Soluzione dei compiti di Analisi Matematica I

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1 Università del Salento Facoltà di Ingegneria Antonio Leaci Soluzione dei compiti di Analisi Matematica I ANNI ACCADEMICI 8-9, -

2 Indice Compito di Analisi Matematica I del 9//8 (DM59) 3. Soluzione del compito del 9// Compito di Analisi Matematica I del //9 (DM59) 7. Soluzione del compito del // Compito di Analisi Matematica I del 6//9 3. Soluzione del compito del 6// Compito di Analisi Matematica I del /3/ Soluzione del compito del /3/ Compito di Analisi Matematica I del 3/3/9 (DM59) 3 5. Soluzione del compito del 3/3/ Compito di Analisi Matematica I del 6/4/9 (DM59) 6 6. Soluzione del compito del 6/4/ Compito di Analisi Matematica I del 4/5/ Soluzione del compito del 4/5/ Compito di Analisi Matematica I del 9/6/ Soluzione del compito del 9/6/ Compito di Analisi Matematica I del 3/7/ Soluzione del compito del 3/7/ Compito di Analisi Matematica I (D.M.59) del 3/7/9 45. Soluzione del compito del 3/7/9 (DM 59) Compito di Analisi Matematica I del 7/9/9 49. Soluzione del compito del 7/9/ Compito di Analisi Matematica I (D.M.59) del 7/9/9 53. Soluzione del compito del 7/9/9 (DM 59) Compito di Analisi Matematica I (F.C.) del 9// Soluzione del compito del 9//9 (F.C.)

3 4 Compito di Analisi Matematica I del // 6 4. Soluzione del compito del // Compito di Analisi Matematica I del /3/ Soluzione del compito del /3/ Compito di Analisi Matematica I del /3/ 7 6. Soluzione del compito del /3/ Compito di Analisi Matematica I - A del /5/ Soluzione del compito A del /5/ Compito di Analisi Matematica I - B del /5/ 8 8. Soluzione del compito B del /5/ Compito di Analisi Matematica I del 5/7/ Soluzione del compito del 5/7/ Compito di Analisi Matematica I del 9/7/ 9. Soluzione del compito del 9/7/ Compito di Analisi Matematica I del 9/9/ 95. Soluzione del compito del 9/9/ Ulteriori esercizi sulle serie. Soluzione degli esercizi sulle serie

4 Compito di Analisi Matematica I del 9//8 (DM59). Tracciare il grafico della funzione così definita ( ) + x f(x) = log. Studiare il seguente ite al variare del parametro α R +. x sinx α αtanx x + x 3. Calcolare il seguente integrale indefinito x+ x+ dx x+ 4. Studiare il carattere della seguente serie n= n+ n logn 3

5 . Soluzione del compito del 9//8. (Dominio e simmetrie) La funzione è definita per ogni x pertanto il Dominio è R\{} e f è continua nel suo dominio. Non ci sono simmetrie. (Intersezioni con gli assi e segno) Poichè compare la funzione valore assoluto consideriamo le due funzioni ( ) ( ) +x f (x) = log = log per x ( x ) ( x ) x+ x f (x) = log = log per x <,x x e studiamole separatamente. Risolvendo f (x) = troviamo x = e dunque x =. Inoltre f (x) < per ogni x >. Studiamo ora f in (,) (,]. Risolvendo f (x) = troviamo x x = e dunque x + x =. Otteniamo la soluzione x = e ritroviamo la soluzione x = Inoltre f (x) > se e solo se x x >, cioè x +x <. Allora f (x) > per ogni x (,) (,) mentre f (x) < per x (, ). (Asintoti) Si ha f (x) = e non c è asintoto obliquo. Risulta x + f (x) = + pertanto x = è asintoto verticale e f (x) = x x e non c è asintoto obliquo. (Derivata prima e monotonia) Risulta f (x) = < per ogni x x perciò f è decrescente in [,+ ). Calcolando f (x) troviamo f (x) = x 4 x( x) e si ha f (x) > per x (,) mentref (x) < perx (,]. Quindif ècrescentein(,) e decrescente in (,]. (Derivata seconda e convessità) Infine f (x) = > per ogni x x perciò f è convessa in [,+ ). Calcolando la derivata seconda di f si ottiene f (x) = x 8x+8 che x (x ) è positiva in (,) (,] pertanto f è convessa in (,) e in (,]. x 4

6 Figura : Grafico della funzione f. (Grafico) Tornando alla funzione assegnata f osserviamo che f s() = 3 e f d () = pertanto x = è un punto angoloso. La funzione f è crescente in (,) e decrescente in (,+ ). La funzione f è convessa in (,) e, poichè f s() = 3 < f d () = è convessa anche in (, + ). La funzione è ilitata superiormente e inferiormente e non ha punti di estremo locale. Il grafico è riportato in Figura.. Per lo studio del ite si ha: sinx α αtanx x + x ( ) sinx αx α = x + x α x αtanx x Se < α < il ite è +, se α = il ite è, se α > il ite è α. 3. Per calcolare l integrale usiamo la sostituzione x+ = t, cioè x = t da cui dx = tdt. L integrale diventa: t +t t tdt. Effettuando la divisione tra polinomi e usando il metodo dei fratti semplici si ottiene ( t++ t + ) t+ dt. Calcolando gli integrali elementari si ottiene: t ( +t+ log t ) ( log t+ ) + c. 5

7 Ritornando nella variabile x si ottiene x+ + ( x++ log x+ ) ( log x+ + ) +c. 4. La serie è a termini positivi. Moltiplicando numeratore e denominatore per ( n++ n) otteniamo n= ( n++ n)logn. Il termine generale di questa serie è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a ma di ordine inferiore rispetto a per ogni / < α <. Scelto ad n nα esempio α = /3 risulta: n + n /3 ( n++ n)logn =. Poichè la serie diverge, per il Teorema del confronto asintotico anche n/3 n= la serie data diverge. 6

8 Compito di Analisi Matematica I del //9 (DM59). Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = arcsin x.. Studiare il seguente ite x x +x sinx (+x ) x +x Calcolare il seguente integrale indefinito +sinxdx. 4. Studiare il carattere della seguente serie n= ( ) n n! n (n+)!. 7

9 . Soluzione del compito del //9. (Dominio) Poichè il radicando è non negativo la condizione da imporre per individuare il Dominio di f è x cioè x ossia x. Aggiungendo ad ambedue le disuguaglianze otteniamo x. La seconda è sempre verificata mentre la prima comporta x e quindi x. Allora il dominio di f è l intervallo chiuso e itato [, ]. (Segno, simmetrie e comportamento negli estremi) Nel dominio f è continua e non negativa, negli estremi del dominio assume il valore π/ pertanto f ha massimo pari a π/ e minimo pari a. La funzione è pari. Abbiamo f() = π/ e f(x) = se e solo se x = ±. (Derivata e monotonia) Poichè compare la funzione valore assoluto consideriamo le due funzioni { f (x) = arcsin x per x cioè { f (x) = arcsin x f (x) = arcsin x per x per x [,] f (x) = arcsin x per x [, ] [, ] e studiamole separatamente. Inoltre poichè le funzioni sono pari possiamo itarci a studiarle solo per x. Risulta f (x) = ( x ) x = x x x = x (,) x x e risulta f d () = e in x = il ite del rapporto incrementale da sinistra è. Poichè f (x) < in (,) la funzione è decrescente in [,]. Poichè è pari risulta crescente in [,] e f s() = perciò x = è punto angoloso e di massimo assoluto mentre x = ± sono punti di cuspide e di minimo assoluto. (Derivata seconda e convessità) La derivata seconda in (, ) è: (x) = x = x ( x ) 3/ f x x 8

