. osto c = 2 + b 2 scrivimo l prmetrizzzione nturle dell elic in questo modo: ( ( s ( s (s) = cos, sin, b c) c) s ). c 9.2 Il triedro di Frenet Definizione. Un curv regolre : J R 3 si dice fortemente regolre se per ogni t J si h Ṗ(t) (t) 0. Si quindi : J R 3 un curv fortemente regolre, prmetrizzt con l lunghezz d rco e si t(s) = (s) il vettore tngente ll curv. Considerimo il vettore k = t (s) = t (s) n(s) = κ(s)n(s), detto vettore curvtur dell curv; n è il versore normle e κ è l (prim) curvtur dell curv. Osservzione. Il versore tngente e il versore normle sono ortogonli. Inftti, poiché t è un versore, derivndo l relzione t t 1 si h che 2t t = 0. Il pino individuto dl versore tngente e dl versore normle è detto pino oscultore; il versore normle questo pino, b = t n è detto versore binormle. il pino individuto d n e b è detto pino normle, quello individuto d t e b è detto pino rettificnte. b n t

108 102 9 Curve differenzibili Il modulo dell derivt del versore binormle misur l velocità di cmbimento dei pini oscultori nei punti vicini l punto considerto, e quindi qunto rpidmente l curv si llontn dl pino oscultore. Considerimo perciò il vettore b (s); dll definizione di b bbimo che b (s) = t (s) n(s) + t(s) n (s) = t(s) n (s). Quindi, oltre d essere ortogonle b(s) perché quest ultimo è un versore, b (s) è nche ortogonle t(s); può quindi essere scritto in questo modo: b (s) = τ(s)n(s) τ(s) è dett torsione o second curvtur dell curv. roposizione. Vlgono le seguenti relzioni: t 0 κ(s) 0 t n = κ(s) 0 τ(s) n b 0 τ(s) 0 b Dim. che Clcolimo l derivt di n(s); ricordndo che n(s) = b(s) t(s) bbimo n (s) = b (s) t(s) + b(s) t (s) = τ(s)b(s) κ(s)t(s). Abbimo così provto le relzioni sopr scritte. L mtrice ntisimmetric che le esprime è dett mtrice di Frenet. Esempio 9.2. Clcolimo l mtrice di Frenet dell elic cilindric ( ( s ( s (s) = cos, sin, b c) c) s ) c ( t(s) = ( s ) c sin, ( s ) c c cos, b ) c c ( Clcolimo l derivt t (s) = ( s ) c cos, ( s ) ) 2 c c sin, 0 ; l norm di questo 2 c 2 vettore è c = b2, quindi κ(s) = 2 + b e ( ( 2 s ( s ) n(s) = cos, sin, 0 ( c) c) b ( s ) b(s) = t(s) n(s) = c sin, b ( s ) c c cos, ) c c ( b ( s ) Clcolimo l derivt b (s) = c cos, b ( s ) ) 2 c c sin, 0 = b 2 c c2n(s), e quindi b trovimo l torsione τ(s) = 2 + b 2.

109 9.3 Curvtur e torsione 103 L mtrice di Frenet dell elic cilindric è pertnto b 2 b b b 2 0 b b 2 rendendo il cso prticolre b = 0, che corrisponde d un circonferenz di rggio, trovimo κ(s) = 1 e τ(s) = Curvtur e torsione Abbimo visto nell sezione precedente come è possibile ssocire d un curv fortemente regolre nello spzio due funzioni differenzibili, l curvtur κ(s) > 0 e l torsione τ(s); vedremo or come tli funzioni individuino l curv meno di isometrie dello spzio euclideo. Teorem. Sino : J R 3 e Q : J R 3 due curve fortemente regolri con prmetro rco tli che κ (s) = κ Q (s) e τ (s) = τ Q (s). Allor esiste un isometri di f : R 3 R 3 tle che f = Q. Dim. Supponimo che 0 J; sino t 0,n 0,b 0 e t 0, n 0, b 0 le terne di Frenet delle due curve per s = 0; esiste un isometri di R 3 che mnd (0) in Q(0) e mnd t 0,n 0,b 0 in t 0, n 0, b 0. ossimo quindi ssumere che (0) = Q(0) e che le terne di Frenet delle due curve coincidno per s = 0 Voglimo mostrre che, un volt effettut quest trsformzione su, bbimo che (s) = Q(s). Considerimo l seguente espressione: A(s) = t t 2 + n n 2 + b b 2. Voglimo mostrre che tle espressione è costnte; clcolimo perciò l derivt rispetto d s

110 104 9 Curve differenzibili 2(t t) (t t ) + 2(n n) (n n ) + 2(b b) (b b ) = 2[κ(t t) (n n) κ(n n) (t t)+τ(n n) (b b) τ(b b) (n n)] = 0. oichè A(0) = 0, llor A 0, e quindi le terne di Frenet coincidono su tutto l intervllo di definizione; in prticolre t(s) = t(s), e quindi, integrndo (s) = Q(s) + c, m (0) = Q(0), e quindi (s) = Q(s). Si può provre che non solo un curv è unicmente individut dll su curvtur e dll su torsione ( meno di isometrie), m che, comunque ssegnte due funzioni differenzibili κ(s) > 0 e τ(s), queste sono curvtur e torsione di un curv: Teorem. Dte due funzioni differenzibili κ(s) > 0, τ(s) : J R con J intervllo in R contenente 0 esistono un intervllo 0 J J e un curv fortemente regolre : J R 3 le cui funzioni curvtur e torsione sono κ(s) e τ(s). Vedimo or che curve corrispondono vlori specili di curvtur e torsione. roposizione. Un curv regolre = (s) con curvtur identicmente null h supporto contenuto in un rett. Un curv fortemente regolre = (s) è pin se e solo se τ(s) 0. Dim. oichè κ(s) 0, llor (s) 0 e (s) = t(s) è costnte: t(s) = t 0. Ne segue che (s) = st Se l curv è pin, llor t e n individuno lo stesso pino per ogni vlore di s; in prticolre b è costnte e τ è null. Vicevers, se τ 0, llor b è costnte; considerimo l funzione e derivimol f(s) = ((s) (0)) b f (s) = t b = 0. Segue che f(s) = f(0) = 0, cioè l curv gice nel pino ortogonle b e pssnte per (0). roposizione. Un curv fortemente regolre = (s) con curvtur costnte e torsione null è un circonferenz. Un curv fortemente regolre = (s) con curvtur e torsione costnti è un elic cilindric. ( ( s ( s Dim. Si Q : J R 3 l elic cilindric Q(s) = cos, sin, b c) c) s ) ; l c curvtur e l torsione di tle curv sono dte rispettivmente d κ Q = 2 + b 2, τ b Q = 2 + b 2; sino κ e τ l curvtur e l torsione dell curv. Con semplici pssggi lgebrici si trov che, posto κ = κ 2 + b = τ2 κ 2 + τ2 si h κ Q = κ e τ Q = τ, e quindi esiste un isometri che port in Q. er τ Q = 0 l elic è un circonferenz. τ

111 9.4 Form cnonic locle - Enti oscultori 9.4 Form cnonic locle - Enti oscultori 105 Vedimo come si scrivono le equzioni di un curv nel riferimento dto dl triedro di Frenet: sceglimo cioè un punto (s 0 ) e prendimolo come origine, prendendo come riferimento ortonormle t(s 0 ),n(s 0 ),b(s 0 ); supponimo che s 0 = 0 e scrivimo (s) in serie di Tylor in un intorno del punto (s) = (0)s + (0) s 2 + (0) s 3 + o(s 3 ) 2 6 Sppimo che (0) = t, (0) = κn; clcolimo (0) = κ n+κn = κ n κ 2 t+ κτb. Abbimo perciò ) ( (s) = (s κ2 s 3 κs 2 t κ s )n 3 + κτs3 6 6 b + o(s3 ). Utilizzndo l form cnonic locle trovimo le equzioni del pino e dell circonferenz che meglio pprossimno l curv nel punto. Considerimo il generico pino pssnte per l origine: x + by + cz = 0 e sostituimo l espressione locle di : ) ( ) (s κ2 s 3 κs 2 + b κ s 3 + c κτs3 + o(s 3 ) = ( ) s + bκs2 κ + s bκ + cκτ + o(s 3 ) = D quest equzione trovimo che in generle (cioè se τ 0) il mssimo di intersezioni di un pino con l curv è tre, ed è ottenuto per = b = 0, cioè dl pino z = 0, che è il pino oscultore. Vedimo or qule circonferenz sul pino oscultore pprossim meglio l curv nel punto. Un circonferenz di centro (α, β, 0) pssnte per l origine vrà equzione Sostituimo l espressione locle di : (x α) 2 + (y β) 2 = α 2 + β 2 x 2 2αx + y 2 2βy = 0 s 2 2αs α κ2 s 3 3 βks 2 β κ s o(s3 ) = 0 2αs + (1 βk)s 2 (ακ 2 + βκ ) s3 3 + o(s3 ) = 0 D quest equzione trovimo che in generle (cioè se κ 0) il mssimo di intersezioni di un circonferenz sul pino oscultore con l curv è tre, ed è ottenuto per

