Gianluca Occhetta. Note di Geometria. IV unità didattica. Università di Trento Dipartimento di Matematica Via Sommarive Povo (TN)

Transcript

1 Ginluc Occhett Note di Geometri IV unità didttic Università di Trento Diprtimento di Mtemtic Vi Sommrive ovo (TN)

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3 refzione Le presenti note rissumono gli rgomenti trttti nel corso di Geometri IV unità didttic; come tli non vogliono in lcun modo sostituire i liri di testo e gli ppunti, m essere un guid per ritrovre su di essi gli rgomenti svolti; spesso le dimostrzioni sono ridotte ll osso, e gli esempi vengono elencti senz l discussione che ne viene ftt lezione; inoltre tli note non sono proilmente esenti d errori e omissioni. Srò grto chi me ne segnlerà. Trento, Mggio 2003 Ginluc Occhett

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5 Indice rte I Topologi generle 1 Spzi topologici Generlità Confronto tr topologie Bse di un topologi Appliczioni continue Costruire nuovi spzi topologici Sottospzi e topologi indott rodotti e topologi prodotto Quozienti e topologi quoziente Lo spzio proiettivo rele R n L rett proiettiv rele R Fscio di rette Coppie di punti dimetrlmente opposti su S L circonferenz S Confronto tr R 1 e R Il pino proiettivo rele R Stell di rette Coppie di punti su S Disco con identificzione del ordo Confronto tr R 2 e R roprietà topologiche Spzi comptti Spzi di Husdorff Spzi connessi Spzi connessi per rchi Rissunto Superfici topologiche Vrietà topologiche Somm conness

6 VI Indice 5.3 Tringolzioni Orientilità Teorem di clssificzione I rte II Topologi lgeric 6 Omotopi Omotopi di ppliczioni continue Tipo d omotopi - Retrtti Il gruppo fondmentle Il gruppo fondmentle Omomorfismo indotto e teorem di invrinz per omotopi Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni Gruppi con presentzione Il teorem di Seifert-Vn Kmpen Il teorem di clssificzione delle superfici comptte II rte III Esercizi e temi d esme 9 Topologi generle Topologi lgeric Temi d esme IV unità

7 rte I Topologi generle

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9 1 Spzi topologici 1.1 Generlità Definizione. Si X un insieme e τ un fmigli di sottoinsiemi di X tle che 1. τ, X τ. 2. τ è chius rispetto ll unione; cioè, dt un collezione {U j } j J con U j τ j si h che U j τ. 3. τ è chius rispetto lle intersezioni finite; cioè, se U 1, U 2 τ llor U 1 U2 τ. L coppi (X, τ) è dett spzio topologico; l insieme τ è detto topologi, mentre gli elementi di τ sono chimti perti dell topologi. Esempi. 1. (X, (X)): Topologi discret. 2. (X, {, X}): Topologi grossoln (o nle). 3. (X, τ c ), τ c = { } {X} {U U c è un insieme finito}: Topologi cofinit. 4. (X = R n, τ ε ), U τ ε se U è l insieme vuoto, R n oppure è un unione di sottoinsiemi dell form B r (p) = {x R n d(x, p) < r}: Topologi euclide. 5. X = R n, τ = { } {R n } {B r (0) r > 0}: Topologi dei dischi. 6. X = R, τ = { } {R} {(, )}: Topologi delle semirette. 7. X = R, τ = { } {R} {[, ]} non è un topologi, perché non è chius rispetto ll unione. Ad esempio [ n, 1 1 ] = ( 1, 1) τ. n n N Definizione. Un sottoinsieme C X si dice chiuso nell topologi τ se C c è un perto di τ. roposizione. Si (X, τ) uno spzio topologico. 1., X sono chiusi. 2. L intersezione di chiusi è un chiuso. 3. L unione finit di chiusi è un chiuso. Definizione. Si x X; un intorno di x è un sottoinsieme W X che contiene un perto U che contiene x: x U W. Normlmente, dicendo intorno sottintenderemo intorno perto.

10 4 1 Spzi topologici Definizione. Si Y X; un punto y Y è interno Y se esiste un intorno W di y tle che W Y. L insieme di tutti i punti interni di Y si chim interno di Y, e si denot con Y. Equivlentemente Y è il più grnde perto di X contenuto in Y. Osservzione. Y è perto Y = Y. Dim. Esercizio. Definizione. Si Y X; un punto x X è di derenz per Y se per ogni intorno W x di x si h W x Y. L insieme di tutti i punti di derenz di Y in X si chim chiusur di Y in X, e si denot con Y. Equivlentemente Y è il più piccolo chiuso di X che contiene Y. Osservzione. Y è chiuso Y = Y. Dim. Esercizio. Definizione. L frontier di Y, denott con Y è l insieme Y \ Y. 1.2 Confronto tr topologie Si X un insieme e τ 1 e τ 2 due topologie su X. Definizione. Si dice che τ 1 è più fine di τ 2 (τ 1 τ 2 ) se ogni perto di τ 2 è un perto di τ 1. Si dice che τ 1 è strettmente più fine di τ 2 (τ 1 τ 2 ) se τ 1 è più fine di τ 2 ed esiste un perto di τ 1 che non è perto in τ 2. Quest è un relzione d ordine przile: due topologie diverse possono non essere confrontili. Esempio. Si X = R e sino τ 1 l topologi discret, τ 2 l topologi euclide, τ 3 l topologi dei dischi, τ 4 l topologi delle semirette. Si h che τ 1 τ 2, τ 3, τ 4, e che τ 2 τ 3, τ 4, mentre τ 3 e τ 4 non sono confrontili. 1.3 Bse di un topologi Definizione. Si (X, τ) uno spzio topologico. Un sottoinsieme B τ è un se per τ se ogni perto non vuoto di τ è unione di elementi di B. Esempio. Considerimo lo spzio topologico (R n, τ ε ); i dischi perti B r (p) = {x R n d(x, p) < r} costituiscono un se per τ ε. roposizione. (Crtterizzzione delle si) Se B è un se per un topologi τ su X, llor 1) x X B B t.c. x B. 2) B 1, B 2 B t.c B 1 B 2 e x B 1 B 2 B 3 B t.c. x B 3 B 1 B 2. Vicevers, dto un insieme X e un fmigli di sottoinsiemi B che h le proprietà 1) e 2) esiste un unic topologi su X che h B come se.