10 Figura : Grafico della funzione f. cheèsemprenegativaperciòf èconcavain[,]epersimmetriaanchein [,], dunque in complesso poichè f s() = > f d () = la funzione f è concava in [,]. Studiamo ora f in [, ]. Risulta f (x) = (x ) x x = x x x x (, ) e risulta che i iti dei rapporti incrementali di f in x = e in x = valgono +. Poichè f (x) > in (, ) la funzione è crescente in [, ] e, per simmetria, è decrescente in [, ]. Come già detto i punti x = ± sono di cuspide e nei punti x = ± la tangente è verticale. La derivata seconda in (, ) è: f (x) = = x ( x ) 3/ x + x x x x (x ) 3/ x 4 ( x ) 3/ (x ) 3/. Il denominatore è sempre positivo mentre il numeratore si annulla per x = 4 ed è negativo in (, 4 ) e positivo in ( 4, ), perciò f è concava in [, 4 ] e convessa in [ 4, ]. Per simmetria f è convessa in [, 4 ] e concava in [ 4, ]. I punti x = ± 4 sono di flesso. (Grafico) Mettendo insieme tutte le informazioni, il grafico della funzione f è riportato in Figura. 9

11 . Utilizzando gli sviluppi di Taylor si ottiene: x x +x sinx (+x ) x +x 3 = x(+ x +o(x )) (x 6 x3 +o(x 4 )) x e xlog(+x) (+ x3 +o(x 3 )) x+ x3 +o(x 3 ) x+ 6 x3 +o(x 4 ) x e x(x +o(x )) x3 +o(x 3 ) x x3 + 6 x3 +o(x 3 ) x 3 x3 +o(x 3 ) = x 3 x3 x3 = 3. La funzione integranda è definita su tutto R, π-periodica, non negativa, continua, con zeri isolati, perciò la sua primitiva è di classe C strettamente crescente. Calcoliamola su un intervallo di lunghezza pari a un periodo. Consideriamo l intervallo ( π/, π/) ed effettuiamo la sostituzione sin x = t, cioè dt x = arcsint. Abbiamo dx = e dunque dobbiamo calcolare l integrale: t t +t dt = dt = t t +t dt = ( t) / dt = t+c. t Ritornando nella variabile x otteniamo le primitive definite in [ π/, π/] (la derivata negli estremi vale ): sinx+c. Per trovare la primitiva definita sull intervallo (π/, 3π/) usiamo la sostituzione x = π + arcsint per cui ancora dx =. Usando la formula di t dt addizione per il seno troviamo: sinx = sinπ cos(arcsint)+cosπ sin(arcsint) = t. = =

12 L integrale da calcolare è allora t t dt = dt = t t +t dt = (+t) / dt = +t+c. +t Ritornando nella variabile x otteniamo le primitive definite in [π/, 3π/] (la derivata negli estremi vale ): sinx+c. Usando la stessa costante nelle due espressioni otteniamo una primitiva F (x) definita in [ π/, 3π/]. Questo è soddisfacente come soluzione del quesito. Negli altri intervalli [kπ π/,kπ +3π/] (k Z) la primitiva ha la stessa espressione F (x) più una opportuna costante pari all incremento di F tra gli estremi dell intervallo moltiplicata per k, cioè in [kπ π/,kπ + 3π/] la primitiva con c = ha l espressione F(x) = F (x)+4 k. 4. La serie è a termini di segno alterno ma possiamo studiarne la convergenza assoluta. Infatti semplificando i fattoriali al numeratore e denominatore otteniamo: n (n+)(n+). n= Per il termine generale di questa serie abbiamo: n n (n+)(n+) n = n 3/. Poichè la serie converge, per il Teorema del confronto la serie data n3/ n= converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

13 3 Compito di Analisi Matematica I del 6//9. Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = x(log x +).. Studiare il seguente ite x e x cosx +x 3 +x. 3. Stabilire se il seguente integrale improprio è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore + x 3 +x dx. 4. Studiare la convergenza puntuale e totale della seguente serie di funzioni n= n log ) (+ x. n

14 3. Soluzione del compito del 6//9. (Dominio e simmetrie) Il dominio della funzione f è R \ {}. Risulta f( x) = f(x), cioè la funzione è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all origine. Possiamo allora studiare la funzione soltanto per x > e ottenere il comportamento per x < per simmetria. (Intersezioni con gli assi e segno) Per x > la funzione è f(x) = x(+ logx) pertanto è f(x) e f(x) = per +logx =, cioè per x = e. (Asintoti) Studiamo il comportamento negli estremi della semiretta(, + ). f(x) Si ha x + x(+logx) = + e = + pertanto non ci sono x + x asintoti orizzontali o obliqui. Inoltre si ha = perchè x +x(+logx) = per ogni α >. Poichè anche x +x logx α x f(x) = il punto x = è un punto in cui la funzione può essere prolungata per continuità con valore. (Derivata prima e monotonia) Studiamo la derivata prima di f. Risulta f (x) = (+logx) +(+logx) = (+logx)(3+logx), pertanto f (x) = per logx = e logx = 3, cioè per x = e e per x = e 3. Studiando il segno dei due fattori di f (x) risulta f (x) > in (, e 3) e in ( e,+ ) mentre f (x) < in ( e 3, ). Dunque la funzione e è crescente in (, e 3) ed in ( e,+ ) mentre è decrescente in ( e 3, ). Il e punto x = e è un punto di massimo relativo e la funzione vale 4 3 e mentre 3 x = è un punto di minimo relativo e la funzione vale. Osserviamo che e si ha f (x) = + quindi la tangente al grafico in (,) è verticale. x (Derivata seconda e convessità) Studiamo la derivata seconda di f. Risulta f (x) = (+logx) x + x = (+logx), x 3

15 Figura 3: Grafico della funzione f. quindi f (x) = per logx =, cioè per x = e, mentre si ha f (x) > ( ) in e,+ e f (x) < in (, e ). Dunque la funzione è concava in (, e ) ( ) ed è convessa in e,+. Il punto x = è di flesso. e (Grafico) Mettendo insieme tutte le informazioni ottenute per x > e la simmetria rispetto all origine, il grafico della funzione f è riportato in Figura 3.. Per calcolare il ite proposto usiamo i seguenti sviluppi di Taylor: e x = +x +o(x ), cosx = x +o(x 3 ), +x = (+x ) / = + x +o(x ), 3 +x = (+x ) /3 = + 3 x +o(x ). 4

