TOPOLOGIA GENERALE. Gianluca Occhetta. e primi elementi di topologia algebrica. Note di

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1 Ginluc Occhett Note di TOOLOGIA GENERALE e primi elementi di topologi lgeric Diprtimento di Mtemtic Università di Trento Vi Sommrive ovo (TN)

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3 Not per l lettur Queste note rccolgono gli rgomenti (lcuni vriili negli nni) svolti nel corso di Geometri IV unità didttic del Corso di Lure in Mtemtic dell Università di Trento dll ll In ppendice sono invece contenuti pprofondimenti sulle nozioni di compttezz proposti gli studenti del percorso di eccellenz. er lcune prti di queste note, nonché per suggerimenti e correzioni, sono deitore Dvide nizzolo, Elis Tsso, Roerto igntelli, Riccrdo Ghiloni e Vlentin terno. Sono nche grto gli studenti che mi hnno vi vi segnlto imprecisioni e proposto modifiche e mi ssumo l responsilità di tutti gli errori che possono essere rimsti. Ginluc Occhett iii

4 Indice Not per l lettur Indice iii iv I Topologi generle 1 1 Spzi topologici Generlità Confronto tr topologie Bse di un topologi Appliczioni continue Costruire nuovi spzi topologici Sottospzi e topologi indott rodotti e topologi prodotto Quozienti e topologi quoziente Lo spzio proiettivo rele R n roprietà topologiche Spzi comptti Spzi di Husdorff Spzi connessi Spzi connessi per rchi Superfici topologiche Vrietà topologiche Somm conness Tringolzioni Orientilità Teorem di clssificzione delle superfici comptte - rim prte.. 55 iv

5 Indice II Topologi lgeric 63 5 Omotopi Omotopi di ppliczioni continue Tipo d omotopi - Retrtti CW-complessi finiti Il gruppo fondmentle Il gruppo fondmentle Omomorfismo indotto Teorem di invrinz per omotopi Il gruppo fondmentle di S Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni Gruppi con presentzione Il teorem di Seifert-Vn Kmpen Il teorem di clssificzione delle superfici comptte - Second prte Gruppo fondmentle e retrzioni A Vrie nozioni di compttezz 99 A.1 Compttezz per ricoprimenti: origine A.2 Vrie definizioni di compttezz A.3 Compttezz in spzi metrici A.4 Spzi loclmente comptti v

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7 rte I Topologi generle 1

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9 Cpitolo 1 Spzi topologici 1.1 GENERALITÀ Definizione 1.1. Si X un insieme e τ (X) un fmigli di sottoinsiemi di X con le seguenti proprietà: 1. τ, X τ. 2. L fmigli τ è chius rispetto ll unione: dt un collezione {U j } j J tle che U j τ j si h che U j τ. 3. L fmigli τ è chius rispetto lle intersezioni finite: se U 1, U 2 τ llor U 1 U2 τ. L coppi (X, τ) è dett spzio topologico; l fmigli τ è dett topologi, mentre gli elementi di τ sono chimti perti dell topologi. Esempi 1.2. ) (X, (X)): Topologi discret. ) (X, {, X}): Topologi grossoln (o nle). c) (X, τ c ), τ c = { } {X} {U U c è un insieme finito}: Topologi cofinit. Se {U j } j J sono elementi non nli di τ llor per ogni j si h U c j < +. Allor ( U j ) c = U c j, e quindi, per ogni j, ( U j ) c U c j ; essendo U c j < + llor nche ( U j ) c < + e quindi U j τ. Se U 1, U 2 sono elementi non nli di τ (e quindi U c 1 < +, U c 2 < + ) llor (U 1 U 2 ) c = U c 1 U c 2 è un insieme finito, in qunto unione finit di insiemi finiti, e pertnto U 1 U 2 τ. 3

10 1. Spzi topologici d) (X = R n, τ ε ), U τ ε se e solo se U è l insieme vuoto, R n oppure è un unione di sottoinsiemi dell form B r (p) = {x R n d(x, p) < r}, con p R n e r numero rele positivo : Topologi euclide. Verificheremo più vnti che quest è un topologi, utilizzndo il concetto di se. e) X = R n, τ d = { } {R n } {B r (0)}: Topologi dei dischi. Bri (0) = B R (0) con R = sup r i e B r1 (0) B r2 (0) = B r (0) con r = min(r 1, r 2 ). f) X = R, τ s = { } {R} {(, ) R}: Topologi delle semirette. (, i ) = (, A) con A = sup i e (, 1 ) (, 2 ) = (, ) con = min( 1, 2 ). g) X = [ 1, 1], τ = { } {[ 1, 1]} {U 0 U} {V ( 1, 1) V } Chimimo per comodità insiemi del primo tipo i sottoinsiemi U 0 e insiemi del secondo tipo i sottoinsiemi V ( 1, 1). E immedito osservre che l unione (o l intersezione) di insiemi del primo tipo è ncor un insieme del primo tipo, mentre l unione (o l intersezione) di insiemi del secondo tipo è ncor un insieme del secondo tipo, quindi st verificre che U V τ e U V τ se U è un insieme del primo tipo e V è un insieme del secondo tipo. L insieme U V τ perché contiene ( 1, 1), e l insieme U V τ perché non contiene 0. h) X = R, τ = { } {R} {[, ] R + } non è un topologi, perché non è chius rispetto ll unione. Ad esempio [ n, 1 1 ] = ( 1, 1) τ. n n N Definizione 1.3. Un sottoinsieme C X si dice chiuso nell topologi τ se C c è un perto di τ. roposizione 1.4. Si (X, τ) uno spzio topologico. 4 1., X sono chiusi. 2. L intersezione di chiusi è un chiuso. 3. L unione finit di chiusi è un chiuso.

11 1.2. Confronto tr topologie Dimostrzione. Esercizio. Definizione 1.5. Si x X; un intorno di x è un sottoinsieme W X che contiene un perto U che contiene x: x U W. Normlmente dicendo intorno sottintenderemo intorno perto. Definizione 1.6. Si Y X; un punto y Y è interno Y se esiste un intorno W di y tle che W Y. L insieme di tutti i punti interni di Y si chim interno di Y, e si denot con Y. Equivlentemente Y è il più grnde perto di X contenuto in Y. Osservzione 1.7. Y è perto Y = Y. Dimostrzione. ) Se Y è perto costituisce un intorno di ogni suo punto, quindi ogni punto di Y è punto interno. ) er ogni y Y esiste un perto U y tle che y U y Y, quindi Y = U y è perto in qunto unione di perti. Definizione 1.8. Si Y X; un punto x X è di derenz per Y se per ogni intorno W x di x si h W x Y. L insieme di tutti i punti di derenz di Y in X si chim chiusur di Y in X, e si denot con Y. Equivlentemente Y è il più piccolo chiuso di X che contiene Y. Osservzione 1.9. Y è chiuso Y = Y. Dimostrzione. Esercizio. Definizione L frontier di Y, denott con Y, è l insieme Y \ Y. Esempio Se Y = [0, 1) in (R, τ ε ) llor Y = (0, 1), Y = [0, 1] e Y = {0, 1}; considerndo lo stesso insieme come sottospzio di R con l topologi delle semirette si h invece Y =, Y = [0, + ) e Y = [0, + ). Esempio Si X = [ 1, 1] con l topologi dell esempio 1.2 g) e si Y = [ 1/4, 1]. Y non contiene perti del secondo tipo, mentre qulsisi sottoinsieme di Y che non contiene lo zero è perto. Quindi Y = Y \ {0}. I chiusi non nli di X sono i sottoinsiemi che contengono lo zero e quelli che hnno intersezione vuot con ( 1, 1), quindi Y è chiuso e Y = Y. L frontier di Y è quindi costituit dl punto 0, Y = {0}. 1.2 CONFRONTO TRA TOOLOGIE Si X un insieme e τ 1 e τ 2 due topologie su X. Definizione Si dice che τ 1 è più fine di τ 2 (τ 1 τ 2 ) se ogni perto di τ 2 è un perto di τ 1. Si dice che τ 1 è strettmente più fine di τ 2 (τ 1 τ 2 ) se τ 1 è più fine di τ 2 ed esiste un perto di τ 1 che non è perto di τ 2. 5

