Esercitazione 2-6 marzo 2018

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1 MICROECONOMIA (F-N) Novelli Giacomo Ricevimento: lunedì, 3-4:30, aula tutor, Strada Maggiore 45 Esercitazione - 6 marzo 08 ESERCIZI Esercizio Anna ha uno stipendio di.000 euro al mese, che spende totalmente in cene (il cui prezzo medio e di 50 euro) e scarpe (il cui prezzo medio e pari a 00 euro). ) Scrivere e rappresentare il vincolo di bilancio di Anna; ) Anna si fidanza e, siccome il suo reddito e piu alto di quello del suo fidanzato, deve pagare per tutti e due. Il costo di una cena aumenta a 00 euro. Cosa accade al vincolo di bilancio? 3) La casa di moda preferita da Anna presenta la collezione primavera-estate con un nuovo modello il cui prezzo e pari a 00. Anna decide di comprarlo. Cosa accade al vincolo? 4) Anna ottiene un aumento di stipendio. Il suo reddito mensile passa a 00 euro. Come si sposta il vincolo? Punto () Per scrivere il vincolo di bilancio e necessario individuare prezzi dei beni e reddito a disposizione. I prezzi sono: mentre il reddito e R=000. L equazione del vincolo di bilancio sara allora Ricordiamo che per rappresentare il vincolo e sufficiente conoscere le due intercette sugli assi ed esse possono essere ricavate facilmente partendo dal vincolo stesso. In particolare, misurando le paia di scarpa sull asse verticale, l intercetta su tale asse sara (R/Ps)= 0 mentre (R/Pc)= 0 sarà quella sull asse orizzontale. La pendenza del vincolo è come al solito pari al rapporto tra i prezzi, ossia (Pc/Ps)=-/. Graficamente:

2 Punto () Il prezzo delle cene e raddoppiato. Il vincolo di bilancio allora diventa: La variazione del prezzo ha quindi determinato un aumento dell inclinazione della retta (in valore assoluto). Il vincolo di bilancio ruota in senso orario facendo perno sull intercetta verticale (dato che non varia la quantita massima di scarpe che Anna puo permettersi). Punto (3) In questo caso a variare e il prezzo delle scarpe. Il vincolo di bilancio allora diventera : La variazione del prezzo ha determinato una riduzione dell inclinazione della retta (in valore assoluto). Il vincolo di bilancio ruota in senso antiorario facendo perno sull intercetta orizzontale (dato che non varia la quantita massima di cene che Anna puo permettersi). Punto (4) In questo caso il vincolo di bilancio sara : L aumento non ha determinato alcuna variazione dell inclinazione della retta. Ancora una volta non e mutato il costo opportunita dei due beni. Il vincolo si sposta parallelamente a se stesso verso destra ad indicare un aumento delle possibilita di consumo di Anna.

