18 Analisi di Fourier di funzioni L 2 in un intervallo limitato

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2 18 Anlisi di Fourier di funzioni L 2 in un intervllo limitto 18.1 Lo spzio delle funzioni qudrto integrbile Considerimo l form f g = f (xg(xdx. (18.1 definit per coppie di funzioni f e g in C[, b]. Quest form definisce un prodotto sclre su C[, b] con norm indott f 2 = f f = f (x 2 dx (18.2 Inftti, si verific fcilmente, per clcolo diretto, che vle l l disuguglinz di Cuchy-Schwrz, f g f 2 g 2, cioè f (xg(xdx f (x 2 dx g(x 2 dx. (18.3 d cui segue l disuguglinz tringolre f + g 2 g 2 + g 2 L proprietà dell norm α f 2 = α f 2 è bnlmente verifict. Pure l prim proprietà dell norm è verifict, inftti f (x 2 dx = 0 se e solo se f = 0 (si osservi qunto è essenzile che l funzione si continu. el seguito, chimeremo l norm (18.2 norm L 2 e l convergenz nell norm L 2 semplicemente convergenz L 2. L convergenz L 2 è usulmente nche chimt convergenz in medi qudrtic. Se f 1 (x, f 2 (x, f 3 (x,... è un successione di funzioni, si dice che converge in medi qudrtic f (x,

3 18-2 introduzione i metodi mtemtici dell fisic lim n f n = f, se lim f (x f n (x 2 dx = 0, n che è proprio l convergenz L 2. D un punto di vist prtico, l convergenz L 2 fornisce un nozione molto utile nelle ppliczioni. Come mostrto nell figur 18.1, l medi qudrtic stim l distnz tr due funzioni in termini dell re del qudrto dell loro differenz (l regione in grigio e quindi medi le differenze tr le due funzioni su tutto l intervllo; fornisce, per così dire, un stim globle di qunto due funzioni sino vicine. In effetti, bbimo già discusso questo ftto nell ultim sezione del cpitolo 16: si ved l figur 16.5 (C. Al contrrio, l convergenz uniforme, e quindi l norm uniforme, è molto più sensibile lle differenze locli in qunto stim l distnz tr le funzioni in termini del mssimo dell loro differenz (in figur 18.1, il segmento in rosso. Dovrebbe essere intuitivmente chiro che si può vere convergenz in medi qudrtic senz che ci si convergenz uniforme (d esempio, può succedere che il mssimo dell differenz tr le due funzioni continu flutture senz ssestrsi su un vlore limite, m l medi qudrtic dell differenz v zero. Anche in questo cso, si ritorni ll sezione 16.8 e si ved l figur 16.5 (B. Vicevers, se c è convergenz uniforme, c è convergenz L 2 : l convergenz uniforme è più forte di quell in medi qudrtic. Se inftti si h un successione di funzioni continue f n che converge f nell norm uniforme di C[, b], questo signific che per ogni ɛ > 0, esiste un M tle che per tutti gli n > M, f(x g(x E mx Figur 18.1: Distnze tr due funzioni f e g, E mx = sup f (x g(x è l distnz nell norm uniforme. L re dell regione in grigio è l distnz in norm L 1. L norm L 2 è f (x g(x 2 dx. sup f (x f n (x < ɛ, m llor Quindi: f f n 2 2 = f (x f n (x 2 dx < ɛ 2 (b (18.4 Se f n è un successione di funzioni continue che converge f nell norm uniforme di C[, b], llor converge f nche nell norm L 2. (18.5 Un ftto di notevole importnz è che lo spzio vettorile C[, b], con il prodotto sclre (18.1 e norm L 2, non è uno spzio completo: è uno spzio pre-hilbertino, m non uno spzio di Hilbert. Questo si verific fcilmente con un controesempio. Esempio In C[ 1, 1], si { 0 se 1 x < 0 f (x = 1 se 0 < x 1