112 106 9 Curve differenzibili α = 0 β = 1 κ e quindi il centro dell circonferenz oscultrice è e il suo rggio è C(s) = (s) + 1 κ n r(s) = 1 κ. 9.5 Curve con prmetro rbitrrio Vedimo or le formule per trovre tern di Frenet, curvtur e torsione per curve prmetrizzte con un prmetro qulsisi: roposizione. Si : J R 3 un curv fortemente regolre; llor t = Ṗ Ṗ n = b t, b = Ṗ, Ṗ κ = Ṗ, τ = (Ṗ ) Ṗ 3 Ṗ 2 Dim. Innnzitutto, poichè t =, dll derivzione di funzione compost ottenimo Ṗ(s(t)) = (s(t)) ds dt ; ricordimo che ds = Ṗ(t), e quindi ottenimo subito l espressione del vettore dt tngente; d or in poi, per lleggerire l notzione ponimo v = Ṗ(t). Clcolimo l espressione di (t) e di (t): (t) = d dt (v ) = dv dt + v d dt = dv dt + v 2 = dv dt t + v2 κn ossimo quindi trovre che Ṗ = κv 3 b, e d quest espressione ricvimo l formul per l curvtur e per b. Ci rest d clcolre l espressione dell torsione; dobbimo clcolre innnzitutto (Ṗ ) ; poichè bbimo già visto che Ṗ = κv 3 b ci bst trovre l componente di lungo b; dll espressione (t) = d ( ) dv dt dt + v 2 = d2 v dt 2 + v dv dt + 2v dv dt + v 3 vedimo che l componente lungo b è dt solo dll ultimo ddendo; ricordndo che v 3 = v 3 (κ n κ 2 t + τκb) bbimo che (Ṗ ) = τκ 2 v 6, d cui si conclude.

113 9.6 Curve pine 9.6 Curve pine 107 Si : J R 2 un curv pin regolre; in questo cso, considerimo come versore normle quello che costituisce con t un bse ortonormle positivmente orientt; pertnto l curvtur κ dell curv srà dt dll formul κ(s) = (s) n e potrà pertnto ssumere nche vlori negtivi. Si noti che non bbimo richiesto ll curv di essere fortemente regolre, pertnto è possibile che l curvtur si nnulli; un punto nel qule l curvtur si nnull è detto punto di flesso dell curv. Se (s) = (x(s), y(s)), llor t(s) = (x (s), y (s)) e n(s) = ( y (s), x (s)); dll definizione di curvtur t (s) = κn(s) e quindi (x (s), y (s)) = κ( y (s), x (s)); in prticolre x (s) = κy (s) e y (s) = κx (s). Con quest nuov definizione di versore normle e di curvtur continu vlere l formul di Frenet n (s) = κ(s)t(s). Inftti n (s) = ( y (s), x (s)) = ( κx (s), κy (s)). Se l curvtur è divers d zero, llor l quntità 1 κ è dett rggio di curvtur dell curv; il punto c(s) = (s) + 1 n(s), che bbimo visto essere il centro κ(s) dell circonferenz oscultrice è detto centro di curvtur. Vedimo or un ltr dimostrzione dell roposizione. Se = (s) è un curv pin con κ(s) = κ costnte, llor il suo supporto è contenuto in un circonferenz di rggio 1 κ. Dim. Considerimo i centri delle circonferenze oscultrici c(s) = (s) + 1 κ n(s)

114 108 9 Curve differenzibili e derivimo rispetto s c = t + 1 ( κt) 0, κ cioè c(s) = c è costnte; quindi (s) = c 1 κ n; in prticolre si h che (s) c = 1 κ. In generle, se considerimo un curv pin che non bbi curvtur costnte, i centri delle circonferenze oscultrici c(s) = (s) + 1 n(s) definiscono un curv, κ dett evolut di. roposizione. L evolut di è crtterizzt dll essere l inviluppo delle normli di ; cioè l rett tngente ll evolut in c(s) è normle ll curv in (s). Dim. Dll equzione dell evolut ottenimo (ttenzione: l evolut non è prmetrizzt con il prmetro rco!) ċ(s) = κ κ 2 (s) n(s). Vicevers, supponimo di vere un curv c(s) con l proprietà sopr descritt; vremo innnzitutto che ((s) c(s)) t = 0 (s) c(s) e quindi possimo scrivere c(s) = (s) + f(s)n(s); derivndo trovimo ċ(s) = t(s) + f (s)n(s) κ(s)f(s)t(s) O e quindi concludimo che f(s) = 1 κ(s)

115 9.6 Curve pine 109 Definizione. L involut I(s) di un curv (s) è un curv tle che l rett normle I(s) è tngente (s). roposizione. Un curv (s) possiede infinite involute, dte dll equzione ove è un costnte rele. Dim. I(s) = (s) + ( s)t, Abbimo che (I(s) (s)) n = 0 e quindi possimo scrivere derivndo trovimo I(s) = (s) + f(s)t(s); İ(s) = t(s) + f (s)t(s) + f(s)κ(s)n(s) d cui f (s) = 1 e quindi f(s) = s +. Esempi L cicloide E l curv descritt d un punto sull circonferenz di un cerchio che rotol senz striscire; le sue equzioni sono { x = t sin t. y = 1 cost Trovimo l lunghezz di un rco di cicloide (per t che vri d 0 2π); bbimo che ( ) 1 cost Ṗ(t) = ; sin t pertnto l = 2π cost dt = 2 2π 0 sin t [ 2 dt = 4 cos t ] 2π = Clcolimo or l curvtur dell cicloide; bbimo che

116 110 9 Curve differenzibili ( ) sin t (t) = ; cos t trovimo quindi che e il modulo dell curvtur è dto d Ṗ(t) (t) = (cost 1)k κ(t) = Ṗ(t) (t) Ṗ(t) 3 = 1 cost (2 2 cost) 3 2 = cost. Osservimo che il versore normle h direzione oppost rispetto l centro di curvtur, e quindi 1 κ(t) = cost. Trovimo or l equzione dell evolut dell cicloide; il versore normle è dto d ( ) sin t 1 n(t) = 1 cost 2 2 cost e quindi l equzione dell evolut è si trtt di un ltr cicloide. c(t) = ( ) t + sin t ; cost er finire trovimo le equzioni delle involute; per fr questo dobbimo trovre il prmetro rco 2 s(t) = Ṗ(t) dt = t 2 costdt = 4 cos 2 ; Le involute vrnno perciò equzioni I(t) = (t) + ( + 4 cos t ) t(t); 2 ne vedimo rppresentte due, che corrispondono i vlori = 0 e = 1.

117 9.6 Curve pine L ctenri E l curv di equzioni { x = t y = cosh t Clcolimo l curvtur dell ctenri; bbimo che ( ) 1 Ṗ(t) = ; sinh t ( ) 0 (t) = ; cosh t trovimo quindi che e il modulo dell curvtur è dto d 1 Ṗ(t) (t) = (cosh t)k κ(t) = Ṗ(t) (t) Ṗ(t) 3 = cosh t cosh 3 t = 1 cosh 2 t. Osservimo che il versore normle punt verso il centro di curvtur, e quindi l curvtur è positiv

118 112 9 Curve differenzibili κ(t) = 1 cosh 2 t. Trovimo or l equzione dell evolut dell ctenri; il versore normle è dto d ( ) sinh t 1 n(t) = 1 cosh t e quindi l equzione dell evolut è ( ) t sinh t cosh t c(t) =. 2 cosh t Vedimo nche i grfici di due involute (per = 0 e = 1):

119 10 Superfici differenzibili 10.1 Superfici Riemnnine Abbimo visto che in R 3 è possibile definire l lunghezz di un curv; ci chiedimo se è possibile fre l stess cos su un qulsisi vrietà differenzibile. L lunghezz di un curv γ : [, b] R 3 è definit in questo modo: l(γ) = b γ(t) dt = b γ(t) γ(t)dt, quindi ciò di cui bbimo bisogno per definire l lunghezz di un curv è l nozione di prodotto sclre di vettori tngenti. Cos è un prodotto sclre in uno spzio vettorile V? E un form bilinere, simmetric e definit positiv, cioè è un ϕ : V V R tle che 1. ϕ(λu + µv,w) = λϕ(u,w) + µϕ(v,w) 2. ϕ(u, λv + µw) = λϕ(u,v) + µϕ(u,w) 3. ϕ(u,v) = ϕ(v,u) 4. ϕ(u,u) 0 e = 0 u = 0 cui è ssocit un form qudrtic Φ : V R, così definit: Φ(u) = ϕ(u,u). Scelt un bse { 1,... n } di V, ϕ si ssoci l su mtrice rppresenttiv A = [α ij ] in questo modo: α ij = ϕ( i, j ). A questo punto, se v = (v 1,...v n ) e w = (w 1,...w n ) possimo clcolre il prodotto sclre in questo modo: ϕ(v,w) = [ v 1... v n ] n n1... nn Osservzione. E equivlente vere un form bilinere simmetric definit positiv o un form qudrtic definit positiv; inftti, se bbimo Φ : V R possimo definire w 1... w n ϕ(u,v) = 1 (Φ(u + v) Φ(u) Φ(v)) 2 Definizione. Un superficie riemnnin S è un superficie differenzibile lisci con un prodotto sclre ϕ definito sugli spzi tngenti che vri in modo liscio.