16 Sostituendo queste espressioni nel ite proposto otteniamo x x x e x cosx +x 3 +x = ) +x +o(x ) ( x +o(x3 ) + ( x +o(x ) + ) = 3 x +o(x ) x + x +o(x ) x 3 x +o(x ) = x 3 x 6 x = L integrale proposto è di seconda specie. La funzione integranda è continua in [,+ ) e per x tendente a infinito è un infinitesimo dello stesso ordine di x 3 pertanto l integrale converge. Determiniamo una primitiva. Usando il metodo dei fratti semplici si ottiene da cui Allora c + c x 3 +x = x (x+) = x + x + x+, x 3 +x dx = logx x +log(x+). ( dx = ( ) ) c+ x 3 +x c + c +log + log = log. c 4. Le funzioni f n (x) = ( ) n log + x sono definite su tutto R e non negative. n Per x = tutti i termini della serie valgono zero e dunque essa converge. Per studiare la convergenza puntuale per x possiamo usare il criterio del confronto asintotico. Infatti dal ite notevole log(+y) y y = 5

17 segue che possiamo confrontare f n (x) con x n ottenendo n + n log ) (+ x x n n =. x Poichè la serie n = x è convergente per ogni x, segue che la serie n n= n= data converge puntualmente in R. Per la convergenza totale notiamo che per ogni n risulta supf n (x) = +, x R dunque non ci può essere convergenza totale in R. Se consideriamo a > risulta max f n (x) = ( ) x [ a,a] n log + a n e per quanto visto prima la serie di questi massimi è convergente, pertanto la serie data converge totalmente in ogni intervallo chiuso e itato [ a, a]. 6

18 4 Compito di Analisi Matematica I del /3/9. Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = x +x x. Utilizzare i risultati ottenuti per stabilire il numero di soluzioni dell equazione f(x) = k al variare di k R.. Studiare il seguente ite x ( ) sinx+cosx tanx. 3. Stabilire se il seguente integrale improprio è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore + e x+ dx. 4. Studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale della seguente serie di funzioni (3x+) n, n e calcolarne la somma. n= 7

19 4. Soluzione del compito del /3/9. (Dominio e simmetrie) Il Dominio della funzione f è tutto R ed essa è continua. Non presenta simmetrie. (Segno e intersezione con gli assi) Poichè compare la funzione valore assoluto e si ha x +x se e solo se x ], ] [,+ [ consideriamo le due funzioni { f (x) = x +x x per x ], ] [,+ [ f (x) = x x x per x (,) e studiamole separatamente. Risolvendo f (x) = troviamo solo la soluzione x =. Infatti f (x) > per ogni x e per x >. Studiamo ora f in (,). Risulta sempre f (x) >. (Asintoti) Si ha f x +x x (x) = x + x + x +x+x = per cui y = è asintoto orizzontale. Invece f (x) = + per cui x vediamo se c è asintoto obliquo. Otteniamo x +x x x + x x = = x x x x e x +x x+x = x x x +x x x +x x = x pertanto la retta y = x è asintoto obliquo. (Derivata prima e monotonia) Risulta f (x) = x+ x+ x +x = x +x x +x x = x + x x perciò f (x) < per ogni x < e f (x) > per ogni x >, pertanto f è decrescente in (, ] ed è crescente in [,+ ). Osserviamo che f ( ) = e (x) = mentre f () = e (x) = +. x f x +f 8

20 Calcolando f (x) troviamo e si ha f (x) = x+ x x x x = x++ x x x++ x x = x x = (x+) 4( x x) = (x+). Risolvendo l equazione di secondo grado si ha( che solo la radice ) x = + è accettabile e f 4 (x) > per x, + mentre 4 ( ) ( ) f (x) < perx +,. Quindif ècrescentein, ( ( ) e decrescente in +, ). Si ha f + = Inoltre (x) = + mentre (x) =. x +f x f (Derivata seconda e convessità) Risulta f (x) = x +x (x+) 4(x +x) 3/ = 4(x +x) (x+) = 4(x +x) 3/ 4(x +x) < 3/ per ogni x < e per ogni x > perciò f è concava in (, ] e in [,+ ). Calcolando la derivata seconda di f si ottiene f (x) = ( x ) 4( x x) 3/ x x = 4 x x(x +x) che è negativa in (,) pertanto f è concava in (,). (Grafico) Tornando alla funzione assegnata f osserviamo che x = è un punto di minimo relativo e una cuspide. Il punto x = + è un 4 punto di massimo relativo. Il punto x = è un punto di minimo assoluto e una cuspide. La funzione f è decrescente in (, ) e decrescente in ( +,) mentre è crescente in (, + ) e in (,+ ). La funzione 4 4 f è concava in (, ), in (,) e in (,+ ). La funzione è ilitata superiormente e ha minimo assoluto f() =. Il grafico della funzione e gli asintoti sono riportati in Figura 4. 9

21 Figura 4: Grafico della funzione f. Per rispondere all ultima domanda abbiamo che f(x) = k ha soluzioni per k < soluzione per k = soluzioni per < k < soluzione per k < soluzioni per k = 3 soluzioni per < k < + soluzioni per k = + soluzione per k > +.. Per studiare il ite assegnato osserviamo che x ( ) ) sinx+cosx tanx (sinx+cosx = e tanx log, x quindi basta studiare il ite dell esponente di e. Otteniamo, usando per

22 esempio il Teorema di de l Hôpital, log ( sinx+cosx ) x tanx x quindi il ite cercato vale e. ( cosx sinx ) ( sinx+cosx ) cos x = =, 3. La funzione integranda è continua e, per esempio, x + x e x+ = pertanto l integrale converge. Per calcolare una primitiva usiamo la sostituzione x+ = t da cui dx = tdt e quindi sostituendo e integrando per parti te t dt = te t + e t dt = te t e t. Tornando nella variabile x otteniamo + [ e x+ dx = x+e x+ e x+ c + ] c = 4 e. 4. Laseriedatasiriconduceaunaseriedipotenzecentratainconlasostituzione + y n y = 3x + pertanto studiamo la serie. Questa serie ha raggio di n n= convergenza uguale a e non converge per y = mentre converge per y = (per il Teorema di Leibniz). Dunque questa serie converge puntualmente in [, ) e assolutamente puntualmente in (, ). Converge uniformemente in [,r] con < r < per il teorema di Abel e converge totalmente in [ r,r]. Inoltre la serie è ottenuta integrando termine a termine la serie y, pertanto + n= y n n = + n= y t n dt = y dt = log( y). t + n= y n = Ritornando nella variabile x otteniamo che la serie data converge puntualmente per 3x+ < cioè per x [, ) e assolutamente puntualmente in 3 (, ). Converge uniformemente in 3 [, r] con < r < e converge 3 3 totalmente in [ +r, r]. 3

23 La sua somma è n= (3x+) n n = log( 3x) per x [, 3 ).

24 5 Compito di Analisi Matematica I del 3/3/9 (DM59). Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = log(+ x ) e studiare la derivata destra e sinistra di f negli eventuali punti di non derivabilità.. Studiare il seguente ite x sinx x +x. cosx 3. Calcolare il seguente integrale indefinito xarctanxdx. 4. Studiare il carattere della seguente serie ( ) [log n n= al variare del parametro α R +. ( + )] α n 3

