NOTE SULL EQUILIBRIO DEL CONSUMATORE

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1 NT SULL QULBR DL CNSUMATR Valeria Gattai 1 La teoria delle scelte del consumatore si reoccua di siegare come un individuo renda decisioni razionali in condizioni di scarsità. La lettura dei rimi caitoli di Katz e Rosen ci ha ortato a familiarizzare con i concetti di gusti, funzioni di utilità, vincolo di bilancio (VDB), elementi che rivestiranno grande imortanza nelle agine successive. Se il vincolo di bilancio raresenta ciò che l individuo uò fare e le curve d indifferenza ciò che egli vuole fare, dall unione di questi asetti riusciamo a stabilire cosa il consumatore realmente fa. Si tratta di un roblema concettualmente semlice e di facile intuizione che otrebbe, tuttavia, sollevare qualche difficoltà qualora ci si trovi a dover concretamente calcolare l equilibrio in modo matematico, dal momento che la rocedura da seguire diende, in larga misura, dal tio di referenze del nostro consumatore. Tali referenze determinano, infatti, la articolare configurazione della maa d indifferenza, influenzano il valore del saggio marginale di sostituzione e suggeriscono l oortunità di ricorrere a determinati assaggi algebrici er calcolare la scelta ottima. Lo scoo di queste agine è quello di fare un o di chiarezza sui tii rinciali di funzioni di utilità usati nelle teoria microeconomica e di derivare, er ciascuno di essi, le condizioni di equilibrio, artendo dal saggio marginale di sostituzione ed arrivando alle funzioni di domanda individuali. Non si tratta, dunque, di un'analisi alternativa risetto a quella sviluata nel libro di testo che rimane un resuosto indisensabile er la comrensione dell equilibrio del consumatore bensì di una breve schematizzazione che, formalizzando il discorso di Katz e Rosen cerca di semlificarne i contenuti, facilitandone l alicazione ratica negli esercizi. 1 Desidero ringraziare Carlo Filiini e Maria Luisa Mancusi er i reziosi suggerimenti che hanno contribuito a migliorare la qualità del testo. La resonsabilità di eventuali errori o imrecisioni ricade comunque sull autrice. 1

2 1. Le referenze: caso generale e casi articolari Caso generale Sotto le iotesi di comletezza, transitività e non sazietà, Katz e Rosen definiscono le cosiddette referenze regolari, raresentate da curve d indifferenza convesse, con saggio marginale di sostituzione decrescente. Ci riferiremo a questa situazione come al caso generale, oiché direttamente dettato dagli assiomi di base. Graficamente si tratta di raresentare la ben nota maa d indifferenza arrotondata ; analiticamente esistono numerose funzioni di utilità comatibili con il caso generale ma, er semlicità, concentreremo la nostra attenzione sulle sole Cobb Douglas 2, come evidenziato in Figura 1. Fig.1: CAS GNRAL Maa d indifferenza Funzione di utlilità (Cobb Douglas) U(,) = a b con a > 0, b > 0 MRS, = MU = MU a b a 1 b 1 b a = b a b b+ 1 a a + 1 = b a SSRVAZN La articolare configurazione delle Cobb Douglas suggerisce la ossibilità di ricondursi a mezzo di una trasformazione monotona ad una funzione equivalente con somma degli esonenti ari ad 1. A tal fine è sufficiente elevare U(,) alla otenza 1/(a+b): a b a b a + b U(,) = + da cui, onendo a/(a+b) = α, otteniamo: U(,) = α (1-α) con 0 < α < 1 α n questo caso MRS, =, dove α e (1- α) indicano la quota di reddito sesa 1 α nell acquisto, risettivamente, del bene e del bene. 2 Tra le altre funzioni di utilità che rientrano nel caso generale ricordiamo, in articolare: le Stone- Gear del tio U( 1, 2 ) = ( 1 - γ 1 ) a ( 2 - γ 2 ) b con a > 0, b > 0, γ 1,> 0, γ 2 > 0, ( 1 - γ 1 ) > 0, ( 2 - γ 2 ) > 0 e le CS (di cui le Cobb Douglas raresentano un caso articolare) del tio U( 1, 2 ) = (a 1 α + b 2 α ) 1/α con a > 0, b > 0, - < α < 1 e α 0. 2