11 1.3 Bse di un topologi 5 L condizione 2. B1 B2 x B3 Dim. Supponimo che B si l se per un topologi. X è un perto, quindi si scrive come unione di elementi dell se: X = i I B i, quindi ogni punto di X è contenuto in lmeno uno dei B i. L insieme B 1 B 2 è un perto, quindi si puù scrivere come unione di elementi dell se: B 1 B 2 = i I B i; un qulsisi elemento dell intersezione è contenuto in lmeno uno di questi B i. Vicevers, supponimo che un fmigli di sottoinsiemi B verifichi 1) e 2) e costruimo l topologi in questo modo: un sottoinsieme Y X pprtiene τ se e solo se si può scrivere come unione degli elementi dell se. L insieme vuoto pprtiene nlmente τ, e X τ per l proprietà 1). L unione di elementi di τ è un unione di elementi dell se, quindi τ per come imo definito τ; sino infine U 1, U 2 τ e verifichimo che U 1 U 2 τ. Scrivimo U 1 = i I B i, U 2 = j J B j; llor U 1 U 2 = ( B i ) ( B j ) = (B i B j ). i I j J i I,j J er concludere è sufficiente osservre che, per l proprietà 2), B i B j si può scrivere come unione di elementi di B. Esempi. 1. X = R, B = {[, ) < } è l se per un topologi su R. 2. X = R, B = {[, ]} è l se per un topologi su R. Definizione. Due si B 1 e B 2 si dicono equivlenti se generno l stess topologi. roposizione. (Criterio di equivlenz delle si). Due si B 1 e B 2 sono equivlenti se e solo se sono verificte le seguenti condizioni: 1. B 1 B 1, x B 1 B 2 B 2 t.c. x B 2 B B 2 B 2, x B 2 B 1 B 1 t.c. x B 1 B 2. Esempio. In R 2 i dischi perti e i rettngoli perti sono si per l stess topologi (quell euclide). B1 B1 B2 x x B2

12 6 1 Spzi topologici 1.4 Appliczioni continue Definizione. Sino (X, τ) e (Y, σ) due spzi topologici. Un ppliczione f : X Y si dice continu se le controimmgini di perti di Y vi f sono perti di X, cioè se U σ si h che f 1 (U) τ. Osservzione. L continuità di un ppliczione dipende dlle topologie di X e di Y. Esempi. 1. f : R R definit d f(x) = x 2 è continu con l topologi euclide, non lo è con l topologi delle semirette. 2. (X, τ 1 ) (X, τ 2 ); f = Id X è continu τ 1 τ X h l topologi discret Y, f : X Y f è continu. (er ) si scelgno Y = X e f = Id X ) 4. Y h l topologi nle X, f : X Y f è continu. (er ) si scelgno X = Y e f = Id Y ) L definizione di continuità si può dre nche utilizzndo i sottoinsiemi chiusi. Inftti roposizione. f : X Y è continu chiuso in Y. Dim. Esercizio. f 1 (C) è chiuso in X per ogni C Definizione. Un ppliczione f : X Y si dice pert se f(u) è perto in Y per ogni U perto in X. Un ppliczione f : X Y si dice chius se f(c) è chiuso in Y per ogni C chiuso in X. Osservzione. f può essere pert, chius, pert e chius senz essere continu. Trovre degli esempi come esercizio. roposizione. Sino X, Y e Z tre spzi topologici, f : X Y e g : Y Z due ppliczioni continue. Allor l ppliczione compost h = g f : X Z è continu. Qundo due spzi topologici sono uguli? Definizione. Due spzi topologici X e Y si dicono omeomorfi se esistono due ppliczioni continue f : X Y e g : Y X t.c. g f = Id X e f g = Id Y. f e g prendono il nome di omeomorfismi; un omeomorfismo è cioè un ppliczione continu, iunivoc e con invers continu (iunivoc e icontinu). Indicheremo l omeomorfismo tr due spzi topologici con questo simolo:. Definizione. Un proprietà è invrinte per omeomorfismi se ogniqulvolt uno spzio topologico X h l propriet, llor ogni spzio topologico omeomorfo X h l proprietà. Un proprietà invrinte per omeomorfismi è dett proprietà topologic.

13 2 Costruire nuovi spzi topologici 2.1 Sottospzi e topologi indott Si (X, τ) uno spzio topologico e S X un suo sottoinsieme non vuoto. Definizione. τ S = {U S U τ} è un topologi su S, dett topologi indott d τ su S. Osservzione. Considerimo l inclusione i : S X; si h che A X i 1 (A) = A S. L topologi indott rende continu l inclusione, nzi è l topologi meno fine che rende continu l inclusione. Osservzione. Gli perti di τ S non sono necessrimente perti di τ. Esempi. 1. X = R, S = I := [0, 1] 2. X = R n+1, S = S n := {x R n+1 x = 1} Sfere 3. X = R n, S = D n := {x R n x 1} Dischi Esempi. [, ] [c, d]; inftti [, ] I per mezzo di f : [, ] [0, 1] definit d y = (x )/( ). (, ) (c, d). (0, 1) = I (1, + ) trmite y = 1/x. (, ) R; inftti (, ) ( π/2, π/2) e ( π/2, π/2) R trmite y = tn(x). (, ) [, ]. Lo vedremo più vnti. S n \ R n trmite l proiezione stereogrfic. 2.2 rodotti e topologi prodotto Sino (X, τ X ) e (Y, τ Y ) due spzi topologici. Definizione. L topologi prodotto τ X Y su X Y è l topologi su X Y, che h come se B X Y = {U X V Y U X τ X, V Y τ Y }. Un perto dell form U X V Y viene detto perto elementre dell topologi prodotto.

14 8 2 Costruire nuovi spzi topologici Considerimo il seguente digrmm: π X X Y π Y X Y Le proiezioni sui fttori sono ppliczioni continue, nzi, l topologi prodotto è l topologi meno fine che rende continue le proiezioni. Osservzione. le proiezioni sono ppliczioni perte. Dim. Si A un perto di X Y ; per mostrre che π X (A) è perto mostro che ogni punto è punto interno. Si x π X (A); scelgo y π Y (A) t.c. (x, y) A. A è unione di perti elementri, quindi (x, y) U X V Y A; si h quindi che x π X (U X V Y ) = U X π X (A) e dunque x è punto interno di π X (A). Y V U A X roposizione. y Y lo spzio topologico X {y}, con l topologi indott, è omeomorfo d X. Dim. Considerimo l ppliczione f : X {y} X definit ponendo f(x, y) = x; f = π X i è continu e iiettiv; mostrimo che è pert. Si W un perto di X {y}; W è intersezione di un perto di X Y con X {y}: W = ( j J(U j V j )) (X {y}); quindi W = j J (U j {y}) dove J = {j J y V j }. Si h pertnto che f(w ) = j J U j. roposizione. (roprietà universle dei prodotti) Si A uno spzio topologico e f : A X, g : A Y due ppliczioni. Si h : A X Y l ppliczione definit d h() = (f(), g()); Y A g h π Y X Y f π X X llor h è continu se e solo se f e g sono continue. Dim. ) è ovvi, in qunto f = h π X e g = h π Y. ) Doimo dimostrre che h è continu. Sceglimo un perto W X Y ; per ogni punto (x, y) W esiste un perto elementre U x V y tle che (x, y)

15 2.3 Quozienti e topologi quoziente 9 U x V y W e quindi h 1 (x, y) h 1 (U x V y ) h 1 (W ). Fcendo vrire (x, y) W ottenimo h 1 (W ) = h 1 (U x V y ); è quindi sufficiente mostrre che h 1 (U x V y ) è un sottoinsieme perto di A. h 1 (U x V y ) = { A h() U x V y } = = { A f() U x, g() V y } = { f 1 (U x ) g 1 (V y )} e l tesi segue dll continuità di f e g. Definizione. Si f : X Y un ppliczione; il grfico di f è l insieme Γ f = {(x, y) X Y f(x) = y} = {(x, f(x))} roposizione. Se f è continu, llor Γ f X. Dim. Esercizio. 2.3 Quozienti e topologi quoziente Definizione. Si f : X Y un ppliczione suriettiv d uno spzio topologico X su un insieme Y. L topologi più fine che rende f continu è dett topologi quoziente. E costituit di sottoinsiemi Csi significtivi: τ f = {U Y f 1 (U) è perto in X} 1. X spzio topologico, relzione di equivlenz in X, X/ insieme quoziente, p : X X/ proiezione sul quoziente. 2. Contrzione d un punto di un sottoinsieme: A X; definisco l relzione A in questo modo: x A x x, x A. Denotimo X/ A con X/A. Esempi. 1. X = R, A = [ 1, 1]. 2. X = R, A = ( 1, 1). roposizione. (roprietà universle del quoziente) Si f : X Y un ppliczione suriettiv di spzi topologici tle che Y i l topologi quoziente rispetto d f; si poi g : Y Z un ppliczione tr spzi topologici. Allor g f è continu se e solo se g è continu. Dim. Se g è continu llor g f è continu perché composizione di ppliczioni continue. Vicevers supponimo che g f si continu. Si V un perto di Z; doimo dimostrre che g 1 (V ) è perto in Y ; sppimo che f 1 (g 1 (V )) è perto in X per l continuità di g f; m un sottoinsieme di Y è un perto dell topologi quoziente se e solo se l su controimmgine trmite f è un perto.