25 5. Soluzione del compito del 3/3/9. (Dominio, segno e asintoti) La funzione è definita e continua su tutto R, è non negativa e f(x) = +. Non ha asintoti. Per x = essa vale. ± (Derivata prima e monotonia) La sua derivata prima per x > è f (x) = (+ x ) x, è sempre positiva e x +f (x) = +. La sua derivata prima per x < è f (x) = (+ x) x, è sempre negativa e x f (x) =. Dunque x = è un punto di minimo assoluto e una cuspide. (Derivata seconda e convessità) La derivata seconda è 4 ( + x ) x 3 ( 4 + ) (x ) x x ed è sempre negativa per x, dunque la funzione è concava in ],] e in [,+ [. (Grafico) Il grafico di f è riportato in Figura Figura 5: Grafico della funzione f. 4

26 . Usando la formula di Taylor si ottiene: sinx x +x x cosx x 3 x = 6 x(+ x)+o(x ) x + x +o(x ) 3. Integrando per parti si ottiene xarctanxdx = x x arctanx +x dx = x arctanx x + dx +x = x arctanx ( ) dx +x = x arctanx ( ) x arctanx. = 4. La successione in parentesi quadra è positiva, decrescente e infinitesima dello stesso ordine di. Dunque per α > la serie è assolutamente convergente, n mentre per < α è convergente per il Teorema di Leibniz. 5

27 6 Compito di Analisi Matematica I del 6/4/9 (DM59). Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = x( x)e x x e studiare la derivata destra e sinistra di f negli eventuali punti di non derivabilità.. Studiare il seguente ite x + ( cosx) xe x x sinx. 3. Calcolare il seguente integrale indefinito sinx cosx sinx dx. 4. Risolvere nel campo complesso la seguente equazione z z 9i z =. 6

28 6. Soluzione del compito del 6/4/9. (Dominio e segno) Il dominio della funzione è R \ {}. Nei punti del dominio la funzione è derivabile. La funzione si annulla in, è positiva in ],[ e negativa in ],[ ],+ [. (Asintoti) Studiamo il comportamento negli estremi del dominio: f(x) =, x x f(x) = +, x +f(x) =, x + f(x) =. Non ci sono asintoti obliqui. (Derivata prima e monotonia) Calcoliamo la derivata di f. Risulta: f (x) = ( x)e x x +(x x )e x x+x x = ( x) ) = e x x ( x+ x x = ( x) = e x x ( x)( x) +x x ( x) = = e x x ( x)( x+x ) ( x) = = e x x+x x. x Poichèilnumeratoreèsemprepositivo, f (x) > perx ],[, mentre f (x) < per x ],+ [, dunque f è crescente in ],[ e decrescente in ],+ [. (Derivata seconda e convessità) Per la derivata seconda si ottiene: ( ) f (x) = e x x+x x + (4x )( x)+( x+x ) = ( x) x ( x) ( ) = e x x x+x +(4x )( x) +( x+x )( x) = ( x) ( ) 3 = e x x x(x 4x+3). ( x) 3 7

29 Poichè il trinomio al numeratore è sempre positivo, f (x) > per x ],[, mentre f (x) < per x ],[ ],+ [. Dunque la funzione è convessa in ],[ ed è concava in ],[ e in ],+ [. Il punto x = è un punto di flesso. (Grafico) Il grafico della funzione e dell asintoto verticale è riportato in Figura Figura 6: Grafico della funzione f.. Usando gli sviluppi di Taylor e tenendo conto che è x > abbiamo: ( cosx) = ( + x x4 4 +o(x5 )) = ) / = x ( x +o(x3 ) = x x3 4 +o(x4 ), xe x = x+x 3 +o(x 4 ), x sinx = x3 6 +o(x4 ). Sostituendo nel ite, otteniamo: x + ( cosx) xe x x sinx = x3 4 x3 +o(x 4 ) x 3 6 +o(x4 ) = Mettendo in evidenza cos x al denominatore otteniamo sinx cosx sinx dx = tanx tanx dx. 8

30 Usando la sostituzione tanx = t, da cui dx = dt +t, otteniamo t t +t dt. Usando il metodo dei fratti semplici abbiamo t ( t)(+t ) = A t + Bt+C +t = A+At +Bt+C Bt Ct ( t)(+t ), da cui Risolvendo il sistema otteniamo t t +t dt = A B = B C = A+C =. ( t + t ) dt = +t = log( t)+ 4 log(+t ) arctant+c. Ritornando nella variabile x troviamo: log( tanx)+ 4 log(+tan x) x +c = log(cosx sinx) x +c. 4. Evidentemente z = è una soluzione. Moltiplicando l equazione per z otteniamo: z z 9i z = z (z 9i) =. Dunque, oltre a, le soluzioni sono le radici quadrate di 9i = 9e iπ/, che sono z = 3e iπ/4 e z = 3e i5π/4, cioè: ( ) ( ) z =, z = 3 +i, z = 3 +i. 9

31 7 Compito di Analisi Matematica I del 4/5/9. Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = x(log x ) e studiare la derivata destra e sinistra di f negli eventuali punti di non derivabilità.. Studiare il seguente ite x + al variare del parametro α R +. [ ( x x α log + )] x 3. Stabilire se il seguente integrale improprio x arctanx x 3 è convergente e, in caso affermativo, calcolarlo. 4. Studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale della serie e determinarne la somma. + n= dx ( ) n n (x ) n 3

32 7. Soluzione del compito del 4/5/9. (Dominio e simmetrie) Il dominio della funzione è R\{}. Nei punti del dominio la funzione è derivabile. La funzione è dispari, perciò la studiamo prima per x >. (Asintoti) Studiamo il comportamento negli estremi del dominio: f(x) = +, x + x +f(x) =, grazie al ite notevole x =, per ogni α >. Pertanto la x +xlogα funzione si può prolungare per continuità in dandole il valore. Non ci sono asintoti obliqui in quanto x + f(x) x = +. (Derivata prima e monotonia) Calcoliamo la derivata di f sempre per x >. Risulta: f (x) = log x +xlogx x = = log x+logx. Osserviamo subito che x +f (x) = + quindi il prolungamento della funzione non è derivabile in, in cui la tangente al grafico è verticale. Per studiare il segno della derivata prima poniamo t = logx e risolviamo l equazione t +t =. Le radici sono t, = ± 8 = ±. Ritornando nella variabile x abbiamo che f (x) > per < x < e e per x > e + mentre f (x) < per e < x < e +. Allora f è crescente in [,e ] e in [e +,+ ), mentre è decrescente in [e,e + ]. Il punto x = e è un punto di massimo relativo e f(x ).43 mentre x = e + è un punto di minimo relativo per f e f(x ).53. (Derivata seconda e convessità) Per la derivata seconda si ottiene: f (x) = logx x + x = logx + x. 3

33 Dunque f (x) > per x ] e,+ [, mentre f (x) < per x ], e [ pertanto f è concava in ], e [ ed è convessa in ] e,+ [. Il punto x 3 = e è un punto di flesso e f(x 3 ) =. (Grafico) Il grafico della funzione per x < si ottiene per riflessione rispetto all origine ed è riportato in Figura Figura 7: Grafico della funzione f.. Usando lo sviluppo di Taylor del logaritmo (poichè per x + ) x abbiamo: ( log + ) = x x ( ) x +o. x Sostituendo nel ite, otteniamo: [ ( x x α x + x ( ))] x +o = x [x xα x + x + ( )] x α x α x +o. x Dunque risulta [ ( x x α log + )] x + x + se < α <, = se α =, se α >. 3