12 1. Spzi topologici Quest è un relzione d ordine przile: due topologie diverse possono non essere confrontili. Esempio Si X = R e sino τ 1 l topologi discret, τ 2 l topologi euclide, τ 3 l topologi dei dischi, τ 4 l topologi delle semirette. Si verifichi che τ 1 τ 2, τ 3, τ 4 e che τ 2 τ 3, τ 4, mentre τ 3 e τ 4 non sono confrontili. 1.3 BASE DI UNA TOOLOGIA Definizione Si (X, τ) uno spzio topologico. Un sottoinsieme B τ è un se per τ se ogni perto non vuoto di τ è unione di elementi di B. roposizione (Crtterizzzione delle si) Se B è un se per un topologi τ su X, llor 1) x X B B t.c. x B. 2) B 1, B 2 B t.c. B 1 B 2 e x B 1 B 2 B 3 B t.c. x B 3 B 1 B 2. Vicevers, dto un insieme X e un fmigli di sottoinsiemi B che h le proprietà 1) e 2) esiste un unic topologi su X che h B come se. L condizione 2). B 1 x B 3 B 2 Dimostrzione. Supponimo che B si un se per un topologi. oiché X è un perto, esso si può scrivere come unione di elementi dell se: X = i I B i, quindi ogni punto di X è contenuto in lmeno uno dei B i. Dti B 1 e B 2 pprtenenti B, tli insiemi pprtengono nche τ, quindi l insieme B 1 B 2 è un perto e pertnto si può scrivere come unione di elementi dell se: B 1 B 2 = i I B i; ogni elemento dell intersezione è contenuto in lmeno uno di questi B i. Vicevers, supponimo che un fmigli di sottoinsiemi B verifichi 1) e 2) e costruimo l topologi in questo modo: un sottoinsieme Y X pprtiene τ se e solo se si può scrivere come unione degli elementi di B. L insieme vuoto pprtiene nlmente τ, e X τ per l proprietà 1). L unione di elementi di τ è un unione di elementi dell se, quindi τ per come 6

13 1.3. Bse di un topologi imo definito τ; sino infine U 1, U 2 τ e verifichimo che U 1 U 2 τ. Scrivimo U 1 = i I B i, U 2 = j J B j; llor U 1 U 2 = ( i I B i ) ( j J B j ) = i I, j J (B i B j ). er concludere è sufficiente osservre che, per l proprietà 2), B i B j si può scrivere come unione di elementi di B. L unicità di τ segue immeditmente dll definizione di se. Esempi ) In X = R n i sottoinsiemi B r (x) = {y R n d(x, y) < r}, l vrire di x R n e di r R +, costituiscono un se per un topologi, dett topologi euclide di R n. ) Anlogmente, se (X, d) è uno spzio metrico, su di esso è possiile definire un topologi τ d che h come se i sottoinsiemi dell form B r (x) = {y X d(x, y) < r}. c) X = R, B = {[, ) < } è l se per un topologi su R. d) X = R, B = {[, ]} è l se per un topologi su R. e) Si X = N 2 l insieme dei numeri interi mggiori o uguli due, si U n = {x X x divide n} e si B = {U n } n X. Allor B è l se per un topologi su X, dett Topologi dei divisori. Inftti ogni x X è contenuto in U x e U x1 U x2 = U MCD(x1,x 2 ). Esercizio Si X un insieme e U = {U i } i I un collezione di suoi sottoinsiemi; U si dice sottose per un topologi τ se le intersezioni finite di elementi di U sono un se per l topologi τ. 1. rovre che U è un sottose se e solo se X U i. 2. Trovre un sottose dell topologi euclide su R. Definizione Due si B 1 e B 2 si dicono equivlenti se generno l stess topologi. roposizione (Criterio di equivlenz delle si) Due si B 1 e B 2 sono equivlenti se e solo se sono verificte le seguenti condizioni: 1. B 1 B 1, x B 1 B 2 B 2 t.c. x B 2 B B 2 B 2, x B 2 B 1 B 1 t.c. x B 1 B 2. 7

14 1. Spzi topologici Dimostrzione. Esercizio. Esempio In R 2 i dischi senz ordo e i rettngoli senz ordo sono si per l stess topologi (quell euclide). B 1 B 2 x B 2 x B ALICAZIONI CONTINUE Definizione Sino (X, τ) e (Y, σ) due spzi topologici. Un ppliczione f : X Y si dice continu se l controimmgine vi f di ogni insieme perto di Y è un perto di X, cioè se U σ si h che f 1 (U) τ. Osservzione L continuità di un ppliczione dipende non solo dgli insiemi X e Y, m nche dlle topologie su di essi considerte. Esempi ) f : R R definit d f(x) = x 2 è continu con l topologi euclide, non lo è con l topologi delle semirette. ) (X, τ 1 ) (X, τ 2 ); f = Id X è continu τ 1 τ 2. c) X h l topologi discret (Y, σ), f : X (Y, σ) f è continu. ) Ovvio. ) Sceglimo Y = X, come σ l topologi discret e f = Id X. d) Y h l topologi nle (X, τ), f : (X, τ) Y f è continu. ) Ovvio. ) Sceglimo X = Y, come σ l topologi nle e f = Id Y. L definizione di continuità si può dre nche utilizzndo i sottoinsiemi chiusi. roposizione f : X Y è continu chiuso in Y. f 1 (C) è chiuso in X per ogni C Dimostrzione. Esercizio. 8