16 10 2 Costruire nuovi spzi topologici roposizione. (Omeomorfismi di quozienti) Si f : X Y un omeomorfismo; sino X e Y relzioni di equivlenz in X e in Y. Se f pss l quoziente ( x, x X x X x f(x) Y f(x )) llor X/ X Y/ Y. Dim. Considerimo il seguente digrmm X f Y π X π Y X/ X Y/ Y e definimo F : X/ X Y/ Y in questo modo: F ([x]) = [f(x)]. F è en definit perché f pss l quoziente. Inftti, se x X x si h che f(x) Y f(x ) e quindi F ([x ]) = [f(x )] = [f(x)]. F è continu per l proprietà universle del quoziente; inftti F π X è continu, essendo F π X = π Y f e quest ultim ppliczione è continu in qunto composizione di ppliczioni continue. F è iniettiv; inftti F ([x]) = F ([x ]) [f(x)] = [f(x )] f(x) Y f(x ) x X x [x] = [x ]. F è suriettiv perché f lo è: preso [y] Y/ Y sppimo che esiste x X tle che f(x) = y per l suriettività di f, e imo F ([x] = [f(x)] = [y]). F 1 è continu per l proprietà universle del quoziente (π Y F 1 = π X f 1 è continu). Osservzione. Quest proposizione giustific il procedimento di tgli e incoll che vedremo più vnti. Definizione. Sino (X, x 0 ) e (Y, y 0 ) due spzi topologici in cui è stto scelto un punto, detto punto se; l unione un punto di questi due spzi è lo spzio topologico (X, x 0 ) (Y, y 0 ) = (X Y )/ dove identific x 0 con y 0. Esempi. 1. Contrzioni di un sottoinsieme un punto ) X = I, A = {0, 1}; llor I/A S 1 ; inftti, considerimo l ppliczione e : I S 1, che mnd t in (cos 2πt, sin 2πt); tle ppliczione pss l quoziente, e pertnto risult definit un ppliczione g : I/A : S 1 che f commutre il digrmm f I g e I/A S 1 E immedito verificre che g è iunivoc; g è continu per l proprietà universle del quoziente; si può mostrre (lo fremo più vnti) che nche g 1 è continu.

17 2.3 Quozienti e topologi quoziente 11 ) X = S 1 I, A = S 1 {1}; X/A D 2. c) X = S 1, A = {, Q} o A = {, Q, R}; X/A S 1 S 1 o X/A 3 S 1. d) X = S 2, A = S 1 ; X/A S 2 S Relzioni d equivlenz. X = I I R 2 ) (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = y ; Cilindro ) (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = 1 y ; Nstro di Moeius c) Toro d) Bottigli di Klein e) S 2 f) R 2 Q Q Q ) ) Q c) R Q R d) e) R f) R

18 12 2 Costruire nuovi spzi topologici Osservzione. Gli ultimi due spzi (l sfer e il pino proiettivo) possono essere visti nche come quozienti di D 2 (nzi, questo è il modo con cui solitmente vengono rppresentti come quozienti): Q

19 3 Lo spzio proiettivo rele R n Considerimo lo spzio topologico dto d R n+1 \ {0} con l topologi indott d quell euclide e in tle spzio considerimo l relzione d equivlenz definit in questo modo: v, w R n+1 \ {0}, v w v = λw, λ R L insieme quoziente viene denotto con imo l proiezione nturle v 1 v 2... v n+1 = R n := Rn+1 \ {0} ; π : R n+1 \ {0} R n. λw 1 λw 2... λw n+1, λ R Definizione. L insieme R n dotto dell topologi quoziente rispetto ll proiezione nturle π è detto spzio proiettivo rele n-dimensionle. Vedimo nel dettglio lcuni csi prticolri di spzio proiettivo rele: l rett proiettiv rele e il pino proiettivo rele. 3.1 L rett proiettiv rele R 1 Supponimo che n = 1 e quindi come spzio vettorile di prtenz considerimo R 2 ; in questo cso vremo l rett proiettiv rele. Voglimo costruire un modello di R 1, ossi uno spzio topologico che si omeomorfo R 1 ; in prtic costruiremo un insieme che si in corrispondenz iunivoc con R 1 e lo doteremo dell topologi indott dll iiezione (gli perti del modello srnno i sottoinsiemi che corrispondono gli perti di R 1 ) in modo che l iiezione si l omeomorfismo cercto.

20 14 3 Lo spzio proiettivo rele R n Fscio di rette Ad ogni punto di R 2 diverso d 0 posso ssocire l rett che pss per quel punto e per 0. Tutti i punti di un stess rett pprtengono un unic clsse di equivlenz dell relzione e vicevers un clsse di equivlenz individu un unic rett per l origine di R 2 r R 2 l O Allor c è un corrispondenz iunivoc tr {punti di R 1 } {rette di R 2 pssnti per 0 }; inoltre l proiezione nturle π corrisponde d ssocire d ogni punto di R 2 \ {0} l rett di R 2 per 0 che pss per quel punto. L topologi. A cos corrispondono gli perti di R 1? er definizione di topologi quoziente, un perto di R 1 è un sottoinsieme di R 1 formto d clssi di equivlenz di l cui controimmgine trmite π è perto in R 2 rispetto ll topologi euclide: U R 1 è perto π 1 (U) R 2 \ {0} è perto. Usndo l iiezione sopr citt, imo che un perto di R 1 è un insieme di rette di R 2 per 0 i cui punti formno un perto di R 2 con l topologi euclide. R 2 O

21 3.1.2 Coppie di punti dimetrlmente opposti su S 1 Considerimo l circonferenz S 1 di centro 0 e rggio 1 in R 2 S 1 : x 2 + y 2 = L rett proiettiv rele R 1 15 Ogni rett di R 2 per O tgli l circonferenz in due punti dimetrlmente opposti e vicevers, dt un coppi di punti dimetrlmente opposti sull circonferenz, ess individu un unic rett di R 2 per 0 r R 2 B l A O A B C è dunque un corrispondenz iunivoc {punti di R 1 } {coppie di punti dimetrlmente opposti su S 1 } e quindi imo un ltro modello di R 1. L topologi. A cos corrispondono gli perti di R 1? Essi sono intersezioni di perti del modello di R 1 dto dl fscio di rette con S 1 ; vedimo in figur un elemento dell se degli perti di questo modello di R 1. R 2 O L circonferenz S 1 Considerimo or solo l semicirconferenz nel semipino {y 0}; tutte le rette di R 2 per 0 trnne l rett orizzontle tglino l semicirconferenz in un solo punto, mentre l rett orizzontle l tgli nei due punti con ordint null.