3 Casi articolari Qualora si modifichino le iotesi iniziali, sottostanti il caso generale, la maa d indifferenza uò assumere una configurazione differente risetto alla Fig.1, traducendosi nei casi articolari dei erfetti sostituti e erfetti comlementi. samineremo questi asetti nel dettaglio tracciando, ancora una volta, la maa d indifferenza ed identificando la formula generale della funzione di utilità nonché il valore del saggio marginale di sostituzione. Perfetti comlementi n violazione dell iotesi di non sazietà (er un bene alla volta) i erfetti comlementi sono beni semre consumati insieme, secondo roorzioni fisse (non necessariamente uguali a 1). La Fig. 2 traduce in termini grafici ed analitici il rinciio sottostante questo tio di referenze: Fig.2: PRFTT CMPLMNT Maa d indifferenza Funzione di utilità ( a gomito ) = b a U(,) = min {a, b } con a > 0, b > 0 che indicano il contributo di un unità di e, risettivamente, all utilità dell individuo. MRS, = 0 sul tratto orizzontale sul tratto verticale non definito nei unti angolosi = b a retta uscente dall origine che unisce i vertici dei gomiti Un altro caso articolare è raresentato dai mali che referiamo tralasciare al fine di non aesantire troo la trattazione.

4 Perfetti sostituti n violazione del rinciio di MRS decrescente, i erfetti sostituti sono beni che il consumatore è disosto a sostituire l uno con l atro secondo un raorto fisso (non necessariamente uguale ad 1). Ne segue un saggio marginale di sostituzione costante e, ertanto, una maa d indifferenza costituita da rette arallele, con endenza ari all oosto dell MRS (cfr. Fig.). Fig.: PRFTT SSTTUT Maa d indifferenza Funzione d utilità (lineare) U(,) = a + b con a > 0 e b >0 Pendenza a/b MRS, = MU MU = b a 2. L equilibrio Come accennavamo in recedenza, trovare l equilibrio del consumatore vuol dire mettere insieme le informazioni riassunte nelle curve d indifferenza con quelle contenute nel vincolo di bilancio. Più rigorosamente diciamo che gli individui cercano di massimizzare la roria utilità sotto il vincolo di bilancio, ovvero di raggiungere l utilità iù alta entro i limiti dettati dal reddito e dai rezzi correnti. Come si traduce tutto questo in termini grafici ed analitici? Graficamente il roblema è semlice: indiendentemente dal tio di referenze in esame si tratta di identificare la curva d indifferenza iù lontana dall origine, tra quelle che toccano il vincolo di bilancio: il unto di contatto è l equilibrio del consumatore. 4

5 Analiticamente bisogna restare maggiore attenzione dal momento che tale unto viene calcolato in modo diverso a seconda che le referenze siano del tio generale, o rientrino nei casi articolari di erfetti comlementi o erfetti sostituti. samineremo, nelle Figure 4, 5 e 6, queste tre situazioni identificando - graficamente ed analiticamente - l equilibrio del consumatore. Alcuni esemi numerici ci aiuteranno a comrendere, con maggior recisione, le strategie risolutive, in relazione al tio di referenze in esame. Fig.4: L QULBR NL CAS GNRAL La curva d indifferenza iù esterna, tra quelle che toccano il vincolo di bilancio, è la tangente. Per trovare l equilibrio imongo, dunque, la condizione di tangenza : Graficamente Analiticamente * MRS, = = + * semio Saendo che un individuo ha funzione di utilità del tio U (,) = 2 e che = 10, = 1, = 2, trovare l equilibrio del consumatore Dalla funzione di utilità caisco che l individuo ha referenze di tio Cobb Douglas e che, dunque, er calcolare l equilibrio devo imostare un sistema analogo a quello descritto oco sora, inserendo i dati del roblema: 2 1 = 2 10 = + 2 = 4 10 = = 4 10 = 2 5 q. * = 4 * = 5

6 mmmmmmmmmmmm Fig.5: L QULBR CN PRFTT CMPLMNT La curva d indifferenza iù esterna, tra quelle che toccano il vincolo di bilancio, è quella avente il gomito sul unto d intersezione tra il VDB e la retta uscente dall origine. Per trovare l equilibrio: Graficamente Analiticamente = b a retta uscente dall origine * = + VDB * semio Saendo che un individuo ha funzione di utilità del tio U(,) = min {2,} e che = 10, = 1, = 2, trovare l equilibrio del consumatore. Dalla funzione di utilità caisco che l individuo ha referenze di tio erfetti comlementi e che, dunque, er calcolare l equilibrio devo imostare un sistema analogo a quello descritto oco sora, inserendo i dati del roblema: = 2 10 = + 2 = 2 10 = = 2 10 = 7 q. * = 7 0 * =

