Matematica 3 (SEFA) note del corso, III parte

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1 Mtemtic 3 (SEFA) note del corso, III prte C.Msci versione del 1 dicembre 215 Indice 1. Integrli multipli Misur di Peno Jordn Costruzione dell integrle multiplo Formule di riduzione 5 1. Integrli multipli 1.1. Misur di Peno Jordn. Seguendo l strtegi utilizzt per l definizione di re di sottogrfici, proponimoci l obiettivo di dre senso ll misur di insiemi R n. Nel seguito, dicimo che gli insiemi e Y non sono sovrpposti se gli unici punti di ccumulzione si per che per Y sono gli elementi di Y. Definizione Un regione R R n è un iper-rettngolo (o, brevemente, rettngolo) se è del tipo [ 1, b 1 ] [ n, b n ] con k b k per ogni k. L misur di un rettngolo R è n m(r) = (b k k ) = (b 1 1 )... (b n n ). Un regione R n è un pluri-rettngolo se esistono R 1,..., R p rettngoli, due due non sovrpposti, tli che = R 1 R 2 R p. L misur di un pluri-rettngolo è m() = A(R k ). I pignoli potrnno dedicrsi dimostrre che l definizione di re di plurirettngolo è ben post, nel senso che decomposizioni diverse in rettngoli forniscono lo stesso vlore di re. L misur di insiemi più generli dei pluri-rettngoli può essere definit con un procedimento molto simile quello utilizzto nell costruzione dell integrle definito. Inftti, se indic un plurirettngolo contenuto in e un plurirettngolo contenente, l (definend) misur di è compres tr le misure di e. L migliore delle stime per difetto dell misur di si ottiene considerndo l estremo superiore delle

2 2 misure dei plurirettngoli contenuti e l migliore delle stime per eccesso con l estremo inferiore delle misure dei plurirettngoli contenenti. Tutto ciò suggerisce l seguente definizione. Definizione Un insieme limitto R n Jordn) se è misurbile (secondo Peno sup{m() : pluri-rettngolo, = inf{m() : pluri-rettngolo, dove e indicno pluri-rettngoli in R n. Il vlore comune si chim misur di e si indic con m(). Prticolrmente utile per l determinzione dell misurbilità di insiemi è il ftto che un insieme è misurbile se e solo se l su frontier è misurbile con misur null. Proposizione L insieme limitto R n è misurbile se e solo se inf{m(y ) : Y pluri-rettngolo, Y =. L dimostrzione si bs sul ftto che d ogni plurirettngolo contenuto in è possibile costruire un pluri-rettngolo ggiungendo un pluri-rettngolo Y che conteng, in prticolre, nche l frontier. L differenz m() m() può essere res rbitrrimente piccol se e solo se l misur m(y ) può essere res nch ess rbitrrimente piccol. Per economi, omettimo i dettgli. Come per gli integrli definiti, vlgono lcune proprietà di bse. 1. Chiusur rispetto unione/intersezione. L unione di un numero finito di insiemi misurbili è misurbile; l intersezione di un numero finito di insiemi misurbili è misurbile. 2. Additività. Per insiemi misurbili 1,..., p non sovrpposti vle ( p ) m k = m( k ). 3. Monotonì. Se e Y sono misurbili e Y, llor m() m(y ). 4. Invrinz per trslzioni. Se è misurbile, llor per ogni v R n l insieme + v è misurbile e si h m( + v) m(). 5. Invrinz per trsformzioni ortogonli. Se è misurbile, llor per ogni trsformzione ortogonle U d R n in sé, l insieme U è misurbile e si h m(u) m().

3 Qulche prol sulle dimostrzioni. L proprietà 1. è conseguenz dell crtterizzzione ppen riportt e delle inclusioni ( Y ) Y e ( Y ) Y. L proprietà 2. si deduce dl ftto che, per insiemi sovrpposti, l intersezione è contenut nell unione delle frontiere k degli insiemi, le quli hnno tutte misur null, essendo gli insiemi misurbili. L monotonì 3. segue dll considerzione che, se l insieme è contenuto nell insieme Y, un plurirettngolo che conteng Y contiene nche. Le invrinze per trslzioni sono conseguenz dell nlog proprietà vlid livello di un singolo rettngolo. Nel cso dell trslzione, il ftto è immedito. L ppliczione di trsformzioni ortogonli richiede invece un nlisi più ttent, che non troverete in queste pgine. In R 2, un clsse mpi di insiemi misurbili è fornit di sottogrfici di funzioni integrbili secondo Riemnn. Inftti, l costruzione stess dell integrle si bs sull pprossimzione dll interno e dll esterno ttrverso pluri-rettngoli. Le proprietà precedenti indicno che qulsisi insieme poss essere decomposto come unione finit di sottogrfici, con rotzioni e trslzioni comprese, è misurbile. L clsse degli insiemi misurbili è quindi prticolrmente ricc. Per estendere lo stesso ftto spzi di dimensione mggiore, è necessrio estendere l nozione di integrle definito. Inftti, con l integrle di funzioni di un vribile, si deduce l misurbilità di molti insiemi nel pino, con l integrle di funzioni di due vribili, si ottiene l misurbilità di un clsse vst di insiemi dello spzio e così vi dicendo Costruzione dell integrle multiplo. Dto un insieme misurbile, si chim prtizione P di un insieme P = {Y 1,..., Y n costituito d insiemi Y k misurbili, due due non sovrpposti, e tli che k Y k =. Dt un funzione limitt f : R n R, si chimno somme integrli per difetto e somme integrli per eccesso di f rispetto P, le espressioni S(f, P ) := α k m(y k ) α k := inf f(x) x Y k dove β k := sup f(x). S(f, P ) := β k m(y k ) x Y k Definizione L funzione f si dice integrbile (secondo Riemnn) se sup S(f, P ) = inf S(f, P ) P P 3