4 nlisi di fourier di funzioni l 2 in un intervllo limitto 18-3 e si consideri l successione di funzioni continue 0 se 1 x 1/n f n (x = nx + 1 se 1/n < x < 0 1 se 0 x 1 1 Allor 1 0 lim f f n n 2 = lim n f (x f n (x 2 dx = lim 1 n (nx dx 1/n = lim n 1/ 3n = 0 Si h quindi un successione di funzioni continue che nell norm L 2 converge d un funzione che non è continu Essendo C[, b] non completo rispetto ll norm L 2, solo un prte dei risultti ottenuti per gli spzi di Hilbert si estende d esso. Continuno vlere: (1 Il teorem di continuità del prodotto sclre presentto ll fine dell sezione 17.2: se due successioni di funzioni continue { f n (x} e {g n (x} convergono in medi lle funzioni continue f (x e g(x, llor lim f n (xg n (xdx = f (xg(xdx n (2 L nozione di sistem ortonormle di funzioni continue e n (x per cui vle (i Ornonormlità: e n (xe m (xdx = { 0 se m = n 1 se m = n (ii Decomposizione ortonormle di un funzione continu f : Se f (x = c n e n llor c n = e n (x f (xdx (18.6 (3 L nozione di sistem di sistem ortogonle completo o bse ortonormle di funzioni continue e n (x per cui si h: (iii Completezz (identità di Prsevl: c n 2 = f (x 2 dx. n=1 Si dimostr che sistemi di questo tipo effettivmente esistono (seni e coseni, per esempio, come vedremo in questo cpitolo, e le funzioni di Hermite, nel prossimo cpitolo.

5 18-4 introduzione i metodi mtemtici dell fisic on vle invece il teorem di Riesz-Fisher, perché in questo teorem si presuppone l completezz dello spzio, e lo spzio C[, b] non è completo rispetto ll norm L 2. Questo ftto h ripercussioni importnti. Signific che non esiste un isomorfismo tr gli elementi di C[, b] e gli elementi di l 2. Più precismente, fisst in C[, b] un bse ortonormle {e n (x}, medinte le (18.6, si può ssocire ogni funzione continu un elemento di l 2, m vicevers, fissto un elemento di l 2 non è detto che esist un funzione continu l cui successione delle coordinte di Fourier (18.6 coincide con l elemento fissto di l 2. Si è detto che per vere spzi isometricmenti isomorfi l 2 occorre considerre spzi di Hilbert, cioè spzi con prodotto sclre completi. el nostro cso, ciò si ottiene completndo C[, b] con l norm L 2. Anlogmente quel che succede qundo si pss di rzionli i reli, si ottiene in questo modo uno spzio più mpio, lo spzio di tutte le successioni di Cuchy di C[, b] rispetto ll norm L 2. Questo spzio è usulmente denotto L 2 [, b] ed è lo spzio delle funzioni qudrto integrbile in [, b], cioè delle funzioni f su [, b] tli che f (x 2 dx <. (18.7 Per costruzione, L 2 (, b è uno spzio di Hilbert, C[, b] è denso in L 2 [, b]. A questo punto, in L 2, il problem è risolto. L domnd in rosso nel digrmm sopr ricev un rispost ffermtiv: se f L 2 simo certi che f = g! turlmente, l uguglinz v intes nel senso L 2, cioè meno dei vlori delle funzioni su un insieme numerbili di punti (più correttmente, si dovrebbe dire insieme di misur di Lebesque null, vedere sezione successiv. ot. Abbimo usto il simbolo L 2 [, b] per denotre lo spzio delle funzioni f : [, b] C tli che f (x dx <. M poiché questo integrle non è modificto dll sostituzione dell intervllo chiuso [, b] con quello perto (, b o con i semiperti (, b] e [, b, L 2 [, b] coincide con L 2 (, b, L 2 (, b] e L 2 [, b. Inoltre, non è richiesto che l intervllo (, b si limitto d un prte, dll ltr o d entrmbe, e così bbimo L 2 (,, L 2 (, b e L 2 (, = L 2 (R. In questi csi, così come nel cso in cui l funzione è illimitt, interpretimo l integrle di f 2 come un integrle improprio di Riemnn. Tlvolt scriveremo semplicemente L 2 qundo l intervllo sottostnte non è specificto o qundo è irrilevnte specificrlo per l discussione.