15 1.4. Appliczioni continue Osservzione Nel cso in cui (X, τ) = (Y, σ) = (R, τ ε ) l definizione (1.22) è equivlente ll usule definizione di continuità dell nlisi. Dimostrzione. Si f : R R un funzione tle che, per ogni x 0 R e per ogni ε > 0 esiste δ tle che se x x 0 < δ llor f(x) f(x 0 ) < ε. Voglimo mostrre che quest funzione è continu nel senso dell Definizione (1.22), cioè voglimo mostrre che, se U è un perto del codominio llor f 1 (U) è perto. Si x 0 un punto di f 1 (U); mostreremo che tle punto è punto interno. Si y 0 = f(x 0 ); y 0 è contenuto in U, che è perto; pertnto esiste ε > 0 tle che (y 0 ε, y 0 + ε) U. In corrispondenz di tle ε esiste δ tle che se x x 0 < δ llor f(x) f(x 0 ) < ε; in prticolre se x x 0 < δ llor f(x) U. ertnto (x 0 δ, x 0 + δ) è un intorno di x 0 contenuto in f 1 (U). Supponimo or che f soddisfi l Definizione (1.22), e si x 0 un punto del dominio. Si ε > 0 e si U = f 1 ((f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε)); essendo controimmgine di un perto, U è perto. Il punto x 0 è interno d U, quindi esiste un intorno di x 0, che possimo ssumere del tipo (x 0 δ, x 0 + δ), contenuto in U. L immgine di tle intorno è contenut in f(u) (f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε) e l sserto è provto. Se si conosce un se per l topologi di Y è sufficiente verificre l continuità sugli elementi dell se: roposizione Si f : (X, τ) (Y, σ) un ppliczione tr spzi topologici, e si B un se per σ. Allor f è continu se e solo se f 1 (B) τ per ogni B B. Dimostrzione. Se f è un ppliczione continu llor f 1 (B) τ per ogni B B perché gli elementi di B sono prticolri elementi di σ. Vicevers, se f 1 (B) τ per ogni B B, poiché ogni V σ si può scrivere come V = B i con B i B, si h f 1 (V ) = f 1 ( B i ) = f 1 (B i ) e f 1 (B i ) τ in qunto unione di elementi di τ. Esercizio Si (X, τ) l insieme N 2 con l topologi dei divisori. Si provi che le ppliczioni f k : X X definite ponendo f k (n) = kn sono continue, mentre l ppliczione g : X X definit ponendo g(n) = n + 1 non lo è. Definizione Un ppliczione f : X Y si dice pert se f(u) è perto in Y per ogni U perto in X. Un ppliczione f : X Y si dice chius se f(c) è chiuso in Y per ogni C chiuso in X. Osservzione f può essere pert, chius, pert e chius senz essere continu. Verificre che 1. Se (X, τ) = (Y, σ) = (R, τ s ) e f : X Y è definit ponendo f(x) = x 2 llor l ppliczione f è chius, non pert e non continu. 2. Se (X, τ) = (R 2, τ ε ) e (Y, σ) = (R, τ ε ) e f : X Y è definit ponendo f(x, y) = x llor l ppliczione f è pert, non chius e continu (Cf. sezione (2.2)). 9

16 1. Spzi topologici 3. f : (R, τ s ) (R, τ ε ) definit ponendo f(x) = 3x è pert e chius, m non continu. roposizione Sino (X, τ X ), (Y, τ Y ) e (Z, τ Z ) tre spzi topologici, f : X Y e g : Y Z due ppliczioni continue. Allor l ppliczione compost h = g f : X Z è continu. Dimostrzione. Bisogn verificre che h 1 (V ) τ X per ogni V τ Z. L insieme g 1 (V ) τ Y poiché g è continu, e l insieme f 1 (g 1 (V )) τ X poiché f è continu, e quindi l sserto segue dl ftto che h 1 (V ) = (g f) 1 (V ) = f 1 (g 1 (V )). Qundo due spzi topologici sono uguli? Definizione Due spzi topologici X e Y si dicono omeomorfi se esistono due ppliczioni continue f : X Y e g : Y X tli che g f = Id X e f g = Id Y. f e g prendono il nome di omeomorfismi; un omeomorfismo è cioè un ppliczione continu, iunivoc e con invers continu (iunivoc e icontinu). Indicheremo l omeomorfismo tr due spzi topologici con questo simolo:. 10

17 Cpitolo 2 Costruire nuovi spzi topologici 2.1 SOTTOSAZI E TOOLOGIA INDOTTA Si (X, τ) uno spzio topologico e S X un suo sottoinsieme non vuoto. Definizione 2.1. τ S = {U S U τ} è un topologi su S, dett topologi indott d τ su S. Osservzione 2.2. Considerimo l inclusione i : S X; per ogni sottoinsieme A X si h i 1 (A) = A S. ertnto l topologi indott rende continu l inclusione, nzi è l topologi meno fine che rende continu tle ppliczione. Osservzione 2.3. Gli perti di τ S non sono necessrimente perti di τ: d esempio se (X, τ) = (R, τ ε ) e S = [0, 1] llor [0, 1/2) è un perto di τ S, m non è un perto di τ ε. Esempi 2.4. Alcuni esempi di sottospzi di (R n, τ ε ) di importnz notevole: ) X = R, S = I := [0, 1], l intervllo unitrio. ) X = R n+1, S = S n := {x R n+1 x = 1}, l sfer di dimensione n. c) X = R n, S = D n := {x R n x 1}, il disco (chiuso) di dimensione n. Esempi 2.5. Vedimo or lcuni esempi di omeomorfismi. ) Due intervlli di R che includono gli estremi, con l topologi indott dll topologi euclide, sono tr loro omeomorfi. Inftti l intervllo [, ] è omeomorfo ll intervllo I medinte l ppliczione f : [, ] [0, 1] definit d y = (x )/( ), che h come invers g : [0, 1] [, ] definit d x = y( ) +. L tesi segue or dl ftto che l composizione di omeomorfismi è un omeomorfismo. 11

18 2. Costruire nuovi spzi topologici 12 ) Allo stesso modo due intervlli di R che non includono gli estremi, con l topologi indott dll topologi euclide, sono tr loro omeomorfi. c) Due semirette (, ) e (, ) con l topologi indott d quell euclide sono omeomorfe. er mostrre questo ftto è sufficiente considerre l omeomorfismo f : (, ) (, ) definito ponendo f(x) = x + ( ). d) Due semirette (, ) e (, + ) con l topologi indott d quell euclide sono omeomorfe. In questo cso un possiile omeomorfismo è dto d f : (, ) (, + ) definit ponendo f(x) = x + ( + ). e) Gli intervlli di R che non includono gli estremi, con l topologi indott d quell euclide, sono omeomorfi lle semirette prive dell estremo con l topologi indott d quell euclide. In virtù degli esempi precedenti st mostrre che l intervllo (0, 1) è omeomorfo ll semirett (1, + ), e ciò si ottiene considerndo l omeomorfismo f : (0, 1) (1, + ) definito d f(x) = 1/x. f) Gli intervlli di R che non includono gli estremi, con l topologi indott d quell euclide, sono omeomorfi R con l topologi euclide. Bst mostrre che l intervllo ( π/2, π/2) è omeomorfo R, e ciò si ottiene considerndo l omeomorfismo f : ( π/2, π/2) R dto d f(x) = tn(x). g) Gli intervlli di R che non includono gli estremi, con l topologi indott d quell euclide, non sono omeomorfi gli intervlli di R che includono gli estremi, con l topologi indott d quell euclide. Lo dimostreremo più vnti, utilizzndo l nozione di connessione (Cf. Esempio (3.43)). h) L sfer n-dimensionle meno un punto con l topologi indott d quell euclide è omeomorf R n con l topologi euclide. Sceglimo come punto il polo nord N = (0, 0,..., 0, 1) e definimo un ppliczione p : S n \ {N} R n, dett proiezione stereogrfic. Tle ppliczione ssoci un punto di S n \ {N} R n+1 il punto dell iperpino di equzione x n+1 = 0 ottenuto intersecndo l rett per N e con tle iperpino. Le equzioni di p sono le seguenti: p(x 1,..., x n+1 ) = ( x1 1 x n+1,..., x n 1 x n+1 ).

