Università degli studi di Cagliari

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1 Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI II A.A. 018/019 Rppresentzione delle CONICHE e QUADRICHE 1

2 Rppresentzione delle CONICHE Generlità Si definiscono coniche le curve pine risultto dell intersezione di un pino con un cono Se > ellisse Se = 90 circonferenz

3 Rppresentzione delle CONICHE Generlità Se < Iperbole Se = Prbol

4 Rppresentzione delle CONICHE Generlità Coniche Degeneri Pini pssnti per il vertice

5 Rppresentzione delle CONICHE Generlità Le coniche sono curve del pino venti equzione del tipo f(,) = 0, dove f(,) è un polinomio coefficienti reli di secondo grdo nelle vribili e L equzione generle dell conic è: + b + c + d + e + f =0 dove, b, c, d, e, f, sono numeri reli e lmeno uno tr, b, c, è diverso d zero se b - 4c < 0 ELLISSE se b - 4c = 0 PARABOLA se b - 4c > 0 IPERBOLE

6 L equzione generle: = + b + c ASSE VERTICE FUOCO DIRETTRICE Rppresentzione delle CONICHE Prbol b b 4 ; b 4 1 ; b 4 1 ;

7 Rppresentzione delle CONICHE Prbol Esempi: = = 4 +

8 Rppresentzione delle CONICHE Circonferenz Equzione generle: b + c = 0 CENTRO ( 0; 0 ) b ; RAGGIO b 1 r c b 4c Form cnonic: ( - 0 ) + ( - 0 ) = R Equzione prmetric: = R cost = R sent

9 Rppresentzione delle CONICHE Circonferenz Esempi: + -5 = =0

10 Rppresentzione delle CONICHE Ellisse Form cnonic : 1 b Equzione ELLISSE con centro diverso dll origine degli ssi: ( ) ( b ) Equzione prmetric: = cost = b sent

11 Rppresentzione delle CONICHE Ellisse Esempi: 5 9 1

12 Rppresentzione delle CONICHE Ellisse Esempi: =0 Centro (1,-3) Semissi 11 b 11

13 Rppresentzione delle CONICHE Iperbole L equzione generle: b 1 sintoti: b Equzione IPERBOLE con centro nel punto ( ( 0, 0) ) ( b ) sintoti b ( 0) 0

14 Rppresentzione delle CONICHE Iperbole b b 1 3 f( ) g( ) p( ) q( ) Esempio: =5 e b=4 3 4 b

15 Rppresentzione delle CONICHE Iperbole Esempio:

16 Rppresentzione delle CONICHE Iperbole IPERBOLE EQUILATERA = b 1 sintoti Esempio: 4

17 Rppresentzione delle CONICHE Iperbole IPERBOLE EQUILATERA con sintoti prlleli gli ssi coordinti k

18 Rppresentzione delle Qudriche Generlità Un qudric è un superficie di equzione crtesin f (,, z) 0 dove f(,,z) è un polinomio di grdo nelle vribili,,z. L equzione nell form generle si può scrivere: b cz d ez fz g h iz m 0

19 Rppresentzione delle Qudriche Generlità Dt un qudric in form generle, si può dimostrre che esiste un nuovo riferimento O XYZ (rototrslto rispetto Oz) nel qule l equzione dell qudric ssume un delle due forme cnoniche: 1) X Y Z ) X Y Z

20 Rppresentzione delle Qudriche Generlità 1) X Y Z ) X Y Z Se,,, 0 l qudric si dice non degenere e Dll 1) si ottengono: ELLISSOIDE IPERBOLOIDE A UNA FALDA X Y Z 1.3) 1 b c IPERBOLOIDE A DUE FALDE

21 Rppresentzione delle Qudriche Generlità 1) X Y Z ) X Y Z Se,,, 0 l qudric si dice non degenere e Dll ) si ottengono: X Y.1) Z b PARABOLOIDE ELLITTICO PARABOLOIDE IPERBOLICO o sell

22 Rppresentzione delle Qudriche Ellissoide Superficie dt dll'equzione ridott: b z c 1 I numeri, b, c si chimno semissi dell'ellissoide Se intersechimo l'ellissoide con il pino z = h ottenimo b h 1 c Si trtt di un ellisse ( punti reli) se h / c 1, ossi c h c In modo nlogo si rgion per pini del tipo = h ; = h