34 3. La funzione integranda è continua e infinitesima all infinito come x pertanto l integrale converge. Calcoliamo l integrale indefinito. Integrando per parti si ottiene: x arctanx arctanx dx = x 3 x dx x 3 = x ( arctanx x + Usando il metodo dei fratti semplici abbiamo dx ) x (x +) dx. () x (x +) = A x + B x + Cx+D x + = Ax3 +Ax+Bx +B +Cx 3 +Dx x (x +), da cui A+C = B +D = A = B =. Risolvendo il sistema otteniamo x (x +) dx = ( x ) dx +x = x arctanx. Sostituendo nell uguaglianza () troviamo: ( x arctanx + x ) x (x +) dx = x + arctanx x + x + arctanx = x + arctanx + x arctanx. 33

35 Allora l integrale vale x arctanx dx x [ 3 = c + x + arctanx x ( = c + c + arctanc c + ] c arctanx 4. Con la sostituzione y = x otteniamo + n= + arctanc+ arctan ) arctan =. ( ) n n (x ) = + ny n. n Questa serie di potenze converge assolutamente per y (, ), con convergenza totale negli intervalli chiusi [ r,r] con < r < e non converge negli estremi. Tornando nella variabile x abbiamo la convergenza assoluta per x >. Dunque la serie converge puntualmente assolutamente in (,) (,+ ) e converge totalmente in (, r] [+r,+ ) per r >. La somma della serie è ( + + ( ) n n (x ) = + + ) ny n = y ny n = yd y n n n= n= n= n= ( ) = yd y = n= y ( y) = x. x 34

36 8 Compito di Analisi Matematica I del 9/6/9. Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = log(x +x+) x.. Studiare il seguente ite x ( ) +tan x cosx. 3. Calcolare il valore del seguente integrale π/3 π/4 sinx cos x+cosx dx. 4. Determinare la serie di Fourier della funzione π-periodica che nell intervallo [ π,π] è data da { per x [ π,) f(x) = x(π x) per x [,π]. Precisare la convergenza puntuale e uniforme della serie ottenuta. 35

37 8. Soluzione del compito del 9/6/9. (Dominio e simmetrie) Poichè l argomento del logaritmo è un trinomio con discriminante minore di zero, esso è sempre positivo, perciò la funzione è definita e continua su tutto R. Essa non presenta simmetrie. Evidentemente f() = mentre lo studio delle altre radici e del segno è problematico, perciò lo tratterremo alla fine dello studio della funzione. (Asintoti) Risulta f(x) = e f(x) =. Non ha asin- x + x toti obliqui in quanto x + f(x) Analogamente x f(x) x = ma f(x) + x = +. x + = ma f(x) x = +. x + x (Derivata prima e monotonia) Poiché è presente il valore assoluto consideriamo le due funzioni { f (x) = log(x +x+) x per x, f (x) = log(x +x+)+x per x <. La derivata prima di f per x è f (x) = +x x x = +x+x +x+x. Essa si annulla per x = e x =, è positiva per < x < ed è negativa per x >. Dunque f è crescente in [,] e decrescente in [,+ ). Perciò x = è un punto di massimo relativo e f() = +log3, pertanto esiste un punto x > dove la funzione si annulla. La derivata prima di f per x è f (x) = +x +3x+x + = +x+x +x+x. L equazione f (x) = ha le soluzioni x = e x =. Si ha f (x) > perx (, )eperx (,]ef (x) < perx (, ). Dunque lafunzionef ècrescentein(, ]ein[,]edecrescentein[, ], perciò x = è un punto di massimo relativo con f( ) = +log4 e x = è un punto di minimo relativo con f( ) =. Poichè f () = allora x = è un punto angoloso. (Derivata seconda e convessità) La derivata seconda di f è f (x) = +x+x (+x) (+x+x ) = x x (+x+x ) (x > ) 36

38 3 3 edèugualeazeroperx =,positivaper < x <,negativa [ ] 3 3 per x >, dunque la funzione è convessa in, e concava [ ) 3 3 in,+. Il punto x = è di flesso. La derivata seconda di f è f (x) = +x+x (+x) (+x+x ) = x x (+x+x ) (x < ) che si annulla per x =, è positiva per < x <, negativa per x <, dunque la funzione è convessa in, [ ] ( ] e concava in,. Il punto x = è di flesso. (Grafico) Il grafico di f è riportato in Figura 8 per cui x = è un punto di massimo assoluto Figura 8: Grafico della funzione f. 37

39 . Il ite si presenta nella forma indeterminata perciò consideriamo l esponenziale del logaritmo della funzione da studiare, cioè: ( ) +tan x cosx = e cosx log(+tan x) e studiamo il ite dell esponente. Risulta, moltiplicando e dividendo per x e per tan x e utilizzando i iti notevoli: x ( ) cosx log +tan x tan x log(+tan x) x = x cosx x tan x Pertanto il valore del ite cercato è e. =. 3. Per calcolare l integrale utilizziamo il cambiamento di variabile y = cos x, da cui risulta dy = sinxdx. Sostituendo troviamo π/3 π/4 sinx / cos x+cosx dx = = = = y +y dy / / / / y(y +) dy ( / y + y [ log(y +) logy ( = log + ) log ) dy = log3+log( ). ] / / ( ) log ( ) ( ) + +log 4. La funzione non è pari né dispari dunque dovremo calcolare tutti i coefficienti di Fourier. Risulta ω = e dunque abbiamo, tenendo conto che la funzione 38

40 vale zero in [ π,]: a = π π π (πx x )dx = π 6 a k = (πx x ) cos(kx)dx (integrando per parti) π = ( π π k π cos(kπ) + sin(kπ) ) = +( )k k k 3 k b k = π = π π dunque la serie di Fourier di f è π + + (πx x ) sin(kx)dx (integrando per parti) ( k cos(kπ) π sin(kπ) ) = ( )k, 3 k 3 k πk 3 k= ( +( )k k cos(kx)+ ( )k πk 3 ) sin(kx) Figura 9: Somma parziale della serie di Fourier di f per k =. Poichè la funzione è continua e regolare a tratti, la serie converge uniformemente ad f su R. La somma dei primi termini della serie è riportata in Figura 9. 39

41 9 Compito di Analisi Matematica I del 3/7/9. Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = x x. Determinare l equazione della retta tangente al grafico nell origine.. Studiare il seguente ite x ( x arctanx ). x 3 3. Calcolare il valore del seguente integrale improprio + e x + dx. 4. Studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale della seguente serie di funzioni 3n, n(logx)n e calcolarne la somma. n= 4

