MATEMATICA 1 Ingegneria Edile e Civile Prof. P. Ciatti, Prof. C. Sartori. TEMA A Padova 13/12/2006

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1 MATEMATICA Ingegneria Edile e Civile Prof. P. Ciatti, Prof. C. Sartori TEMA A Padova //00 ) Studiare la funzione fx) =e arctg x ). Dominio, iti notevoli di f e f, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, asintoti. Abbozzo del grafico. Non è richiesto lo studio della convessità.) SOL. f è pari. Domf = R. f x) = x ± fx) =eπ, e arctg x ) e arctg x ) x +x ) se x > x +x ) se x < La funzione è crescente per x>e <x<0 decrescente altrove. x =0 pto di max, f0)=e π/, x = ± punti di minimo f±) =, x f x) =, x +f x) =. Asintoto orizzontale y =e π/. y x ) Sia F x) = x 0 log + t ) + cos t dt, si calcoli il primo termine non nullo della formula di Taylor in x =0esi decida la natura del punto x =0. SOL. Si ha log+ t ) +cos t = t t) + t + 4! t4 +ot 4 )= t4 + ot 4 )pert 0dacuiFx) = 0 x5 + ox 5 )per. x =0è punto di flesso con tangente orizzontale.

2 ) Sia f :a, b) R una funzione derivabile e c a, b). Dimostrare che se c è punto di massimo per f allora f c) =0. 4) Sia f :[a, b] R una funzione continua tale che fa) <a e fb) >b. Dimostrare che esiste un punto c a, b) in cui il grafico della funzione incontra quello della parabola y = x cioè un punto tale che fc) =c. SOL. Si applica il teorema sugli zeri delle funzioni continue alla funzione gx) =fx) x. 5) Calcolare e sin x x e sin x x x SOL. Si ha e sin x x x =e + 4 +ox) =+ x x e sin x =e x x4 +ox4) = +x x4 )+ da cui ) ) x x + x x + ) 4 + ox 4 )=+x + x 8 x4 + ox 4 ), sin x =x x! + ox )) = x x4 + ox 4 ), x x4 x x ) + ) +ox 4 )=+x + x4 +ox4 ), e sin x x e sin x x x +x + = x4 + ox 4 ) x +x + x x4 8 + ox4 ) x = x x4 = 4 8 x4 ) Si dimostri che una funzione crescente e continua in un intervallo ha inversa che è crescente e continua.

3 TEMA B Padova //00 ) Studiare la funzione fx) =e arctg x ). Dominio, iti notevoli di f e f, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, asintoti. Abbozzo del grafico. Non è richiesto lo studio della convessità.) SOL. f è pari. Domf = R. e arctg f x) = fx) x ± =e π, x ) x e arctg x ) x +/x ) se x > +/x ) se x < La funzione è crescente per 0 <x<ex< decrescente altrove. x =0 pto di min, f0) = e π/, x = ± punti di massimo f±) =, x f x) =, x +f x) =. Asintoto orizzontale y =e π/ y - x ) Sia x F x) = 0 et + cost) dt, si calcoli il primo termine non nullo della formula di Taylor in x =0esi decida la natura del punto x =0. SOL. Si ha et +cost) = +t + t4) + t + 4! t4 +ot 4 )) =

4 7 4 t4 +ot 4 )pert 0dacuiFx) = 0 x5 +ox 5 )per. x =0è punto di flesso con tangente orizzontale. ) Sia f :a, b) R una funzione derivabile e c a, b). Dimostrare che se c è punto di minimo per f allora f c) =0. 4) Sia f :[a, b] R una funzione continua tale che fa) <a/efb) >b/. Dimostrare che esiste un punto c a, b) in cui il grafico della funzione incontra quello della retta y = x/ cioè un punto tale che fc) =c/. SOL. Si applica il teorema sugli zeri delle funzioni continue alla funzione gx) =fx) x/. 5) Calcolare log + sin x) x xlog + sin x) x + x ) SOL. Si ha sin x =x x! + ox )) = x x4 + ox 4 ), log + sin x) = log + x x4 + ox4 )) = x 5x4 + ox4 ), )) log + sin x) = log + x x ) x x! + ox ) da cui x x! + ox ) log + sin x) x xlog + sin x) x + x ) =! + ox ) = ) + ) x x4 + ox4 ) x x4 )) + ox4 = x x! + ox ) ) = x 5 x4 + ox 4 ) x x x + x + ox ) x + x x + x + ox ) ) = 5 x4 + x4 = 5 ) Si dimostri che una funzione decrescente e continua in un intervallo ha inversa che è decrescente e continua. 4