120 Superfici differenzibili Cioè esiste un ppliczione lisci Φ : TS R, che ristrett T p S è un form qudrtic definit positiv p S. Osservzione. er ogni p S l espressione del prodotto sclre ssocito Φ in un crt locle è dt d un mtrice simmetric [ ] ϕ11 (x, y) ϕ 12 (x, y) ϕ 21 (x, y) ϕ 22 (x, y) dove le ϕ ij sono funzioni lisce. E possibile dimostrre che ogni vrietà differenzibile può essere res vrietà Riemnnin: Teorem. Si S un vrietà differenzibile lisci; llor su S esiste un metric Riemnnin. Esempio Si S un sottovrietà di dimensione due di R n ; ciò equivle d vere un vrietà differenzibile S e un embedding F : S R n ; oichè F è un embedding, il suo differenzile d p F è un ppliczione linere iniettiv per ogni p S, e quindi possimo identificre T p S = d p F(T p S ) con un sottospzio vettorile di T p R n. Ottenimo perciò un metric riemnnin su S restringendo gli spzi tngenti d S l usule prodotto sclre di R n definito sugli spzi tngenti R n. Esempi Le superfici Riemnnine cui dedicheremo l mggior prte del corso sono le sottovrietà due dimensionli di R 3 ; vedimo due esempi di superfici Riemnnine che non sono sottovrietà due dimensionli di R H = {(x, y) R 2 y > 0} con il prodotto sclre dto dll seguente mtrice: 1 y y 2 Tle superficie è dett Semipino iperbolico. 2. T, il toro, visto come il prodotto di S 1 S 1 in R 4 ; tle superficie è dett Toro pitto.. A nuovi oggetti corrispondono nuovi isomorfismi: Definizione. Un isometri F : (S, ϕ) (S, ϕ ) è un diffeomorfismo tle che ϕ (df(u), df(v)) = ϕ(u,v) per ogni coppi di vettori u,v T p S e per ogni p, cioè è un diffeomorfismo che induce isometrie di spzi vettorili sugli spzi tngenti. Definizione. Un ppliczione differenzibile F : U S S è un isometri locle in p V se esiste un intorno V di F(p) tle che F : U V si un isometri. Se per ogni punto p S esiste un isometri locle di S in S in p, llor si dice che S è loclmente isometric S. Vedimo or come, utilizzndo l metric Riemnnin, possimo fre misure su un superficie; si ϕ l metric Riemnnin su S, e si γ : [, b] S un curv in S; llor

121 l(γ) = b γ(t) dt = b 10.1 Superfici Riemnnine 115 ϕ( γ(t), γ(t))dt L ngolo tr due curve α : I S e β : I S, che si tglino per t = t 0 è dto d cosθ = ϕ( α(t 0), β(t 0 )) α(t 0 ) β(t 0 ). Un ltro utilizzo dell metric è il clcolo di ree; per poter definire l re su un qulsisi superficie Riemnnin è però necessrio il concetto di 2-form differenzile. Vedremo più vnti un cso prticolre per superfici in R 3. Definizione. Si (S, ϕ) un superficie Riemnnin. er ogni coppi di punti x, y S si definisce d(x, y) come l estremo inferiore delle lunghezze delle curve C 1 trtti che congiungono x y. roposizione. L funzione d è un distnz su S, e l topologi che induce è l topologi di S. Osservzione. Tutte le quntità di cui bbimo discusso finor dipendono solmente dll metric: non è necessrio che un superficie si immers in R 3 per poterle definire; tli quntità si conservno per isometrie. Lo studio di queste quntità, e di ltre che possono essere espresse solmente in funzione dell metric si chim geometri intrinsec, ed è propri di tutte le superfici Riemnnine. Invece ci sono ltre quntità che possono essere definite solo per le sottovrietà di R 3, e dipendono dl modo in cui l superficie è immers in R 3 ; lo studio di questo secondo tipo di oggetti prende il nome di geometri estrinsec.

122 Superfici differenzibili 10.2 Superfici in R 3 - prim form fondmentle L oggetto principle del nostro studio d or in poi srnno le superfici sottovrietà di R 3 ; considerimo perciò un embedding F : S S R 3 e un crt locle di S, (U α,x α ); l composizione = F x 1 α è un embedding di un perto di R 2 in R 3. F x Questo motiv l seguente definizione Definizione. Un superficie elementre è un embedding : Ω R 3, dove Ω è un perto di R 2. Osservzione. Si : Ω R 3 un ppliczione differenzibile; llor, meno di restringere Ω, è un superficie elementre se e solo se u v 0. L superficie elementre S = (Ω) è un sottovrietà di R 3 ; si u = (u 1, u 2 ) Ω, e si p = (u) S. Lo spzio tngente T p S può essere identificto con un sottospzio vettorile di T p R 3, che su volt si può identificre con R 3, ssocindo l vettore tngente v T p R 3 l tern (v([x 1 ]),v([x 2 ]),v([x 3 ])) (x i sono le coordinte in R 3 ). Si ( y = ( (y 1, y 2 ) = 1 : S Ω; lo spzio tngente T p S h come bse cnonic, Trmite l identificzione sopr descritt, ricordndo che y 1 )p y 2 )p ( y i ) p ([x j ]) = x j (u 1, u 2 ) = j (u 1, u 2 ) u i u i trovimo che i vettori dell bse cnonic corrispondono, nell identificzione T p R 3 R 3 i vettori u1 e u2. D or in vnti, per lleggerire l notzione, denoteremo bitulmente con (u, v) le coordinte in Ω.

123 10.2 Superfici in R 3 - prim form fondmentle 117 Scrivimo l mtrice rppresenttiv dell metric indott su S d R 3 rispetto ll bse costituit d u e v : [ ] u G(u, v) = u u v v u v v Tle form bilinere si chim prim form fondmentle di S; l indicheremo spesso con I(, ). Vedimo or come si può definire e clcolre l re di un porzione di superficie elementre: si : Ω R 3 un superficie elementre; si R S un perto connesso, che bbi come frontier un curv regolre trtti omeomorf d un circonferenz. L chiusur R di un tle perto è dett regione semplice. Un prtizione di R è un suddivisione di R in un numero finito di regioni semplici R i, che hnno intersezione vuot o si intersecno lungo punti di bordo. Il dimetro di R i è il mssimo delle distnze (in R 3 ) dei punti di R i e l norm di un prtizione è il mssimo di questi dimetri. Un prtizione di ogni R i si dice rffinmento dell prtizione inizile. Dt un prtizione di R sceglimo punti p i R i e proiettimo R i ortogonlmente sul pino tngente; si R i l immgine di R i, e si A( R i ) l su re. Se il limite di i A( R i ) l tendere zero dell norm dell prtizione esiste, llor definimo l re di R in questo modo: A(R) = lim µ 0 i A( R i ). roposizione. Si : Ω R 3 un superficie elementre, e si R = (Q) un regione semplice e limitt. Allor A(R) = u v dudv Q Dim. Considerimo un suddivisione di Q in rettngolini Q i tli che le direzioni normli R i = (Q i ) non sino mi ortogonli. Si p i un punto in R i ; considerimo un isometri di R 3 che port p i nell origine con un trslzione e l direzione N i, normle R i in p i nell sse z. Si (u, v) l nuov espressione di nelle coordinte ( x, ȳ, z); l re dell regione R i, proiezione ortogonle di R i sul pino z = 0 è dt d A( R i ) = d xdȳ. R i Osservimo che, poichè nessun vettore normle R i è ortogonle N i, l componente lungo l sse z di u v è sempre divers d zero. Tle componente è il determinnte dell mtrice ( x, ȳ) (u, v) = x u x v ȳ u ȳ v

124 Superfici differenzibili Quindi possimo considerre il cmbio di coordinte x = x(u, v), ȳ = ȳ(u, v) e scrivere A( R ( x, ȳ) i ) = R i (u, v) dudv. oiché le isometrie di R 3 conservno l norm dei vettori, bbimo che u v = u v. Essendo l direzione normle R i quell dell sse z, in p i vle pertnto l funzione continu ε i (u, v) = ( x, ȳ) (u, v) = u v, ( x, ȳ) (u, v) u v è null in 1 (p i ). Sino m i e M i il minimo e il mssimo di ε i su Q i ; bbimo che m i dudv A( Q R i ) u v dudv M i dudv. i Q i Q i Sommndo su tutti i rettngolini ottenimo m i A(Q i ) A( R i ) u v dudv i i Q i M i A(Q i ). Rffinndo l suddivisione in modo che l su norm µ tend zero trovimo che m i e M i tendono zero per ogni i, e quindi esiste il limite di i A( R i ), ed è dto d A(R) = lim A( R i ) = u v dudv. µ 0 Abbimo pertnto dimostrto l proposizione. i Utilizzimo l prim form fondmentle per riscrivere l formul che dà l re; ricordndo che, se w 1 e w 2 sono vettori di R 3 llor [ ] w 1 w 2 2 w1 w = det 1 w 1 w 2 w 2 w 1 w 2 w 2 Q ottenimo Q A(R) = Q [ u det u u v v u v v u v dudv = ] det dudv = G dudv.

