1. TEORIA DEL CONSUMATORE

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1 . TEORI DEL CONSUMTORE ~ 9 ~

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3 Domande a risosta aerta D. Definire gli assiomi della teoria del consumatore. RD. Gli assiomi della teoria del consumatore sono: a) Comletezza: un consumatore uò semre classificare i ossibili anieri di consumo in modo tale da oter effettuare una scelta tra i anieri dati. b) Riflessività: ogni aniere è desiderabile almeno quanto se stesso. c) Transitività: dati tre anieri di consumo (, e C), se un consumatore referisce a e a C, allora referirà anche a C. Tale assioma è valido anche nel caso di indifferenza tra anieri (se un consumatore è indifferente tra e ed è indifferente tra e C, lo sarà anche tra e C). D. Si definisca la funzione di utilità e l utilità marginale. Discutere, inoltre, le caratteristiche della funzione di utilità totale, soffermandosi, in articolare, sulla legge di utilità marginale decrescente. RD. U associa un numero ad ogni ossibile aniere in modo che a anieri maggiormente referiti venga assegnato un numero maggiore. La funzione di utilità assume un significato esclusivamente ordinale (e non cardinale) dal momento che ermette di ordinare i vari anieri disonibili, senza erò indicare la differenza di utilità che esiste tra l uno e l altro. La funzione di utilità, di consumo, La funzione di utilità totale di un bene arte dall origine degli assi ed è crescente con concavità verso il basso (cioè è crescente a tassi decrescenti). Il fatto che la funzione di utilità totale arta dall origine degli assi sta a significare che, in caso di consumo nullo di un bene, anche il corrisondente livello di soddisfazione er il consumatore è ari a zero. L inclinazione ositiva indica che incrementi nel consumo del bene determinano incrementi di soddisfazione er il consumatore. Infine, la concavità verso il basso indica che gli incrementi di soddisfazione del consumatore in seguito ad incrementi nel consumo del bene siano via via iù iccoli. Si noti che raggiunto ~ ~

4 un unto di massimo, la funzione di utilità totale uò assumere un inclinazione negativa a causa della disutilità rovocata, da un certo livello in oi, da ulteriori incrementi nel consumo del bene (Fig. ). Figura Funzione di utilità totale U( ) L utilità marginale di un bene è data dalla variazione dell utilità totale in seguito ad una variazione unitaria della quantità consumata del bene stesso. Nel caso del bene, l utilità marginale ( UMg ) è ari a: UMg U(, ) U L utilità marginale raresenta l inclinazione della funzione di utilità totale. Essa è ositiva in quanto a variazioni ositive (incrementi) della quantità consumata di un bene corrisondono variazioni ositive dell utilità totale, cioè del livello di soddisfazione che il consumatore trae dall incremento di consumo di quel bene. Tuttavia, da un certo unto in oi, l utilità marginale uò diventare negativa quando il consumo di ulteriori unità del bene determini una variazione negativa dell utilità (decremento), cioè una disutilità. L utilità marginale è inoltre decrescente (legge dell utilità marginale decrescente), oiché gli incrementi di utilità sono via via iù iccole a causa dell arossimarsi della sazietà. D.3 Definire la curva di indifferenza ed illustrare il significato economico della sua ~ ~

5 inclinazione. Che tio di relazione intercorre tra il saggio marginale di sostituzione tra i due beni e le risettive utilità marginali? RD.3 Le curve di indifferenza raresentano il luogo geometrico dei anieri di beni che conferiscono al consumatore il medesimo livello di soddisfazione (utilità). La loro inclinazione è data dal saggio marginale di sostituzione (SMS) che misura la quantità del bene ( ) che un consumatore è disosto a cedere er ottenere una unità aggiuntiva del bene ( ): SMS, La curva di indifferenza è inclinata negativamente oiché er ottenere un unità aggiuntiva del bene ( ositivo), il consumatore deve necessariamente rinunciare ad una certa quantità del bene ( negativo) mantenendo inalterato il livello di soddisfazione. L SMS, in ciascun unto, è quindi uguale, in valore assoluto, alla endenza della curva di indifferenza. Se la curva di indifferenza è convessa, il SMS diminuisce in valore assoluto (SMS decrescente). In termini economici ciò significa che man mano che aumenta il consumo del bene il consumatore è disosto a rinunciare a minori quantità di bene er ottenere una unità aggiuntiva del bene. Figura Raresentazione grafica del SMS a b c d ~ 3 ~