19 2.2. rodotti e topologi prodotto L invers di p, p 1 : R n S n \ {N} è dt d ( ) p 1 2y1 (y 1,..., y n ) = 1 + 2y n y,..., yi , i 1 yi yi 2 E semplice verificre che p e l su invers sono ppliczioni continue che dnno quindi l omeomorfismo cercto. Esercizio 2.6. Si X l insieme [0, 1] {2} con l topologi che h come se gli perti dell topologi indott d quell euclide su [0, 1] e gli insiemi dell form (, 1) {2} con [0, 1). Si consideri l ppliczione f : [ 1, 1] X definit ponendo { x x 1 f(x) = 2 x = 1 Si stilisc se tle ppliczione è continu qundo [ 1, 1] h rispettivmente l topologi grossoln, l topologi cofinit, l topologi euclide o l topologi discret. 2.2 RODOTTI E TOOLOGIA RODOTTO Sino (X, τ X ) e (Y, τ Y ) due spzi topologici. Definizione 2.7. L topologi prodotto τ X Y su X Y è l topologi su X Y che h come se B X Y = {U X V Y U X τ X, V Y τ Y }. Un perto dell se viene detto perto elementre dell topologi prodotto. Esempio 2.8. Sino (X, τ X ) = (Y, τ Y ) = (R, τ ε ); llor per il criterio di equivlenz delle si, l topologi prodotto su R 2 è l topologi euclide. Dto uno spzio prodotto X Y, sono nturlmente definite due ppliczioni, π X : X Y X, tle che π X (x, y) = x e π Y : X Y Y, tle che π Y (x, y) = y, dette proiezioni sui fttori. X Y π X π Y X Y Le proiezioni sui fttori sono ppliczioni continue, nzi, l topologi prodotto è l topologi meno fine che rende continue le proiezioni. Osservzione 2.9. Le proiezioni sono ppliczioni perte. Dimostrzione. Si A un perto di X Y ; tle insieme si può scrivere come unione di perti elementri: A = i I(U i V i ), 13

20 2. Costruire nuovi spzi topologici ove gli U i sono perti di X e i V i sono perti di Y ; si h pertnto π X (A) = i I U i e π Y (A) = i I V i. Esempio In generle le proiezioni non sono ppliczioni chiuse: in R 2 con l topologi euclide si consideri l insieme C costituito di punti dell iperole equilter di equzione xy = 1; tle insieme è chiuso in qunto immgine invers dell insieme chiuso costituito dl punto 1 trmite l ppliczione continu f : R 2 R così definit: f(x, y) = xy. L immgine di C trmite l proiezione π X è R \ {0}, che non è un insieme chiuso di (R, τ ε ). roposizione Sino (X, τ X ) e (Y, τ Y ) due spzi topologici e si (X Y, τ X Y ) lo spzio prodotto. Allor y Y lo spzio topologico X {y}, con l topologi indott, è omeomorfo d X. Y y W X Dimostrzione. Si i : X {y} X Y l inclusione, e si f : X {y} X definit ponendo f(x, y) = x; è immedito verificre che f = π X i e che f è iunivoc. Inoltre f è continu perché composizione di ppliczioni continue; per provre quindi che f è un omeomorfismo rest d mostrre che f è pert. Un perto W di X {y} è intersezione di un perto W di X Y con X {y} quindi, essendo un perto del prodotto unione di perti elementri, possimo scrivere W = ( (U j V j )) (X {y}); j J quindi W = j J (U j {y}) dove J = {j J y V j }. Si h pertnto che f(w ) = j J U j e quindi f è pert. L seguente proposizione fornisce un criterio per stilire se un ppliczione vlori in uno spzio prodotto è continu roposizione (roprietà universle dei prodotti) Si Z uno spzio topologico e f : Z X, g : Z Y due ppliczioni. Si h : Z X Y l ppliczione definit d h(z) = (f(z), g(z)). Allor h è continu se e solo se f e g sono continue. Dimostrzione. ) ossimo rppresentre l situzione col seguente digrmm commuttivo: Y g π Y h Z X Y f X π X 14

21 2.2. rodotti e topologi prodotto Dl ftto che f = π X h e g = π Y h segue l tesi, perché le proiezioni sono ppliczioni continue. ) oiché gli perti elementri costituiscono un se per l topologi prodotto è sufficiente mostrre che l immgine invers di un perto elementre è un perto di Z. h 1 (U V ) = {z Z h(z) = (f(z), g(z)) U V } = = {z Z f(z) U, g(z) V } = f 1 (U) g 1 (V ), e l tesi segue perciò dll continuità di f e g. Esercizio Sino (X, τ X ) = (R, τ ε ) e (Y, τ Y ) = (R, τ c ) e si X Y lo spzio prodotto. Si determinino l interno, l chiusur e l frontier del sottoinsieme Q = [0, 1] [0, 1] X Y. Esercizio Si (X, τ X ) lo spzio topologico R con l topologi che h per se i sottoinsiemi del tipo [, ) con < R e si Z lo spzio prodotto (X, τ X ) (X, τ X ). Qul è l topologi indott dll topologi prodotto sui sottoinsiemi T 1 = {(x, x) x R} e T 2 = {(x, x) x R}? Definizione Si f : X Y un ppliczione; il grfico di f è l insieme Γ f = {(x, y) X Y f(x) = y} = {(x, f(x)) x X}. Esercizio Si f : X Y un ppliczione continu. grfico Γ f è omeomorfo X. Dimostrre che il 15

22 2. Costruire nuovi spzi topologici 2.3 QUOZIENTI E TOOLOGIA QUOZIENTE Definizione Si f : X Y un ppliczione suriettiv d uno spzio topologico X su un insieme Y. L topologi più fine su Y che rende f continu è dett topologi quoziente. E costituit di sottoinsiemi τ f = {U Y f 1 (U) è perto in X} Osservzione Avere un ppliczione suriettiv tr insiemi f : X Y è equivlente d vere un relzione di equivlenz f nell insieme X così definit: x f x se e solo se f(x) = f(x ). L insieme Y è l insieme quoziente rispetto tle relzione, e f è l proiezione sul quoziente. Definizione Si f : X Y un ppliczione suriettiv di insiemi. L insieme f 1 (f(a)) è detto sturzione di A. Un sottoinsieme A X si dice sturo se coincide con l su sturzione. Se X è uno spzio topologico e Y h l topologi quoziente per trovre gli perti di Y è sufficiente trovre gli perti sturi di X: roposizione Si (X, τ X ) uno spzio topologico, f : X Y un ppliczione suriettiv e si doti Y dell topologi quoziente τ f. Allor gli perti di τ f sono tutte e sole le immgini degli perti sturi di X. Dimostrzione. Si S l insieme degli perti sturi di X. ossimo definire un ppliczione tr insiemi ϕ : S τ f che d ogni perto sturo A di X ssoci f(a); inftti f 1 (f(a)) = A e quindi f(a) è un perto di Y. Vicevers possimo definire un ppliczione ψ : τ f S che ssoci d un perto B di τ f l su controimmgine f 1 (B). Tle sottoinsieme è perto perché B lo è ed è sturo perché f(f 1 (B)) = B e quindi f 1 (f(f 1 (B))) = f 1 (B). E immedito verificre che le due ppliczioni sopr definite sono l invers l un dell ltr e quindi stiliscono l corrispondenz iunivoc cerct. Corollrio Si (X, τ X ) uno spzio topologico, f : X Y un ppliczione suriettiv e si doti Y dell topologi quoziente τ f. L ppliczione f è pert (rispettivmente chius) se e solo se l sturzione di ogni sottoinsieme perto (risp. chiuso) è un sottoinsieme perto (risp. chiuso). Dimostrzione. ) Se f è pert, llor per ogni U τ X si h che f(u) τ f, e quindi f 1 (f(u)) τ X per definizione di topologi quoziente. ) er ipotesi per ogni U τ X si h che f 1 (f(u)) τ X. Quindi f(u) τ f per definizione di topologi quoziente. Esempi Un prticolre tipologi di spzi quoziente si ottiene medinte contrzione d un punto di un sottoinsieme: dto un sottoinsieme A X si definisce l relzione di equivlenz A in questo modo: { x A x x = x x, x A 16