22 16 3 Lo spzio proiettivo rele R n R 2 B l O A A Un ltro modello di R 1 è dunque dto dll semicirconferenz con i due estremi A identificti. L topologi. A cos corrispondono gli perti di R 1? Ci sono due tipi diversi di elementi dell se dell topologi: quelli che contengono il punto A e quelli che non lo contengono. Entrmi i tipi di perti sono, come nel cso precedente, intersezioni di perti di R 1 con l semicirconferenz; li vedimo rppresentti entrmi in figur. R 2 2 A 1 O 1 A Questo modello di R 1 è dunque omeomorfo llo spzio quoziente dto d I con gli estremi identificti e quindi è omeomorfo S = A A 1 A Confronto tr R 1 e R 1 Tornimo l modello dell rett proiettiv dto dl fscio di rette di R 2 per 0 e considerimo l rett y = 1 (omeomorf R 1 )

23 2 r R 3.2 Il pino proiettivo rele R 2 17 s l O Ogni rett del fscio, trnne quell orizzontle, intersec l rett y = 1 in un punto; l rett orizzontle invece non h intersezione con l rett y = 1. Allor, dl punto di vist insiemistico, imo che R 1 è R 1 più un punto, detto punto ll infinito. Inoltre, dl punto di vist topologico R 1 meno quel punto è omeomorfo R Il pino proiettivo rele R 2 Supponimo or che n = 2 e quindi considerimo lo spzio vettorile R 3 ; in questo cso vremo il pino proiettivo rele. Anche per R 2 voglimo costruire un modello Stell di rette Come nel cso dell rett proiettiv, c è un iiezione R 2 {rette di R 3 pssnti per 0}; inoltre l proiezione nturle π corrisponde d ssocire d ogni punto di R 3 \ {0} l rett di R 3 per 0 che pss per quel punto. r R 3 l O

24 18 3 Lo spzio proiettivo rele R n L topologi. Gli perti di R 2 sono gli insiemi di rette di R 3 per 0 i cui punti formno un sottoinsieme perto di R 3 nell topologi euclide. R 3 O Coppie di punti su S 2 Sceglimo in R 3 l sfer S 2 di centro 0 e rggio 1 S 2 : x 2 + y 2 + z 2 = 1. Ogni rett per 0 tgli l sfer in due punti dimetrlmente opposti e vicevers, dt un coppi di punti dimetrlmente opposti sull sfer, ess individu un unic rett di R 3 per 0. R 3 l O A A Quindi un ltro modello di R 2 è dto dlle coppie di punti dimetrlmente opposti su un superficie sferic. L topologi. Un se per gli perti in questo modello di R 2 è formt dlle coppie di clotte sferiche perte dimetrlmente opposte, che sono intersezioni degli perti nel modello precedente con l sfer S 2.

25 3.2 Il pino proiettivo rele R 2 19 R 3 O Disco con identificzione del ordo Dividimo or l sfer nelle due clotte seprte dll equtore (i.e. dll circonferenz sul pino z = 0). Considerimo solo l clott Nord: le rette di R 3 per 0, trnne quelle che pssno per l circonferenz equtorile, tglino l clott in un solo punto, mentre quelle che pssno per l equtore l tglino in un coppi di punti dimetrlmente opposti. R 3 l B O A B roiettndo l clott sul pino z = 0, ottenimo il disco delimitto dll circonferenz { x 2 + y 2 = 1 z = 0 Allor se ssumimo che i punti dimetrlmente opposti di quest circonferenz individuino lo stesso punto, imo un nuovo modello di R 2, come disco con un opportun identificzione sul ordo.

26 20 3 Lo spzio proiettivo rele R n A A L topologi. Gli perti che non intersecno il ordo del disco sono gli stessi dell topologi euclide, mentre quelli che intersecno il ordo sono come in figur Confronto tr R 2 e R 2 Tornimo l modello di pino proiettivo come stell di rette di R 3 per {0}, e considerimo il pino Π : z = 1 (che è omeomorfo R 2 ). Ogni rett dell stell, trnne quelle che gicciono sul pino z = 0, tglino il pino Π in un punto, mentre le rette sul pino z = 0 non hnno intersezione con Π. R 3 Π O Quindi R 2 meno un fscio di rette è in corrispondenz iunivoc con R 2 (in reltà quest corrispondenz iunivoc è un omeomorfismo, se su R 2 prendimo l topologi euclide). Dunque R 2 è un R 2 cui sono stti ggiunti dei punti che corrispondono lle rette di un fscio di rette, e cioè un R 1.

27 4 roprietà topologiche 4.1 Spzi comptti Definizione. Si X uno spzio topologico; un ricoprimento perto di X è un fmigli di perti U = {U i } i I tle che X i I U i. Definizione. Si U un ricoprimento di X; V = {V j } j J è un sottoricoprimento di U se j J i I t.c. V j = U i. Definizione. Uno spzio topologico X si dice comptto se e solo se per ogni ricoprimento perto U è possiile trovre un sottoricoprimento finito V. Esempi. 1. X finito è comptto con qulsisi topologi. 2. X qulsisi con l topologi grossoln è comptto. 3. X infinito con l topologi discret non è comptto. 4. X qulsisi con l topologi cofinit è comptto. 5. R con l topologi euclide non è comptto. Osservzione. Se (X, τ) è comptto, llor (X, σ) è comptto se τ σ. Se (X, τ) non è comptto, llor (X, σ) non è comptto se τ σ. roposizione. Si f : X Y un ppliczione continu, e si X uno spzio comptto. Allor f(x) è uno spzio comptto. Dim. Si V = {V j } j J un ricoprimento perto di f(x); llor U = {U j := f 1 (V j )} j J è un ricoprimento perto di X, poiché f è continu. Essendo X comptto, esiste un sottoricoprimento finito {U 1 = f 1 (V 1 ),..., U n = f 1 (V n )}; llor {V 1,... V n } è un sottoricoprimento finito di V; inftti, preso y f(x), esiste x tle che y = f(x) e x U k per qulche k. Ne segue che y V k, poichè f(f 1 (V k )) V k. Corollrio. 1. Il quoziente di uno spzio comptto è comptto. 2. L compttezz è un proprietà invrinte per omeomorfismi.

28 22 4 roprietà topologiche Dimo senz dimostrzione il seguente risultto fondmentle: Teorem. L intervllo I è comptto. Corollrio. 1. Gli intervlli chiusi [, ] sono comptti. 2. S 1 è comptto. Teorem. X, Y sono spzi topologici comptti se e solo se X Y è uno spzio topologico comptto. Dim. ) Le proiezioni sono continue. ) Si U = {W j } j J un ricoprimento perto di X Y ; ogni W j è unione di perti elementri U jk V jk ; ottenimo così un nuovo ricoprimento perto di X Y, V = {U jk V jk } j J,k K. Y V i x X er ogni x X il sottospzio {x} Y Y è comptto; quindi esiste un sottoricoprimento di V finito che copre {x} Y, {Ui x Vi x } i=1,...n e Ui x, Vi x sono prticolri U jk e V jk. Si Ũx = n i=i U i x ; l vrire di x X gli Ũx costituiscono un ricoprimento perto di X, dl qule, per l compttezz di X è possiile estrrre un sottoricoprimento finito {Ũx t } t=1,...m. x U U xt x V i xt U jk x V jk W j L fmigli {Ũx t V x t i } i=1,...n t=1,...m è un ricoprimento finito di X Y ; si h che Ũ xt V x t i U jk V jk W j, per un opportun scelt di j e di k, e quindi nche dll copertur inizile si può estrrre un sottocopertur finit. Corollrio. I n è comptto, R n non è comptto.