4 4 dove gli estremi superiore ed inferiore sono presi su tutte le prtizioni di. Il vlore comune si chim integrle di f in e si indic con il simbolo f(x) dx. Nel cso di integrli di due vribili, si prl di integrle doppio; per funzioni di tre vribili, di integrle triplo; in generle, di integrle multiplo. Tlvolt, si usno le notzioni f(x, y) dx dy, f(x, y, z) dx dy dz, corrispondente d integrli doppi, tripli e multipli in generle. f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n, Per costruzione, l integrle dell funzione 1, fornisce l misur dell insieme dx = m(). Integrndo le funzioni x i si ottengono le coordinte del bricentro (o centro di mss) x di un insieme R n misurbile: posto x = (x 1,..., x n ), x k := 1 x k dx k = 1,..., n. m() Altre quntità significtive si scrivono in termini di integrli multipli. Definizione Dt f : R n R integrbile sull insieme misurbile, si chim medi integrle di f in il vlore f := 1 m() dove m() indic l misur dell insieme. f(x) dx, L medi integrle corrisponde l vlore tteso dell vribile letori f nello spzio di probbilità dotto dell probbilità uniforme (cioè con densità 1/m()). Come prevedibile, l clsse delle funzioni integrbili è molto mpi. Teorem Se f : R n R è continu, llor è nche integrbile in. L dimostrzione richiede lcuni dettgli tecnici reltivi ll continuità (legti, in prticolre, ll uniforme continuità). Per ridurre il tecnicismo, considerimo il cso delle funzioni lipschitzine, cioè supponimo che esist L > per cui f(x) f(y) L x y n. Detto dimetro di un insieme l estremo superiore delle distnze tr coppie di elementi, cioè dim(y ) := sup{ y 1 y 2 : y 1, y 2 Y, si chim mpiezz P dell prtizione P il mssimo dei dimetri dei suoi elementi P := mx{dim(y 1 ),..., dim(y p ).

5 Mostrimo or che, per un funzione lipschitzin, l distnz tr somm integrle per eccesso e somm integrle per difetto è controllt dll mpiezz dell prtizione. Dimostrzione dell integrbilità delle funzioni lipschitzine. Fisst un prtizione P compost d insiemi chiusi Y k, indichimo con x k e con y k i punti di mssimo e di minimo di f in Y k, l cui esistenz è grntit dl Teorem di Weierstrss. Sostituendo nelle definizioni di S(f, P ) e S(f, P ), si trov ( S(f, P ) S(f, P ) = f(xk ) f(y k ) ) m(y k ) L x k y k n m(y k ) L dim(y k ) m(y k ) L P m(y k ) = L m() P. Scegliendo prtizioni con mpiezz sufficientemente piccol, le somme integrli per eccesso e per difetto diventno rbitrrimente vicine. Di conseguenz, l funzione è integrbile. Le tre proprietà crucili dell integrle definito in un vribile, si estendono nche l cso degli integrli multipli in genere. 1. Linerità. Sino f e g integrbili in. Allor, per ogni α, β R, αf + βg è integrbile e vle l uguglinz (αf + βg) dx = α f dx + β g dx 2. Additività. Si f integrbile in. Allor, per ogni Y misurbile, f è integrbile in Y e in \ Y e vle l uguglinz f dx = f dx + f dx. Y \Y 3. Monotonì. Sino f e g integrbili in. Se f(x) g(x) per ogni x, llor f dx g dx. Dll ultim proprietà, dto che ±f(x) f(x), segue nche l stim f(x) dx f(x) dx (previ dimostrzione, dirl tutt, dell integrbilità dell funzione f per ogni f integrbile). Rest un punto crucile d risolvere. Come clcolre, in concreto, un integrle definito multiplo? Procedimo per ordine. 5