23 2.3. Quozienti e topologi quoziente Denoteremo solitmente lo spzio quoziente X/ A con X/A. In questo cso l sturzione di un sottoinsieme U X è di due tipi possiili: { f 1 U U A = (f(u)) = U A U A In prticolre, per il corollrio precedente, se A è un insieme perto llor f è un ppliczione pert, mentre, se A è un insieme chiuso llor f è un ppliczione chius. I sottoinsiemi sturi sono quelli che non tglino il sottoinsieme A e quelli che lo contengono. Nei due esempi successivi vedimo l contrzione un punto di un sottoinsieme chiuso e di un sottoinsieme perto. Notimo che nel primo cso il punto f(a) non è un perto, mentre nel secondo cso lo è. ) X = R, A = [ 1, 1]. ) X = R, A = ( 1, 1). Notimo nche, perché srà utile in seguito, che, nel secondo cso, ogni perto del quoziente che contiene il punto f( 1) - essendo immgine di un perto sturo che contiene A perché ogni perto che contiene 1 h intersezione non vuot con A - contiene nche f(a). Esempio Si X = R [0, 1] lo spzio prodotto tr R con l topologi euclide e [0, 1] con l topologi euclide. Si consideri su X l relzione di equivlenz così definit: (x, y) (x, y ) se e solo se (x, y) = (x, y ) oppure y = y 0 e si Y lo spzio quoziente X/. X Y Si f : X Y l proiezione nturle, e si A X un sottoinsieme. er tener conto del diverso comportmento dell relzione di equivlenz su R {0} e su R (0, 1] scrivimo pertnto f(a) = (f(a) f(r {0})) (f(a) f(r (0, 1])); f 1 (f(a)) = (A (R {0})) (R (π(a) (0, 1])), dove π : X [0, 1] è l proiezione sul secondo fttore. 17

24 2. Costruire nuovi spzi topologici X Y 1 f (f(a)) X A f(a) I sottoinsiemi sturi sono quindi quelli dell form A = A 1 A 2 dove A 1 R {0} e A 2 = R B 2 con B 2 (0, 1]. Se A è un insieme perto, llor A 1 dev essere un perto di R {0}. Se A 1 = llor, poiché π è un mpp pert, π(a) = B 2 dev essere un perto di [0, 1]. Se invece A 1, llor, π(a) = {0} B 2 dev essere un perto di [0, 1] e questo implic che B 2 è un perto di [0, 1] e che {0} B 2. L condizione è nche sufficiente, poiché, se A 1 è un perto non vuoto di R {0} e {0} B 2 è un perto di [0, 1] llor A = A 1 B 2 R = (A 1 ({0} B 2 )) (R B 2 ) è perto perché unione di perti. Gli perti di Y sono immgini degli perti sturi di X, e quindi sono del tipo f(a 1 ) f(r B 2 ), con A 1 perto di R {0} e B 2 perto di [0, 1] tle che {0} B 2 oppure del tipo f(r B 2 ), con B 2 perto di (0, 1]. roposizione (roprietà universle del quoziente) Si f : X Y un ppliczione suriettiv di spzi topologici tle che Y i l topologi quoziente rispetto d f; si poi g : Y Z un ppliczione tr spzi topologici. Allor g f è continu se e solo se g è continu. Dimostrzione. Se g è continu llor g f è continu perché composizione di ppliczioni continue. Vicevers supponimo che g f si continu. Si V un perto di Z; doimo dimostrre che g 1 (V ) è perto in Y ; sppimo che f 1 (g 1 (V )) è perto in X per l continuità di g f; ricordndo che un sottoinsieme di Y è un perto dell topologi quoziente se e solo se l su controimmgine trmite f è un perto ottenimo l tesi. roposizione (Omeomorfismi di quozienti) Si f : X Y un omeomorfismo; sino X e Y relzioni di equivlenz in X e in Y. Se x, x X x X x f(x) Y f(x ) llor X/ X Y/ Y. 18

25 2.3. Quozienti e topologi quoziente Dimostrzione. Considerimo il seguente digrmm X f Y π X π Y X/ X F Y/ Y e definimo F : X/ X Y/ Y in questo modo: F ([x]) = [f(x)]. L ppliczione F è en definit: se x X x si h che f(x) Y f(x ) e quindi F ([x ]) = [f(x )] = [f(x)]. L ppliczione F è continu per l proprietà universle del quoziente; inftti F π X è continu, essendo F π X = π Y f e quest ultim ppliczione è continu in qunto composizione di ppliczioni continue. L ppliczione F è iniettiv; inftti F ([x]) = F ([x ]) [f(x)] = [f(x )] f(x) Y f(x ) x X x [x] = [x ]. L ppliczione F è suriettiv perché f lo è: preso [y] Y/ Y sppimo che esiste x X tle che f(x) = y per l suriettività di f, e imo F ([x]) = [f(x)] = [y]. L ppliczione invers F 1 è continu per l proprietà universle del quoziente (F 1 π Y = π X f 1 è continu). Osservzione Quest proposizione giustific il procedimento di tgli e incoll che vedremo più vnti. Definizione Si X un insieme e un relzione d equivlenz su X. Si poi f : X Y un ppliczione. Si dice che l pliczione f pss l quoziente se x, x X x X x f(x) Y f(x ). Definizione Sino (X, x 0 ) e (Y, y 0 ) due spzi topologici in cui è stto scelto un punto, detto punto se; l unione un punto di questi due spzi è lo spzio topologico (X, x 0 ) (Y, y 0 ) = (X Y )/ dove è l relzione d equivlenz che identific ogni punto con se stesso e x 0 con y 0. Esempi ) X = I, A = {0, 1}; llor I /A S 1 ; per provrlo, considerimo l ppliczione e : I S 1, che mnd t in (cos 2πt, sin 2πt); tle ppliczione pss l quoziente, e pertnto risult definit un ppliczione g : I /A S 1 che f commutre il digrmm e I S 1 g f I /A E immedito verificre che g è iunivoc; g è continu per l proprietà universle del quoziente; l continuità di g 1 seguirà dl Corollrio (3.26). 19

26 2. Costruire nuovi spzi topologici ) X = I, A = {0, 1/2, 1}; llor I /A S 1 S 1. Si Y R 2 il sottospzio di R 2 omeomorfo S 1 S 1 costituito dlle circonferenze di rggio uno e centro (0, 1) e (0, 1): Y = {(x, y) R 2 x 2 + (y 1) 2 = 1 oppure x 2 + (y + 1) 2 = 1}. Considerimo l ppliczione e : I Y così definit: e(t) = { (sin(4πt), cos(4πt) + 1) t [0, 1/2] (sin(4πt), cos(4πt) 1) t [1/2, 1]. Tle ppliczione è en definit e pss l quoziente perché tutti i punti di A sono mndti nell origine di R 2 e pertnto risult definit un ppliczione g : I /A S 1 S 1 che f commutre il digrmm e I S 1 S 1 g f I /A E immedito verificre che g è iunivoc; g è continu per l proprietà universle del quoziente; l continuità di g 1 seguirà dl Corollrio (3.26). c) X = S 1 I, A = S 1 {1}; X/A D 2. Considerimo l ppliczione p : S 1 I D 2, che mnd (x, t) in (1 t)x; tle ppliczione pss l quoziente perché tutti i punti di A sono mndti nello stesso punto di D 2 e pertnto risult definit un ppliczione 20