29 4.2 Spzi di Husdorff 23 roposizione. (Chiuso di Comptto) Un sottoinsieme chiuso C di uno spzio comptto X è uno spzio comptto (con l topologi indott). Dim. Si U = {U i } i I un ricoprimento perto di C; poichè C h l topologi indott, U i = V i C, con V i perto di X. V = {V i } i I {C c } è un ricoprimento perto di X; poiché X è comptto è possiile estrrre un sottoricoprimento finito V 1,..., V n, C c ; llor U 1,... U n costituiscono un sottoricoprimento finito di U. Corollrio. 1. Si C R n chiuso e limitto. Allor C è comptto. 2. S n, D n sono comptti. R n è comptto. Esistono ltre nozioni di compttezz, oltre quell d noi considert, dett nche compttezz per ricoprimenti; prticolrmente importnte è l compttezz per successioni. Definizione. Un successione {x n } n N si dice convergente l punto x X se per ogni intorno U di x esiste n 0 N tle che x n U per ogni n n 0. Definizione. Uno spzio topologico X si dice comptto per successioni se ogni successione mmette un sottosuccessione convergente. Definizione. Uno spzio topologico X verific il rimo ssiom di numerilità se per ogni punto x X esiste un fmigli di intorni Un x n N tle che per ogni intorno V di x esiste n N tle che U x n V. Definizione. Uno spzio topologico X verific il Secondo ssiom di numerilità se mmette un se numerile per l topologi. Le due nozioni di compttezz non sono equivlenti: imo che se X è comptto per ricoprimenti e verific il primo ssiom di numerilità llor X è comptto per successioni, mentre il vicevers è vero se X verific il secondo ssiom di numerilità. Un esempio di spzio che verific i due ssiomi è dto d R n : preso x R n un sistem fondmentle di intorni è dto di dischi perti centrti in x di rggio 1/n, mentre un se numerile è dt di i dischi perti centro rzionle e rggio rzionle. 4.2 Spzi di Husdorff Definizione. Uno spzio topologico X si dice di Husdorff (o T 2 ) se, per ogni coppi di punti diversi x, y X esistono intorni U x x, U y y t.c. U x U y =. Esempi. 1. Uno spzio metrico è uno spzio di Husdorff. 2. Uno spzio infinito con l topologi cofinit non è di Husdorff. 3. Un sottospzio di uno spzio di Husdorff è di Husdorff.

30 24 4 roprietà topologiche roposizione. (Comptto di Husdorff) Un sottoinsieme comptto K di uno spzio di Husdorff X è un sottoinsieme chiuso. Dim. Dimostrimo che K c è perto. Si x un punto di K c ; per ogni punto y di K esistono un intorno U y di x e un intorno V y di y disgiunti. Gli perti V y costituiscono un copertur pert di K, quindi esiste un sottocopertur finit V y1,..., V yn ; si U = i=1,...,n U y i ; U è un perto e U K =, quindi x è un punto interno K c. Corollrio. Si f : X Y un ppliczione continu e iunivoc. Se X è comptto e Y è di Husdorff llor f è un omeomorfismo. Dim. Doimo dimostrre che f 1 è continu, e ciò è equivlente mostrre che f è un ppliczione chius. Si dunque C un chiuso di X; C è chiuso in X comptto, e quindi C è comptto; f è un ppliczione continu, e quindi f(c) è comptto in Y. oichè Y è uno spzio di Husdorff, per l proposizione precedente f(c) è chiuso. Corollrio. Si A I il sottoinsieme costituito di punti 0 e 1. Allor I/A S 1. Utilizzndo l proposizione sui sottospzi comptti di spzi di Husdorff simo or in grdo di dre l crtterizzzione dei sottospzi comptti di R n. Teorem. Un sottospzio K R n è comptto se e solo se è chiuso e limitto. Dim. Aimo già visto che i sottoinsiemi chiusi e limitti di R n sono comptti. L proposizione precedente ci dice che un sottospzio comptto di R n è chiuso, in qunto R n è di Husdorff. Rest dunque d mostrre che un sottospzio K, comptto di R n è limitto. Considerimo il ricoprimento U = {U n = B 0 (n) K} n N di K costituito di dischi perti di centro l origine e di rggio nturle. oichè K è comptto, tle ricoprimento mmette un sottoricoprimento finito U i1,..., U im ; si M il mssimo dei rggi di U i1,..., U im. Il sottospzio K è quindi contenuto in B 0 (M), ed è pertnto limitto. Corollrio. Si f : X R un funzione continu definit su uno spzio comptto X; llor f mmette mssimo e minimo. Dim. oichè f è continu, f(x) è comptto in R, e quindi chiuso e limitto. Essendo f(x) limitto, esistono M = sup(f(x)) e m = inf(f(x)), ed essendo f(x) chiuso M ed m sono mssimo e minimo. Osservzione. Si f : X Y un ppliczione continu; non è detto che f(x) si uno spzio di Husdorff. Ad esempio si (0, 1) R e si f : R R/(0, 1) l proiezione sul quoziente. roposizione. Si X uno spzio topologico comptto e di Husdorff, si X/ un suo quoziente e p : X X/ l proiezione sul quoziente. Se p è un ppliczione chius, llor X/ è uno spzio (comptto) e di Husdorff. Osservzione. Essere di Husdorff è un proprietà invrinte per omeomorfismi.

31 4.3 Spzi connessi 25 roposizione. X, Y sono spzi topologici di Husdorff se e solo se X Y è uno spzio topologico di Husdorff. Dim. ) Lo spzio X {y} è di Husdorff perché sottospzio di un Husdorff, e quindi X è di Husdorff perché omeomorfo X {y}. ) Sino (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) due punti di X Y ; se x 1 x 2 llor esistono in X intorni disgiunti U 1 x 1 e U 2 x 2, quindi U 1 Y e U 2 Y sono intorni disgiunti di (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ); se x 1 = x 2 si deve necessrimente vere y 1 y 2, e si ripete lo stesso rgionmento. 4.3 Spzi connessi Definizione. Uno spzio topologico X è connesso se e solo se non esistono due perti disgiunti e non vuoti A, B X tli che A B = X. Osservzione. X è connesso i soli sottoinsiemi contempornemente perti e chiusi di X sono, X. Esempi. 1. Uno spzio topologico X con l topologi grossoln è connesso. 2. Uno spzio topologico X con l topologi discret è connesso h un solo elemento. 3. (R, τ s ) è connesso, con τ s topologi delle semirette 4. Q, con l topologi indott d R non è connesso. 5. (X, τ c ) è connesso X è infinito, con τ c topologi cofinit roposizione. Si f : X Y un ppliczione continu, con X connesso. Allor f(x) è connesso. Dim. Supponimo f suriettiv. Un sottoinsieme U Y è perto e chiuso l su retroimmgine f 1 (U) è pert e chius. M in X gli unici sottoinsiemi perti e chiusi sono, X, quindi f 1 (U) = e quindi U =, oppure f 1 (U) = X e quindi U = Y. Corollrio. 1. L connessione è un proprietà invrinte per omeomorfismi. 2. I quozienti di uno spzio topologico connesso sono spzi topologici connessi. Dimo senz dimostrzione l seguente crtterizzzione dei sottoinsiemi connessi di R con l topologi euclide: Teorem. Tutti e soli i connessi di (R, ε) sono i punti, gli intervlli, le semirette e R stesso. roposizione. (Condizioni per cui l unione di connessi è conness) Si {Y i } i I un fmigli di sottoinsiemi di X, con l topologi indott, tle che Y i è connesso per ogni i I. 1. Se i I Y i llor Y = i I Y i è connesso. 2. Se esiste ī tle che Y i Yī i I, llor i I Y i è connesso.