6 Formule di riduzione. Per inizire, nlizzimo il cso delle funzioni di due vribili e considerimo il cso di integrli con dominio di integrzione dto d un rettngolo R = [, b] [c, d]. In questo cso, un prtizione P si ottiene considerndo prtizioni di ciscuno degli intervlli [, b] e [c, d]. Il rettngolo R viene quindi suddiviso in sottorettngoli individuti d due indici, R ij. L integrle doppio viene quindi pprossimto d un somm del tipo f(x, y) dx dy i,j f(x ij, y ij ) x i y j dove x i e y j indicno le lunghezze degli intervlli in sciss e in ordint, rispettivmente. L somm può essere riorgnizzt in due mniere equivlenti f(x ij, y ij ) x i y j = { f(x ij, y ij ) y j x i. = { f(x ij, y ij ) x i y j i,j i j j i Pssndo l limite (e mgri con un po di udci), si ottengono le identità b { d d { b f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy, c che indicno due strtegie possibili per ridurre un integrle doppio in un sequenz di due integrli singoli (prim si integr in y e poi in x, o vicevers). Esempio Proponimoci l obiettivo di clcolre (4 x y) dx dy. [,2] [,1] L prim possibilità è integrre prim in y e poi in x: 2 { 1 2 [ ] 1 (4 x y) dy dx = 4y xy 1 2 y2 dx = = 2 ( 7 2 x ) dx = In lterntiv, integrre prim in x e poi in y: 1 { 2 1 [ (4 x y) dx dy = 4x 1 2 x2 xy 1 Il risultto, come è giusto che si, è lo stesso. = c 2 ( ) 4 x 1 dx 2 [ 7 2 x 1 2 x2 ] 2 = 7 2 = 5. ] 2 dx = 1 (8 2 2x) dx (6 2x) dx = [ 6x x 2] 1 = 6 1 = 5. L formul di integrzione su domini rettngolri si estende l cso dei domini delimitti tr grfici di funzione. Definizione L insieme R 2 è normle rispetto ll sse x se esistono due funzioni φ e ψ definite nello stesso intervllo [, b] tli che = {(x, y) : x [, b], φ(x) y ψ(x).

7 Proposizione (Riduzione in domini normli). Si è normle rispetto ll vribile x e f è integrbile in. Se le funzioni φ e ψ sono continue, si h b { ψ(x) (1) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx. In questo cso, meno che le funzioni φ e ψ non sino costnti, non è possibile scmbire l ordine di integrzione. Per frsi un ide dell origine dell formul di riduzione (1), rgionimo come segue. Sino c < d tli che c φ(x) ψ(x) d per ogni x [, b]. Estendimo l funzione f d R := [, b] [c, d] ponendo f = per x /. Allor, si h f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy = R b { d c φ(x) f(x, y) dy dx = b { ψ(x) φ(x) f(x, y) dy dx. In effetti, l unico punto d chirire è quello reltivo ll integrbilità del prolungmento di f l rettngolo R. Esempio Le regione := {(x, y) : x 2 / 2 + y 2 /b può essere scritt come dominio in form normle rispetto ll sse x, ponendo φ(x) = b 1 x 2 / 2 e ψ(x) = b 1 x 2 / 2 per x [, ]. L re di è dt d { b 1 x 2 / 2 m() = dx dy = dx = 2b 1 x2 / 2 dx = 4b dy b 1 x 2 / 2 1 x2 / 2 dx = 4b π/2 vendo usto l sostituzione x = sin θ. cos θ 1 sin 2 θ dθ = 4b π/2 cos 2 θ dx = πb. Esempio Si = {(x, y) : x 2 y {(x, y) : y 2 x, clcolimo l integrle di f(x, y) = x 2 y su. Il dominio è normle rispetto ll sse x = {(x, y) : x [, 1], x 2 y x. Dunque, pplicndo l formul di riduzione, si trov { 1 x f(x, y) dx dy = x 2 y dy dx = = x 2 (x 3 x 6 ) dx = [ ] y= 1 2 x2 y 2 x y=x 2 dx [ ] x=1 1 4 x4 1 7 x7 = 3 x= 56. Dto che l insieme è normle nche rispetto ll sse y, lo stesso vlore si ottiene utilizzndo l nlog formul di riduzione in cui si integr prim rispetto d x e poi rispetto d y. Al lettore l verific.