27 2.3. Quozienti e topologi quoziente g : (S 1 I)/A D 2 che f commutre il digrmm S 1 p I D 2 g f (S 1 I)/A E immedito verificre che g è iunivoc; g è continu per l proprietà universle del quoziente; l continuità di g 1 seguirà dl Corollrio (3.26). d) Si X = S 1 I e considerimo l relzione di equivlenz tle che (x, 0) (x, 0) e (x, 1) (x, 1). Lo spzio quoziente X/ è omeomorfo S 2. L mpp d considerre in questo cso è: p : S 1 I S 2 così definit { (2tx, 1 4t p(x, t) = 2 ) t [0, 1/2] (2(1 t)x,. 1 4(1 t) 2 ) t [1/2, 1] Si noti che in questo esempio il pssggio l quoziente non è l contrzione un punto di un sottoinsieme. Esempi Relzioni d equivlenz in X = I I R 2 ) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che { (x, y) (x, y (x, y) = (x, y ) ) ; {x, x } = {0, 1} e y = y si può dimostrre che lo spzio quoziente è omeomorfo S 1 I R 3 con l topologi indott d quell euclide. Si trtt cioè di un cilindro. 21

28 2. Costruire nuovi spzi topologici ) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che { (x, y) (x, y (x, y) = (x, y ) ) ; {x, x } = {0, 1} e y = 1 y lo spzio quoziente rispetto tle relzione di equivlenz è detto Nstro di Moeius. c) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che (x, y) = (x, y ) (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = y ; {y, y } = {0, 1} e x = x lo spzio quoziente rispetto tle relzione di equivlenz è detto Toro; si può dimostrre che tle spzio è omeomorfo l prodotto S 1 S 1. Q Q Q CILINDRO NASTRO DI MOEBIUS Q TORO d) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che (x, y) = (x, y ) (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = 1 y ; {y, y } = {0, 1} e x = x lo spzio quoziente rispetto tle relzione di equivlenz è detto Bottigli di Klein. e) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che (x, y) = (x, y ) (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = 1 y ; {y, y } = {0, 1} e x = 1 x vedremo che lo spzio quoziente rispetto tle relzione di equivlenz è omeomorfo l pino proiettivo rele R 2. 22

29 2.4. Lo spzio proiettivo rele R n f) Considerimo l relzione di equivlenz in I I tle che (x, y) (x, y ) { (x, y) = (x, y ) (x, y) = (y, x ) e (x, y) (I I) ; si può dimostrre che lo spzio quoziente è omeomorfo ll sfer S 2. Q Q R BOTTIGLIA DI KLEIN IANO ROIETTIVO REALE Q SFERA Q Osservzione Gli ultimi due spzi (il pino proiettivo rele e l sfer) possono essere visti nche come quozienti di D 2 (nzi, questo è il modo con cui solitmente vengono rppresentti come quozienti): Q 2.4 LO SAZIO ROIETTIVO REALE R N Considerimo lo spzio topologico dto d R n+1 \ {0} con l topologi indott d quell euclide e in tle spzio considerimo l relzione d equivlenz definit in questo modo: v, w R n+1 \ {0}, v w v = λw, λ R v 1 v 2... v n+1 = λw 1 λw 2... λw n+1, λ R 23

30 2. Costruire nuovi spzi topologici L insieme quoziente viene denotto con denotimo con π l proiezione nturle R n := Rn+1 \ {0} ; π : R n+1 \ {0} R n. Definizione L insieme R n dotto dell topologi quoziente rispetto ll proiezione nturle π è detto spzio proiettivo rele n-dimensionle. Vedimo nel dettglio lcuni csi prticolri di spzio proiettivo rele: l rett proiettiv rele e il pino proiettivo rele. Considerimo il cso n = 1; lo spzio vettorile d quozientre è R 2 ; in questo cso vremo l rett proiettiv rele. Voglimo costruire un modello di R 1, ossi uno spzio topologico che si omeomorfo R 1 ; in prtic costruiremo un insieme che si in corrispondenz iunivoc con R 1 e lo doteremo dell topologi indott dll iiezione (gli perti del modello srnno i sottoinsiemi che corrispondono gli perti di R 1 ) in modo che l iiezione si l omeomorfismo cercto. Ad ogni punto di R 2 diverso d 0 ssocimo l rett che pss per quel punto e per 0. Tutti i punti di un di queste rette pprtengono un unic clsse di equivlenz dell relzione e vicevers un clsse di equivlenz individu un unic rett per l origine di R 2. r R 2 l O C è un corrispondenz iunivoc tr {punti di R 1 } {rette di R 2 pssnti per 0 }; inoltre l proiezione nturle π ssoci d ogni punto di R 2 \ {0} l rett di R 2 che pss per 0 e per quel punto. A cos corrispondono gli perti di R 1? er definizione di topologi quoziente, un perto di R 1 è un sottoinsieme di R 1 formto d clssi di equivlenz di l cui controimmgine trmite π è perto in R 2 rispetto ll topologi euclide: 24 U R 1 è perto π 1 (U) R 2 \ {0} è perto.

31 2.4. Lo spzio proiettivo rele R n Usndo l iiezione sopr citt, imo che un perto di R 1 è un insieme di rette di R 2 per 0 i cui punti formno un perto di R 2 con l topologi euclide. R 2 O Considerimo or l circonferenz S 1. Ogni rett di R 2 per 0 tgli l circonferenz in due punti dimetrlmente opposti (ntipodli) e vicevers, dt un coppi di punti dimetrlmente opposti sull circonferenz, ess individu un unic rett di R 2 per 0. r R 2 B l O A A B C è dunque un corrispondenz iunivoc {punti di R 1 } {coppie di punti dimetrlmente opposti su S 1 } e quindi imo un ltro modello di R 1. A cos corrispondono gli perti di R 1 in questo modello? Essi sono intersezioni di perti del modello di R 1 dto dl fscio di rette con S 1 ; vedimo in figur un elemento dell se degli perti di questo modello di R 1. 25

32 2. Costruire nuovi spzi topologici R 2 O Considerimo or solo l semicirconferenz nel semipino {y 0}; tutte le rette di R 2 per 0 trnne l rett orizzontle tglino l semicirconferenz in un solo punto, mentre l rett orizzontle l tgli nei due punti con ordint null. R 2 B l A O A Un ltro modello di R 1 è dunque dto dll semicirconferenz con i due estremi A identificti. A cos corrispondono gli perti di R 1 in questo nuovo modello? Ci sono due tipi diversi di elementi dell se dell topologi: quelli che contengono il punto A e quelli che non lo contengono. Entrmi i tipi di perti sono, come nel cso precedente, intersezioni di perti di R 1 con l semicirconferenz; li vedimo rppresentti entrmi in figur. R 2 2 A 1 O 1 A Questo modello di R 1 è dunque omeomorfo llo spzio quoziente dto d I con gli estremi identificti e quindi è omeomorfo S 1. 26