6 Il SMS è semre uguale al raorto tra le utilità marginali dei beni: UMg SMS, UMg Infatti, la variazione di utilità derivante da un incremento della quantità consumata del bene è uguale a UMg mentre la variazione di utilità derivante da una variazione della quantità consumata del bene è uguale a UMg. Poiché il livello di utilità lungo la curva di indifferenza è costante (U(, ) = 0) si avrà: U( UMg,) UMg UMg 0 SMS UMg, D.4 Dimostrare erché due curve di indifferenza della stessa famiglia (aartenenti allo stesso individuo) non ossono intersecarsi. RD.4 Suoniamo, er assurdo, che due curve di indifferenza si intersechino in corrisondenza del aniere H (Fig. 3). Il consumatore considera il aniere H indifferente al aniere G, oiché entrambi aartengono alla curva di indifferenza U e considera il aniere H indifferente a quello F, oiché entrambi aartengono alla curva di indifferenza U. Pertanto, er l assioma della transitività, i anieri G ed F dovrebbero essere indifferenti. Tuttavia, oiché er il rinciio di non sazietà, il consumatore referisce consumare maggiori quantità dei due beni, egli non uò essere indifferente tra F e G. Infatti, il aniere F contiene una maggiore quantità di entrambi i beni risetto all altro aniere (G). Di conseguenza se il consumatore è coerente e non è indifferente alle quantità consumate dei beni, dobbiamo concludere che due curve di indifferenza non ossono mai intersecarsi. ~ 4 ~

7 Figura 3 Curve di indifferenza H G F U U D.5 Raresentare la maa delle curve di indifferenza nel caso di beni erfetti sostituti e erfetti comlementi. RD.5 I beni erfetti sostituti sono beni che il consumatore è disosto a sostituire l uno con l altro in raorto costante (ad es. enna nera e enna blu). Le relative curve di indifferenza sono lineari (Fig. 4): la endenza è, ertanto, costante e diende dal raorto di scambio tra i beni. Se tale raorto è :, allora il SMS nera / blu sarà ; se è : allora il SMS nera / blu sarà /; se è 3: allora il SMS sarà 3; ecc. nera / blu ~ 5 ~

8 Figura 4 Curve di indifferenza relative a beni erfetti sostituti Penna blu U 3 >U >U SMS nera / blu cos tan te U3 U U Penna nera I beni erfettamente comlementari sono beni che il consumatore desidera consumare congiuntamente (ad es. zucchero e caffè, dentifricio e sazzolino, ecc.). Pertanto, il consumo di quantità aggiuntive di uno dei due beni (ad es. lo zucchero) concorre ad incrementare il livello di utilità del consumatore solo se accomagnato anche da un incremento del consumo dell altro bene (il caffè). Ovviamente i beni erfettamente comlementari non necessariamente sono consumati in roorzione : (nel caso del caffè e dello zucchero, ad esemio, il consumatore otrebbe desiderare due dosi di zucchero er ogni caffè e, ertanto, la roorzione sarebbe :). Le curve di indifferenza dei beni erfettamente comlementari assumono la forma a L cioè formano un angolo retto (Fig. 5). Nel tratto verticale il SMS è infinito in quanto il consumatore sarebbe disosto a rinunciare ad una quantità infinita di caffè er consumare un unità aggiuntiva di zucchero; nel tratto orizzontale il SMS è, invece, ari a 0 in quanto il consumatore non sarebbe disosto a rinunciare ad alcuna quantità di caffè er consumare un unità aggiuntiva di zucchero. Pertanto: SMS zucchero / caffè 0 nel nel tratto tratto orizzontale verticale ~ 6 ~

9 lternativamente: SMS SMS zucchero / caffè caffè / zucchero Figura 5 Curve di indifferenza relative a beni erfetti comlementi 0 0 Caffè SMS zucchero / caffè SMS zucchero / caffè 0 U3 U U 3 >U >U U Zucchero D.6 Raresentare la maa delle curve di indifferenza nel caso di beni neutrali e di mali. RD.6 Un bene è neutrale se er il consumatore è indifferente consumarlo o meno. Nella Fig. 6 il bene è neutrale: er quanto ne aumenti il consumo, il livello di soddisfazione (utilità) del consumatore resta invariato. Solo incrementi nel consumo dell altro bene () fanno aumentare il livello di soddisfazione del consumatore. Le curve di indifferenza sono, infatti, rette verticali (Fig. 6). ~ 7 ~

10 Figura 6 Curve di indifferenza relative a beni neutrali (neutrale) U U U 3 U 3 > U > U I mali sono beni che il consumatore non arezza, in quanto considerati dannosi. Si suonga un aniere costituito da un bene (che il consumatore arezza) e un male (che il consumatore non arezza). Se aumenta la quantità di male, il consumatore vorrà essere comensato aumentando anche la quantità di bene in modo tale da rimanere sulla stessa curva di indifferenza. Di conseguenza le curve di indifferenza saranno ositivamente inclinate (Fig. 4). Figura 7 Curve di indifferenza relative a mali (male) U U 3 >U >U U U 3 (bene) ~ 8 ~