23 Rppresentzione delle Qudriche Ellissoide Ellissoide di Rotzione Se due dei semissi sono uguli, l ellissoide è un superficie di rotzione ttorno uno degli ssi. Ad esempio se = b l'equzione divent: z c 1 z

24 Rppresentzione delle Qudriche Sfer Se = b = c = r si ottiene l equzione di un sfer: z r z

25 Rppresentzione delle Qudriche Prboloide Ellittico Prboloide Ellittico Superficie dt dll'equzione ridott: z b L intersezione del prboloide con i pini = h sono prbole con sse prllelo ll sse z,nlogmente con i pini = h. L intersezione del prboloide con i pini z = h >0, sono ellissi.

26 Rppresentzione delle Qudriche Prboloide Ellittico Prboloide Ellittico Superficie dt dll'equzione ridott: z b Se = b si ottiene un prboloide di rotzione di equzione: z Prboloide rotondo

27 Rppresentzione delle Qudriche Prboloide rotondo Se = b si ottiene un prboloide di rotzione di equzione: z L intersezione del prboloide con i pini = h sono prbole con sse prllelo ll sse z,nlogmente con i pini = h. L intersezione del prboloide con i pini z = h >0 sono circonferenze.

28 Rppresentzione delle Qudriche Prboloide Rotondo Prbolidi del tipo: z =1/ = 1 = = 10

29 Rppresentzione delle Qudriche Prbolide Iperbolico (Prboloide sell) Superficie dt dll'equzione ridott: z b Le intersezioni con i pini = h, = h sono prbole con sse prllelo ll sse z le prime con concvità rivolt verso l lto le seconde con concvità rivolt verso il bsso Le intersezioni con i pini z = h sono iperboli h > 0 sse trverso // h < 0 sse trverso //

30 Rppresentzione delle Qudriche Cono Cono Ellittico Superficie dt dll'equzione ridott: z b 1 Le intersezioni con i pini z = h sono ellissi. z c 1 0 Se = b Cono Rotondo: Le intersezioni con i pini z = h sono circonferenze r

31 Rppresentzione delle Qudriche Cono

32 Rppresentzione delle Qudriche Iperboloide un fld Superficie dt dll'equzione ridott: b z c 1 Le intersezioni con i pini z = h sono ellissi. Le intersezioni con i pini = h, = h sono iperboli, queste sono equiltere se: b = c per i pini = h = c per i pini = h = b Iperboloide di rotzione un fld Le intersezioni con i pini z = h sono circonferenze r

33 Rppresentzione delle Qudriche Iperboloide due flde Iperboloide due flde Superficie dt dll'equzione ridott: b z c 1 Le intersezioni con i pini = h, = h sono iperboli. Le intersezioni con i pini z = h, ellissi, i quli esistono solo per h /c > 1

34 Rppresentzione delle Qudriche Iperboloide due flde Iperboloide due flde Superficie dt dll'equzione ridott: z c 1 (0,0,c) = b Iperboloide di rotzione Le intersezioni con i pini z = h sono circonferenze (0,0,-c)

35 Rppresentzione delle Qudriche Iperboloide due flde Iperboloide due flde z Superficie dt dll'equzione ridott: 1 Le intersezioni con i pini z = h, = h sono iperboli. Le intersezioni con i pini = h, ellissi: = b Iperboloide di rotzione Le intersezioni con i pini = h sono circonferenze b c

36 Rppresentzione delle Qudriche Cilindro Cilindro ellittico Superficie dt dll'equzione ridott: z b 1 Le intersezioni con i pini z = h sono ellissi.

37 Rppresentzione delle Qudriche Cilindro Cilindro Rotondo Superficie dt dll'equzione ridott: z 1 = b = r Cilindro di rivoluzione (Rotondo) Le intersezioni con i pini z = h sono circonferenze r

38 Rppresentzione delle Qudriche Cilindro Prbolico Cilindro Prbolico Superficie dt dll'equzione ridott:

39 Rppresentzione delle Qudriche Cilindro Prbolico z c Cilindro Prbolico z c

40 Rppresentzione delle Qudriche Cilindro Prbolico Cilindro Iperbolico Superficie dt dll'equzione ridott: b 1