42 9. Soluzione del compito del 3/7/9. (Dominio, simmetrie, segno) La funzione è definita e continua su tutto R. Essa non presenta simmetrie, è non negativa per x ed è negativa per x <. (Asintoti) Risulta f(x) = + e f(x) =. Non ha asintoti x + x f(x) obliqui in quanto = +. Per x = e per x = essa vale. x ± x (Derivata prima e monotonia) Poiché è presente il valore assoluto consideriamo le due funzioni { f (x) = x x per x, La derivata prima di f per x > è f (x) = x x per x <. f (x) = x + x x. Essa è sempre positiva e x +f (x) = +. Dunque f è crescente in [,+ ). La derivata prima di f per x < è f (x) = x x x = 3x x. L equazione f (x) = ha l unica soluzione x = 3. Si ha f (x) > per x < 3 e f (x) < per < x <. Inoltre 3 (x) =. Dunque la ( x f funzione f è crescente in, ] [ ] e decrescente in 3 3,. Il punto x = è un punto di minimo relativo e una cuspide. Il punto x = ( ) 3 è di massimo relativo e la funzione vale f = (Derivata seconda e convessità) La derivata seconda di f è f (x) = x x 4(x ) 3 = 3x 4 4(x ) 3 (x > ) 4

43 ed è uguale a zero per x = 4 3, negativa per < x < 4 3, positiva per x > 4 [ 3, dunque la funzione è concava in, 4 ] [ [ 4 e convessa in 3 3,+. Il punto x = 4 è di flesso. 3 La derivata seconda di f è ( f (x) x = ) x 4( x) 3 = 4 3x 4 x (x ) (x < ) ed è sempre negativa perché il numeratore è positivo e il denominatore è negativo, perciò la funzione è concava in (, ]. (Grafico) Il grafico di f è riportato in Figura. Poiché f() = e f () = l equazione della retta tangente al grafico in (,) è y = x Figura : Grafico della funzione f. 4

44 . Calcoliamo il ite usando la regola di de l Hôpital. ( x x arctanx ) x 3 x arctanx x x x 3 8x +4x 3x = 8 3. = +4x x 3x 3. La funzione è assolutamente integrabile in senso improprio in quanto è continua e infinitesima di ordine infinitamente grande all infinito. Calcoliamo una primitiva della funzione integranda. Usando la sostituzione e x = t otteniamo x = logt e dunque dx = dt. Dunque dobbiamo calcolare t t + t dt. Usando il metodo dei fratti semplici abbiamo Dunque Allora t + t = At+B t + + C t = At +Bt+Ct +C. (t +)t A+C = B = C = ( t t + t dt = t + + ) t = log(t +)+logt+c Ritornando nella variabile x e calcolando l integrale improprio otteniamo c [ ( )] e x c dx = log c + e x + c + e x + ( ) )) = log log = c + log(e +). ( e c e c + ( e e + 43

45 4. Con la sostituzione y = logx n= otteniamo 3n + = 3ny n. n(logx)n n= Questa serie di potenze ha raggio di convergenza perciò converge assolutamente per y (,) e non converge negli estremi. La serie converge totalmente (e quindi uniformemente) negli intervalli chiusi [ r, r] con < r <. Tornando nella variabile x abbiamo la convergenza assoluta per logx <. Dunque( la serie) converge puntualmente assolutamente [ per ] < logx <, cioè in e, e e converge totalmente in e +r, e r per r >. La somma della serie è n= 3n + + = 3ny n = 3y n(logx)n n= n= ( + ) = 3y Dy n = 3yD = 3yD n= ( ) y ny n = ( + ) y n n= 3y ( y) = 6logx ( logx). 44

46 Compito di Analisi Matematica I (D.M.59) del 3/7/9. Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = arctan x + x e studiare la derivata destra e sinistra negli eventuali punti di non derivabilità.. Studiare il seguente ite logx logsinx. x + x 3. Calcolare il valore del seguente integrale definito x arctan xdx. 4. Risolvere in C la seguente equazione z z = z. 45

47 . Soluzione del compito del 3/7/9 (DM 59). (Dominio, simmetrie e segno) La funzione è definita in R \ {}, è pari ed è sempre positiva. Grazie alla simmetria rispetto all asse delle y basta studiare la funzione in x >. (Asintoti) Studiando il comportamento negli estremi del dominio otteniamo x +f(x) = π, f(x) =. x + Dunque la funzione si può prolungare per continuità in x = dandole il valore π ed ha come asintoto orizzontale l asse y =. (Derivata prima e monotonia) La sua derivata prima è f (x) = (+x) x x 3 + (+x) x 4 x (+x) = (x > ). +x+x +x 4 Il numeratore e il denominatore sono sempre positivi, dunque f (x) < e la funzione è decrescente in (,+ ). Il ite della derivata prima in zero vale zero. Dunque il prolungamento della funzione è derivabile in R. (Derivata seconda e convessità) La derivata seconda è f (x) = x (+x) (+x+4x3 ) (+x+x +x 4 ) = ( x+3x4 +x 5 ) (+x+x +x 4 ). +x +x+x +x 4 Il numeratore in un intorno di è negativo, mentre poi diventa positivo, dunqueesisteunpuntoαcompresotra/ediflesso,percuilafunzione è concava in (,α) ed è convessa in (α,+ ). (Grafico) Il grafico di f è riportato in Figura. ( x ). Poiché il numeratore è uguale a log il suo ite è zero, dunque abbiamo una forma indeterminata /. Usando il Teorema di de l Hôpital sinx si 46

48 Figura : Grafico della funzione f. ha logx logsinx x + x = x + cosx x sinx x sinx xcosx = x + x sinx cosx cosx+xsinx = x + 4xsinx+x cosx sinx = x + 4sinx+xcosx = Calcoliamol integraleperpartiepoipersostituzioneusandox = t (gliestremi 47

49 d integrazione sono gli stessi) x arctan [ x xdx = arctan x ] x +x = π 8 t 4 +t dt = π 8 t 4 +t t + dt +t = π 8 ( t + ) dt +t = π 8 [ ] t 3 3 t+arctant = π 8 ( 3 + π ) = 4 3. x dx 4. Poiché z z = z R allora anche z R e l equazione diventa z z =. Le radici sono dunque cioè z = e z =. z / = ± +8 = ±3, 48

50 Compito di Analisi Matematica I del 7/9/9. Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = log x + x.. Studiare il seguente ite x + ( ) x x +. x 3. Calcolare il valore del seguente integrale π/3 cosx sinxdx. 4. Studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale della seguente serie di funzioni + ) x (+ n n log x. n n= 49

51 . Soluzione del compito del 7/9/9. (Dominio e simmetrie) La funzione è definita per ogni x pertanto il Dominio è R \ {} e f è continua nel suo dominio. La funzione è pari perciò la studieremo solo per x >, essendo il suo grafico simmetrico rispetto all asse delle y. (Intersezioni con gli assi e segno) Poichè compare la funzione valore assoluto consideriamo le due funzioni { f (x) = x +logx per < x f (x) = x +logx per x > e studiamole separatamente. È difficile determinare le radici e il segno di f perciò rimandiamo questo punto alla fine dello studio della funzione. Osserviamo solo che f() = e che f(x) > per ogni x > in quanto somma di due termini positivi. (Asintoti) Si ha f(x) = + e non c è asintoto obliquo. Risulta x + x +f(x) = pertanto x = è asintoto verticale. (Derivata prima e monotonia) Risulta f (x) = x x =. Il x x numeratore si annulla per x =, è positivo per ogni < x < ed è negativo per ogni < x <. Perciò f è crescente in (, ] [ ] e decrescente in,. Il punto x = è di massimo relativo e ( ) f = ( log) > per cui esiste un punto < α < in cui f si annulla. Infine risulta (x) =. x f Calcolando f (x) troviamo f (x) = +x +x = e si ha f x x (x) > per x (,+ ). Quindi f è crescente in [,+ ) e il punto x = è punto di minimo relativo per f. Poiché (x) = 3 il punto x = è x +f punto angoloso per f. (Derivata seconda e convessità) Infine f (x) = = +x < x x per ogni x (,) perciò f è concava in (,). 5