7 Fig.6: L QULBR CN PRFTT SSTTUT Nel caso dei erfetti sostituti, er identificare la curva d indifferenza iù esterna, occorre distinguere fra tre situazioni, confrontando la endenza delle curve d indifferenza (ari all oosto dell MRS) con quella del vincolo di bilancio (ari all oosto del raorto tra i rezzi). La nostra analisi si risolverà, ertanto, nel confronto tra MRS e raorto tra i rezzi : Graficamente Analiticamente MRS, < Le curve d indifferenza sono meno inclinate del vincolo di bilancio. quilibrio (0, * ) nell intercetta verticale del vincolo di bilancio: l individuo consuma solo il bene. S L U Z N MRS, > Le curve d indifferenza sono iù inclinate del vincolo di bilancio. Mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm quilibrio (*,0) nell intercetta orizzontale del vincolo di bilancio: l individuo consuma solo il bene. D A N G L nfinite soluzioni MRS, = Le curve d indifferenza hanno la stessa inclinazione del vincolo di bilancio che risulta, ertanto, sovraosto ad una di esse. L individuo è indifferente riguardo al consumo di un qualsiasi aniere aartenente al vincolo di bilancio (0<*</ ; 0<*</ ) laddove / e / raresentano risettivamente l intercetta orizzontale e verticale del vincolo. N F N T S L U Z N 7

8 semio Saendo che un individuo ha funzione di utilità del tio U(,) = 2 + e che = 10, = 1, = 2, trovare l equilibrio del consumatore. Dalla funzione di utilità caisco che l individuo ha referenze di tio erfetti sostituti e che, dunque, er calcolare l equilibrio, devo confrontare MRS e /, sulla base dei dati del roblema. MRS, = 2 1 = 2 MRS, > quilibrio nell intercetta orizzontale del vincolo di bilancio (10,0). Funzioni di domanda individuali Arrivati a questo unto, il discorso sull equilibrio del consumatore risulta, raticamente, concluso. Aggiungerei, tuttavia, alcune considerazioni sul calcolo delle funzioni di domanda individuali, argomento che ben si lega a quanto sviluato nelle agine recedenti. Se Katz e Rosen nel caitolo ci insegnavano a ricavare le funzioni di domanda graficamente, artendo dalla curva rezzo-consumo, ora intendiamo comiere un oerazione simile secondo un aroccio, erò, analitico. Una volta comreso come calcolare l equilibrio a seconda del tio di referenze del consumatore diventa relativamente semlice derivare l esressione analitica delle sue funzioni di domanda. Detto con arole overe, non dobbiamo fare altro che rocedere come se stessimo calcolando l equilibrio lasciando, erò, indicati,, e invece di sostituire i risettivi valori numerici. La funzione di domanda è, infatti, una relazione tra la quantità domandata di un bene e il suo rezzo, ovvero una serie di equilibri al variare del rezzo del bene (con reddito e rezzo dell altro bene genericamente dati). Vediamo alcuni esemi al fine di chiarire meglio questi concetti. 8

9 samineremo, come semre, il caso generale (Cobb Douglas), i erfetti sostituti e i erfetti comlementi, al fine di cogliere la simmetria con quanto descritto in recedenza. Fig. 7: FUNZN D DMANDA NDVDUAL NL CAS GNRAL semio Data U(,) = 2 trovare la funzione di domanda del consumatore er il bene. Procediamo er gradi: 1) identifichiamo il tio di referenze, guardando alla funzione di utilità: Cobb Douglas 2) ensiamo a come si calcola l equilibrio nel caso Cobb Douglas: dobbiamo uguagliare l MRS al raorto tra i rezzi e metterlo a sistema con il VDB (cfr. Fig. 4) ) svolgiamo i assaggi algebrici, come se dovessimo calcolare l equilibrio, lasciando erò indicati, e : MRS, = = + 2 = = + = 2 = + 2 Da cui ricavo: = + 2 = 2 5 Funzione di domanda di Con assaggi analoghi, otete rovare a ricavare la funzione di domanda er il bene, che risulta ari a: = 5 SSRVAZN Noto che le funzioni di domanda del consumatore er i beni e diendono esclusivamente dal reddito e dal rezzo del bene in esame, mentre il rezzo dell altro bene non comare nella formula. Si tratta di un risultato generale er le funzioni di utilità di tio Cobb Douglas er le quali ci asetteremo, dunque, elasticità della domanda al rezzo ed al reddito diverse da 0, ma elasticità incrociata nulla. 9