11 D.7 Doo aver definito il vincolo di bilancio, si definisca la retta di bilancio e si sieghi il significato economico della sua inclinazione. RD.7 Il vincolo di bilancio imone al consumatore che la sesa totale necessaria er l acquisto di due beni che formano il aniere di consumo oggetto di scelta ( ) non ecceda il reddito del consumatore (R). Il vincolo di bilancio ertanto sarà: R La retta di bilancio raresenta, invece, l insieme dei anieri di beni che hanno un costo esattamente ari a R: La Fig. 8 descrive il vincolo di bilancio. L insieme dei anieri al di sotto della retta di bilancio ed il cui costo è strettamente inferiore a R rende il nome di insieme di bilancio (triangolo 0). Figura 8 Retta ed insieme di bilancio R Retta di bilancio Insieme di bilancio 0 R L intercetta verticale della retta di bilancio è data da ed indica la quantità massima del bene che il consumatore otrebbe acquistare se desti ~ 9 ~

12 nasse tutto il rorio reddito all acquisto di tale bene, mentre l intercetta R orizzontale è data da (quantità massima del bene che il consumatore otrebbe acquistare se destinasse tutto il rorio reddito all acquisto di tale bene). L inclinazione della retta di bilancio è misurata, invece, dal raorto fra i rezzi dei due beni (rezzi relativi) receduto dal segno negativo: ed esrime il costo oortunità del consumo di un bene: er aumentare il consumo del bene e continuare, al contemo, a soddisfare il vincolo di bilancio, il consumatore deve in arte rinunciare al consumo del bene. D.8 rgomentare e raresentare graficamente la condizione di scelta ottima del consumatore. RD.8 Il consumatore sceglie quel aniere di beni che giace sulla retta di bilancio e al contemo sulla curva di indifferenza iù lontana dall origine degli assi. Tale aniere, infatti, conferisce al consumatore il livello massimo di soddisfazione comatibilmente con i rezzi dei beni e il reddito a disosizione (ottimizzazione vincolata). Dal unto di vista geometrico, ertanto, la scelta ottimale del consumatore si avrà nell unico unto in cui il vincolo di bilancio è tangente ad una curva di indifferenza ovvero laddove la endenza della retta di bilancio coincide con quella della curva di indifferenza (unto in Fig. 9). ~ 0 ~

13 Figura 9 Scelta ottima del consumatore 0 0 Dal unto di vista analitico, quindi, la condizione di massimizzazione dell utilità del consumatore è data da: SMS, D.9 Raresentare graficamente la scelta ottima del consumatore nel caso di una funzione di utilità di tio Cobb Douglas e una di tio quasi lineare. RD.9 Nella sua formulazione generica, la funzione di utilità di tio Cobb Douglas uò essere scritta come: α β, γ U γ,α,β 0 Le relative curve di indifferenza sono strettamente convesse e la loro forma diende dal valore assunto dai arametri α e β (Fig. 0). ~ ~

14 Figura 0 Curve di indifferenza di tio Cobb Douglas Caso : α / ; β / Caso : α / 5; β 4/ 5 La soluzione del roblema di scelta ottima del consumatore sarà raresentato da un ottimo interno (Fig. ). Figura Scelta ottima e funzione di utilità Cobb Douglas ~ ~

15 La funzione di utilità di tio quasi lineare è data da: U, a v α 0 Le relative curve di indifferenza sono tali che ciascuna di esse corrisonde alla traslazione verticale della stessa curva di indifferenza (Fig. ). Figura Scelta ottima e funzione di utilità quasi lineare D.0 Raresentare graficamente e argomentare la scelta ottima del consumatore nel caso di beni erfetti sostituti e erfetti comlementi. RD.0 La funzione di utilità relativa a beni erfetti sostituti è data da: U, α β α,β 0 In tal caso, la scelta ottima del consumatore è raresentata da una delle due intercette della retta di bilancio in corrisondenza della curva di indifferenza iù lontana dall origine degli assi ( ottimo di frontiera ). Trattandosi, infatti, di beni erfettamente sostituibili fra loro il consumatore destinerà il rorio reddito interamente all acquisto di uno solo dei due beni scegliendo quello che gli garantisce il livello di soddisfazione maggiore. Per caire quale dei due beni ~ 3 ~

