Complementi di Geometria Analitica.

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1 Sito Personle di Ettore Limoli Lezioni di Mtemtic Prof Ettore Limoli Complementi di Geometri Anlitic Sommrio Complementi di Geometri Anlitic Simbolismo dottto Mtrici e determinnti Premess Uso degli spzi un o più dimensioni in Fisic 5 Punti propri e impropri 5 6 Coordinte omogenee 6 7 Punti impropri delle coniche e invrinte ortogonle 7 8 Discriminnte di un conic 9 8- Esempio 8- Esempio 8- Esempio 9 Fsci di coniche 9- Esercizio Polrità rispetto d un conic 7 - Esempio 8 - Esempio 8 Are di un tringolo 9 - Esempio 9 Trsformzioni ffini - Esercizio Conclusioni Simbolismo dottto per ogni, qulunque (quntifictore universle) esiste (quntifictore esistenzile) : tle che congiunzione logic (nd logico) disgiunzione logic (or logico) impliczione

2 implic e complic pprtenenz d un insieme prodotto crtesino fr insiemi insieme dei numeri reli insieme dei numeri reli escluso lo zero N insieme dei numeri nturli N insieme dei numeri nturli escluso lo zero Z insieme degli interi reltivi Q insieme dei rzionli Mtrici e determinnti Un tbell di numeri disposti per righe e colonne è dett mtrice In genere un mtrice m righe ed n colonne si indic: m m n n m n, dove r c è l elemento dell r-esim rig e c-esim colonn Se m = n l mtrice si dice qudrt Ad ogni mtrice qudrt si ssoci un numero detto determinnte dell mtrice Il determinnte di un mtrice n n si indic con: n n n n n n Per n = il determinnte coincide con il numero dto: = Per n = il determinnte è dto d: Ossi si moltiplicno gli elementi dell digonle principle ed l prodotto si sottre quello degli elementi dell digonle secondri Per n = si procede, d esempio, secondo l regol di Srrus Si dispongono i dti dell tbell secondo lo schem di seguito riportto:

3 L mtrice viene llrgt ripetendo le prime due colonne Ciò ftto si sommno fr loro i prodotti degli elementi pprtenenti digonli prllele ll digonle principle (evidenzit nello schem), si clcol cioè: d = + + Si procede d nlogo clcolo seguendo le prllele ll digonle secondri Ottenimo quindi: d = + + Il determinnte cercto è dto d: det = d d Per il determinnte di ordine superiore l tre rimndimo il lettore ll consultzione di un qulsisi testo di lgebr delle mtrici Premess L geometri nlitic del pino si fond sull esistenz di un biiezione (corrispondenz biunivoc) che ssoci d ogni coppi ordint di numeri reli (x, y) un punto del pino e vicevers Le coppie ordinte di numeri reli (x, y) sono elementi del prodotto crtesino che viene spesso indicto con ; pertnto divent sinonimo di pino crtesino Anlogmente qunto detto, d ogni tern ordint di numeri reli (x, y, z) si ssoci un punto dello spzio e vicevers, ossi rppresent lo spzio L esponente nell potenz di indic l dimensione dello spzio, ossi: lo spzio zero dimensioni (punto) si indic con ; lo spzio d un dimensione (rett) si indic con ; lo spzio due dimensioni (pino) si indic con ; lo spzio tre dimensioni (l ordinrio spzio tridimensionle) si indic con Questo consente di generlizzre il concetto di spzio e di considerre uno spzio n dimensioni n, ossi l insieme delle n-uple ordinte di numeri reli del tipo: (x, x,, x n ) Ovvimente uno spzio con più di tre dimensioni non può essere immginto dll nostr mente (noi simo esseri tridimensionli) Tuttvi, per fre geometri nlitic, non serve disegnre le figure, si oper soltnto lgebricmente Pertnto, il crescere il numero di dimensioni dello spzio non costituisce un problem concettule, m solo lgebrico