33 2.4. Lo spzio proiettivo rele R n = A A 1 A Tornimo l modello dell rett proiettiv dto dl fscio di rette di R 2 per 0 e considerimo l rett y = 1 (omeomorf R 1 ) 2 r R s l O Ogni rett del fscio, trnne quell orizzontle, intersec l rett y = 1 in un punto; l rett orizzontle invece non h intersezione con l rett y = 1. Dl punto di vist insiemistico, imo che R 1 si ottiene d R ggiungendo un punto, che è detto punto ll infinito: R 1 = R { }. Inoltre, dl punto di vist topologico R 1 \ { } è omeomorfo R. Considerimo or il cso n = 2; lo spzio vettorile d quozientre è dunque R 3 ; in questo cso otterremo il pino proiettivo rele. Anche per R 2 voglimo costruire un modello. Come nel cso dell rett proiettiv, c è un iiezione R 2 {rette di R 3 pssnti per 0}; inoltre l proiezione nturle π ssoci d ogni punto di R 3 \ {0} l rett di R 3 per 0 che pss per quel punto. 27

34 2. Costruire nuovi spzi topologici r R 3 l O Gli perti di R 2 sono gli insiemi di rette di R 3 per 0 i cui punti formno un sottoinsieme perto di R 3 nell topologi euclide. R 3 O Sceglimo in R 3 l sfer S 2 di centro 0 e rggio 1 S 2 : x 2 + y 2 + z 2 = 1. Ogni rett per 0 tgli l sfer in due punti ntipodli e vicevers, dt un coppi di punti ntipodli sull sfer, ess individu un unic rett di R 3 per 0. 28

35 2.4. Lo spzio proiettivo rele R n R 3 l A O A Quindi un ltro modello di R 2 è dto dlle coppie di punti ntipodli su un superficie sferic. Un se per gli perti in questo modello di R 2 è formt dlle coppie di clotte sferiche perte ntipodli, che sono intersezioni degli perti nel modello precedente con l sfer S 2. R 3 O Considerimo or solo l emisfero Nord, equtore compreso: le rette di R 3 per 0, trnne quelle che pssno per l circonferenz equtorile, tglino l emisfero in un solo punto, mentre quelle che pssno per l equtore lo tglino in un coppi di punti dimetrlmente opposti. 29

36 2. Costruire nuovi spzi topologici R 3 l B O A B roiettndo l emisfero sul pino z = 0, ottenimo il disco centrto nell origine e di rggio uno. Assumendo che i punti dimetrlmente opposti dell circonferenz che costituisce il ordo di tle disco individuino lo stesso punto, imo un nuovo modello di R 2, come disco con un opportun identificzione sul ordo. A A Gli perti che non intersecno il ordo del disco sono gli stessi dell topologi euclide, mentre quelli che intersecno il ordo sono come in figur. Tornimo l modello di pino proiettivo come stell di rette di R 3 per 0, e considerimo il pino Π di equzione z = 1 (che è omeomorfo R 2 ). R 3 Π O 30

37 2.4. Lo spzio proiettivo rele R n Ogni rett dell stell, che non gice sul pino z = 0, tgli Π in un punto, mentre le rette sul pino z = 0 non hnno intersezione con Π. Quindi R 2 meno un fscio di rette è in corrispondenz iunivoc con R 2 (in reltà quest corrispondenz iunivoc è un omeomorfismo, se su R 2 prendimo l topologi euclide). Dunque, insiemisticmente R 2 è un R 2 cui sono stti ggiunti dei punti che corrispondono lle rette di un fscio di rette, e cioè un R 1. 31

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39 Cpitolo 3 roprietà topologiche Definizione 3.1. Un proprietà è invrinte per omeomorfismi se ogniqulvolt uno spzio topologico X h l propriet, llor ogni spzio topologico omeomorfo X h l proprietà. Un proprietà invrinte per omeomorfismi è dett proprietà topologic. 3.1 SAZI COMATTI Definizione 3.2. Si X uno spzio topologico; un ricoprimento perto di X è un fmigli di perti U = {U i } i I tle che X i I U i. Definizione 3.3. Si U = {U i } i I un ricoprimento di X; V = {U j } j J con J I è un sottoricoprimento di U se V è ncor un ricoprimento di X. Definizione 3.4. Uno spzio topologico X si dice comptto se e solo se per ogni ricoprimento perto U è possiile trovre un sottoricoprimento V costituito d un numero finito di elementi. Esempi 3.5. ) Uno spzio topologico in cui l insieme degli perti è finito è comptto. L sserto segue dl ftto che ogni ricoprimento perto è finito. In prticolre un insieme finito è comptto con qulsisi topologi e un insieme qulsisi con l topologi grossoln è comptto. ) Un insieme infinito con l topologi discret non è comptto. er dimostrrlo è sufficiente prendere come ricoprimento perto di X quello formto di suoi punti. er tle ricoprimento è evidentemente impossiile trovre un sottoricoprimento finito. 33

40 3. roprietà topologiche c) X qulsisi con l topologi cofinit è comptto. Si U = {U i } i I un ricoprimento di X, e si U 0 un perto del ricoprimento. Il complementre di U 0 è costituito d un numero finito di punti x 1,..., x n. Si scelgno or n perti del ricoprimento, U 1,... U n tli che x i U i. Gli perti U 0, U 1,..., U n cosituiscono un ricoprimento finito di X che è un sottoricoprimento finito di U. d) R n con l topologi dei dischi non è comptto. Si U = B n (0) n N ; se tle ricoprimento possedesse un sottoricoprimento finito B n1 (0),... B nk (0), llor, denotto con M il mssimo degli n i si dovree vere R n i B ni (0) = tb M (0), un evidente contrddizione. e) Lo spzio topologico X = [ 1, 1], con l topologi dell esempio (1.2) g) è comptto. Si U un ricoprimento perto di X. In tle ricoprimento deve esistere un perto U 0 che contiene il punto 0. Gli unici perti che contengono il punto 0 contengono l intervllo ( 1, 1), quindi, denotti con U 1 e U 1 due perti del ricoprimento che contengono il punto 1 e il punto 1 rispettivmente, gli perti U 0, U 1 e U 1 costituiscono il sottoricoprimento finito cercto. roposizione 3.6. Si f : X Y un ppliczione continu, e si X uno spzio comptto. Allor f(x) è uno spzio comptto. Dimostrzione. Si V = {V j } j J un ricoprimento perto di f(x); llor U = {U j := f 1 (V j )} j J è un ricoprimento perto di X, poiché f è continu. Essendo X comptto, esiste un sottoricoprimento finito {U 1 = f 1 (V 1 ),..., U n = f 1 (V n )}; llor {V 1,..., V n } è un sottoricoprimento finito di V; inftti, preso y f(x), esiste x tle che y = f(x) e x U k per qulche k. Ne segue che y V k, poiché f(f 1 (V k )) V k. Corollrio 3.7. Sino τ e σ due topologie su X tli che τ σ. Se (X, τ) è comptto llor (X, σ) è comptto (equivlentemente se (X, σ) non è comptto llor (X, τ) non è comptto). Dimostrzione. Bst considerre l ppliczione identic Id : (X, τ) (X, σ), che è continu in qunto τ σ. Corollrio Il quoziente di uno spzio comptto è comptto.