32 26 4 roprietà topologiche Dim. 1) Si U Y un sottoinsieme perto, chiuso e non vuoto. Il sottoinsieme U deve vere intersezione non vuot con Y i per qulche i, e quindi U Y i è non vuoto, perto e chiuso in Y i ; poichè Y i è connesso si h U Y i = Y i. Essendo l intersezione degli Y i è non vuot, si h che U Y j per ogni j I, e si ripete l dimostrzione precedente. 2) Z i = Y i Yī è connesso per l dimostrzione precedente, e gli Z i verificno le ipotesi dell prte 1). roposizione. X, Y sono connessi X Y è connesso. Dim. ) Le proiezioni sono ppliczioni continue. ) Si A x,y = (X {y} {x} Y ); A x,y è connesso per l proposizione precedente, e X Y = x X A x,ȳ è dunque connesso, ncor per l proposizione precedente. Corollrio. R n e I n sono spzi topologici connessi. Corollrio. D n è connesso, S n è connesso per n 1, R n+1 \{0} è connesso per n 1. Dim. Il disco può essere visto come unione dei suoi dimetri, l sfer come unione di due emisferi, e R n+1 \{0} come unione di S n e delle rette per l origine. Si pplic quindi l proposizione sull unione di connessi. Corollrio. R n è connesso, i quozienti di I 2 sono connessi. Un utile strumento per stilire se un sottoinsieme è connesso è dto dll seguente roposizione. (Chiusur di connessi) Si X uno spzio topologico, A X un sottoinsieme connesso e Y un sottoinsieme di X tle che A Y A. Allor Y è connesso. Dim. Si U Y un sottoinsieme perto, chiuso e non vuoto. L insieme U A è dunque perto e chiuso in A; inoltre U A è non vuoto perché Y A, e quindi, essendo A connesso, U A = A, cioè A U. Il complementre di U in Y è perto e chiuso; se fosse non vuoto, con rgionmento nlogo l precedente si vree A U c, quindi U c = e U = Y. Definizione. Si X uno spzio topologico e x, y X; dicimo che x è connesso d y se esiste un sottospzio connesso D X che contiene x e y. Quest relzione è un relzione di equivlenz, e le clssi di equivlenz sono dette componenti connesse di X. 4.4 Spzi connessi per rchi Definizione. Si X uno spzio topologico. Un rco o cmmino in X è un ppliczione continu f : I X; x 0 = f(0) è detto punto inizile del cmmino, x 1 = f(1) è detto punto finle. Se x 0 = x 1 llor il cmmino è detto cmmino chiuso o cppio. Definizione. Il cmmino costnte di punto se x 0 è l ppliczione costnte ε x0 : I x 0 X. Dto un cmmino f : I X il cmmino inverso f : I X è il cmmino f(t) = f(1 t).

33 4.4 Spzi connessi per rchi 27 Definizione. dti due cmmini f, g tli che f(1) = g(0), è possiile definire il cmmino prodotto: { f(2t) t [0, 1/2] (f g)(t) = g(2t 1) t [1/2, 1] l ppliczione f g è continu per il seguente Lemm. (Lemm d incollmento) Si X uno spzio topologico e A, B due sottoinsiemi chiusi di X tli che X = A B; sino f : A Z e g : B Z due ppliczioni continue tli che f(x) = g(x) se x A B; llor l ppliczione h : X Z definit ponendo { f(x) x A h(x) = g(x) x B è continu Dim. Esercizio. Definizione. Uno spzio topologico X è connesso per rchi se x, y X esiste un cmmino che h x come punto inizile e y come punto finle. Esempi. 1. R n è connesso per rchi. Inftti, se x e y sono due punti di R n, il cmmino α : I R n definito ponendo α(t) = (1 t)x + ty congiunge x e y. 2. Un perto convesso di R n è connesso per rchi. In prticolre I n e D n sono connessi per rchi. roposizione. Si A un perto connesso di R n ; llor A è connesso per rchi. Dim. Si x 0 un punto di A, e si W = {x A rco che congiunge x 0 e x}. Voglimo dimostrre che W è perto; tl fine mostreremo che ogni punto è punto interno. A x z x 0 Si x W ; poichè A è perto A contiene un disco perto centrto in x di rggio opportuno; ogni punto z in questo disco è contenuto in W, perchè può essere congiunto x d un segmento opportunmente prmetrizzto, e quindi può essere congiunto x 0 per mezzo del cmmino prodotto. Allo stesso modo si mostr che il complementre di W in A è perto. er concludere st osservre che W poiché x 0 W. Corollrio. R n+1 \{0} è connesso per rchi.

34 28 4 roprietà topologiche roposizione. Si f : X Y un ppliczione continu, e X si connesso per rchi. Allor f(x) è connesso per rchi. Dim. Sino x, y due punti di f(x), e sino x, ỹ due controimmgini di x e di y; poichè X è connesso per rchi esiste un rco α : I X che congiunge x e ỹ. L rco β : I Y definito ponendo β(t) = f(α(t)) congiunge x e y. Corollrio. 1. I quozienti di connessi per rchi sono connessi per rchi. 2. L connessione per rchi è un proprietà invrinte per omeomorfismi. Corollrio. R n è connesso per rchi; i quozienti di I 2 sono connessi per rchi, S n è connesso per rchi in qunto immgine di R n+1 \{0} trmite l ppliczione continu f : R n+1 \{0} S n che mnd x in x. x roposizione. X, Y sono connessi per rchi X Y è connesso per rchi. Dim. ) Le proiezioni sono ppliczioni continue. ) er collegre (x 0, y 0 ) (x 1, y 1 ) si consider il prodotto del cmmino in X {y 0 } che unisce (x 0, y 0 ) d (x 1, y 0 ) composto con l inclusione e del cmmino in {x 1 } Y che unisce (x 1, y 0 ) d (x 1, y 1 ) composto con l inclusione. roposizione. Se X è connesso per rchi, llor è nche connesso. Dim. Fissimo un punto x X; per ogni y X esiste un rco γ y : I X che congiunge x y; si Γ y = γ y ([0, 1]). Lo spzio X si può scrivere come unione di connessi intersezione non vuot X = y X Γ y; inftti Γ y è connesso in qunto immgine del connesso I trmite ppliczione continu, e y Y Γ y. poichè x y Y Γ y. Si pplic quindi l proposizione sulle unioni di connessi. Esempio. Non vle il vicevers: in R 2 considerimo il sottoinsieme A = {(0, 1)} (l pulce) e il sottoinsieme B = {I {0} n N { 1 } I} (il pettine); Il sottoinsieme n A B è connesso (si us l proposizione sull chiusur di connessi), m non è connesso per rchi. 4.5 Rissunto Compttezz Husdorff Connessione Sottospzi No 1 Sì No 2 rodotti Sì Sì Sì Quozienti Sì No 3 Sì Omeomorfismi Sì Sì Sì 1 (0, 1) [0, 1] 2 (0, 1) (1, 2) R 3 R/(0, 1) (Sì se X è comptto e π è chius)