6 nlisi di fourier di funzioni l 2 in un intervllo limitto Uno sgurdo problemi più vnzti A proposito di qunto è stto detto nell sezione precedente, si possono sollevre delle domnde, le cui risposte richiederebbero pprofondimenti d nlisi che vnno l di là dei limiti dell presente trttzione. Un primo problem è questo: pssndo l completmento di C in L 2, inevitbilmente si introducono funzioni discontinue. Ad esempio, l f (x dell esempio 18.1 è discontinu, m essendo ottenut come limite nell norm L 2 di un successione di funzioni continue è in L 2 ( 1, 1. Tuttvi, se si permettono funzioni discontinue nello spzio, llor viene meno l proprietà dell norm che stbilisce che l norm è zero se e solo se l funzione è zero. Per convincersi di questo, si considerino le seguenti due funzioni: (i l funzione che vle zero per tutti i punti di [, b] e (ii l funzione che vle zero eccetto che per un insieme numerbile di punti in [, b] dove vle 1. L funzione (ii h norm L 2 zero (in qunto l integrle non vede un insieme numerbile di punti, m non è (i, l funzione identicmente zero. Esiste un funzione divers d 0 che h norm 0. Un ltro problem è il seguente: l disuguglinz di Cuchy- Schwrz f g f 2 g 2 ssicur che il prodotto sclre di f e g è ben definito se le norme f 2 e g 2 esistono, cioè se f 2 e g 2 sono integrbili. Tuttvi, l integrbilità secondo Riemnn di f 2 e g 2 non grntisce l integrbilità di f g. Questi problemi sollevno temi profondi di nlisi di cui non possimo occuprci pprofonditmente in quest sede. Ad esempio, per rispondere ll prim domnd, occorre introdurre l nozione di misur di Lebesgue, il che esul di limiti di questo corso. Rozzmente, l ide è quest: i sottoinsiemi di [, b] cui è ssegnt un misur sono tutti gli insiemi che si costruiscono fcendo unioni e intersezioni numerbili di segmenti (ovvimente, segmenti contenuti in [, b]; l misur di un segmento è l su lunghezz, e l misur di insiemi più complicti costruiti con segmenti è ssegnt tendendo conto dell proprietà essenzile dell misur: l misur di un collezione di insiemi disgiunti è l somm delle misure degli insiemi. Ftto questo, si h un nozione di insieme di misur null; per esempio, un insieme numerbile di punti h misur null. In effetti, e più proprimente, L 2 (, b non v inteso come uno spzio di funzioni, m come uno spzio di clssi di equivlenz di funzioni: pprtengono ll stess clsse tutte le funzioni che differiscono l più su un insieme di misur null. In questo modo, l proprietà di positività dell norm viene ristbilit (per le clssi di equivlenz di funzioni. Il secondo problem è solo uno dei segnli che l nozione di inte-