3 Esercizio Siano p = 0 e p = 40 i prezzi unitari di mercato di due beni le cui quantità sono indicate con e. Il reddito R di cui dispone il consumatore è pari a a) Si tracci graficamente il vincolo di bilancio del consumatore e si indichi il valore dell intercetta e del coefficiente angolare. Si indichi, inoltre, qual è l insieme delle possibilità di consumo. b) Si indichi come si modifica il vincolo nel caso in cui p = 30; c) Cosa succede nel caso in cui i prezzi dei due beni raddoppiano? E se il reddito si dimezza? Consideriamo ora un consumatore, soggetto al vincolo di bilancio individuato al punto a), le cui preferenza sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U(,) = (funzione di utilità Cobb-Douglas) d) si determini analiticamente la scelta ottimale dell individuo; e) si rappresenti graficamente il problema. La generica equazione della retta di bilancio è p + p = R nel caso considerato si avrà perciò: = 5000 Per rappresentare graficamente il vincolo è necessario trovare, innanzitutto, i punti di intersezione con gli assi cartesiani, sui quali sono rappresentate le quantità dei beni e. Porremo a sistema il vincolo di bilancio, rispettivamente, con l equazione = 0 e = 0 e otterremo le coordinate delle intercette: (0;5) e (50;0). I valori trovati di e ci indicano le quantità di tali beni che verrebbero acquistate nel caso in cui il consumatore decidesse di destinare l intero reddito solo ad uno dei due beni. Il coefficiente angolare si evidenzia esplicitando il vincolo rispetto ad una delle due variabili, per esempio rispetto ad : = Si può vedere come l inclinazione della retta sia uguale a - e sia pari al rapporto tra i prezzi dei due beni. Tale rapporto ci indica in che misura è possibile scambiare un bene con l altro, dati i prezzi di mercato. a) Se si modifica il prezzo del bene, passando da 40 a 30, si avrà un nuovo vincolo di bilancio, 0+30 = 5000 a cui corrisponderà una nuova intercetta rispetto all asse. Nel caso specifico le nuove intercette 500 saranno: (50;0) e (0; ). Si può quindi osservare che, essendosi modificati i prezzi relativi, è 3 cambiata l inclinazione del vincolo di bilancio, che è pari a - 3. Questo comporta che ora è mutata la proporzione con la quale una unità di un bene può essere scambiata con una certa quantità dell altro bene. c) Se il prezzo di entrambi i beni raddoppia avremo il seguente vincolo di bilancio:

4 = 5000 la cui inclinazione è e le cui intercette risultano essere (0;6,5) e (5;0). Si può quindi notare che la retta di bilancio si è spostata parallelamente rispetto alla situazione iniziale, senza che siano stati modificati i prezzi relativi, in quanto entrambi i prezzi sono aumentati nella stessa misura. La proporzione in cui ora i due beni possono essere sostituiti è la stessa; in questa nuova situazione, di fatto, si è modificato il potere di acquisto del consumatore. Nel caso in cui il reddito si dimezzi avremo: = 500 la cui inclinazione è sempre - e le cui intercette sono (0;6,5) e (5;0). Questo avviene perché un raddoppiamento dei prezzi dei beni, fermo restando il livello del reddito, provoca una diminuzione del potere d acquisto che genera gli stessi effetti di una diminuzione del reddito disponibile, che si dimezza rispetto al precedente ammontare. d) Per determinare la scelta ottimale dell individuo è necessario uguagliare il Saggio Marginale di Sostituzione (SMS) al rapporto dei prezzi ed intersecare la soluzione con il vincolo di bilancio. Data una generica funzione di utilità, il saggio marginale di sostituzione tra due beni e rappresenta il costo opportunità del bene in termini del bene (costo opportunità che non è determinato dalle condizioni di mercato ma è implicito nella struttura delle preferenze del consumatore). Analiticamente esso indica la disponibilità a sostituire fra loro i due beni ed è uguale, in valore assoluto, al rapporto fra le utilità marginali. In questo caso il saggio marginale di sostituzione è SMS, = La pendenza del vincolo di bilancio è data dal rapporto dei prezzi di due beni, in questo caso: p 0 = p 40 La scelta ottimale del consumatore si ha in corrispondenza del punto di tangenza fra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza più lontana dall origine degli assi (quella corrispondente al livello di utilità più alta possibile): in tale punto la pendenza della curva di indifferenza (data dal SMS) e la pendenza del vincolo di bilancio sono uguali. Analiticamente si richiede che:

5 Nel caso specifico, dunque, avremo SMS =, = 4 Come si può notare, la condizione di ottimo dipende dalle preferenze dell individuo e dai prezzi di mercato, ma non individua un paniere specifico. Perché questo avvenga, infatti, è necessario considerare il vincolo di bilancio che abbiamo precedentemente specificato. Tecnicamente, questo significa risolvere il seguente sistema (che ci permette di considerare contemporaneamente la condizione di ottimo con il vincolo di bilancio): p p Risolviamo il sistema, per esempio, isolando nella prima equazione, =, e sostituendola nella seconda. Si ottiene così ( ) = 5000, da cui * =5 e, per sostituzione, * = 6,5. La figura sottostante dà una rappresentazione grafica del problema. Si osservi che il vincolo di bilancio interseca l asse delle in corrispondenza del valore 5: questo è, infatti, il massimo numero di unità di bene che il consumatore può acquistare con il proprio reddito. Analogamente, se tutto il reddito (pari a 5000) fosse impiegato per acquistare il bene, il cui costo è pari a 0, il consumatore potrebbe consumarne fino a 50 unità Ciascuna delle curve di indifferenza disegnate corrisponde alle combinazioni di due beni cui è associata la medesima utilità: tanto più la curva di indifferenza è lontana dall'origine degli assi, tanto maggiore è il livello di utilità associato. Tra i punti appartenenti al vincolo di bilancio (e perciò accessibili al consumatore) quello di utilità massima possibile corrisponde al punto in cui il vincolo di bilancio è tangente ad una delle curve di indifferenza, U ( = 5, = 6,5) = 78,5

6 Esercizio 3 Un consumatore ha a disposizione un reddito pari a R = 30 e le sue preferenze sono descritte dalla funzione di utilita U(,) =. Il SMS e pari a /. a) Determinare l equazione di una generica curva di indifferenza b) Determinare il paniere di consumo ottimale in corrispondenza dei prezzi p = e p = 5. c) Si supponga che il prezzo p diminuisca, cosı che ora p' = 4. Calcolare la nuova scelta ottima del consumatore. a) La curva di indifferenza rappresenta l insieme delle combinazioni di e che danno al consumatore lo stesso livello di utilita U. Essendo la funzione di utilita in oggetto U(,) = e definendo con un dato (generico) livello di utilita, allora le combinazioni (,) che generano tale livello di utilita dovranno essere tali per cui U(;)=. L equazione della generica curva di indifferenza in un grafico in cui e misurato sull asse verticale e dunque: b) Per determinare l ottimo del consumatore occorre risolvere il sistema che combina la condizione di tangenza e il vdb, dove la condizione di tangenza e determinata dall'uguaglianza tra SMS (=/) e valore assoluto della pendenza del vdb (=/5). Il sistema a due equazioni e due incognite e : Dalla prima equazione otteniamo =(/5) che sostituita all'interno del vdb ci permette di ottenere le grandezze di equilibrio. Quindi il paniere ottimo del consumatore e dato da (80,3). c) Se il prezzo del bene passa da 5 a 4, il nuovo ottimo del consumatore si ricava dalla soluzione del sistema (nel sistema si fa notare che il SMS e sempre pari, per definizione, al rapporto tra le utilita marginali rispettivamente del bene misurato sull asse delle ascisse e di quello misurato sull asse delle ordinate): da cui procedendo come nel punto precedente si ottiene il paniere (80; 40). Come utile esercizio a casa, provate a disegnare il vecchio e il nuovo vincolo di bilancio in un grafico, mostrando i due panieri ottimali come punti di tangenza con due generiche curve di indifferenza.

7 Esercizio 4 Le preferenze di un consumatore per lo zucchero di barbabietola (bene ) e lo zucchero di canna (bene ) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U (, ) = 3 + I prezzi dei beni sono p = 5 e p = 0 e il reddito a disposizione dell'individuo è pari a 0. Determinare la scelta ottimale dell'individuo. I perfetti sostituti sono beni che il consumatore è disposto a sostituire l uno con l atro secondo un rapporto fisso (non necessariamente uguale ad ). Ne segue un saggio marginale di sostituzione costante e, pertanto, una mappa di curve d indifferenza costituita da rette parallele, con pendenza pari all opposto dell SMS. Ricordiamo, per semplicità, che dato una curva di indifferenza U(,) = a + b con a > 0 e b >0 il saggio marginale di sostituzione, SMS, = a/b. In questo esercizio, poiché =U(,)-3, il saggio marginale di sostituzione tra i due beni è costante e pari a: U SMS, = = 3 U Questo significa che le curve di indifferenza sono lineari e quindi che il punto di ottimo sarà una soluzione d'angolo, il che significa che il consumatore acquisterà solo uno dei due beni. Per sapere quale dei due e in che quantità, occorre considerare la pendenza delle curve di indifferenza (che indica in che proporzione l'individuo è disposto a scambiare un bene con l'altro) e quella del vincolo di bilancio (che indica il rapporto in cui i due beni sono scambiati sul mercato). Un SMS pari a 3 significa che il consumatore è disposto a cedere 3 unità di per una di. Invece sul mercato il bene è p scambiato contro due unità di (la pendenza del vincolo di bilancio, cioè il rapporto, è pari a ). p Di conseguenza il consumatore preferirà spendere il suo reddito solo nell'acquisto del bene, R acquistandone una quantità pari a = = 4 p E 4