35 5 Superfici topologiche 5.1 Vrietà topologiche Definizione. Uno spzio topologico X si dice loclmente euclideo se ogni suo punto x h un intorno perto U x omeomorfo D n. Si ϕ x : U x D n l omeomorfismo; l coppi (U x, ϕ x ) è dett crt locle, U x è detto dominio dell crt locle. Ftto. Se x pprtiene i domini di due diverse crte locli, n non cmi. (Teorem di invrinz dell dimensione). Osservzione. Se X è connesso, llor n è lo stesso per tutti i punti, e viene detto dimensione di X. Dim. Si p X un punto con un intorno perto omeomorfo D n, e si W = {q X q h un intorno omeomorfo D n }; W non è vuoto, è perto ed il suo complementre è perto. Definizione. Uno spzio topologico connesso, di Husdorff e loclmente euclideo si dice vrietà topologic. Osservzione. oiché un vrietà topologic è conness, l su dimensione è en definit. Osservzione. E necessrio richiedere che un vrietà topologic si uno spzio di Husdorff, in qunto tle condizione non è conseguenz dell essere loclmente euclideo. Esempio. 1. R n, C n. 2. S n, D n. 3. Toro, Bottigli di Klein, cilindro perto, nstro di Moeius perto. 4. R n. 5. Il prodotto di due vrietà topologiche. roposizione. Uno spzio topologico connesso e loclmente euclideo è connesso per rchi. Dim. Fissimo p X e si W = {q X esiste un rco congiungente p q}; W non è vuoto, è perto ed h il complementre perto. In dimensione 1 l clssificzione delle vrietà topologiche è molto semplice:

36 30 5 Superfici topologiche Teorem. Un vrietà topologic di dimensione 1 ( se numerile) è omeomorf S 1 o R. L situzione è molto più compless già per n = 2, e questo è il cso che studieremo. D or in poi ci occuperemo cioè solo di superfici topologiche comptte, cioè di vrietà topologiche comptte di dimensione Somm conness Sino S 1 e S 2 due superfici comptte; fissimo due punti x S 1, y S 2 e due intorni U x e U y omeomorfi D 2 ; è definito perciò un omeomorfismo h : U x U y Si Y = (S 1 \Ůx) (S 2 \ (U y )) e si l relzione d equivlenz x y x (U x ), y (U y ) e y = h(x ) Lo spzio topologico quoziente S = Y/ è uno spzio topologico connesso, di Husdorff, loclmente euclideo di dimensione 2 e comptto; S è un superficie comptt, dett somm conness di S 1 ed S 2 : S = S 1 #S 2. Osservzione. L somm conness è definit meno di clssi di omeomorfismo. Definizione. Indichimo con T g l superficie che si ottiene fcendo somm conness di g tori, e con T 0 l sfer. c d c c d c d γ γ d c T = T # T d cdc d c d Definizione. Indichimo con U h conness di h pini proiettivi reli. l superficie che si ottiene fcendo somm

37 5.3 Tringolzioni 31 γ γ U = U # U Tringolzioni Definizione. Un tringolo geometrico in X è un ppliczione τ : T X che si un omeomorfismo sull immgine, dove T è un tringolo di R 2. Con uso di linguggio chimeremo tringolo geometrico nche l immgine di τ. Definizione. Un tringolzione di un superficie topologic X è un collezione di tringoli geometrici che h le seguenti proprietà: Ogni punto di X pprtiene d un tringolo. Se è interno d un tringolo, llor pprtiene solo quello. Se è interno d un lto, llor pprtiene due tringoli che si tglino solo in quel lto e l cui unione costituisce un intorno di. Se è un vertice llor pprtiene d un numero finito di tringoli di cui è vertice e l cui unione è un intorno di. Se due tringoli hnno due vertici in comune, llor hnno in comune il lto delimitto d essi. Osservzione. Non ogni superficie topologic è tringolile. Teorem. (Teorem di Rdò) Ogni superficie comptt mmette un tringolzione finit. Esempio. Il toro è tringolile. Le prime due non sono tringolzioni (ci sono tringoli con due lti in comune o con due vertici in comune senz il lto corrispondente in comune), l terz sì.

38 32 5 Superfici topologiche 5.4 Orientilità Un orientzione di un tringolo geometrico τ è uno dei (due) versi di percorrenz dei suoi vertici. Un orientzione di τ induce un orientzione dei sui spigoli. Due tringoli dicenti di un tringolzione si dicono coerentemente orientti se le loro orientzioni inducono orientzioni opposte sullo spigolo comune. Definizione. Un superficie comptt X si dice orientile se mmette un tringolzione coerentemente orientt. roposizione. Si X un superficie tringolile. Allor X è orientile se e solo se X non contiene nstri di Moeius. Esempio. Il toro è orientile. Esempio. L ottigli di Klein non è orientile. Osservzione. Si può verificre che l somm conness S di due superfici S 1 e S 2 è orientile se e solo se S 1 ed S 2 sono orientili.

39 5.5 Teorem di clssificzione I Teorem di clssificzione I Simo or in grdo di enuncire il teorem di clssificzione delle superfici comptte: Teorem. (Teorem di clssificzione) Si S un superficie comptt. S orientile S T g g 0. S non orientile S U h h 1. Inoltre se g g llor T g T g e se h h llor U h U h. Esempio. L ottigli di Klein è omeomorf ll somm conness di due pini proiettivi. c c c c c c Dimostrzione dell prim prte. sso 1 Ogni superficie comptt è quoziente di un poligono pino: Lemm. Si S un superficie comptt. Allor S è omeomorf un poligono di R 2 con i lti identificti coppie. Dim. (Cenno) Un superficie comptt mmette un tringolzione finit. Sino T 1,..., T n i tringoli di tle tringolzione, ordinti in modo che il tringolo T i i uno spigolo in comune con uno dei tringoli precedenti T 1, T 2,... T i 1. Sino T 1,..., T n i tringoli di R 2 che vengono mppti su T 1,..., T n, e supponimo che T 1,..., T n sino coppie disgiunti. Si T = n i=1 T i l unione di questi tringoli.