4 Il modo di procedere dell geometri nlitic schiude orizzonti dell mente impensbili per chi si limit fre geometri sintetic (così come ci è stt trmndt d Euclide), lscindo che l mtemtic ci consent di immginre cose di cui l mente non riesce drsi un immgine visiv L mtemtic è il nostro terzo occhio, l occhio dell mente, che ci consente conoscenze slegte dl sensibile L geometri non è più un pur descrizione, si pur come modello, dello spzio fisico (come voluto d Euclide), m un mondo sé che può fungere d modello descrittivo dello spzio fisico, m può nche ndre oltre Un domnd che sorge spontne è quest: È proprio utile poter lvorre con spzi n dimensionli o si trtt di un puro diletto dell mente? È quest domnd che tenteremo di dre un rispost Uso degli spzi un o più dimensioni in Fisic In fisic, per descrivere il moto di oggetti, si pur tridimensionli, ci si serve di spzi di dimensioni vribili L dimensione dello spzio è legt l grdo di libertà dell oggetto e non ll su dimensione fisic Fccimo qulche esempio per chirire questo sserto Il moto di un port (oggetto tridimensionle) è descrivibile medinte un unico prmetro (grdo di libertà) che è l ngolo di pertur dell port Assegnto l ngolo di pertur l port può ssumere solo un unic posizione Quindi uno spzio è sufficiente per descrivere questo tipo di moto Per fre il punto di un nve occorrono due prmetri (ltitudine e longitudine), pertnto il moto è descrivibile in Per un l posizione di un ereo occorrono tre prmetri: ltitudine, longitudine e ltitudine; pertnto il suo moto è descrivibile in B A Figur Per descrivere l posizione nello spzio di un st rigid di lunghezz L, occorrono lmeno cinque prmetri (figur ) Sino, d esempio, A e B gli estremi dell st di lunghezz L Fisste le coordinte crtesine (x, y, z) di A, il punto B è vincolto stre su un sfer di centro A e rggio L (lunghezz di AB), pertnto occorrono ltri due prmetri (, ), ossi l ltitudine e l longitudine sull suddett sfer Essendo quindi cinque i grdi di libertà, il moto dell st è descrivibile in 5 Anlogmente si potrebbe dimostrre che l posizione di un compsso è descrivibile in 8, perché otto sono i grdi di libertà in questo cso Questi esempi dimostrno che, pur vendo che fre con oggetti dello spzio ordinrio tre dimensioni, l descrizione fisic può servirsi di spzi con dimensione si minore che mggiore di

5 5 Punti propri e impropri Qunto precedentemente detto dovrebbe consentirci di ccettre un ulteriore estensione del concetto di pino crtesino che, si pur con qulche lieve ggrvio di operzioni lgebriche, vedremo può risultre fruttuoso consentendoci di descrivere cose non descrivibili se ci limitimo ll uso delle normli coordinte crtesine Quello che voglimo fre è ssocire d un tern ordint (x, y, t ) di numeri reli, non tutti nulli, un punto del pino e vedere se è possibile il vicevers Supponimo, in primo luogo, che si t In questo cso, ssocimo ll tern ordint (x, y, t ) l coppi ordint (x, y) così definit: [] x' x t' y' y t' (con t' ) Osservimo che se ll tern (x, y, t ) si ssoci, medinte le [], l coppi (x, y), nche ll tern (k x, k y, k t ), k, si ssoci lo stesse coppi (x, y) e quindi lo stesso punto del pino, perché: k x' x' x k t' t' k y' y' y k t' t' (con t' ) Ovvimente, d ogni punto del pino (x, y) si può ssocire un qulsisi tern ordint del tipo (k x, k y, k t ), k, t Ovvimente, se t =, non hnno senso le [] e quindi ll tern (x, y, t ) non può essere ssocit nessun coppi ordint del tipo (x, y), ossi lcun punto del pino Tuttvi convenimo di chimre punti impropri quelli definiti d terne ordinte di numeri non tutti nulli del tipo: (x, y, ) Le terne ordinte di numeri non tutti nulli con t le chimeremo punti propri Con le ordinrie coordinte crtesine l coppi ordint (x, y) di numeri reli divent sinonimo di punto, per le terne non è l stess cos Diremo che due terne ordinte di numeri non tutti nulli (x, y, t ) e (x, y, t ), ossi due elementi di - (,, ), sono equivlenti se esiste un k tle che (kx, ky, kt ) = (x, y, t ) È fcile verificre che quest è un relzione di equivlenz perché gode delle proprietà: (x, y, t ) R (x, y, t ) [riflessiv]; (x, y, t ) R (x, y, t ) (x, y, t ) R (x, y, t ) [simmetric]; (x, y, t ) R (x, y, t ) (x, y, t ) R (x, y, t ) (x, y, t ) R (x, y, t ) [trnsitiv] Dimostrzione Per dimostrre l () bst prendere k = Per le ipotesi dell () k : (kx, ky, kt ) = (x, y, t ) Si deve provre che h : (hx, hy, ht ) = (x, y, t ) Bst prendere h = /k 5