16 verrà scelto è, ertanto, necessario confrontare l inclinazione della retta di bilancio ( / ) con quella delle curve di indifferenza che, in quanto lineari, resentano un SMS costante. Sono ossibili diversi casi: Caso Le curve di indifferenza sono iù iatte del vincolo di bilancio (Fig. 3 ). In questo caso il unto di ottimo è raresentato dall intercetta verticale della retta di bilancio (R/ ) dove viene raggiunta la curva di indifferenza ad utilità maggiore. Risulta infatti: SMS, cioè il tasso al quale il consumatore è disosto a scambiare le enne blu con le enne nere è inferiore al tasso al quale il mercato scambia le enne blu con le enne nere. llora il aniere ottimo sarà (0, R/ ). Caso Se, invece, le curve di indifferenza sono iù riide del vincolo di bilancio (Fig. 3 ), il aniere ottimo sarà (R/, 0) dove viene raggiunta la curva di indifferenza ad utilità maggiore. Risulta infatti: SMS, cioè il tasso al quale il consumatore è disosto a scambiare le enne blu con le enne nere è maggiore del tasso al quale il mercato scambia le enne blu con le enne nere. ~ 4 ~

17 Penna blu C Scelta ottima Figura 3 Scelta ottima e beni erfetti sostituti Curve d indifferenza Penna blu C Curve d indifferenza Retta di bilancio Retta di bilancio Scelta ottima Penna nera Penna nera Qualora, invece, il vincolo di bilancio dovesse avere stessa endenza delle curve di indifferenza, il consumatore sceglierebbe un qualsiasi aniere sulla retta di bilancio. La funzione di utilità relativa a beni erfetti comlementi è data da:, min α,β U α,β 0 In tal caso, la scelta ottimale del consumatore è data da un ottimo interno (Fig. 4). ~ 5 ~

18 Figura 4 Scelta ottima e beni erfetti comlementi D. Raresentare graficamente come si modifica la scelta ottima del consumatore a seguito di una riduzione del rezzo del bene ( ). RD. Se il rezzo del bene diminuisce, la quantità massima che il consumatore uò acquistare aumenta; infatti, laddove l intercetta verticale (R/ ) non subisce alcuna variazione, l intercetta orizzontale (R/ ) aumenta. La retta di bilancio ruota verso l esterno facendo erno sull intercetta verticale. La scelta ottima del consumatore asserà da a. In virtù della riduzione di, il consumatore acquista quantità maggiori del bene. In questo caso il bene si comorta come un bene ordinario oiché una riduzione del suo rezzo determina un incremento della quantità domandata (Fig. 5). ~ 6 ~

19 Figura 5 Scelta ottima e variazione del rezzo di un bene 0 0 D. Raresentare graficamente come si modifica la scelta ottima del consumatore a seguito di un aumento del reddito. RD. Se il reddito aumenta, sia l intercetta verticale (R/ ) che quella orizzontale (R/ ) aumentano oiché, in entrambi i casi, aumenta il numeratore della frazione. La retta di bilancio, ertanto, trasla verso destra. La scelta ottima del consumatore si sosta da a. Nella Fig. 6 il consumatore acquista una quantità maggiore di entrambi i beni (beni normali). Nella Fig. 6 il consumatore acquista una quantità maggiore del bene ma una quantità minore del bene. In tal caso il bene è normale, mentre il bene è inferiore. ~ 7 ~

20 Figura 6 Scelta ottima e variazione del reddito del consumatore : entrambi i beni sono normali : il bene è normale, il bene inferiore R / R / R / R / R / R / R / R / D.3 Raresentare graficamente l equilibrio del consumatore a seguito di un aumento del 0% sia dei rezzi dei beni sia del reddito monetario. RD.3 Se i rezzi dei beni ed il reddito monetario aumentano della stessa ercentuale, il otere d acquisto del consumatore rimane invariato. Pertanto la scelta ottima resterà immutata. Da un unto di vista geometrico, infatti, l intercetta verticale (R/P ) e quella orizzontale (R/P ) non si modificano e, ertanto, la retta di bilancio non subisce alcuna rotazione né traslazione. ~ 8 ~

21 D.4 Definire e raresentare graficamente la curva reddito consumo. RD.4 La curva reddito consumo individua tutti i anieri ottimali del consumatore al variare del reddito (Fig. 7). Figura 7 Curva reddito consumo C C Curva reddito consumo C D.5 Si definisca la curva di Engel e la si raresenti graficamente sia nel caso di un bene normale che inferiore. RD.5 Se la curva reddito consumo individua come varia la scelta ottima del consumatore al variare del reddito, la curva di Engel mostra la relazione tra la quantità consumata di un solo bene ed il reddito del consumatore. In resenza di un bene normale, all aumentare del reddito la quantità domandata del bene aumenta. In tal caso, la curva di Engel ha inclinazione ositiva (Fig. 8 ). Viceversa, nel caso di un bene inferiore, all aumentare del reddito la quantità domandata del bene diminuisce e la curva di Engel ha inclinazione negativa (Fig. 8 ). ~ 9 ~