7 18-6 introduzione i metodi mtemtici dell fisic grle di Riemnn può dre dei problemi per le funzioni che si ottengono pssndo l completmento in norm L 2 di C[, b]. In effetti, l nozione degut per esprimere tutti gli integrli che possono intervenire nell nlisi (d esempio, nel clcolo dei coefficienti di Fourier è quell di integrle di Lebesgue, m questo, come dicevmo, esul di nostri scopi. Fortuntmente, per gli integrli che si incontrno nell mggior prte delle ppliczioni ll fisic (d esempio, nel clcolo dei coefficienti di Fourier, l integrle di Riemnn è sufficiente Ortogonlità del sistem trigonometrico Si consideri il prodotto sclre tr funzioni nell intervllo [, π] f g = f (θg(θ dθ (18.8 Lo spzio di Hilbert così ottenuto, di solito, lo si denot L 2 ([π, π], dθ o L 2 ( dθ, essendo sottinteso l intervllo [.π]; un ltr notzione comune presso i mtemtici è L 2 (T e nel seguito useremo quest. Incomincimo con l osservre che le funzioni e n (θ = e inθ n = 0, ±1, ±2,... (18.9 formno un sistem ortonormle in L 2 (T. Inftti, e n e m = e inθ imθ dθ π e = i(m nθ dθ e = δ mn. Questo sistem è detto trigonometrico. Dll teori generle dell sezione 17.5 (o per semplice clcolo diretto trimo le seguenti conclusioni (1 Se llor f = c n e n, cioè f (θ = c n e inθ n= n= c n = e n f = inθ dθ f (θe. (18.10 Si ritrov così, d un punto di vist diverso, l struttur fondmentle dell nlisi di Fourier: l funzione d nlizzre è un vettore, e l nlisi di Fourier di quest funzione l si reinterpret geometricmente come l decomposizione del vettore rispetto l sistem ortonormle formto dlle funzioni e inθ.

8 nlisi di fourier di funzioni l 2 in un intervllo limitto 18-7 (2 Vle l disuguglinz di Bessel (17.15, che in questo cso ssume l form c n 2 f (θ 2 dθ n= ot. Un scelt equivlente per il sistem trigonometrico è { } 1 sin nθ cos nθ,,, n = 1, 2, 3,.... π π Allor le (16.2, (16.3 e (16.4 diventno le relzioni fondmentli di ortonormlità per i vettori di questo sistem in L 2 ([π, π]. Quest scelt comport il seguente riclibrmento delle coordinte di Fourier: c 0 = 1 n = 1 π b n = 1 π f (θdθ (18.11 f (θ cos(nθdθ (18.12 f (θ sin(nθdθ ( Significto geometrico delle somme przili È tempo di collegre il trttmento strtto delle sezioni 17.8 e 17.9 rigurdnte le proiezioni ortogonli e l pprossimzione in medi qudrtic con il clcolo concreto dell sezione 16.8 bsto sul metodo dei minimi qudrti. on srà sfuggito che il contenuto delle sezioni 17.9 e sezione 16.8 è, morlmente, identico. In quest sezione voglimo evidenzire il significto geometrico semplice di questo contenuto. In primo luogo, osservimo che i polinomi trigonometrici P (θ = d 0 + n=1 [p n cos nθ + q n sin nθ] = d n e inθ n= formno un sottospzio finito-dimensionle, con dimensione 2 + 1, di L 2 (T, lo spzio M dei polinomi trigonometrici di grdo. Dt un funzione f L 2 (T, l su somm przile di Fourier S f (θ = f (ne inθ n= è un elemento di questo spzio. Ridotto l nocciolo, il contenuto delle sezioni 16.8 e 17.9 è (1 S f è l proiezione ortogonle di f su M.

9 18-8 introduzione i metodi mtemtici dell fisic (2 Come conseguenz di (1, il vettore S f è, tr tutti i polinomi trigonometrici di grdo, cioè tr tutti i vettori in M, quello più vicino f, nel senso di vicinnz espresso dll norm L 2. Questo ftto è rppresentto in figur Figur 18.2: Decomposizione ortogonle f = S f + ( f S f S f è l proiezione ortogonle di f sullo spzio dei polinomi trigonometrici di grdo. È dunque il polinomio trigonometrico più vicino f, qulunque ltro polinomio P si trov d un distnz mggiore Completezz del sistem trigonometrico Sull bse dell (17.11, che il sistem trigonometrico si completo signific che lim f S f 2 = 0 (18.14 per qulunque f L 2 (T, il che signific, con riferimento ll figur 18.2, che l lunghezz del vettore verticle tende zero per che tende ll infinito. Questo ftto è fcile d dimostrre nel cso in cui f è un funzione continu. Dll sezione 16.6, ricordimo l definizione di somm przile regolrizzt S (r f (θ = c n r n e inθ n= e che in quell sezione si er stbilito che l vicinnz 1 in norm uniforme di S (r f f. Poiché l norm uniforme è più forte dell norm L 2 (cfr. il teorem (18.5, per ogni ɛ, possimo scegliere e r tli che f S (r f < ɛ 2 1 Più precismente, si er stbilito che per ogni ɛ > 0, esiste un r < 1 e un intero M tli che per M si h sup f (θ S (r f (θ < ɛ θ T qundo f è continu (se fosse discontinu S (r f srebbe vicino S f.