8 Esercizio 5 Le preferenze di un consumatore sui beni e sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U (, ) = Min{, } Il prezzo del bene è p = 5 e quello del bene è p = 3. Il reddito a disposizione del consumatore è R = 0. i. Tracciare la curva di indifferenza relativa al livello di utilità pari a 0. ii. Queste preferenze soddisfano l ipotesi di non sazietà? iii. Ricavare la combinazione di beni consumata in equilibrio. i. I perfetti complementi sono beni sempre consumati insieme, secondo proporzioni fisse (non necessariamente uguali a ). Per questo tipo di preferenze importa solo il bene di cui si consuma la quantità minore. Difatti, l utilità è pari al valore più piccolo fra e. Se < l utilità è U (, ) =. Se, viceversa, <, l utilità è U (, ) =. Per trovare la curva di indifferenza cui è associato un livello di utilità pari a 0 basta eguagliare la funzione di utilità al livello desiderato. Se <, U (, ) = e = 0. In questo caso la curva di indifferenza è una retta parallela all asse, con ascisse pari a = 0. Se <, U (, ) = e = 0. La curva di indifferenza è una retta parallela all asse, con ordinata pari a = 0. Nel punto in cui il tratto orizzontale e quello verticale della curva di indifferenza si congiungono, ovvero dove = i due beni vengono consumati in quantità uguale e sempre nella stessa proporzione = Aumentare la quantità di uno dei due mantenendo ferma quella dell altro non farebbe crescere l utilità del consumatore. Per questo i due beni sono perfetti complementi. La curva di indifferenza relativa all utilità 0 si disegna quindi cosí: 0 U=0 0

9 ii. Queste preferenze violano il principio di non sazietà: infatti per esempio il paniere (,) non è preferito al paniere (,), come invece richiederebbe la non sazietà. iii. La retta di bilancio è = 0. Come si può facilmente evincere dalla figura sotto rappresentata per ogni vincolo di bilancio con prezzi finiti e maggiori di zero la combinazione di beni consumata in equilibrio avrà la caratteristica di =. Sostituendo questa espressione nella retta di bilancio abbiamo = 0, che ci porta a = = 5. Questa è la combinazione che massimizza l utilità del consumatore data la retta di bilancio U=5 5 4