22 Figura 8 Curva di Engel nel caso di un bene normale ed inferiore R R (bene normale) (bene inferiore) lcuni beni ossono comortarsi inizialmente come beni normali e, successivamente, er livelli di reddito iù elevati, come beni inferiori esibendo, quindi, una curva di Engel inizialmente crescente e oi decrescente (es. il caso della bistecca e l hamburger). D.6 Definire e raresentare graficamente la curva rezzo consumo. RD.6 La curva rezzo consumo individua i anieri ottimali del consumatore al variare del rezzo di uno dei due beni. La Fig. 9 riorta la curva rezzo consumo nel caso di una variazione del rezzo del bene. In questo caso la retta di bilancio ruota verso l esterno facendo erno sull intercetta verticale. ~ 30 ~

23 Figura 9 Curva rezzo consumo C C Curva rezzo consumo C D..7 Doo avere definito la curva di domanda individuale, raresentarla graficamente sia nel caso di un bene ordinario che di Giffen. RD.7 Laddove la curva rezzo consumo evidenzia la relazione tra la quantità consumata di entrambi i beni ed il rezzo di un solo bene, la curva di domanda individuale esrime la relazione tra la quantità consumata di un solo bene ed il suo rezzo tenendo costanti il reddito monetario, i gusti dell individuo ed i rezzi degli altri beni. Nel caso di un bene ordinario, all aumentare del rezzo diminuirà la quantità domandata del bene. Pertanto la curva di domanda individuale avrà inclinazione negativa (Fig. 0 ). Viceversa, nel caso di un bene di Giffen, all aumentare del rezzo aumenterà la quantità domandata del bene e la curva di domanda avrà inclinazione ositiva (Fig. 0 ). ~ 3 ~

24 Figura 0 Curva di domanda individuale nel caso di un bene ordinario e di Giffen (bene ordinario) (bene di Giffen) D.8 Cosa determina una variazione della domanda individuale? RD.8 La domanda individuale è influenzata da variazioni del rezzo del bene stesso, del reddito del consumatore, del rezzo degli altri beni e dei gusti del consumatore. In articolare, variazioni del rezzo del bene rovocano sostamenti lungo la curva di domanda, mentre variazioni del reddito monetario, dei gusti dell individuo e del rezzo degli altri beni comortano una traslazione della curva nello sazio. Nello secifico: un aumento del rezzo del bene rovoca una riduzione della quantità domandata (Fig. ), a meno che il bene non sia di Giffen; un aumento del reddito monetario del consumatore determina una traslazione della domanda verso destra (Fig. ); un aumento del rezzo di un bene sostituto determina una traslazione della domanda verso destra (Fig. C); un aumento del rezzo di un bene comlementare determina una traslazione della domanda verso sinistra (Fig. D); una variazione dei gusti uò determinare, a seconda dei casi, una traslazione della domanda sia verso sinistra che verso destra. ~ 3 ~

25 Figura Variazioni della domanda individuale umento del rezzo del bene umento del reddito 0 d d q q 0 q d 0 q C umento del rezzo di un bene sostituto D umento del rezzo di un bene comlementare d d 0 d 0 q d q D.9 Definire l effetto sostituzione e l effetto reddito e raresentarli graficamente nel caso di un bene normale, inferiore e di Giffen (metodo di Hicks). RD.9 La variazione del rezzo di un bene roduce due effetti: l effetto sostituzione, cioè la variazione del consumo del bene associata ad una variazione del suo rezzo, mantenendo costante il livello di utilità. ~ 33 ~

26 l effetto reddito: cioè la variazione del consumo del bene determinata dall aumento del otere di acquisto, mantenendo costante il rezzo del bene. Nella Fig. sono raresentati l effetto sostituzione e l effetto reddito nel caso di un bene normale. Partendo dalla retta di bilancio blu, si suone che, a arità di rezzo dell altro bene e di reddito del consumatore, intervenga una riduzione del rezzo del bene. Ciò determina una rotazione della retta di bilancio verso l esterno facendo erno sull intercetta verticale (nuova retta di bilancio: retta rossa). Il nuovo aniere ottimale sarà. La riduzione del rezzo ha, ertanto, determinato un incremento della quantità consumata del bene che assa da a. Tale effetto totale è il risultato della somma algebrica dell effetto sostituzione e di reddito. Per raresentarli graficamente è necessario tracciare una terza, iotetica, retta di bilancio (retta tratteggiata in verde) che sia tangente alla curva di indifferenza iniziale e, contemoraneamente arallela alla retta di bilancio finale, la quale identifica l iotetico unto di ottimo C. L aumento di consumo da a C raresenta l effetto sostituzione: muovendosi dalla retta blu a quella tratteggiata in verde, il rezzo relativo / si modifica (varia, infatti, l inclinazione della retta di bilancio) ma il livello di soddisfazione rimane costante (si noti che il unto C conserva la tangenza risetto alla curva di indifferenza iniziale). L incremento di consumo da C a raresenta, invece, l effetto reddito. Muovendosi dalla retta tratteggiata in verde a quella in rosso, l inclinazione della retta di bilancio resta invariata ma aumenta il otere di acquisto e ertanto ci si sosta su una curva di indifferenza iù lontana dall origine degli assi. ~ 34 ~