6 Per le ipotesi dell () h : (hx, hy, ht ) = (x, y, t ) e p : (px, py, pt ) = (x, y, t ) Occorre dimostrre che k : (kx, ky, kt ) = (x, y, t ) Bst quindi prendere k = hp Essendo quindi R un relzione di equivlenz, ess induce in - (,, ) un prtizione in clssi di equivlenz L insieme quoziente - (,, ) / R è l insieme dei punti del pino (propri e impropri) Il luogo dei punti impropri h, ovvimente, equzione t = Trttndosi di un equzione di grdo nelle incognite x, y e t, nlogmente qunto si f nell usule geometri nlitic, il luogo dei punti impropri è considerto un rett che prende il nome di rett impropri 6 Coordinte omogenee Considerto il pino crtesino llrgto con i punti impropri, ossi l insieme quoziente - (,, ) / R, il sistem di coordinte così introdotte si chimno coordinte crtesine omogenee perché ogni equzione lgebric di qulsisi grdo divent omogene nelle tre vribili x, y e t Ad esempio, un rett, nell ordinrio pino crtesino, è rppresentt d un equzione di grdo del tipo: x + b y + c = Utilizzndo le [] del precedente prgrfo, per pssre in coordinte omogenee, si h: x' t' b y' c t' Moltiplicndo tutto per t, si ottiene ncor: x + b y + c t =, che è un equzione di grdo omogene nelle vribili x, y e t Un conic, nell ordinrio pino crtesino è rppresentt d un equzione di grdo in x e y del tipo: x + b xy + c y + d x + e y + f = Con rgionmento nlogo quello ftto per le rette, in coordinte omogenee, l equzione di un generic conic diviene: x + b x y + c y + d x t + e y t + f t =, che è un equzione omogene di grdo nelle vribili x, y e t Teorem: Due rette prllele hnno lo stesso punto improprio Sino r ed s due tette prllele di equzione: 6

7 (r) y = m x + q, (s) y = m x + p In coordinte omogenee le equzioni diventno: (r) y = m x + q t, (s) y = m x + p t Per individure il punto improprio di r risolvimo il sistem: y' m x' q t' t' Sostituendo si h: y' m x' t' Il sistem h due equzioni e tre incognite, quindi d un delle incognite è possibile dre un vlore rbitrrio per determinre un delle infinite soluzioni che esso mmette Si ricordi che in coordinte omogenee il punto non è rppresentto d un unic tern, m d un delle infinite terne fr esse equivlenti Si, d esempio, x = ; d cui: x' y' m t' Pertnto l rett r h punto improprio (, m, ) che, com è bnle verificre, è punto improprio pure dell rett s Rest d provre che qunto detto per le rette del tipo y = mx + q, vle nche per le rette prllele ll sse y che non sono del tipo x = p In questo cso è immedito verificre che il loro punto improprio è (,, ) 7 Punti impropri delle coniche e invrinte ortogonle Considerimo delle coniche in form cnonic e vedimo di determinte i loro punti impropri In primo luogo considerimo l ellisse che in form cnonic h equzione: x y b L equzione può essere scritt, in coordinte omogenee: b x + y = b t (equzione ridott) Per determinre i punti impropri ponimo t = per cui si h: 7

8 b x + y = Poiché un somm di qudrti non può mi essere null, se ne deduce che l ellisse è priv di punti impropri In ltre prole possimo dire che l rett impropri è estern ll ellisse Qunto detto per l ellisse vle pure per l circonferenz che è un prticolre ellisse in cui = b = r L iperbole cnonic in coordinte omogenee h equzione: b x - y = b t (equzione ridott) Ponendo quest ultim equzione sistem con t =, si h: ossi: b x - y =, x' y' d cui: b, x' y' b Pertnto i punti impropri dell iperbole sono: (, b, ) e (, -b, ) Pertnto l rett impropri è un secnte dell iperbole Si verific fcilmente che i punti impropri dell iperbole sono i punti impropri dei suoi sintoti che hnno equzioni: b y x Per concludere determinimo i punti impropri dell prbol in form cnonic: y = p x L equzione in coordinte omogenee è: y = p x t Imponendo t =, si h: y = ; Pertnto l prbol h come punto improprio il punto (,, ) come punto doppio In questo cso, quindi, l rett impropri è tngente ll prbol Questo punto improprio pprtiene nche ll sse x che è sse di simmetri dell prbol cnonic 8