41 3.1. Spzi comptti 2. L compttezz è un proprietà invrinte per omeomorfismi. Teorem 3.9. L intervllo I = [0, 1] con l topologi indott d quell euclide è uno spzio topologico comptto. Dimostrzione. Si U = {U j } j J un ricoprimento perto di [0, 1]. Denotimo con S l insieme dei k [0, 1] tli che esiste un sottoricoprimento finito di U che copre [0, k]. Tle insieme è non vuoto perché 0 S. Si M := sup S; si U M un perto del ricoprimento che contiene M. Tle perto contiene un intervllo (M ε, M +ε), per un opportuno ε > 0. oiché M = sup S si h che esiste un elemento k ε di S contenuto in (M ε, M). Lo spzio topologico [0, k ε ] è coperto d un numero finito di perti di U. Aggiungendo U M tli perti, si prov che nche min{1, M+ ε } S. Essendo M = sup S 2 segue necessrimente che M = 1, quindi esiste un sottoricoprimento finito di U che copre [0, 1]. Corollrio Gli intervlli chiusi [, ] sono comptti in qunto omeomorfi d I. 2. S 1 è comptto in qunto quoziente di I. Teorem X, Y sono spzi topologici comptti se e solo se X Y è uno spzio topologico comptto. Dimostrzione. ) Segue dl ftto che le proiezioni sui fttori sono ppliczioni continue. ) Si U = {W j } j J un ricoprimento perto di X Y ; ricordndo che ogni W j è unione di perti elementri U jk V jk ; ottenimo così un nuovo ricoprimento perto di X Y, V = {U jk V jk } j J,k K. Y x V i X U x er ogni x X il sottospzio {x} Y Y è comptto, quindi esiste un sottoricoprimento finito di V che copre {x} Y ; denotimo gli perti di tle sottoricoprimento con {Ui x Vi x } i=1,...,n, ricordndo che Ui x, Vi x sono prticolri U jk e V jk. 35

42 3. roprietà topologiche Si Ũx = n i=1 U x i ; l vrire di x X gli Ũx costituiscono un ricoprimento perto di X, dl qule, per l compttezz di X è possiile estrrre un sottoricoprimento finito {Ũx t } t=1,...,m. U xt x xt V i U x jk V jk W j x L fmigli {Ũx t V xt i } i=1,...,n t=1,...,m è un ricoprimento finito di X Y ; per un opportun scelt di j e di k si h che Ũ xt V xt i U jk V jk W j, e quindi nche dl ricoprimento inizile si può estrrre un sottoricoprimento finito. Corollrio I n è comptto, R n non è comptto. roposizione (Chiuso di Comptto) Un sottoinsieme chiuso C di uno spzio comptto X è uno spzio comptto (con l topologi indott). Dimostrzione. Si U = {U i } i I un ricoprimento perto di C; poiché C h l topologi indott, U i = V i C, con V i perto di X. V = {{V i } i I, C c } è un ricoprimento perto di X; poiché X è comptto è possiile estrrre un sottoricoprimento finito {V 1,..., V n, C c }; llor {U 1,..., U n } è un sottoricoprimento finito di U. Corollrio Si C chiuso e limitto in R n con l topologi euclide. Allor C è comptto. 2. S n, D n sono comptti. R n è comptto. Dimostrzione. Se C è limitto, llor, per un R opportuno C è contenuto in [, ] n, che è comptto perché omeomorfo I n, e si può dunque pplicre l roposizione (3.13). Gli spzi S n e D n sono quindi comptti perché chiusi e limitti di R n+1 e di R n, e R n è comptto in qunto quoziente di S n. 36

43 3.1. Spzi comptti Esercizio Si R l rett rele con l topologi euclide, e si A = {, } un insieme formto d due elementi distinti con l topologi nle. Si infine Y = R A lo spzio prodotto. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di Y : e si stilisc se Z e W sono comptti. Z = (( 1, 1) {}) ([ 2, 2] {}), W = (( 1, 1) {}) (( 2, 2) {}), Esercizio Si I = [0, 1] l intervllo unitrio e si X = I { }; si consideri l topologi τ su X un cui se è formt di sottoinsiemi U I tli che U è un perto dell topologi indott su I dll topologi euclide e di sottoinsiemi V del tipo (, 1) { }. Si stilisc se (X, τ) è uno spzio topologico comptto. Esistono ltre nozioni di compttezz, oltre quell d noi considert, dett nche compttezz per ricoprimenti; prticolrmente importnte è l compttezz per successioni. Definizione Un successione {x n } n N si dice convergente l punto x X se per ogni intorno U di x esiste n 0 N tle che x n U per ogni n n 0. Definizione Uno spzio topologico X si dice comptto per successioni se ogni successione mmette un sottosuccessione convergente. Definizione Uno spzio topologico X verific il rimo ssiom di numerilità se per ogni punto x X esiste un fmigli di intorni {Un} x n N con l proprietà che per ogni intorno V di x esiste n N tle che U x n V. Un tle fmigli è dett sistem fondmentle di intorni per il punto x. Definizione Uno spzio topologico X verific il Secondo ssiom di numerilità se mmette un se numerile per l topologi. Esercizio Mostrre che se uno spzio topologico verific il secondo ssiom di numerilità, llor verific nche il primo. Le due nozioni di compttezz non sono equivlenti: imo che se X è comptto per ricoprimenti e verific il primo ssiom di numerilità llor X è comptto per successioni, mentre il vicevers è vero se X verific il secondo ssiom di numerilità. Un esempio di spzio che verific i due ssiomi è dto d R n : preso x R n un sistem fondmentle di intorni di x è dto di dischi perti centrti in x di rggio 1/n, mentre un se numerile è dt di dischi perti centro rzionle e rggio rzionle. er un pprofondimento rigurdo delle diverse nozioni di compttezz si ved l Appendice. 37

44 3. roprietà topologiche 3.2 SAZI DI HAUSDORFF Definizione Uno spzio topologico X si dice di Husdorff (o T 2 ) se per ogni coppi di punti diversi x, y X esistono intorni U x x, U y y t.c. U x U y =. Esempi ) Uno spzio topologico con l topologi discret è di Husdorff. Dti x y è sufficiente prendere U x = x e U y = y. ) (R n, τ ε ) è di Husdorff. Dti x y R n, denott con δ l distnz dei due punti δ = x y st prendere U x = B δ/3 (x) e U y = B δ/3 (y). c) Anlogmente ogni spzio metrico, con l topologi indott dll metric, è uno spzio di Husdorff. d) Uno spzio topologico con lmeno due punti in cui non esistono due perti disgiunti non è evidentemente di Husdorff. Di conseguenz uno spzio topologico con lmeno due punti e l topologi grossoln, uno spzio infinito con l topologi cofinit, R n con l topologi dei dischi e R con l topologi delle semirette non sono spzi di Husdorff. e) Un sottospzio di uno spzio di Husdorff è di Husdorff. Si A X il sottospzio; dti x y in A esistono in X due intorni disgiunti U x x e U y y tli che U x U y =. Gli insiemi U x A e U y A sono due intorni perti e disgiunti di x e y in A. Esercizio Stilire se sono o meno di Husdorff gli spzi topologici g) e h) degli esempi (1.2) e lo spzio topologico dell esempio (2.23). roposizione (Comptto di Husdorff) Un sottoinsieme comptto K di uno spzio di Husdorff X è un sottoinsieme chiuso. Dimostrzione. Dimostrimo che K c è perto. Si x un punto di K c ; per ogni punto y di K esistono un intorno U y di x e un intorno V y di y disgiunti. Al vrire di y in K gli perti V y costituiscono un ricoprimento perto di K, che è comptto, quindi esiste un sottoricoprimento finito V y1,..., V yn. Si U = i=1,...,n U y i ; U è un perto e U K =, quindi x è contenuto in un perto contenuto in K c, ed è quindi un punto interno K c. Corollrio Si f : X Y un ppliczione continu e iunivoc. comptto e Y è di Husdorff llor f è un omeomorfismo. Se X è 38