27 Figura Effetto sostituzione ed effetto reddito nel caso di un bene normale C C Eff. TOTLE Si osservi che, nel caso di bene normale, sia la variazione della quantità consumata del bene dovuta all effetto sostituzione (da a C ) sia quella dovuta all effetto reddito (da C a ) ha semre segno oosto a quello della variazione del rezzo (se diminuisce, cioè, sia l effetto sostituzione che l effetto reddito determinano un incremento della quantità domandata). La Figura 3 riorta, invece, l effetto sostituzione e l effetto reddito nel caso di un bene inferiore. ~ 35 ~

28 Figura 3 Effetto sostituzione ed effetto reddito nel caso di un bene inferiore C C Eff. sost. Eff. redd. Eff. TOTLE In questo caso, solo la variazione della quantità consumata del bene dovuta all effetto sostituzione (da a C ) ha segno oosto a quello della variazione del rezzo (se diminuisce, cioè, l effetto sostituzione determina un incremento della quantità domandata) mentre la variazione dovuta all effetto reddito (da C a ) ha stesso segno di quello della variazione del rezzo (se diminuisce, l effetto reddito determina un decremento della quantità domandata). Infine, la Fig. 4 riorta il caso del bene di Giffen. ~ 36 ~

29 Figura 4 Effetto sostituzione ed effetto reddito nel caso di un bene di Giffen C C Eff. sost. Eff. redd. Eff. TOTLE In questo caso, come er il bene inferiore, la variazione della quantità consumata del bene dovuta all effetto sostituzione ha segno oosto di quello della variazione del rezzo mentre la variazione dovuta all effetto reddito ha lo stesso segno di quello della variazione del rezzo. Tuttavia, in questo caso, l effetto reddito è, in valore assoluto, sueriore a quello sostituzione, annullando del tutto quest ultimo. Ricaitolando: Tio di bene Variazione del Effettosostituzione rezzo Effetto reddito Effetto totale ene normale diminuzione ositivo ositivo ositivo ene inferiore diminuzione ositivo negativo ositivo ene di Giffen diminuzione ositivo negativo negativo ene normale aumento negativo negativo negativo ene inferiore aumento negativo ositivo negativo ene di Giffen aumento negativo ositivo ositivo ~ 37 ~

30 Problemi P. Un consumatore ha a disosizione un reddito ari a 500 che vuole sendere er l acquisto di due beni e. Siano e le unità dei beni e, risettivamente. Suonendo che il rezzo del bene sia 0 ( =0) e quello del bene 0 ( =0),. determinare la quantità massima del bene e del bene che il consumatore uò acquistare dato il suo reddito;. raresentare graficamente la retta di bilancio e l insieme delle ossibilità di consumo (insieme di bilancio); 3. individuare l inclinazione della retta di bilancio; 4. raresentare graficamente cosa accade alla retta di bilancio se: a) il reddito aumenta di 00; b) se i rezzi dei due beni raddoiano; c) se i rezzi dei due beni ed il reddito si dimezzano. RP.. Se il consumatore sendesse tutto il suo reddito er l acquisto del bene otrebbe acquistare R/ unità del bene ovvero =50. llo stesso modo, se sendesse tutto il suo reddito er l acquisto del bene otrebbe acquistare R/ unità del bene ovvero =5.. Per tracciare la retta di bilancio e, contestualmente, individuare l insieme di bilancio, bisogna riortare sul sistema di assi cartesiani l intercetta verticale e orizzontale, ovvero le quantità e determinate nel unto. La retta di bilancio sarà il risultato del congiungimento di questi due unti (Fig. 5). Figura 5 Problema.: retta di bilancio ed insieme delle ossibilità di consumo R/=5 ~ 38 ~ R/=50