125 10.2 Superfici in R 3 - prim form fondmentle 119 Esempio Clcolimo l re dell sfer di rggio unitrio; un semisfer di rggio unitrio (poli esclusi) è un superficie elementre prmetrizzt nel modo seguente: x = cos u cosv y = cosusin v u ( π/2, π/2) v [0, π] z = sin u sin u cosv cosusin v u = sin u sin v, v = cos u cosv cos u 0 E quindi l prim form fondmentle è [ 1 0 ] 0 cos 2 u e il suo determinnte è quindi cos 2 u; Si Q = [ π/2 + ε, π/2 ε] [0, π] e si R l regione semplice (Q); l re di tle regione è A(S) = Q π/2 ε det G dudv = π cosu du = 2π cosε. π/2+ε Al tendere di ε zero trovimo che l re dell semisfer è 2π, e quindi l re dell sfer è 4π. Esempi Il ctenoide è l superficie elementre : R ( π, π) R 3 descritt dll seguente prmetrizzzione: x = cosh u cosv y = cosh u sin v z = u sinh u cosv cosh u sinv u = sinh u sinv, v = cosh u cosv 1 0 E quindi l su prim form fondmentle è [ ] cosh 2 u 0 g = 0 cosh 2 u 2. L elicoide è l superficie elementre : R R R 3 descritt dll seguente prmetrizzzione:

126 Superfici differenzibili x = U cosv y = U sin V z = V cosv U sin V U = sin V, V = U cosv 0 1 E quindi l su prim form fondmentle è [ ] 1 0 G = U 2. Osservzione. Il ctenoide e l elicoide sono isometrici. Considerimo il diffeomorfismo f di espressione locle { U = sinh u V = v Lo Jcobino di f è dto d J f = [ ] cosh u e si verific che g = J T f GJ f e quindi g(w 1,w 2 ) = w T 1 gw 2 = w T 1 J T f GJ f w 2 = G(df(w 1 ), df(w 2 )). 3. L pseudosfer è l superficie elementre : (π/2, π) (0, 2π) R 3 descritt dll seguente prmetrizzzione: x = sin u cosv y = sin u sin v z = cosu + ln(tn u 2 ) L su prim form fondmentle è [ ] cot g = 2 u 0 0 sin 2. u

127 10.2 Superfici in R 3 - prim form fondmentle 121 Osservzione. Il semipino iperbolico H e l pseudosfer sono loclmente isometrici. Considerimo il diffeomorfismo f di espressione locle x = v y = 1 sin u Lo Jcobino di f è dto d e si verific che g = J T f GJ f e quindi [ ] 0 1 J f = cos u sin 2 u 0 g(w 1,w 2 ) = w T 1 gw 2 = w T 1 JT f GJ fw 2 = G(df(w 1 ), df(w 2 )).

128 Superfici differenzibili 10.3 Opertore form e second form fondmentle Si : Ω S R 3 un superficie elementre, si { u, v } l bse cnonic per lo spzio tngente d S, e si N il versore normle, definito come N = u v u v. Definizione. L mpp di Guss o mpp sferic di S è l ppliczione S : S S 2 (u, v) N(u, v) Osservzione. Si h d (u,v) S( u (u, v)) = N u (u, v), d (u,v) ( v (u, v)) = N v (u, v). Dim. Si γ : J Ω S un curv differenzibile; il suo vettore tngente è dto d γ(t) = Ṗ(u(t), v(t)) = u u + v v; l immgine di tle vettore trmite ds è il vettore tngente ll curv S(γ(t)) = N(u(t), v(t)), cioè il vettore S(γ(t)) = Ṅ(u(t), v(t)) = N u u + N v v, d cui l tesi. Fissimo or un punto S e osservimo che c è un isomorfismo tr T S e T NS 2 pensti come sottospzi di R 3 ; per quest rgione L(v) := ds(v) è un endomorfismo dello spzio vettorile T S, detto opertore form o nche opertore di Weingrten. Si X = [x ij ] l mtrice di tle opertore rispetto ll bse u, v ; llor scriveremo L(v) = Xv; in prticolre vremo che L( u ) = x 11 u + x 21 v e L( v ) = x 11 u + x 22 v e quindi N u = x 11 u x 21 v (10.5) N v = x 12 u x 22 v (10.6)

129 10.3 Opertore form e second form fondmentle 123 roposizione. L è un endomorfismo utoggiunto rispetto ll prim form fondmentle, cioè I(L(v),w) = I(v, L(w)) Dim. cioé che Usimo l bse { u, v }. Dobbimo mostrre che I(L( u ), v ) = I( u, L( v )), I( N u, v ) = I( u, N v ); essendo l prim form fondmentle l restrizione del prodotto sclre di R 3 N u v = N v u. Ricordimo che N u = 0 = N v e derivimo l prim uguglinz rispetto v e l second rispetto u, ottenendo N v u = N uv e d qui l tesi. N u v = N uv Corollrio. onendo II(v, w) = I(L(v), w) si ottiene un form bilinere simmetric, dett II form fondmentle. Si B l mtrice ssocit tle form rispetto ll bse { u, v }. Si h che v T Bw = II(v,w) = I(L(v),w) = I(v, L(w)) = I(v, Xw)) = v T GXw e quindi che Clcolo di B: sppimo che B = GX Un modo per clcolre direttmente i coefficienti b ij è il seguente: b ij = II( i, j ) = I(L( i ), j ) = N i j ; derivndo l espressione N j = 0 trovimo che ij N = N i j, e quindi b ij = ij N Esempio Clcolimo l II form fondmentle del ctenoide e dell elicoide. Il ctenoide h equzioni x = cosh u cosv y = cosh u sinv. z = u L bse cnonic per lo spzio tngente è dt d

130 Superfici differenzibili e il versore normle è Clcolimo le derivte seconde sinh u cosv cosh u sin v u = sinh u sin v v = cosh u cosv 1 0 N = u v u v = cos v sin v sinh u 1 cosh u cosh u cosv sinh u sin v cosh u cosv uu = cosh u sin v uv = sinh u cosv vv = cosh u sinv Quindi, dll formul b ij = ij N ottenimo [ ] 1 0 B =. 0 1 L elicoide h equzioni x = U cosv y = U sin V z = V e quindi l bse cnonic dello spzio tngente è dt d cosv U sin V U = sin V V = U cosv 0 1 Il versore normle N = U V U V = sin V cosv U U 2 Clcolimo le derivte seconde 0 sin V UU = 0 UV = cosv 0 0 U cosv V V = U sin V 0 Quindi, dll formul b ij = ij N ottenimo 1 0 B = 1 + U U 2

131 10.4 Curvture 10.4 Curvture 125 Si : Ω S R 3 un superficie elementre, si { u, v } l bse cnonic per lo spzio tngente d S, e si N il versore normle. Si γ : I Ω S un curv su S, con prmetrizzzione nturle, e si k = κn il vettore curvtur di γ. Decomponimo tle vettore nell prte tngente d S e nell prte normle d S: k = k n N + k g L prte normle del vettore curvtur è dett vettore curvtur normle, mentre l prte tngente è dett vettore curvtur geodetic; lo sclre k n è detto curvtur normle di γ in p Curvtur normle roposizione. L curvtur normle di γ in p dipende solo dll direzione del vettore tngente γ; in prticolre si h: k n = II(t γ,t γ ). Dim. Le equzioni di γ sono γ(s) = (u(s), v(s)), quindi t γ = γ (s) = u u + v v. Le componenti di t γ sull bse cnonic dello spzio tngente sono pertnto (u, v ). Il vettore curvtur di γ è k = γ (s) = u u + v v + uu u uv u v + vv v 2 e quindi l su componente normle è k N = b 11 u 2 + 2b 12 u v + b 22 v 2 = II(t γ,t γ ). e bbimo mostrto l tesi.