10 DOMANDE TEORICHE ) Cosa è costante lungo una curva di indifferenza? a. L utilità totale che il consumatore trae dal consumo di uno dei due beni. b. Il saggio marginale di sostituzione tra i due beni. c. L utilità totale che il consumatore trae dal consumo di entrambi i beni. d. Il reddito del consumatore. a. Errato. Le curve di indifferenza sono delle curve di livello che servono a rappresentare su un grafico bidimensionale la funzione di utilità del consumatore. La funzione di utilità misura l utilità totale che il consumatore tra dal consumo di uno o più beni. b. Errato. Il saggio marginale di sostituzione è costante solo nel caso molto particolare di beni perfetti sostituti. Nel caso più generale dei beni normali, il saggio marginale di sostituzione è decrescente e le curve di indifferenza sono convesse. c. Corretto. Le curve di indifferenza sono delle curve di livello che servono a rappresentare su un grafico bidimensionale la funzione di utilità del consumatore. La funzione di utilità misura l utilità totale che il consumatore tra dal consumo di uno o più beni. d. Errato. Le curve di indifferenza sono tracciate senza alcun esplicito riferimento al reddito del consumatore. ) Il consumo di vodka è rappresentato sull asse delle ascisse (in bottiglie), quello di caviale è rappresentato sull asse delle ordinate (in ettogrammi). Se la retta di bilancio diventa più piatta e l intercetta orizzontale rimane invariata, possiamo concludere che: a. Il prezzo della vodka è diminuito. b. Il prezzo del caviale è diminuito. c. Il prezzo della vodka è aumentato. d. Il prezzo del caviale è aumentato. a. Errato. Se così fosse, la retta di bilancio diventerebbe più piatta, e l intercetta verticale resterebbe invariata. b. Errato. Se così fosse, la retta di bilancio diventerebbe più ripida, e l intercetta orizzontale resterebbe invariata. c. Errato. Se così fosse, la retta di bilancio diventerebbe più ripida, e l intercetta verticale resterebbe invariata. d. Corretto. Se il prezzo del caviale aumenta, la massima quantità di caviale che è possibile acquistare per un dato livello di reddito, cioè l intercetta verticale della retta di bilancio, diminuisce mentre quella orizzontale rimane invariata. In conseguenza, la retta di bilancio diventa più piatta. 3) A quale delle seguenti ipotesi sulle preferenze corrisponde il concetto di saggio marginale di sostituzione decrescente? a. Completezza. b. Convessità. c. Transitività. d. Più è meglio di meno. a. Errato. L ipotesi di completezza comporta che i consumatori siano in grado di classificare tutti i possibili panieri di consumo, cioè che ciascun paniere di consumo giaccia su una e una sola curva di indifferenza. b. Corretto. Se le curve di indifferenza sono convesse, la loro pendenza diminuisce man mano che ci si sposta da destra verso sinistra. In conseguenza, all aumentare del consumo di un bene, il consumatore è disposto a rinunciare a quantità sempre minori dell altro bene per ottenere un unità aggiuntiva del primo.

11 c. Errato. L ipotesi di transitività comporta che le curve di indifferenza non si intersechino. Se C è preferito ad A e A e C giacciono sulla stessa curva di indifferenza, allora A non può giacere sulla stessa curva di indifferenza di B. d. Errato. L ipotesi che il consumatore preferisca sempre una maggiore quantità di un bene a una minore comporta che le curve di indifferenza abbiano pendenza negativa. Se la quantità di uno dei due beni aumenta, perché la soddisfazione del consumatore rimanga costante è necessario che la quantità dell altro bene diminuisca.

12 DOMANDE A RISPOSTA MULTIPLA ) Una curva di indifferenza misura e la sua inclinazione è uguale a. a) le diverse combinazioni di due beni o servizi che portano allo stesso livello di soddisfazione; il prezzo di un bene rispetto all altro. b) le diverse combinazioni di due beni o servizi che portano allo stesso livello di soddisfazione; il saggio marginale di sostituzione. c) le diverse combinazioni di due beni o servizi che un consumatore puo permettersi; il rapporto dei prezzi dei due beni. d) le diverse combinazioni di due beni o servizi che un consumatore puo permettersi; il saggio marginale di sostituzione; ) Se per Armando vasi e fiori sono beni perfetti complementi, un aumento del consumo di vasi a parità di consumo di fiori comporterà per lui: a) un aumento dell utilita ; b) una diminuzione dell utilita ; c) nessuna variazione dell utilità; d) il raggiungimento di una curva di indifferenza piu alta; 3) L effetto sulla retta di bilancio di un identico aumento percentuale di prezzi e reddito dovuto all inflazione è: a) che le rette di bilancio traslano in parallelo allontanandosi dall origine con l aumento del reddito, ma non tanto quanto avverrebbe se i prezzi fossero rimasti costanti. b) per rispondere a questa domanda servirebbero piu informazioni su reddito, prezzi e tasso di inflazione. c) niente: la retta di bilancio non si sposta né ruota, in questo scenario. d) che le rette di bilancio traslano in parallelo avvicinandosi all origine con l aumento del reddito, ma non tanto quanto avverrebbe se il reddito fosse rimasto costante.