8 8 In mnier non prticolrmente bnle, si dimostr che, per ogni funzione φ : R R convess, vle l disuguglinz (integrle) di Jensen ( ) 1 φ f(x) dx 1 (φ f)(x) dx, m() m() che, in termini di medie integrli, diviene φ( f ) φ(f). Esempio Proponimoci di verifcre l disuguglinz di Jensen nel cso f(x, y) = xy e = [, 1] [, 1] reltivmente ll funzione convess φ(t) = t 2. In effetti, si hnno 1 { 1 xy dx dy = xy dy dx = 1 1 x dx = { 1 x 2 y 2 dx dy = x 2 y 2 dy dx = 1 1 x 2 dx = Il qudrto del primo integrle è1/16 che è strettmente minore di 1/9. Per gli integrli in dimensione superiore, vlgono formule di riduzione nloghe. Ad esempio, nel cso di integrli tripli, se il dominio di integrzione è il rettngolo R = [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] [ 3, b 3 ], vle l uguglinz b1 { b2 { b 3 f(x, y, z) dx dy dz = R f(x, y, z) dz dy dx così come le nloghe formule che si ottengono permutndo l ordine di integrzione rispetto lle tre vribili. Esempio Proponimoci di clcolre l medi integrle dell funzione f(x, y, z) = xyz nell insieme R = [, ] [, b] [, c] con, b, c >. L misur di è chirmente dt d m() = bc. L integrle di f su è ( ) ( b xyz dx dy dz = x dx R Quindi, l medi richiest è f = 1 8 bc. ) ( c ) y dy z dz = b 2 c 2. L riduzione degli integrli multipli è possibile nche nei csi di dimensione più lt. Definizione L insieme R 3 è normle rispetto l pino x, y se esistono due funzioni φ e ψ definite in Y R 2 tli che (2) = {(x, y, z) : (x, y) Y, φ(x, y) z ψ(x, y). Se è normle rispetto l pino x, y, vle l formul di riduzione { ψ(x,y) f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dz dx dy Y φ(x,y)

9 l qule permette di pssre d un integrle tridimensionle d un sequenz di un integrle uni-dimensionle ed uno bi-dimensionle. Ad esempio, il volume dell insieme (2) è dto d m() = Y { ψ(x, y) φ(x, y) dx dy. Esempio Clcolimo il volume del tetredro T 3 R 3 definito dlle relzioni x, y, z e x + y + z 1. Il dominio è normle rispetto l pino x, y T 3 := {(x, y, z) : (x, y) T 2, z 1 x y dove T 2 := {(x, y) : x, y, x + y 1. Quindi, si h { 1 x y m(t 3 ) = dx dy dz = dz dx dy = (1 x y) dx dy. T 3 T 2 T 2 Dto che T 2 è normle rispetto ll sse x, T 2 := {(x, y) : x [, 1], y 1 x, pplicndo l formul di riduzione bi-dimensionle, si trov 1 { 1 x (1 x y) dx dy = (1 x y) dy dx = 1 T 2 2 Esiste nche l nozione di dominio normle rispetto d un sse. 1 (1 x) 2 dx = 1 6. Definizione L insieme R 3 è normle rispetto ll sse z se esiste un ppliczione z Y (z) definit per z [, b] e vlori nei sottoinsiemi di Y R 2 tle che = {(x, y, z) : z [, b], (x, y) Y (z). In tl cso, vle l formul di riduzione b { f(x, y, z) dx dy dz = Y (z) f(x, y, z) dx dy dx dy. A differenz del cso precedente, qui si effettu prim un integrle bi-dimensionle e poi un integrle uni-dimensionle. Esempio Tornimo l tetredro T 3 R 3 definito d x, y, z e x+y+z 1. Il dominio è normle rispetto ll sse z T 3 := {(x, y, z) : z [, 1], (x, y) Y (z) dove Y (z) := {(x, y) : x, y, x+y 1 z. Quindi, l formul di riduzione fornisce 1 { m(t 3 ) = dx dy dz = dx dy dz. T 3 Y (z) Dto che dx dy = Y (z) 1 z { 1 z x dy dx = 1 z (1 z x)dx = (1 z) 2, 9

10 1 si ottiene m(t 3 ) = dx dy dz = 1 1 (1 z) 2 dz = 1 T 3 2 6, proprio come ottenuto con l strtegi precedente. Estensioni delle formule di riduzione vlgono per integrli in dimensioni più lt. In prticolre, se l insieme è un rettngolo e l funzione integrnd è prodotto di n funzioni ciscun di un sol vribile, l situzione è molto fvorevole: per f(x) = φ 1 (x 1 )... φ n (x n ), si h ( b1 ) ( bn ) f(x) dx = φ(x 1 ) dx 1... φ(x n ) dx n R 1 n Ad esempio, per R = [, 1 ] [, n ] e f(x) = x 1... x n vle l formul ( 1 ) ( n ) f(x) dx = x 1 dx 1... x n dx n = 1 2 n n, R che fornisce i vlori già trovti in precedenz nei csi n = 2 e 3.