132 Superfici differenzibili Si = (ū, v) un punto dell trcci di S; un pino normle d S in è un pino H pssnte per e prllelo N. L curv H S, con prmetro nturle, è dett sezione normle di S; per un tle curv (pin) si h n = ±N nel punto. Quindi l curvtur normle di un sezione normle è in modulo ugule ll curvtur dell curv, e h segno positivo o negtivo second che n e N sino o meno equiversi. Quindi d ogni direzione tngente ssocimo un curvtur, l curvtur normle, che h il significto geometrico di essere l curvtur di un sezione normle. Osservzione. Se l curv non h l prmetrizzzione nturle si può mostrre che k n = II( γ(s), γ(s)) I( γ(s), γ(s)) Curvture principli - Direzioni principli Abbimo visto come d ogni vettore tngente d S in si possibile ssocire l curvtur normle; considerndo l insieme dei versori tngenti S in, prmetrizzbile con un circonferenz, risult così definit un funzione k n : S 1 R che d ogni versore tngente e ssoci l su curvtur normle: k n (e) = II(e,e); evidentemente per tle funzione si h k n (e) = k n ( e). Definizione. Un punto dell superficie si dice umbilico o ombelicle se l ppliczione ppen costruit è costnte. oiché S 1 è comptto, k n ssume mssimo e minimo e, in un punto non umbilico tli vlori sono distinti. Teorem. (Curvture principli) Se non è un punto umbilico i vlori di mssimo e di minimo sono gli utovlori di L, e vengono ssunti nelle direzioni degli utovettori di L. Dim. Si {e 1,e 2 } un bse ortonormle di T S tle che k n (e 1 ) = k 1 si il mssimo di k n ; si k 2 = k n (e 2 ) = II(e 2,e 2 ) e k 12 = II(e 1,e 2 ) e si e θ = e 1 cos θ + e 2 sin θ il generico versore tngente. k n (e θ ) = II(e θ,e θ ) = k 1 cos 2 θ + 2k 12 sin θ cosθ + k 2 sin 2 θ Clcolndo l derivt rispetto θ (k n ) θ = 2 cosθ sin θ(k 2 k 1 ) + 2(cos 2 θ sin 2 θ)k 12 ; quindi, poichè k 1 = k n (0) è un vlore di mssimo, si h k 12 = 0, che implic che k 2 = k n (π/2) è il vlore di minimo (ricordimo che k n (θ) è periodic di periodo π). Inoltre I(L(e 1 ),e 2 ) = II(e 1,e 2 ) = k 12 = 0 e quindi L(e 1 ) è ortogonle e 2, e quindi L(e 1 ) = λ 1 e 1 ; m λ 1 = I(L(e 1 ),e 1 ) = II(e 1,e 1 ) = k 1 ; ne segue che L(e 1 ) = k 1 e 1. Anlogmente si mostr che L(e 2 ) = k 2 e 2.

133 10.5 Curvtur di Guss e curvtur medi 127 Definizione. I vlori k 1 e k 2 di mssimo e di minimo sono detti curvture principli di S in (ū, v) e le direzioni corrispondenti sono dette direzioni principli di S in (ū, v) Curvtur di Guss e curvtur medi Dl teorem sulle curvture principli segue che k 1 k 2 = det X k 1 + k 2 2 = Tr X 2 Definizione. L funzione K(u, v) = det X(u, v) è dett curvtur di Guss di S, mentre l funzione H(u, v) = 1 2 Tr X(u, v) è dett curvtur medi di S. Si : Ω S R 3 un superficie elementre e (u 0, v 0 ) un suo punto. Definizione. Il punto (u 0, v 0 ) si dice itto, se X(u 0, v 0 ) 0. Ellittico, se K(u 0, v 0 ) > 0. Iperbolico, se K(u 0, v 0 ) < 0. rbolico, se non è pitto e K(u 0, v 0 ) = 0. Osservimo che det B = det(gx) = det G detx e, ricordndo che det G > 0 trovimo che possimo leggere l ntur dei punti dl segno del determinnte di B itto, se B(u 0, v 0 ) 0. Ellittico, se det B(u 0, v 0 ) > 0. Iperbolico, se det B(u 0, v 0 ) < 0. rbolico, se non è pitto e det B(u 0, v 0 ) = 0. Osservzione. Si p S un punto ellittico; llor il segno di II(w, w) non dipende dl vettore tngente w. Inftti, essendo k 1 e k 2 concordi l curvtur normle h sempre lo stesso segno. Esempi I punti di un sfer o di un ellissoide sono ellittici. I punti di un ctenoide o di un iperboloide un fld sono iperbolici. I punti di un cilindro sono prbolici. roposizione. Un superficie che h solo punti pitti è un pino Dim. Si (0, 0) un punto dell superficie; poichè B 0 nche X 0 e quindi N u N v 0 e N(u, v) = N(0, 0). In prticolre, ( N) u = u N+ N u = 0 e nlogmente ( N) v = 0 e quindi (u, v) N = (0, 0) N. Concludimo che ((u, v) (0, 0)) N = 0, che è l equzione di un pino.

134 Superfici differenzibili Osservzione. Osservimo che nell stess superficie possono essere presenti punti di ntur divers; se sono presenti punti ellittici e punti iperbolici, essi sono seprti d curve di punti prbolici, dette linee prboliche, individute dll equzione det B = b 11 b 22 b 2 12 = 0 roposizione. Si = (ū, v) un punto non pitto di S. Allor H(ū, v) 2 K(ū, v) e vle l uguglinz se e solo se il punto è umbilico. Dim. oiché L è un opertore utoggiunto, l mtrice X è digonlizzbile; in prticolre il suo polinomio crtteristico λ 2 Tr Xλ + det X = λ 2 2Hλ + K è totlmente riducibile. Questo implic che il discriminnte dell equzione di secondo grdo λ 2 2Hλ + K = 0 è mggiore o ugule zero; pertnto = 4H 2 4K 0, e l uguglinz si h solo se le due soluzioni, cioè le curvture principli sono coincidenti; in tl cso l curvtur normle è costnte e il punto è umbilico. Esempio Clcolimo le curvture principli, le direzioni principli, l curvtur di Guss e l curvtur medi dell elicoide. Abbimo visto che G = [ ] u 2 quindi, ricordndo che X = G 1 B 1 0 B = 1 + u u 2

135 10.5 Curvtur di Guss e curvtur medi X = 1 + u (1 + u2 ) 3 Le curvture principli sono gli utovlori di L: k 1,2 = u2, mentre le direzioni principli sono gli utovettori di L: e 1,2 = ((1, 1 + u 2 ), (1, 1 + u 2 )). 1 K = (1 + u 2 ) 2 H = 0 Definizione. Le superfici che, come l elicoide hnno curvtur medi null, si dicono superfici minimli. roposizione. Si : Ω R 3 un superficie elementre, e si 0 = (u 0, v 0 ) un punto ellittico; llor esiste un intorno U di 0 tle che tutti i punti di U stnno dll stess prte del pino tngente ll superficie in 0. Si 0 = (u 0, v 0 ) un punto iperbolico; llor per ogni intorno U di 0 ci sono punti di U d prti diverse del pino tngente ll superficie in 0. Dim. ossimo supporre che (u 0, v 0 ) = (0, 0) e che (0, 0) = (0, 0, 0); sviluppimo in serie di Tylor (per lleggerire l notzione soprllineimo le quntità clcolte in (0, 0)) (u, v) = u u + v v ( uu u uv uv + vv v 2 ) + o(u 2 + v 2 ) L distnz con segno dl pino tngente è dt dll proiezione sul versore normle, e quindi d((u, v), π) = 1 2 ( uu u uv uv + vv v 2 ) N + o(u 2 + v 2 ) ricordndo che b ij = ij N segue che d(, π) = 1 2 ( b 11 u b 12 uv + b 22 v 2 ) + o(u 2 + v 2 ); posto w = u u + v v possimo scrivere d(, π) = 1 2 II(w, w) + o(u2 + v 2 ); In un punto ellittico il segno dell second form fondmentle non dipende dl vettore tngente, quindi l distnz dl pino tngente non cmbi di segno in un intorno del punto e perciò in tle intorno l superficie rimne dll stess prte del pino tngente, tglindolo solo nel punto di tngenz.