40 34 5 Superfici topologiche T3 T1 T2 T3 T1 T2 T5 T6 T4 T5 T6 T4 Introducimo or un relzione di equivlenz in T in questo modo: T 2 h uno spigolo in comune con T 1, per cui incollimo T 1 e T 2 lungo lo spigolo corrispondente; T 3 h uno spigolo in comune con T 1 T 2, quindi incollimo T 3 T 1 T 2 lungo lo spigolo corrispondente, ecceter; ottenimo così un poligono i cui lti l ordo devono essere identificti coppie. T5 T6 T3 T4 T5 T6 T3 T4 T1 T2 T1 T2 sso 2: Eliminzione delle coppie dicenti del primo tipo. Aimo visto che un superficie comptt è omeomorf d un poligono di R 2 con i lti identificti coppie. Diremo che un coppi è del primo tipo se i lti che l compongono compiono con l orientzione oppost, del secondo tipo ltrimenti. In figur vedimo come si possiile eliminre coppie dicenti del primo tipo se il poligono h lmeno quttro lti. Se il poligono h solmente due lti ci sono due possiilità: o è del tipo 1 e quindi un sfer, o è del tipo e quindi un pino proiettivo rele. Q Q Q

41 sso 3: Riduzione dei vertici d un unico nome. 5.5 Teorem di clssificzione I 35 Supponimo di ver ripetuto il secondo psso finché è stto possiile; i vertici del poligono non sono necessrimente tutti identificti tr di loro, m possono pprtenere diverse clssi di equivlenz. Mostrimo or, come con un serie di operzioni successive è possiile rrivre d un nuovo poligono in cui tutti i vertici pprtengono d un unic clsse di equivlenz. Le operzioni mostrte in figur fnno diminuire i vertici nell clsse di equivlenz di Q di un unità e fnno umentre i vertici nell clsse di equivlenz di di un unità. Q c c Q c Q Alternndo il psso 2 ed il psso 3 (perché è necessrio il psso 2?) rrivimo d un poligono in cui tutti i vertici devono essere identificti e in cui non sono presenti coppie dicenti del primo tipo. sso 4: Rendere dicenti le coppie del secondo tipo. Voglimo mostrre che è possiile rendere dicenti tutte le coppie del secondo tipo. er fr ciò, per ogni coppi non dicente del secondo tipo operimo un tglio tr gli estremi finli dell coppi scelt, come in figur, ed incollimo in corrispondenz dell coppi medesim. Se nel poligono ci sono solo coppie del secondo tipo, dopo un numero finito di ppliczioni del psso 4 ottenimo un superficie il cui poligono è del tipo h h, cioè un superficie U h, e imo finito. Nel cso che ci sino coppie del primo tipo continuimo con il

42 36 5 Superfici topologiche sso 5: Rggruppre le coppie del primo tipo. Supponimo quindi che ci si lmeno un coppi del primo tipo. In tl cso ne deve esistere un ltr tle che queste due coppie si seprno vicend. Inftti, se così non fosse, ci troveremmo in un situzione come quell in figur, in cui tutti i lti nell prte ross si identificno con lti nell prte ross e tutti i lti nell prte lu si identificno con lti nell prte lu. Quest situzione non è possiile, perché in tl cso i due estremi di non vengono identificti, in contrddizione con il psso 3. ertnto esistono due coppie del primo tipo che si seprno vicend come in figur, e tli coppie possono essere rggruppte tglindo due volte in corrispondenz degli estremi finli dei lti. c c c c c d d c c d Se nel poligono compiono solo coppie del primo tipo, dopo un numero finito di ppliczioni del psso 5 ottenimo un superficie il cui poligono è del tipo g g 1 g 1 g, cioè un superficie T g, e imo finito. Rest perto il cso in cui nel poligono compino coppie del primo e del secondo tipo, cioè che il poligono si del tipo cc.... Tle cso viene risolto dl seguente lemm Lemm. L somm conness di un toro e di un pino proiettivo è omeomorf ll somm conness di tre pini proiettivi. Dim. Aimo già visto che l ottigli di Klein è omeomorf ll somm di due pini proiettivi, quindi st mostrre che l somm conness di un toro e di un pino proiettivo è omeomorf ll somm conness di un ottigli di Klein e di

43 5.5 Teorem di clssificzione I 37 un pino proiettivo. Mostreremo che entrme sono omeomorfe ll superficie quoziente del poligono T # U 1 d 1 d 1 d K # U δ 1 c c c c c c d d d 1 d 1 γ d β δ γ β δ β γ β γ δ δ α β γ γ α β δ δ 1 αδ 1 βαβ 1 δ 1 δ β α β δ α

44 38 5 Superfici topologiche Esempio. Concludimo con un esempio di ppliczione dei pssi dell dimostrzione del teorem: clssificre l superficie il cui poligono rppresenttivo è il seguente: c 1 c. Q c c Q Q Q c c d T Q Q c Q d Q c d Q c d d c Q Q c d d Q c Q c % & % & %% && %% && 6 %% && % & % & e d d Q c e d d Q e e d d $ # $$$ ### $$$ ### $$$$$ ##### e Q e d d e Q e d k l k l Q p d e e d d x x e d e e d d e e d d e f e d d d f f d d f f L superficie in esme è omeomorf ll superficie U 2.

45 rte II Topologi lgeric

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47 6 Omotopi 6.1 Omotopi di ppliczioni continue Il toro e l sfer non sono omeomorfi. Come si può dimostrre? L sfer h l proprietà che ogni cmmino chiuso può essere deformto con continuità l cmmino costnte, mentre nel toro questo non è sempre vero. Vedremo or come si può formlizzre questo concetto. α β rolem: Dti A 0, A 1 sottospzi di uno spzio topologico X si vuole formlizzre l ide seguente: A 1 si ottiene per deformzione continu d A 0. A 1 A 0 Definizione. Sino f 0, f 1 : X Y due ppliczioni continue. f 0 ed f 1 si dicono omotope se F : X I : Y continu tle che x X si h F (x, 0) = f 0 (x) e F (x, 1) = f 1 (x). In tl cso scrivimo f 0 f 1 ; ponimo poi f t (x) = F (x, t). Aimo cioè un fmigli di funzioni continue che vri con continuità. Esempi. 1. X = Y = R n, f 0 = Id R n, f 1 = 0, F (x, t) = (1 t)x.

48 42 6 Omotopi 2. X = Y = R n \ {0}, f 0 = Id R n, f 1 (x) = x x, F (x, t) = (1 t)x + t x x. 3. Ogni rco f : I X di punto inizile x 0 è omotopo ll rco costnte di se x 0. F (s, t) = f((1 t)s) Come mostr il terzo esempio l omotopi non è ncor l nozione degut descrivere l esempio dei cmmini sull sfer e sul toro. In quel cso, inftti, tutti i cmmini intermedi devono vere lo stesso punto inizile e lo stesso punto finle. Introducimo quindi un nuov definizione: Definizione. Sino f 0, f 1 : X Y ppliczioni continue, e A X un sottospzio. f 0 e f 1 si dicono omotope reltivmente d A se esiste un omotopi F : X I Y tle che F (, t) = f 0 () = f 1 () t. In prticolre, nel cso dei cmmini, vremo l seguente Definizione. Due cmmini che ino lo stesso punto inizile e lo stesso punto finle si dicono omotopi se sono omotopi reltivmente {0, 1}. Quindi due cmmini α : I X e β : I X sono omotopi se esiste F : I I X tle che F (s, 0) = α(s) F (s, 1) = β(s) F (0, t) = α(0) = β(0) = x 0 F (1, t) = α(1) = β(1) = x 1 Osservzione. L omotopi (reltiv) è un relzione d equivlenz. 6.2 Tipo d omotopi - Retrtti Sospendimo momentnemente il discorso sui cmmini e utilizzimo le nozioni sull omotopi per introdurre un nuovo concetto di equivlenz per spzi topologici. Definizione. Si dice che due spzi topologici X e Y hnno lo stesso tipo d omotopi se esistono due ppliczioni continue f : X Y e g : Y X tli che g f Id X e f g Id Y. Definizione. Uno spzio topologico si dice contriile se h lo stesso tipo di omotopi di un punto. Esempi.