10 Fig. 8: FUNZN D DMANDA NDVDUAL CN PRFTT CMPLMNT semio Data U(,) = min {2,} trovare la funzione di domanda del consumatore er il bene. Procediamo er gradi: 1) identifichiamo il tio di referenze, guardando alla funzione di utilità: erfetti comlementi 2) ensiamo a come si calcola l equilibrio nel caso dei erfetti comlementi: dobbiamo mettere a sistema la retta uscente dall origine con il VDB(cfr. Fig. 5) ) svolgiamo i assaggi algebrici, come se dovessimo calcolare l equilibrio, lasciando erò indicati, e : = 2 = + = 2 = + 2 = 2 = + 2 Da cui ricavo: = ( + 2 ) = + 2 Funzione di domanda di Con assaggi analoghi, otete rovare a ricavare la funzione di domanda er il bene, che risulta ari a: SSRVAZN Noto che le funzioni di domanda del consumatore er i beni e diendono dal reddito e dai rezzi di entrambi i beni. Si tratta di un risultato generale er le funzioni di utilità dei erfetti comlementi, er i quali ci asetteremo elasticità della domanda al rezzo, al reddito e incrociata diverse da 0. 10

11 Fig. 9: FUNZN D DMANDA NDVDUAL CN PRFTT SSTTUT semio Data U(,) = 2 +, = 10, = 1, = 2 trovare la funzione di domanda del consumatore er il bene. Procediamo er gradi: 1) identifichiamo il tio di referenze, guardando alla funzione di utilità: erfetti sostituti. 2) ensiamo a come si calcola l equilibrio nel caso dei erfetti sostituti: dobbiamo confrontare l MRS con il raorto tra i rezzi (cfr. Fig. 6) ) svolgiamo i assaggi algebrici, come se dovessimo calcolare l equilibrio, sostituendo il rezzo dell altro bene e lasciando indicato il rezzo del bene in esame. Nel nostro caso: MRS, = = 2 MU 2 = MU Quale dei due valori è maggiore? Dal momento che abbiamo lasciato indicato, la risosta diende dal suo valore. Chiediamoci, dunque, qual è il valore di che ci consente di discriminare tra le tre situazioni evidenziate in Fig. 6. videntemente, sulla base dei nostri dati, tale valore è 4/, infatti: 4 se > 2 > MRS, < 4 se < 2 < MRS, > soluzione verticale: solo e niente in eq. soluzione orizzontale: solo e niente in eq. se = 4 2 = MRS, = consumatore indifferente tra il consumo di una qualsiasi quantità di comresa tra 0 e l intercetta orizzontale del VDB che ottengo quando il rezzo è 4. 11

12 Una volta raccolte tutte queste informazioni, rocediamo a metterle insieme, al fine di disegnare la funzione di domanda er il bene : 4 7,5 (intercetta orizzontale del VDB quando il rezzo è 4/) SSRVAZN Si tratta, evidentemente, di una sezzata, che nasce dall unione di tre ezzi: un tratto verticale quando > 4/ infatti, er valori alti di, la soluzione al roblema dell equilibrio è verticale, ovvero il consumatore comra solo il bene, consumando una quantità ari a 0 del bene. Un tratto orizzontale, quando = 4/ infatti, in questo caso, il consumatore, in equilibrio, è indifferente riguardo al consumo di una qualsiasi quantità di comresa tra 0 e l intercetta orizzontale del VDB che si ottine quando = 4/. Un tratto decrescente, quando < 4/, che corrisonde ai valori del rezzo in corrisondenza dei quali si avrebbe una soluzione orizzontale; conformemente all usuale legge della domanda, al diminuire del rezzo, la quantità domandata del bene aumenta, come suggerito dall andamento dell ultimo tratto della funzione. Una volta chiariti questi asetti, dovrebbe risultare relativamente facile calcolare la funzione di domanda er il bene, che otete rovare a ricavare er esercizio. 12