136 Superfici differenzibili In un punto iperbolico l second form fondmentle h segno diverso lungo le direzioni principli, quindi l distnz dl pino tngente cmbi di segno due volte in qulsisi intorno del punto e perciò in qulsisi intorno del punto l superficie h punti d prti diverse rispetto l pino tngente. Osservzione. In un punto prbolico ci possono essere invece diversi comportmenti: l superficie può stre dll stess prte del pino tngente, come nel cso del cilindro, oppure no, d esempio nei punti (0, v) dell superficie x = (u 3 + 2) cosv y = (u 3 + 2) sin v. z = u Osservzione. Anche in un punto pitto il comportmento dell superficie rispetto l pino tngente può essere di diversi tipi: l superficie può stre dll stess prte del pino tngente, come nel cso del punto (0, 0, 0) dell superficie z = x 4 +y 4, oppure no, d esempio nel punti (0, 0, 0) dell superficie z = x 3 3xy 2 (l sell di scimmi).

137 10.5 Curvtur di Guss e curvtur medi 131

138 Superfici differenzibili Interpretzione geometric dell curvtur di Guss Considerimo nuovmente l mpp di Guss S : S S 2. Il versore normle S in h l stess direzione del versore normle S 2 in N, mentre il verso può essere concorde o discorde, e questo dipende dl segno dell curvtur di Guss dell superficie; inftti poichè N u = L( u ) e N v = L( v ) si h che N u N v = L( u ) L( v ) = (det X) u v. Fissimo or un punto (ū, v) S; sceglimo un regione Ω che contiene (ū, v), clcolimo l re delle regioni Ω S e Ω N, immgini di Ω trmite e S, ponimo ε = signum(k(ū, v)) e studimo il limite del seguente rpporto lim Ω 0 εa Ω N A ΩS dove il limite è preso su un successione di regioni Ω n che convergono (ū, v) nel senso che ogni disco centrto in (ū, v) contiene Ω n per n sufficientemente grnde. lim Ω 0 εa Ω N A ΩS = ε lim n N Ω u N v dudv n Ω n u v dudv = lim n Ω n K(u, v) u v dudv. Ω n u v dudv er il teorem del vlor medio esistono punti (u n, v n ), (ū n, v n ) Ω n tli che Ω n K(u, v) u v dudv = A Ωn K(u n, v n ) u (u n, v n ) v (u n, v n ) Ω n u v dudv = A Ωn u (ū n, v n ) v (ū n, v n ). Quindi ε lim Ω 0 A ΩN A ΩS = lim n K(u n, v n ) u (u n, v n ) v (u n, v n ) u (ū n, v n ) v (ū n, v n ) oiché, per n (u n, v n ) (ū, v) e (ū n, v n ) (ū, v) trovimo finlmente che ε lim Ω 0 A ΩN A ΩS = K(ū, v).

139 Linee di curvtur - Linee sintotiche 10.5 Curvtur di Guss e curvtur medi 133 Definizione. Un curv su un superficie che h l proprietà di essere tngente in ogni punto d un direzione principle è dett line di curvtur. roposizione. Le linee di curvtur si trovno risolvendo l equzione differenzile x 21 u 2 + (x 22 x 11 )u v x 12 v 2 = 0 Dim. γ è un line di curvtur se e solo se γ (s) = u u + v v è un utovettore di L(s) per ogni s, cioè se esiste un funzione λ(s) tle che L(s)(γ (s)) = λ(s)γ (s). Utilizzndo l bse cnonic dello spzio tngente quest condizione si riscrive [ ][ ] [ ] u X(s) (s) u v = λ(s) (s) (s) v (s) Tle funzione esiste se e solo se per ogni s i vettori nei due membri sono proporzionli, cioè se si nnull il determinnte x 11u + x 12 v u x 21 u + x 22 v v, d cui l tesi. Corollrio. Se l mtrice X è digonle, llor le linee coordinte, cioè le curve del tipo (u, v 0 ), (u 0, v) sono linee di curvtur. iù in generle vle il seguente Teorem. Si : Ω R 3 un superficie elementre, e si (ū, v) S un punto non pitto. Allor esiste un intorno Ω di (ū, v) e un riprmetrizzzione di S, : Ω R 3 tle che le linee coordinte sono linee di curvtur. Definizione. Un direzione v T p S si dice sintotic se II(v, v) = 0, cioè se l curvtur normle in quell direzione è null. Osservzione. In un punto ellittico non ci sono direzioni sintotiche, in un punto prbolico ce n è un sol, e in un punto iperbolico ce ne sono due. Definizione. Un curv su un superficie che h l proprietà di essere tngente in ogni punto d un direzione sintotic è dett line sintotic. Le linee sintotiche sono dunque le soluzioni dell equzione differenzile b 11 u 2 + 2b 12 u v + b 22 v 2 = 0; in prticolre, se b 11 b 22 0 e B 0, le linee coordinte sono linee sintotiche Osservzione. Le linee sintotiche esistono solo dove K 0; le linee prboliche possono essere sintotiche (se corrispondono ll direzione di curvtur null, come nel cso del toro), oppure no (vedremo un esempio studindo le superfici di rotzione)

140 Superfici differenzibili roposizione. Se γ è un curv su S tle che in ogni punto di γ il pino oscultore γ in coincide con il pino tngente d S in llor γ è un line sintotic. Dim. Il vettore curvtur k γ di γ è contenuto nel pino oscultore γ e quindi è contenuto nel pino tngente d S. Abbimo perciò 0 = k γ N = (k n N + k g ) N = k n. Corollrio. Un rett su un superficie è un line sintotic.

141 10.6 Theorem Egregium 10.6 Theorem Egregium 135 L importnz dell curvtur di Guss è dt dl seguente teorem: Teorem. (Theorem Egregium) L curvtur di Guss K(u, v) è un quntità intrinsec, cioè dipende solo dll metric dt su S. er dimostrre questo risultto, in nlogi con qunto ftto nel cso delle curve, scrivimo le derivte dei vettori dell bse < u, v,n > sull bse stess: ij = Γij 1 u + Γij 2 v + b ij N (10.10) N i = x 1i u x 2i v (10.11) I coefficienti Γ k ij sono definiti d quest relzione e si chimno simboli di Christoffel. Tli coefficienti dipendono solo dll prim form fondmentle di S; inftti, poiché ij i = ( i i ) j 2 = (g ii) j 2 ii j = ( i j ) i ij i = (g ij ) i (g ii) j 2 moltiplicndo sclrmente le equzioni per u e v ottenimo i seguenti sistemi: Γ11g Γ11g 2 21 = (g 11) u 2 Γ11 1 g 12 + Γ11 2 g 22 = (g 12 ) u (g (10.12) 11) v 2 Γ12g Γ12g 2 21 = (g 11) v 2 Γ12 1 g 12 + Γ12 2 g 22 = (g (10.13) 22) u 2 Γ22 1 g 11 + Γ22 2 g 21 = (g 12 ) v (g 22) u 2 Γ22 1 g 12 + Γ22 2 g 22 = (g (10.14) 22) v 2 er ogni coppi di equzioni il determinte del sistem è g 11 g 22 g12 2 = det G, e quindi è sempre possibile ricvre i simboli di Christoffel in funzione delle derivte dei coefficienti dell metric. Dim. del Theorem Egregium Considerimo l identità ( uu ) v ( uv ) u = 0 e riscrivimol usndo le formule 10.10: Γ 1 11 uv + Γ 2 11 vv + b 11 N v + (Γ 1 11 ) v u + (Γ 2 11 ) v v + (b 11 ) v N+ Γ 1 12 uu Γ 2 12 uv b 12 N u (Γ 1 12 ) u u (Γ 2 12 ) u v (b 12 ) u N = 0

142 Superfici differenzibili Utilizzimo ncor un volt le formule per scrivere tutti i termini sull bse < u, v,n > e uguglimo zero il coefficiente di v : Γ 1 11 Γ Γ 2 11 Γ 2 22 b 11x 22 + (Γ 2 11 ) v Γ 1 12 Γ 2 11 Γ 2 12 Γ b 12x 21 (Γ 2 12 ) u = 0 ottenimo b 11 x 22 b 12 x 21 = Γ 1 11 Γ Γ 2 11 Γ (Γ 2 11 ) v Γ 1 12 Γ 2 11 Γ 2 12 Γ 2 12 (Γ 2 12 ) u e, ricordndo che, d B = GX segue b 11 = g 11 x 11 + g 12 x 12 e b 12 = g 11 x 12 + g 12 x 22 ottenimo g 11 det X = Γ 1 11 Γ Γ 2 11 Γ (Γ 2 11 ) v Γ 1 12 Γ 2 11 Γ 2 12 Γ 2 12 (Γ 2 12 ) u. Anloghi clcoli ottenuti ponendo zero il coefficiente di u o di N giungono formule del tipo g 12 det X =... g 22 det X =... e quindi, essendo lmeno uno dei g ij diverso d zero è possibile esprimere l curvtur di Guss per mezzo dei coefficienti dell prim form fondmentle e delle loro derivte. Corollrio. Superfici isometriche hnno l stess curvtur di Guss Esempio Clcolimo l curvtur di Guss del ctenoide e dell elicoide. L curvtur di Guss del ctenoide è K = det X = det B det G = 1 cosh 4 u L curvtur di Guss dell elicoide è K = det X = det B det G = 1 (1 + U 2 ) 2 Ricordndo che un isometri tr il ctenoide e l elicoide è dt d { U = sinh u V = v verifichimo che l curvtur di Guss è invrinte per isometrie. Esempio I risultti precedenti ci permettono di definire i simboli di Christoffel e l curvtur di Guss utilizzndo solo l metric, e quindi possimo d esempio clcolre l curvtur di Guss del semipino iperbolico. Ricordimo che, per quest superficie si h g 11 = g 22 = 1 y 2 e g 12 = g 21 = 0, quindi è semplice ricvre i simboli di Christoffel che sono Γ11 1 = Γ 12 1 = Γ 22 1 = 0, Γ12 1 = Γ22 2 = 1 e Γ 2 y 11 = 1 e l curvtur di Guss K = 1. y