9 Questo comportmento dell rett impropri rispetto d un conic (essere estern, secnte o tngente) costituisce un invrinte per le coniche, nel senso che, se si oper con un qulsisi cmbimento del sistem di riferimento, il comportmento dell rett impropri, rispetto ll conic considert, non cmbi rimnendo estern per tutte le ellissi o circonferenze, secnte per tutte le iperboli e tngente per tutte le prbole Come si è visto un generic conic in coordinte omogenee h equzione: x + b x y + c y + d x t + e y t + f t =, Per determinre i suoi punti impropri, ponimo t =, d cui: x + b x y + c y = Dividendo tutto per y, si h: x' x' [] b c y' y' Quest è un equzione di secondo grdo in x /y il cui discriminnte è = b c Pertnto si hnno i csi: > l [] mmette due rdici reli e distinte, pertnto l conic è un iperbole = l [] mmette due rdici reli e coincidenti, pertnto l conic è un prbol < l [] mmette due rdici complesse e coniugte, pertnto l conic è un ellisse Il discriminnte è un invrinte ortogonle dell conic perché non mut il vlore se si trsform l conic medinte un qulsisi isometri (trslzione, rotzione, simmetri) 8 Discriminnte di un conic Se scrivimo l equzione di un generic conic nell form: x + x y + y + x t + y t + t = In questo cso i coefficienti sono indicti con i j I due indici indicno l vribile per cui si riferisce il coefficiente: per x, per y e per t Indici diversi crtterizzno i termini misti, che hnno nche il coefficiente moltiplicto per, indici uguli se figur un sol vribile Il seguente determinnte è detto discriminnte dell conic: A dove r c c r Il discriminnte dell conic è un ltro invrinte ortogonle come il Se A l conic risult irriducibile, ltrimenti è degenere (ossi si spezz in rette reli o complesse) Un ultimo invrinte ortogonle è l invrinte linere così definito: 9

10 I = + Per determinre l equzione cnonic di un conic non occorre effetture trslzioni o rotzioni, bsterà servirsi degli invrinti ortogonli 8- Esempio Si vogli studire l conic di equzione: x y + y + = Clcolimo gli invrinti ortogonli: A 6 I = = = Si trtt quindi di un iperbole (essendo > ) non degenere (essendo A ) L form ridott dell iperbole è: x + b y + c =, in cui A = bc; I = + b; = - b Determinimo i coefficienti, b, c risolvendo il sistem: b b b c 6 d cui b - b c 6 e nche

11 b - b c Le prime due equzioni indicno che e b sono due numeri l cui somm è ed il prodotto è, pertnto l soluzione del sistem è: b - c oppure - b c L conic h pertnto form ridott: x y + =, oppure - x + y + = Pertnto l form cnonic è: x y = - ; x x y y, Iperbole con sse principle l sse Y Oppure, d x - y =, si ottiene x y, che è l iperbole d sse principle l sse X 8- Esempio Si studi l conic di equzione: x y x = In questo cso si h:

12 A ; I = ; = Si trtt ncor di un iperbole non degenere L su form ridott si ottiene risolvendo il sistem: c b b b che mmette le due soluzioni: - c b Si trtt quindi dell iperbole equilter x y =, oppure y x = 8- Esempio Si dt l conic di equzione: x x y =, per ess si h: A ; I = ;

13 = Si trtt pertnto di un prbol non degenere l cui form ridott può essere del tipo: dove y + b x =, b b A, b I = = Pertnto, risolvendo il sistem: b si hnno le soluzioni: b ossi le forme ridotte sono: y x =, d cui ottenimo: x = y Anlogmente si può procedere per cercre forme ridotte del tipo: x + b y = (prbole d sse di simmetri coincidente con l sse Y) 9 Fsci di coniche Sino f(x, y) = e g(x, y) = due qulsisi coniche degeneri o non degeneri Effetture un loro combinzione linere, medinte due prmetri non entrmbi nulli e, vuol dire considerre un equzione del tipo: [] f(x, y) + g(x, y) =