52 Figura : Grafico della funzione f. Calcolandoladerivatasecondadif siottienef (x) = x + = x x che è positiva in (,+ ) pertanto f è convessa in (,+ ). (Grafico) Tornando alla funzione assegnata f osserviamo che i punti x = ± sono angolosi e di minimo relativo. I punti x = ± sono di ( massimo relativo. La funzione f è crescente in, ( ), in, ] [ e in [,+ ). La funzione f è decrescente in (, ), in ), [ ] e in,. La funzione f è convessa in (, ) e in (,+ ) ed è concava in (,) e in (,). La funzione è ilitata superiormente e inferiormente. Il grafico è riportato in Figura.. Per lo studio del ite si ha: x + ( x + x ) x = x + ex log Studiando il ite dell esponente otteniamo ( ) x + x + x log x = x + x log 5 ( x ) + x ( + ) x.

53 ( x x = log + ) =, x + x x log(+y) avendo usato il ite notevole =. y y In definitiva il ite cercato vale e 3. L integrale è quasi immediato infatti, poiché D(cos x) = sin x abbiamo: cosx sinxdx = (cosx) / ( sinx)dx = 3 (cosx)3/ +c. In definitiva otteniamo π/3 cosx sinxdx = [ 3 (cosx)3/ ] π/3 = Le funzioni sono definite su tutto R, non negative e pari. La serie converge in e per studiare la convergenza puntuale per x usiamo il criterio del rapporto. Risulta: n ( ) x (n+) log + x n+ n+ x ( ) n = x n log + x n n+ = x. n n Dunque la serie converge puntualmente per x < e diverge positivamente per x >. Nei punti x = ± la serie diventa + ( n log + ). n n= log(+y) Grazie al ite notevole =, si può usare il criterio del confronto asintotico con la serie y y + n3/, che è una serie armonica generalizzata n= convergente. Pertanto la serie data converge puntualmente in [, ]. Per la convergenza totale si ha, per ogni n, x n M n = max x [,] n log e per quanto già visto risulta M n < + pertanto la serie converge totalmente in [,]. + n= ) (+ x = ( n n log + ) n 5

54 Compito di Analisi Matematica I (D.M.59) del 7/9/9. Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = x3 +x +x 8 x +x.. Studiare il seguente ite x + ( ) x x +. x 3. Calcolare il valore del seguente integrale π/ cosx sinxdx. 4. Studiare il carattere della serie + n= ( ) n n ( log + ). n 53

55 . Soluzione del compito del 7/9/9 (DM 59). (Dominio e simmetrie) La funzione è definita per ogni x, pertanto il Dominio è R\{,} e f è continua nel suo dominio. La funzione non ha simmetrie. (Intersezioni con gli assi e segno) Per determinare le radici e il segno del numeratore studiamo il polinomio p(x) = x 3 +x +x 8. Osserviamo che p (x) = 3x + 4x + le cui radici sono x / = 4± ossia x = 6 e x =. Dunque il polinomio p è crescente in (, ] e in 3 [ 3 ) [,+ mentre è decrescente in, ]. Poiché p( ) = 8, 3 p( /3) = /7, p() = 4 e p() =, esiste un punto < α < tale che p(x) < per x < α e p(x) > per x > α. Tenendo conto che il denominatore è negativo per < x < e positivo per x < e per x > otteniamo che la funzione f è negativa per x < e per < x < α mentre è positiva per < x < e per x > α. f(x) (Asintoti) Si ha f(x) = ± e =, x ± x ± x f(x) x = x ± perciò y = x è asintoto obliquo a sinistra e a destra. Risulta x +f(x) = e x f(x) = + pertanto x = è asintoto verticale. Analogamente x +f(x) = + e x f(x) = pertanto x = è asintoto verticale. (Derivata prima e monotonia) Risulta f (x) = +4x+3x x+x (+x) ( 8+x+x +x 3 ) (x+x ) = 6+6x+3x +4x 3 +x 4 (x+x ) = (+x) (4+x) (4 x+x ) (x+x ). (usando Ruffini) Il numeratore si annulla per x = e per x = 4, è positivo per ogni x < 4 e per ogni x > con x, ed è negativo per ogni 4 < x < con x. Perciò f è crescente in (, 4], in [,) e in (,+ ) mentre è decrescente in [ 4, ) e in (, ]. Il punto x = 4 è di 54

56 massimo relativo e f ( 4) =. Il punto x = è di minimo relativo e f ( ) = 8. (Derivata seconda e convessità) Infine calcolando la derivata seconda a partire dalla prima espressione di f si ottiene f (x) = 4+6x x+x (+x) (+4x+3x ) (x+x ) + (+x) ( 8+x+x +x 3 ) (x+x ) 3 ( 8+x+x +x 3 ) (x+x ) = ( 3 48x 4x +x 3 ) (x+x ) 3. Per studiare il segno del numeratore calcoliamone la derivata prima: 6x 96x 96 che si annulla per x = 4 ( 5 ) < e per x = 4 ( + 5 ) >. Dunque il numeratore è crescente in (,x ] e in [x,+ ) mentre è decrescente in [x,x ]. Poiché x.9 e x 6.9, il numeratore vale approssimativamente 8.9 e 87, esiste β > 7 tale che il numeratore di f è negativo per x < β ed è positivo per x > β. In conclusione, tenendo conto del segno del denominatore di f, otteniamo che f è convessa in (,) e in (β,+ ) mentre è concava in (, ) e in (,β), perciò β è un punto di flesso. Osserviamo che l equazione f(x) = x ha la radice x = 8, dunque il grafico interseca l asintoto nel punto (8,8) e per x > 8 rimane al di sopra di esso. (Grafico) La funzione è ilitata superiormente e inferiormente. Il grafico è riportato in Figura 3.. Per lo studio del ite si ha: x + ( x + x ) x = x + exlog Studiando il ite dell esponente otteniamo ( ) x xlog + = x + x = x + x x log x x + xlog log(+y) avendo usato il ite notevole y y In definitiva il ite cercato vale. 55 ( x ) + x. ( + ( + x =. x ) =, )

57 Figura 3: Grafico della funzione f. 3. L integrale è quasi immediato infatti, poiché D(cos x) = sin x abbiamo: cosx sinxdx = (cosx) / ( sinx)dx = 3 (cosx)3/ +c. In definitiva otteniamo π/ cosx sinxdx = [ 3 (cosx)3/ ] π/ n = La serie è a termini di segno alterno, ma possiamo studiarne la convergenza log(+y) assoluta. Usando il ite notevole =, possiamo fare il confronto asintotico della serie data con la serie y y + n3/, che è una serie armonica n= generalizzata convergente. Risulta ( ) log + n n =, n 3/ pertanto la serie data converge assolutamente e quindi anche semplicemente. 56