143 10.7 Geodetiche 10.7 Geodetiche 137 Definizione. Un curv γ : I Ω S si dice geodetic se γ(t) N(u(t), v(t)) = 0. Osservzione. In prticolre, se γ è prmetrizzt con il prmetro nturle, l condizione è equivlente d vere vettore curvtur geodetic nullo. Osservzione. Se γ è un geodetic, llor γ è costnte. d Inftti, poichè γ è tngente S, si h γ γ = 0, e quindi ( γ γ) = 0. dt Vedimo or come si trovno le geodetiche. Si γ : I Ω S un curv su S; considerimo l componente tngente di γ γ = u ü + v v + uu u uv u v + vv v 2 γ = k k ü k + i,j ij u i u j Ricordndo l relzione ij = Γ 1 ij u + Γ 2 ij v + b ij N Scrivimo quindi, utilizzndo i simboli di Christoffel: γ = k k ü k + i,j ( k Γ k ij k + b ij N) u i u j γ = k (ü k + ij Γ k ij u i u j ) k + ij b ij u i u j N Quindi l prte tngente di γ è dt d (ü k + ij k Γ k ij u i u j ) k. ertnto il sistem di equzioni differenzili le cui soluzioni sono le geodetiche è il seguente: { ü + Γ11 1 u 2 + 2Γ12 1 u v + Γ22 1 v 2 = 0 v + Γ11 2 u2 + 2Γ12 2 u v + Γ v2 = 0 oiché i coefficienti di tle sistem sono quntità intrinseche, nche l nozione di geodetic è un nozione intrinsec; in prticolre un isometri port geodetiche in geodetiche. D risultti generli sulle equzioni differenzili bbimo il Teorem. (Esistenz e unicità locle delle geodetiche) er ogni punto p 0 S esistono un intorno U e un ε > 0 tli che per ogni p U e per ogni v T p S con v ε esiste un unic geodetic γ v : ( 1, 1) S tle che γ v (0) = p e γ v (0) = v.

144 Superfici differenzibili Corollrio. Fissto un punto p S e un versore tngente v T p S esiste un unic geodetic prmetrizzt con prmetro nturle pssnte per p che h v come versore tngente. Dim. er il teorem esiste ε > 0 e un unic geodetic γ(t) pssnte per p tle che γ(0) = εv. L curv γ 2 v(s) = γ( 2s ) è l geodetic cerct. ε Le geodetiche loclmente minimizzno l distnz, nel senso che si può dimostrre che Teorem. er ogni p S e ogni ε > 0 esiste un intorno U di p tle che ogni coppi di punti x, y U è congiunt d un geodetic γ v di lunghezz < ε con l proprietà che l(γ v ) = d(x, y). Osservzione. Ciò non signific che un geodetic minimizzi sempre l distnz tr due suoi punti (sfer). In generle, dti due punti di un superficie S, non è detto che esist un geodetic che li congiung (R 2 \{0}). Non è detto che le geodetiche costruite loclmente possno essere indefinitmente estese; se questo succede per ogni punto di S, llor S si dice geodeticmente complet. Sussiste il seguente Teorem. (Hopf-Rinow) Se S è geodeticmente complet llor ogni coppi di punti può essere congiunt d un geodetic minimle. Inoltre sono equivlenti i seguenti ftti: 1. S è geodeticmente complet. 2. Ogni sottoinsieme chiuso e limitto di S è comptto. 3. Lo spzio metrico (S, d) è completo. Esempi Le geodetiche dell sfer sono i cerchi mssimi; inftti il sistem di equzioni differenzili delle geodetiche dell sfer è il seguente: u + sin(u) cos(u)v 2 = 0 v 2 sin(u), cos(u) u v = 0 d cui si vede che i meridini (u = t, v = v 0 ) sono geodetiche. D ltr prte per ogni cerchio mssimo C esiste un isometri dell sfer che port un meridino in C e per ogni punto p ed ogni direzione tngente v esiste un cerchio mssimo pssnte per p e vente v come direzione tngente.

145 10.7 Geodetiche Le geodetiche del pino euclideo sono le rette. 3. Le geodetiche del semipino iperbolico sono le rette verticli e le semicirconferenze con centro sull sse delle scisse, opportunmente prmetrizzte Teorem di Guss-Bonnet locle e tringoli geodetici Si S un superficie in R 3 ; un regione semplice è un sottoinsieme R S, contenuto nel dominio di un crt locle (U, ϕ) e omeomorfo D 2, tle che il suo bordo si l trcci di un curv chius semplice γ regolre trtti. Sino θ 1,...θ k gli ngoli formti di vettori tngenti d γ nei suoi vertici. R θ Teorem. (Guss-Bonnet versione locle) K + k R i=1 γ i k g + k θ i = 2π i=1

146 Superfici differenzibili Considerimo su S un tringolo geodetico, cioè un tringolo i cui lti sono rchi di geodetic, e pplichimo d esso il teorem di Guss-Bonnet; gli ngoli formti di vettori tngenti nei vertici corrispondono gli ngoli esterni del tringolo, perciò, se α 1, α 2 e α 3 sono gli ngoli del tringolo vremo K + 3π α i = 2π e quindi R αi = π + Ad esempio, su un sfer di rggio unitrio (curvtur di Guss costnte e ugule uno) αi = π + A(T) R K dove T è l re del tringolo, e quindi l somm degli ngoli interni di un tringolo geodetico è mggiore di π, mentre sul semipino iperbolico (curvtur di Guss costnte e ugule -1) αi = π A(T) e quindi l somm degli ngoli interni di un tringolo geodetico è minore di π. Tringolo geodetico sull sfer Tringolo geodetico sul semipino iperbolico

147 10.8 Superfici di rotzione 10.8 Superfici di rotzione 141 Si γ : I R 3 un curv contenut nel pino y = 0, prmetrizzt col prmetro rco, di equzioni x = f(u), z = h(u), f > 0. oichè γ è prmetrizzt con il prmetro nturle bbimo f 2 + h 2 = 1 h f h f = κ. Considerimo l superficie ottenut fcendo ruotre tle curv ttorno ll rett x = y = 0, che vrà equzioni x = f cosv y = f sin v. z = h L bse cnonic per lo spzio tngente è dt d f cosv f sin v u = f sin v v = f cosv h 0 e il versore normle è h cos v h sin v f L mtrice dell prim form fondmentle è [ ] 1 0 G = 0 f 2 Clcolimo le derivte seconde

148 Superfici differenzibili f cosv f sin v f cosv uu = f sin v uv = f cosv vv = f sin v h 0 0 L mtrice B si scrive quindi L curvtur di Guss è quindi B = [ ] κ 0 0 fh K = det X = det B det G = κh f h > 0 κ > 0 h > 0 κ < 0 Osservimo che, per un superficie di rotzione l mtrice X è digonle X = κ 0 0 h f e quindi le linee coordinte sono linee di curvtur. Utilizzndo i sistemi 10.12, e possimo fcilmente clcolre i simboli di Christoffel delle superfici di rotzione, che sono tutti nulli trnne Γ 2 12 = f f Γ 1 22 = ff e quindi il sistem di equzioni differenzili delle geodetiche è il seguente: u ff v 2 = 0 v 2 f. f u v = 0 E immedito verificre che i meridini (u = s, v = v 0 ) sono geodetiche, mentre i prlleli (u = u 0, v = s) sono geodetiche se e solo se f (u 0 ) = 0. Esempio er concludere, clcolimo le geodetiche di un cilindro circolre retto di rggio

149 x = cosv y = sin v z = u nel punto (, 0, 0). Il sistem delle geodetiche è: { u = 0, v = 0, 10.8 Superfici di rotzione 143 e mmette come soluzioni u(t) = αt + α 1 e v(t) = βt + β 1 ; poiché stimo cercndo le geodetiche che per t = 0 pssno per (, 0, 0), che corrisponde u = 0, v = 0 trovimo α 1 = β 1 = 0, e quindi le geodetiche hnno equzioni x = cos(βt) y = sin(βt) ; z = αt si trtt quindi dell circonferenz nel pino z = 0 (per α = 0), dell rett verticle x =, y = 0 (per β = 0) e di eliche circolri per tutti gli ltri vlori di α e β.