10 nlisi di fourier di funzioni l 2 in un intervllo limitto 18-9 M S (r f è un polinomio trigonometrico diverso d S f, quindi più lontno d f di qunto lo si S f (si ved l figur Allor f S f 2 f S (r f < ɛ 2 Per il metodo del confronto dei limiti, si ottiene l (18.14 per f continu. M le funzioni continue sono dense in L 2 (per costruzione, dunque l (18.14 risult stbilit per qulunque funzione in L 2, che è quello che si volev dimostrre Anlisi di Fourier in L 2 (T Un conseguenz immedit dell completezz del sistem trigonometrico è che l identità di Prsevl f (θ 2 dθ = f (n 2 (18.15 n= è verifict: l norm L 2 dell funzione è ugule ll norm l 2 delle sue coordinte di Fourier. L nlisi di Fourier in L 2 (T, dunque, non è ltro che un relizzzione dell equivlenz unitri di L 2 (T e l 2 rispetto ll bse ortonormle {e n = e inθ }. Se denotimo con tle U e l trsformzione d L 2 (T l 2 che relizz tle equivlenz unitri, llor f (θ U e f (n = en f c n e n (θ c n L prim frecci, d sinistr destr, ssoci un funzione qudrto integrbile, cioè in L 2 (T, le sue coordinte di Fourier f (n, che formno un successione qudrto sommbile, cioè un vettore in l 2. L second frecci, d destr sinistr, è l trsformzione invers che d ogni successione qudrto sommbile ssoci un funzione qudrto integrbile. Se c n = f (n, si chiude il cerchio dell nlisi di Fourier f (θ U 1 e nlisi di Fourier uguli nel senso L 2 f (n Si osservi che tutti gli esempi dell sezione 16 sono inclusi in questo schem (se c n 1/n, (c n è in l 2 e f in L 2. sintesi di Fourier f (ne n (θ 18.7 Funzioni ssolutmente integrbili Un funzione è ssolutmente integrbile se 1 f (θ dθ <, (18.16

11 18-10 introduzione i metodi mtemtici dell fisic un ftto ftto che si esprime scrivendo f L 1 (T. Dll disuguglinz di Cuchy-Schwrz (18.3, per f (θ = 1 e g(θ = f (θ, segue che 1 π f (θ dθ 1 f (θ 2 dθ. Quindi, se f L 2 (T, llor f L 1 (T, m non è detto che si vero l inverso (per esercizio, si trovi un esempio di funzione L 1 che non è L 2. Se un funzione è ssolutmente integrbile, le sue coordinte di Fourier decdono zero. Questo è il contenuto di un fmoso lemm, che è l nlogo per le serie di Fourier di qunto già visto per gli integrli di Fourier: Lemm di Riemnn-Lebesgue Se f L 1 (T llor lim f (n = 0. n Se f L 2 (T, l dimostrzione è immedit, poiché in tl cso f è in l 2. Per l dimostrzione complet si deve mostrre che L 2 (T è denso in L 1 (T nell norm definit d ( on intendimo entrre nei dettgli di questo ftto (né ci spettimo che lo fcci lo studente Teorem di convoluzione Dte due funzioni f e g integrbili, periodiche di periodo, l loro convoluzione su T è l nuov funzione f g dt d f g (θ = 1 f (φg(θ φdφ, Il punto θ φ non srà sempre in [, π, m poiché l integrndo è periodico di periodo, conoscimo i vlori dell funzione integrnd dppertutto sull rett rele. Si osservi che se l funzione periodic g è ssolutmente integrbile su T, llor lo è nche l nuov funzione periodic h(φ = g(θ φ. Inoltre il prodotto di due funzioni periodiche e integrbili su T à ncor periodico e ssolutmente integrbile. Inoltre, se f e g sono in L 2 (T nche il loro prodotto di convoluzione lo è. Il prodotto di convoluzione di funzioni su T h proprietà nloghe ll nlogo prodotto di funzioni su R che bbimo studito nell sezione Più precismente, sino f e g integrbili, periodiche di periodo e si c un costnte. Allor (i f g = g f (commuttivo