31 3. L inclinazione della retta di bilancio è data dal raorto tra i rezzi dei due beni, receduta dal segno meno: 4a. seguito dell aumento di reddito di 00 la retta di bilancio traslerà verso destra: l intercetta verticale ed orizzontale assumono, infatti, valori iù elevati (60 e 30, risettivamente, er l intercetta orizzontale e verticale) (Fig. 6). Figura 6 Problema.: effetti di un aumento del reddito b. Raddoiare entrambi i rezzi equivale a dimezzare il reddito del consumatore. Infatti, se i rezzi dei due beni diventano e si avrà: Tale equazione è del tutto equivalente a: Ne consegue che la retta di bilancio si sosta arallelamente verso sinistra (Fig. 7). R R ~ 39 ~

32 Figura 7 Problema.: effetti di un aumento nella stessa roorzione del rezzo di entrambi i beni 5, c. Se entrambi i rezzi ed il reddito si dimezzano la retta di bilancio rimane invariata. Vale, infatti, quanto segue: ~ 40 ~ R Ma tale equazione è del tutto equivalente alla seguente: P. α β Un consumatore ha una funzione di utilità del tio: U (, ) = γ, dove e sono le quantità dei beni e, risettivamente. Nell iotesi in cui il reddito del consumatore sia R ed i rezzi dei due beni siano, risettivamente, e, si determini la scelta ottima del consumatore. RP. Il roblema che il consumatore deve risolvere consiste nel massimizzare la roria funzione di utilità subordinatamente al suo vincolo di bilancio, ovvero: R mau(,) s.t. R

33 Tale roblema uò essere risolto in diversi modi: (i) Uguaglianza tra il saggio marginale di sostituzione (SMS) ed il raorto tra i rezzi. (ii) Metodo del moltilicatore di Lagrange. (iii) Metodo di sostituzione. (i) Uguaglianza tra il SMS ed il raorto tra i rezzi SMS,. In tal caso, la soluzione del roblema del consumatore si ottiene risolvendo il seguente sistema: SMS, R In esso, la rima equazione indica la condizione di tangenza tra la curva di indifferenza e il vincolo di bilancio; la seconda equazione indica il vincolo di bilancio del consumatore. l fine della risoluzione di tale sistema bisogna, ertanto, darima determinare il SMS dato dal raorto tra l utilità marginale del bene ( UMg ) e quella del bene ( UMg ): Nel caso su riortato, si avrà: UMg UMg SMS, UMg UMg da cui: Sostituendo: SMS β α α β R ~ 4 ~

34 ~ 4 ~ Dalla risoluzione di tale sistema si avrà: R β α β R β α α (ii) Metodo del moltilicatore di Lagrange Il metodo del moltilicatore di Lagrange richiede l imiego di una nuova variabile il moltilicatore di Lagrange (λ) e di una nuova funzione la funzione di Lagrange la quale include al suo interno sia la funzione obiettivo (funzione di utilità) che il vincolo di bilancio: R λ, U,λ, L β α R λ γα,λ, L Le corrisondenti condizioni di rimo ordine (First Order Conditions FOCs) er la risoluzione del roblema di massimizzazione vincolata saranno: 0 λ,λ, L 0,λ, L 0,λ, L 0 R 0 λ γβ 0 λ γα β α β α Dalla risoluzione del sistema si otterrà la combinazione ottimale di beni: R β α β R β α α

35 (iii) Metodo di sostituzione L ultimo metodo, il metodo di sostituzione, consiste nell eslicitare il vincolo di bilancio risetto a, ovvero: R [] Il valore (in funzione di ) così determinato, sarà sostituito all interno α β della funzione di utilità U, γ : U α, γ ~ 43 ~ R Derivando la funzione di utilità così definita risetto ad e onendo la condizione di rimo ordine si determinerà il valore di. Il valore così determinato sarà sostituito nella []. Si riuscirà, in tal modo, a determinare il corrisondente valore di. P.3 Si consideri un consumatore la cui funzione di utilità è del tio: U, 3 dove e sono le quantità dei beni e, risettivamente. Nell iotesi in cui il consumatore disonga di un reddito ari a 90 e che i rezzi dei due beni siano risettivamente = e =3:. Si raresentino graficamente le curve di indifferenza corrisondenti alla suddetta funzione di utilità iotizzando tre livelli di utilità:, 5, 30, 45 U U U. si determini la scelta ottima del consumatore e la si raresenti graficamente; 3. iotizzando un aumento di rezzo del bene da a 4, si determini la nuova scelta ottima del consumatore. RP.3. La funzione di utilità iotizzata è una funzione di utilità di tio Cobb Douglas. Le curve di indifferenza ad essa associata saranno strettamente convesse. Per raresentarle è sufficiente ricordare la definizione di curva di indifferenza: combinazioni di due beni che attribui β