150 Superfici differenzibili 10.9 Superfici rigte Un superficie che mmette un prmetrizzzione dell form (u, v) = Q(u) + vl(u) L(u) 0 è un superficie rigt (possimo supporre che L si un versore). Esempi x = cosu v sin u y = sin u + v cos u z = v. Iperboloide rigto 2. Se γ è un curv nello spzio, con prmetrizzzione nturle, l rigt delle tngenti quest curv è l superficie (u, v) = γ(u) + vγ (u). x = cosu 2 v sin u 2 y = sin u v cos u. z = u + 2 v 2 Rigt delle tngenti un elic cilindric 3. Se γ è un curv su un superficie S, l rigt delle normli d S lungo γ è l superficie (s, t) = γ(s) + tn(γ(s)).

151 10.9 Superfici rigte 145 Rigt delle normli ll pseudosfer lungo un curv Rigte sviluppbili Definizione. Un superficie rigt (u, v) = Q(u) + vl(u) L(u) 0 si dice sviluppbile se il versore normle è costnte lungo le rette, cioè se N v = 0. roposizione. Un superficie rigt è sviluppbile sse Q L L = 0. Dim. L direzione normle d un rigt è dt d u v = Q L + v L L. Se l rigt è sviluppbile, l direzione normle non cmbi lungo un rett dell rigtur, perciò Q L L L e quindi Q L L = 0. Vicevers, se Q L L = 0, i vettori Q,L e L sono linermente dipendenti, e quindi Q L e L L sono prlleli, e l direzione del versore normle non cmbi lungo le rette. Corollrio. Un superficie rigt sviluppbile h curvtur gussin null. Dim. Abbimo che uu = Q + v L, uv = L e vv = 0; dll condizione di sviluppbilità segue che b 12 = 0 e quindi [ ] 0 B =. 0 0 Un conseguenz importnte è che le rigte sviluppbili sono loclmente isometriche l pino. Sussiste inftti il Teorem. Due superfici regolri con curvtur gussin costnte ed ugule sono loclmente isometriche. roposizione. Un superficie elementre : Ω R 3 i cui punti sono tutti prbolici, m non pitti è un rigt sviluppbile. er il teorem esiste loclmente un prmetrizzzione in cui le linee coordinte sono linee di curvtur; in quest prmetrizzzione vremo x 22 = x 12 = x 21 = 0; dlle formule 10.5 e 10.6 trovimo che ciò implic N v 0 e quindi N è funzione solo di u. Inoltre, d (N ) v = N v + N v = 0 trovimo che nche N è funzione solo di u:

152 Superfici differenzibili N = p(u); Derivndo rispetto u, e ricordndo che N u = 0 trovimo N u = p (u). oichè l superficie non h punti pitti N u 0, quindi N e N u sono linermente indipendenti e il sistem { N = p(u) N u = p (u) corrisponde per ogni u fissto ll intersezione di due pini. Quindi le curve (u 0, v) sono delle rette. ossimo scrivere l loro equzione nel seguente modo: (u, v) = (u, 0) + v(n N u ) e quindi vedimo che queste superfici sono superfici rigte secondo l nostr definizione, ponendo Q(u) = (u, 0) e L(u) = N(u) N u (u). Inoltre, lungo le rette il versore normle N è costnte e quindi l superficie è un rigt sviluppbile. roposizione. Un rigt sviluppbile è un pino, un cono, un cilindro o l rigt delle tngenti d un curv. Dim. Nell dimostrzione precedente bbimo visto che un rigt sviluppbile si può srivere come (u, v) = (u, 0) + v(n N u ); cerchimo pertnto un curv β(t) sull superficie ll qule tutte le rette sino tngenti; se esiste, potremo riprmetrizzre l rigt nel modo seguente: (u, v) = β(u) + v β(u); pertnto, se un tle curv esiste ess è tle che β(u) N(u) Ṅ(u), quindi soddisf β N = β Ṅ = 0 e perciò β(t) N = δ(t) β(t) Ṅ = δ(t) β(t) N = δ(t) Se il determinnte dell mtrice le cui righe sono N,Ṅ, N è diverso d zero, si trov l curv β (che può eventulmente essere un solo punto), e quindi l superficie è un rigt delle tngenti oppure un cono. Altrimenti il rngo dell mtrice è due, N pprtiene d un pino π, N Ṅ h direzione costnte perpendicolre π e l rigt è un cilindro oppure il rngo dell mtrice è uno, N è costnte e S è un prte di pino. roposizione. Un curv γ su S è un line di curvtur se e solo se l rigt delle normli S lungo γ è sviluppbile. Dim. L rigt delle normli S lungo γ h equzioni (s, t) = γ(t) + s(n(γ(t))), ed è quindi sviluppbile se e solo se γ N Ṅ = 0; poiché γ e Ṅ gicciono nel pino ortogonle N l condizione di sviluppbilità è verifict se e solo se

153 10.9 Superfici rigte 147 γ Ṅ; osservimo inoltre che, se γ = uu + v v, llor Ṅ = N uu +N v v = L( γ), quindi l rigt è sviluppbile se e solo se L( γ) γ, cioè se e solo se γ è un direzione principle. Rigt delle normli ll pseudosfer lungo un line di curvtur

154 Superfici differenzibili roprietà globli di superfici in R 3 Teorem. Un superficie differenzibile comptt S R 3 è orientbile. roposizione. Un superficie differenzibile comptt S R 3 h lmeno un punto con curvtur di Guss positiv. Dim. Si Φ : S R l ppliczione definit ponendo Φ() =. oiché S è comptt e Φ è continu esiste un punto S ove Φ ssume mssimo. Si α : ( 1, 1) S un curv differenzibile con prmetro rco tle che α(0) = e denotimo con t 0 il versore tngente d α in. L funzione ϕ α = Φ α = α α : ( 1, 1) R h un mssimo ssoluto in 0, quindi ϕ α(0) = 0 e ϕ α(0) 0. Quindi 0 = ϕ α (0) = 2α(0) α (0) = 2 t 0. Tle uguglinz è ver per ogni curv α in S tle che α(0) =, quindi / è il versore normle S in. D ϕ α (0) 0 segue che 0 2α (0) α (0) + 2α (0) α(0) = 2 + 2α (0), cioè α (0) 1 e quindi α (0) 1. Clcolndo l curvtur normle κ n (t α ) = α (0) N(0) = α (0) 1. Quindi le curvture normli di S in non si nnullno mi; le curvture principli sono quindi concordi e K( ) > 0. Corollrio. Non esistono superfici comptte S R 3 con curvtur medi identicmente null. Dim. er il teorem precendente esiste un punto di S con K > 0; poichè sppimo dll proposizione 10.5 che H 2 K in tle punto non può essere H = Teorem di Guss-Bonnet globle Si S un superficie (topologic) comptt tringolt; sino V il numero di vertici, E il numero di spigoli e F il numero di fcce dei tringoli dell tringolzione. L crtteristic di Eulero di S è il numero χ(s) = V E + F; si può dimostrre che tle numero dipende solo dll clsse di omeomorfismo dell superficie S, e non dll tringolzione scelt e che, se S T g llor χ(s) = 2 2g, mentre se S U h llor χ(s) = 2 h. Teorem. (Guss-Bonnet versione globle) S R 3 superficie (orientbile) comptt di genere g; llor K = 2π(2 2g)

155 10.10 roprietà globli di superfici in R Dimo un ide di come si poss pssre dl teorem locle quello globle; considerimo un tringolzione coerentemente orientt di S, pplichimo il teorem locle d ogni tringolo e sommimo K + k g + θ ik = 2πF k = 1,..., 3 i = 1,...,F γ ik Gli integrli sul bordo dei tringoli si cncellno, poichè considerimo orientzioni opposte sugli spigoli comuni, quindi K = 2πF θ ik Mostrimo or che θik = 2πE 2πV Inftti, sommndo prim su ogni tringolo bbimo che θik = (3π ϕ ik ); Inoltre, si h che 3F = 2E e che ϕ ik = 2πV ; quindi concludimo che K = 2π(F E + V ) = 2πχ(S) = 2π(2 2g) Corollrio. S comptt R 3 con K > 0 è omeomorf un sfer. F Dim. Dl teorem di Guss Bonnet trovimo che 2π(2 2g(S)) > 0, quindi g(s) = 0 e S è un sfer.

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157 10.10 roprietà globli di superfici in R 3 151