14 Ad ogni coppi ordint (, ) -(, ) corrisponde un conic, l equzione [] è quell del fscio di coniche individuto dlle coniche f e g Nell prtic lvorre con due prmetri è molto scomodo, pertnto si procede come segue Supponimo si, dividendo l [] per, si h: f(x, y) μ λ g(x, y), dove, posto k = /, si h: [] f(x, y) + k g(x, y) = Per =, l espressione [] del fscio restituisce l conic di equzione g(x, y) = Scrivendo il fscio nell form [] non c è nessun vlore di k che restituisce l conic g Quest conic si dice che si ottiene per k (leggi: k tendente d infinito) Convenendo di indicre con C l conic che si ottiene per k =, C l conic che si ottiene per k =, e così vi; l conic g, mncnte dl fscio qundo è espresso medinte l espressione [], viene indict con C (leggi: c con infinito) Gli eventuli punti comuni lle due coniche f e g, genertrici del fscio, sono comuni tutte le coniche del fscio e sono detti punti bse 9- Esercizio Dto il fscio di coniche l cui generic equzione è: (k ) x + k y k x =, determinre: i vlori di k per cui si hnno ellissi, prbole ed iperboli; l eventule circonferenz del fscio; l eventule iperbole equilter del fscio; le prbole del fscio; l C del fscio; i punti bse del fscio Per determinre l ntur delle coniche clcolimo = - k (k ) e vedimo qule segni ssume l vrire di k Essendo per k, si h: per k < ellissi; per k = prbol; per < k < iperboli; per k = prbol; per k > ellissi Per ottenere l circonferenz dobbimo imporre =, essendo = Nel nostro cso occorre porre: (k ) = k Quest equzione non h soluzioni, quindi il fscio è privo di circonferenz l vrire di k

15 Per ottenere l iperbole equilter dobbimo imporre = -, essendo = Nel nostro cso occorre porre: (k -) = - k Quest equzione mmette soluzione k = ½ Sostituendo questo vlore nell equzione del fscio ottenimo: x y x, pertnto l iperbole è: x y + x = Mncndo il termine di secondo grdo misto in xy, si trtt di un iperbole trslt rispetto ll form cnonic Per individure il centro di simmetri vedimo di riscriverl come differenz di qudrti Questo è fttibile considerndo il termine di primo grdo in x come il doppio prodotto nello sviluppo del qudrto di un binomio, ossi: x x y, per ottenere un trinomio che risulti qudrto di un binomio, primo membro è stto ggiunto il termine ¼ e, per non lterre l equzione, ¼ è stto ggiunto pure l secondo membro L equzione diviene: x y Quest form ci mostr che con l posizione: [5] X x Y y l iperbole ssume l form cnonic X Y Poiché l [5] è un trslzione che port l origine in (- ½, ), il centro di simmetri è ppunto questo e l iperbole h form come in figur 5

16 Figur Le coordinte dei vertici si possono ottenere intersecndo l iperbole col suo sse principle, che nel nostro cso coincide con l sse X Il sistem x y y x mmette soluzioni (-, ) e (, ) che sono i vertici dell nostr iperbole Gli sintoti sono le rette pssnti per il centro di simmetri e per i punti impropri dell iperbole Nel nostro cso bst tener conto che si trtt di un iperbole equilter trslt, per cui gli sintoti sono prlleli lle bisettrici dei qudrnti, ossi hnno equzioni: y x e y x L prim prbol si ottiene per k =, d cui si h x = che è un conic degenere che si spezz nell rett x = contt due volte (sse Y) L second prbol si ottiene per k =, d cui si h y x =, ossi x = y che è un prbol cnonic con vertice nell origine, sse di simmetri l sse X e concvità rivolt verso destr Per ottenere l C del fscio, nell su equzione, mettimo in evidenz il k fr i termini che lo contengono: k (x + y x) x = Uguglindo zero il fttore che moltiplic k ottenimo l conic cerct: x + y x = che è un circonferenz di centro (½, ) e rggio ½ I punti bse si ottengono come intersezione di due qulsisi coniche del fscio Nel nostro cso possimo considerre le due prbole, per cui: 6

17 x y x ottenimo l unico punto bse (, ) contto due volte Si trtt quindi di coniche tutte tngenti fr loro nell origine Figur In figur sono mostrte le coniche studite poste tutte sullo stesso digrmm crtesino Polrità rispetto d un conic Si dt un conic non degenere (A ) di equzione: x + x y + y + x t + y t + t =, e un punto P (x, y, t ), si chim polre del punto P rispetto ll conic l rett di equzione: ( x + y + t ) x + [6] + ( x + y + t ) y + + ( x + y + t ) t = il punto P è detto polo dell rett [6] L biiezione che ssoci d ogni punto P del pino l rett polre rispetto d un conic irriducibile (A ) si chim polrità Se il punto P pprtiene ll conic, llor l polre [6] è l tngente ll conic in quel suo punto Se P è un punto esterno ll conic, llor le tngenti ll conic, condotte d P, toccno l conic nei due punti comuni ll conic ed ll polre (vedi figur) 7