12 nlisi di fourier di funzioni l 2 in un intervllo limitto (ii f (g + h = f g + f h (distributivo (iii (c f g = c f g (omogeneo (iv ( f g h = f (g h (ssocitivo (v f g(n = f (nĝ(n (l nlisi di Fourier trsform l convoluzione nell moltipliczione Le prime quttro proprietà sono immedite. Per funzioni continue l quint proprietà è conseguenz di un semplice con un clcolo che fremo. Un volt che quest proprietà è stbilit per funzioni continue, può essere estes funzioni integrbili medinte pprossimzione di funzioni integrbili con successioni di funzioni continue, e questo non lo fremo. Ecco il clcolo per funzioni continue: 1 π f g(n = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = f (nĝ(n f g (θe inθ dθ [ 1 π f (φ [ 1 f (φe inφ [ 1 f (φe inφ [ 1 f (φe inφ [ 1 f (φe inφ ĝ(ndφ ] f (φg(θ φdφ e inθ dθ ] g(θ φe inθ dθ dφ (scmbio dell ord. d integr.: OK funz. cont. ] g(θ φe inθ e inφ dθ dφ ] g(θ φe in(θ φ dθ dφ g(θ e inθ dθ ] dφ (cmbio di vribili θ = θ φ Si osservi che l cmbimento di vribili θ = θ φ non corrisponde lcun cmbimento del dominio di integrzione perché l integrndo è un funzione periodic di periodo. Dimo desso un list di proprietà che si dimostrno fcilmente sull bse di qunto visto finor (m non lo fremo:. (i Se f e g sono continue nche f g lo è. (ii L convoluzione di due funzioni integrbili e limitte è continu. (iii Se un funzione è derivbile n volte e l ltr m volte, l loro convoluzione è derivbile n + m volte. (iv L convoluzione con un polinomio trigonometrico è un polinomio trigonometrico.

13 18-12 introduzione i metodi mtemtici dell fisic 18.9 Anlisi di Fourier in un intervllo limitto Per funzioni f (x in un intervllo [, b] dell rett rele, tutto ciò che bbimo visto finor continu vlere, ptto di fre le seguenti sostituzioni. Adesso [, b] è l intervllo fondmentle di funzioni periodiche sull rett rele, di periodo 2L = b (nziché. Invece di (18.8 si prend llor il prodotto sclre f g = +2L f (xg(x dx 2L. (18.17 Come si verific fcilmente, le funzioni e n (x = e i π L nx, n = 0, ±1, ±2,... formno un sistem ortonormle rispetto l prodotto sclre ( Allor f (x = c n e i π L nx, c n = e n f = 1 +2L f (xe i π L nx dx, n= 2L (18.18 che è l nlogo dell formul ( In vist delle ppliczioni, è utile vere sotto mno gli sviluppi in serie di seni e coseni, che si ottengono dlle equzioni precedenti, ricordndo le formule dell sezione 16.1 (in prticolre, l (16.9: f (x = c 0 + c 0 = 1 2L n = 1 L b n = 1 L n=1 +2L +2L +2L [ ] n cos L nx + b n sin L nx, (18.19 f (xdx, (18.20 f (x cos L nx dx, n 1 (18.21 f (x sin L nx dx, n 1. (18.22 Queste formule sono di solito uste scegliendo le coordinte in modo che l intervllo [, b] si centrto nell origine, cioè per = L (e quindi b = L. A costo di essere prolissi, riscrivimo le formule fondmentli per l nlisi di Fourier per questo cso: c n = 1 2L n = 1 L b n = 1 L L L L L L L f (xe i π L nx dx, (18.23 f (x cos Un ltr formul utile è l identità di Prsevl: L nx dx, n 1 (18.24 f (x sin L nx dx, n 1 ( L f (x 2 dx = 2L c n 2 = c [ ] 2 n + bn 2 L n= 2 (18.26