36 scono al consumatore lo stesso livello di soddisfazione. Pertanto, nel roblema considerato, è sufficiente individuare tutte le unità dei due beni e che assicurano al consumatore un livello di utilità ari a 5 (er la rima curva di indifferenza), 30 (er la seconda curva d indifferenza) e 45 (er la terza curva d indifferenza) attraverso la seguente relazione: U, Nel caso iotizzato e considerando un livello di utilità ari a 5 si avrà: 5 3 Iotizzando diverse unità del bene ( ; ;...) è ossibile individuare le corrisondenti unità del bene ( 5 ;, 5 ;...) tali che, data la funzione di utilità iotizzata ( U, 3 ), assicurano al consumatore un livello di utilità ari a 5. I anieri (, 5), (, 5), (5, ) aartengono alla curva di indifferenza che conferisce al consumatore un livello di utilità (ordinale) ari a 5. Parimenti, i anieri (, 0), (, 5 ) e (5, ) aartengono alla curva di indifferenza che conferisce al consumatore un livello di utilità (ordinale) ari a 30. Infine i anieri (, 5), (3, 5) (5, 3) aartengono alla curva di indifferenza che conferisce al consumatore un livello di utilità (ordinale) ari a 45. Si uò ora tracciare la maa delle curve di indifferenza. ~ 44 ~

37 Figura 8 Problema.3: referenze Cobb Douglas U=45 U=5 U=30. Risolvendo il roblema della scelta ottimale attraverso il metodo del moltilicatore di Lagrange si avrà: L( mau, s.t. 3 ~ 45 ~ 3 90,,λ) 3 λ L(,,λ)/ 3 λ 0 λ L(,,λ)/ 3 3λ 0 λ L(,,λ)/ λ λ da cui si avrà 5. Sostituendo nella rima equazione del sistema avremo, 5.

38 La scelta ottima del consumatore sarà ertanto il aniere di beni,5;5. 3. Se il rezzo del bene si incrementa da a 4, la nuova scelta ottima sarà costituita dalla combinazione di beni (,5; 5). P.4 Si consideri un consumatore con una funzione di utilità del tio U,. Calcolare l utilità marginale di entrambi i beni.. Determinare il SMS. 3. Suonendo che il rezzo dei beni e siano ari, risettivamente, a 5 e 5 e che il consumatore abbia a disosizione un reddito ari a 75, individuare il aniere di scelta ottima. RP.4. L utilità marginale di entrambi i beni è: U, UMg U, UMg. Il SMS è misurato attraverso il raorto tra l utilità marginale del bene e quella del bene : SMS 3. La scelta ottima del consumatore sarà determinata dalla risoluzione del seguente sistema: SMS ~ 46 ~

39 Il aniere ottimale sarà ertanto costituito da 0 unità del bene e unità del bene. Il livello di utilità ad esso associato si avrà sostituendo le unità del bene e nella funzione di utilità, ovvero:, U P.5 Si consideri un consumatore che intende sendere tutto il suo reddito er l acquisto di due beni erfettamente comlementari. Nell iotesi in cui le referenze del consumatore siano raresentate dalla seguente funzione di utilità: U, min,.. Si raresenti la maa delle curve di indifferenze.. Si determini la scelta ottima del consumatore iotizzando che il consumatore disonga di un reddito ari a 80 e che i rezzi dei due beni siano = e =3. 3. Come varia la scelta ottima del consumatore se il reddito raddoiasse? RP.5. ffinché i beni considerati siano erfettamente comlementari è necessario che il SMS e SMS siano entrambi uguali a zero (Fig. 9). Figura 9 Problema.5: curve di indifferenza di beni erfettamente comlementari U 3 >U >U U3 U U ~ 47 ~

40 . Data la funzione di utilità considerata, il consumatore acquisterà la stessa quantità dei due beni, indiendentemente dai rezzi. Ne consegue che, oiché: allora il vincolo di bilancio uò essere riscritto come: Da cui: R R Pertanto, usando le informazioni dell esercizio avremo che la retta di bilancio 3 80 diventerà: 3 80 con = = Da cui: e, quindi, La nuova scelta ottima sarà: 80 3 P.6 Si consideri una funzione di utilità del tio: U(, )= + raresentativa di beni erfetti sostituti.. Si raresenti graficamente la maa delle curve di indifferenza.. Si determini il Saggio Marginale di Sostituzione. 3. Si individui la scelta ottima del consumatore suonendo che il reddito sia ari a 50 e i rezzi dei due beni siano = =5. 4. Quale sarà la nuova scelta ottima se il rezzo del bene aumenta da a 6 mentre quello del bene rimane fisso a 5? 3 ~ 48 ~