18 P polre Figur L polre di un fuoco si chim direttrice dell conic (già not per le prbole) Il polo dell rett impropri è il centro dell conic Ellisse ed iperbole hnno un centro proprio che è centro di simmetri, l prbol è priv di centro proprio - Esempio Dt l prbol di equzione y = x, vente fuoco F (, /8) e direttrice y = -/8, determinimo l polre del fuoco F rispetto ll prbol dt e verifichimo che coincide con l direttrice Per vere fcilmente sott occhio i coefficienti dell conic, scrivimo il suo discriminnte A A In coordinte omogenee il fuoco h coordinte (, /8, ), pertnto l polre di F è: ( + /8 + ) x + ( + /8 /) y + ( //8 + ) t =, ossi -/ y /6 t =, che coincide, ppunto, con l direttrice - Esempio Riconsiderimo l iperbole equilter dell esercizio 9- e determinimo il suo centro di simmetri come polo dell rett impropri t = L equzione dell conic è x y + x = e il suo discriminnte, usto come mtrice guid per l determinzione dei coefficienti, è dto d: 8

19 A L polre rispetto d un punto P (x, y, t ) h equzione: (x + t /) x y y + x / t = Imponimo che quest equzione si identicmente ugule ll t = Per il principio d identità dei polinomi si deve vere: t' x' y', x' pertnto le coordinte sono: P (,, -) In coordinte non omogenee le coordinte del punto sono: P (-/, ) che, come già visto, è centro di simmetri dell conic Are di un tringolo L re di un tringolo di vertici A (x, y, t ), B (x, y, t ) e C (x, y, t ) è dt dll formul: S x' x' x' y' y' t' t' t' t' Se i punti sono llineti, ovvimente, l re è null - Esempio Clcolre l re del tringolo di vertici A(-, ), B (, ) e C(, ) Applicndo l formul si h: S - ( ) Risultto conseguibile nche per ltre vie 9

20 Trsformzioni ffini In coordinte crtesine non omogenee l ffinità è un trsformzione geometric rett d un equzione del tipo: con X Y δ x x y y,, essendo = S /S il rpporto di ffinità, ossi il rpporto fr l re S di un figur trsformt e l re dell figur di prtenz S In coordinte omogenee l equzione divent: [7] X' ' Y' ' T' ' x' ' x' ' y' ' y' ' t' t' t', dove ed il rpporto d ffinità è dto d: δ ' ' ' ' ' ' ' ' È fcile verificre che le [7] sono tli d trsformre punti propri in punti propri e punti impropri in punti impropri; ossi per ffinità non può ccdere che un punto improprio si trsformi in punto proprio e vicevers Questo equivle d ffermre che rette prllele si trsformno in rette prllele perché, essendo il loro punto comune improprio, il punto comune delle trsformte rimne improprio e quindi le trsformte continuno d essere prllele Qunto detto si esprime dicendo che l ffinità è un trsformzione che conserv il prllelismo tr rette Anche le coniche non mutno l loro ntur, ossi mntenendo il loro numero di punti impropri, le ellissi si trsformno in ellissi (o l più circonferenze), le prbole si trsformno in prbole e le iperboli in iperboli Poiché l ffinità trsform rette in rette, ne segue che se un conic è degenere si trsformerà in un conic degenere, se è non degenere continuerà rimnere tle - Esercizio Determinre il rpporto d ffinità dell seguente trsformzione e scriverl in coordinte non omogenee () X' x' y' t' Y' - x' y' T' t'

21 Il rpporto d ffinità è dto d: - δ - Per ottenere l trsformzione in coordinte non omogenee, dividimo membro membro le prime due equzioni dell per l terz e ottenimo: ossi dove X' x' y' T' t' t' Y' x' y' T' t' t', X x y Y x y, δ - Ovvimente il vlore di è identico quello ricvto prim Conclusioni L introduzione delle coordinte omogenee in geometri nlitic non serve solo semplificre dei clcoli o scoprire nuove proprietà delle coniche, m d prire le porte trsformzioni geometriche diverse dlle ffinità in cui punti impropri possono divenire propri e vicevers L trttzione di queste trsformzioni v ben oltre i limiti di un lvoro indirizzto studenti di scuol secondri superiore Tuttvi lo studio dell prospettiv in disegno lsci intuire che i punti di fug, verso cui sembrno convergere rette prllele, ltri non sono che punti impropri che, per effetto di un trsformzione proiettiv, diventno punti propri Ettore Limoli