14 nlisi di fourier di funzioni l 2 in un intervllo limitto Osservimo infine che è utile disporre di un dizionrio per trdurre proprietà di funzioni periodiche di periodo 2L nel dominio temporle (o spzile nelle corrispondenti proprietà nel dominio delle frequenze (o dei numeri d ond. Si ω = /2L l frequenz ngolre fondmentle (che è chirmente pri 1 per 2L =, llor Tempo/Spzio derivte f (p (x convoluzione circolre f g (x trslzione f h (x = f (x h Frequenz Temporle/ Spzile potenze f (p (n = (inω p f (n prodotto f g(n = f (nĝ(n modulzione fh (n = e inωh f (n L dimostrzione dell ultim proprietà (che un trslzione divent un modulzione è lscit come (fcile esercizio Serie di Fourier d intervllo dimezzto Le funzioni dispri, f ( x = f (x, formno un sottospzio D dello spzio di Hilbert H delle funzioni in [ L, L] con prodotto sclre (18.17 il cui complemento ortogonle, nel senso dell sezione 17.8, è lo spzio P delle funzioni pri, f ( x = f (x. Vle quindi l ultim equzione dell sezione 17.8, H = D P, che, in termini terr-terr, signific che ogni funzione può essere unicmente decompost nell somm di un funzione pri e di un dispri. I seni formno un bse complet per le funzioni dispri e i coseni, insieme ll funzione 1, per le pri: se f è dispri, llor se è pri f (x = f (x = c 0 + b n sin L nx, n=1 n=1 n cos L nx, Per serie di Fourier intervllo dimezzto si intende l serie di un funzione definit nell intervllo [0, L] ed estes [ L, L] nei due modi possibili: come funzione pri o come funzione dispri. Per un estensione dispri, l serie è solo di seni, mentre per l estensione pri, nello sviluppo sono presenti solo coseni e l funzione 1. Ovvimente, nell intervllo [0, L] le due serie convergono gli stessi vlori, m sull rett rele definiscono differenti funzioni periodiche di periodo 2L.

15 18-14 introduzione i metodi mtemtici dell fisic Per l estensione dispri (serie di seni d intervllo dimezzto, si h: f (x = n=1 b n sin L nx c 0 = 0 n = 0 b n = 2 L L 0 f (x sin L nx dx. Si osservi il fttore 2 nei coefficienti b n : l funzione è estes [ L, 0] secondo l regol f ( x = f (x, il che rddoppi il peso dei coefficienti clcolti in [0, L]. Anlogo discorso vle per l estensione pri (serie di coseni d intervllo dimezzto: f (x =c 0 + n=1 b n = 0. c 0 = 1 L n cos L nx L 0 f (xdx, n = 2 L L 0 f (x cos L nx dx Esempio Sviluppre f (x = sin(x, 0 < x < π, in serie di Fourier di coseni. Occorre trovre l serie di Fourier dell estensione pri del seno in [0, π]. Quest estensione è mostrt nell figur Figur 18.3: Estensione pri del seno in [0, π]. 0 π Dlle formule sopr si ricv (si lsci come esercizio lo svolgimento dei clcoli: f (x = 2 π cos nπ π n=2 n 2 cos nx 1 1 Figur 18.4: Somme przili 0 π 2 π cos nπ π n=2 n 2 cos nx 1 per = 8 (line ross e = 16 (line blu.