5 TEMA C Padova //00 ) Studiare la funzione fx) =e arctg x ). Dominio, iti notevoli di f e f, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, asintoti. Abbozzo del grafico. Non è richiesto lo studio della convessità.) SOL.Domf = R. f x) = fx) x ± =eπ, e arctg x ) x +x ) se x> e arctg x ) x +x ) se x< La funzione è crescente per x> decrescente altrove. x = 0 pto di flesso a tangente orizzontale, f0)=e π/, x = punto di minimo f)=, x f x) =, x +f x) =. Asintoto orizzontale y =e π/. y x ) Sia F x) = x 0 e t + sint ) dt, si calcoli il primo termine non nullo della formula di Taylor in x =0esi decida la natura del punto x =0. SOL. Si ha e t sint )=+t + t4 + ot 4 ) t + t + ot )= t4 + ot 4 )pert 0 da cui F x) = 0 x5 + ox 5 ), per x 0. x =0è punto di flesso con tangente orizzontale. 5

6 ) Sia f :a, b) R una funzione derivabile. Dimostrare che se f x) =0 x allora f è costante. 4) Sia f :[a, b] R una funzione continua tale che fa) <a e fb) >b. Dimostrare che esiste un punto c a, b) in cui il grafico della funzione incontra quello della funzione y = x cioè un punto tale che fc) =c. SOL. Si applica il teorema sugli zeri delle funzioni continue alla funzione gx) =fx) x. 5) Calcolare log + cos x) ) 4 x4 x log cos x + x ) SOL. Si ha cos x) = x 4! x4 + ox 4 ) ) = 4 x4 4! x + ox ), log + cos x) )= 4 x4 4! x + ox ), logcos x) = log ) x x4 4! + ox 4 ) da cui x x4 log cos x) ) 4 x4 x logcos x)+ x ) )) 4! + ox 4 ) x x4 4! + ox 4 ) = ) + ox 4 )= x x4 + ox4 ) 4! = x + ox ) ) = x x x4 + ox4 )+ x 4! x x =. ) Si dimostri che una funzione decrescente e continua in un intervallo ha inversa che è decrescente e continua.

7 TEMA D Padova //00 ) Studiare la funzione ) fx) =e arctg x. Dominio, iti notevoli di f e f, crescenza e decrescenza, massimi e minimi, asintoti. Abbozzo del grafico. Non è richiesto lo studio della convessità.) SOL. f è pari. Domf = R. f x) = fx) x ± =e π, ) e arctg x ) e arctg x x +/x ) se x< x +/x ) se x> La funzione è crescente per x< decrescente altrove. x = 0 pto di flesso a tangente orizzontale, f0) = e π/, x = punto di massimo f) =, x f x) =, x +f x) =. Asintoto orizzontale y =e π/ y - x ) Sia F x) = x 0 log + t ) sint ) dt, si calcoli il primo termine non nullo della formula di Taylor in x =0esi decida la natura del punto x =0. SOL. Si ha log + t ) sint )=t t4 + ot 4 ) t + t + ot )= t4 + ot 4 )pert 0dacuiF x) = 0 x5 + ox 5 ), per x 0. x =0è 7

8 punto di flesso con tangente orizzontale. ) Siano f, g :[a, b] R due funzioni continue, derivabili in a, b). Dimostrare che se fa) =ga) ef x) <g x) x a, b) allora fx) <gx) x a, b). 4) Sia f :[a, b] R una funzione continua tale che fa) <a/efb) >b/. Dimostrare che esiste un punto c a, b) in cui il grafico della funzione incontra quello della retta y = x/ cioè un punto tale che fc) =c/. SOL. Si applica il teorema sugli zeri delle funzioni continue alla funzione gx) =fx) x/. 5) Calcolare e cos x x e cos x x SOL. Si ha cos x = x + 4! x4 + ox 4 )) = x + x4 + ox 4 ), e cos x =+x x4 + ox 4 )) + x x4 + ox 4 )) + ox 4 )=+x + x4 + ox4 ), e cos x =e x 4! x4 +ox 4) =+ x 4! x4) + x 4! x4) + ox 4 )= + x + x4 + ox 4 ) da cui e cos x x e cos x x = +x + x4 + ox4 ) x + x + x4 + ox 4 ) = x x 4 x4 = ) Si dimostri che una funzione crescente e continua in un intervallo ha inversa che è crescente e continua. 8