58 3 Compito di Analisi Matematica I (F.C.) del 9//9. Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = x+ x.. Studiare il seguente ite x + ( ) e /x x. 3. Calcolare il valore del seguente integrale 3 e x e x dx. 4. Studiare il carattere della serie ( ) n log n= ( +sin ). n 57

59 3. Soluzione del compito del 9//9 (F.C.). (Dominio e simmetrie) La funzione è definita per ogni x pertanto il Dominio è R \ {} e f è continua nel suo dominio. La funzione non presenta simmetrie (Intersezioni con gli assi e segno) Poichè compare la funzione valore assoluto consideriamo le due funzioni f (x) = x+ per x > x f (x) = x+ per x < x e studiamole separatamente. Per determinare le radici e il segno di f otteniamo f (x) = x x+. x Il numeratore ha discriminante negativo, il denominatore è positivo in (,+ ) pertanto f(x) > in (,+ ). Per quanto riguarda f otteniamo Le radici del numeratore sono f (x) = x +x+. x x / = ± 5 con 5 < < + 5, ( dunqueilnumeratoreènegativoperx < 5 ) 5 e positivo in,, mentre ( il denominatore ) è positivo ( in (,) pertanto f (x) < in, 5 ) ( 5 ) 5 ef (x) > in,. Naturalmente f =. (Asintoti) Si ha f(x) = +, allora vediamo se c è asintoto obliquo. x + f(x) Risulta = e f(x) x =. Dunque y = x è asintoto x + x x + obliquo a destra. Analogamente si verifica che è asintoto obliquo anche a sinistra. Risulta x asintoto verticale. +f(x) = + e f(x) = + pertanto x = è 58 x

60 Figura 4: Grafico della funzione f. (Derivata prima e monotonia) Risulta f (x) = (x ) = x x (x ). Il numeratore si annulla per x =,, è positivo per ogni < x < + ed è negativo per ogni < x <. Perciò f è decrescente in (,) e crescente in (,+ ). Il punto x = è di minimo relativo e f() = 3 >. Calcolando f (x) troviamo f (x) = + ( x) = x x+ e si ha ( x) f (x) > per x (,). Quindi f è crescente in (,). (Derivata seconda e convessità) Infine f (x) = > per ogni (x ) 3 x (,+ ) perciò f è convessa in (,+ ). Calcolando la derivata seconda di f si ottiene f (x) = è positiva in (,) pertanto f è convessa in (,). ( x) 3 > che (Grafico) Tornando alla funzione assegnata f osserviamo che il punto x = è di minimo relativo. La funzione f è crescente in (,) e in (,+ ), la funzione f è decrescente in (,). La funzione f è convessa in (,) e in (, + ). La funzione è ilitata superiormente e inferiormente. Il grafico è riportato in Figura 4. 59

61 . Per lo studio del ite, utilizzando il cambiamento di variabile t = /x si ha: Dunque il ite cercato vale ( ) e /x x e t = x + t + t =. 3. L integrale è quasi immediato infatti D(e x ) = e x. Comunque utilizziamo la formula di cambiamento di variabile negli integrali definiti, ponendo t = e x, da cui dt = e x dx e dunque 3 ex e x dx = e 3 t / dt = [ ] e 3 3 t3/ = 3 (e3 ) 3/. ( ) 4. La serie è a termini di segno alterno perché log +sin n n. Usiamo il Teorema di Leibniz. Risulta: log n ( +sin n ) =. > per ogni Inoltre, poiché / n è decrescente ed è composta con funzioni crescenti in [, ], la successione è decrescente. Allora la serie converge semplicemente. log(+t) Essa non converge assolutamente, perché, dai iti notevoli = t t sint e =, segue che la serie dei valori assoluti ha lo stesso carattere della t t serie che diverge. n n= 6

62 4 Compito di Analisi Matematica I del //. Tracciare il grafico della funzione così definita f(x) = log +x +x e studiare la derivata destra e sinistra di f negli eventuali punti di non derivabilità.. Studiare il seguente ite ( α x e x ) x al variare di α R\{}. 3. Calcolare il seguente integrale definito xarctanxdx. 4. Studiare la seguente serie di potenze e calcolarne la somma: n= n x n (n )!. 6

63 4. Soluzione del compito del //. (Dominio e simmetrie) La funzione è definita per ogni x > pertanto il Dominio è (,+ ) e f è continua nel suo dominio. La funzione non ha simmetrie. (Intersezioni con gli assi e segno) Risulta f(x) = se e solo se +x =, +x cioè per x = e x =. Tenendo conto che il denominatore è positivo, si ha +x > se e solo se x > x, ossia x x >, e dunque f(x) > per +x < x <, mentre f(x) < per x (,) (,+ ). (Asintoti) Si ha f(x) = e non esiste asintoto obliquo. Inoltre x + x +f(x) =, pertanto x = è asintoto verticale. (Derivata prima e monotonia) Risulta pertanto f(x) = log(+x) log(+x ) f (x) = +x x +x = x x (+x)(+x ). Ilnumeratoresiannullaperx = ± masolox = + appartiene aldominiodif. Dunquef (x) > perognix (, + ),ef (x) < per ogni x ( +,+ ). Perciò f è crescente in (, + ), mentre è decrescente in ( +,+ ). Il punto x = + è di ( massimo assoluto e f + ) = log + >. (Derivata seconda e convessità) Infine calcolando la derivata seconda si ottiene f (x) = (+x) + 4x (+x ) +x = 3 4x x +4x 3 +x 4 (+x) (+x ). Studiare il segno del numeratore è complicato. Risulta che esiste β (,) tale che f (x) è negativa per x < β ed è positiva per x > β. In conclusione, otteniamo che f è concava in (, β) mentre è convessa in (β,+ ), perciò β è un punto di flesso. 6

64 Figura 5: Grafico della funzione f. (Grafico) La funzione è ilitata inferiormente e ha il massimo assoluto in x = +. Il grafico è riportato in Figura 5.. Per lo studio del ite si ha: x ( α e x x Se α = allora, usando la formula di Taylor, ) = x αx e x + x(e x ). x e x + x x(e x ) = x +o(x ) x x +o(x ) Se α allora, usando la formula di Taylor, =. αx e x + x x(e x ) (α )x x = +o(x ) x x +o(x ) = x (α ) x +o(x) x+o(x) e questo ite non esiste perché il ite da destra è diverso dal ite da sinistra. 63

65 3. L integrale si calcola integrando per parti: [ x xarctanxdx = arctanx = π 8 = π 8 ] x (+x ) dx x + dx = π +x 8 [ x arctanx 4. I coefficienti della serie di potenze sono ] a n = n (n )!, = π 8 ( π 4 ) dx +x ) = π 4. ( quindi calcoliamo il raggio di convergenza usando il criterio del rapporto. Si ha a n+ (n )! n = = n a n n n! n n n =, dunque il raggio di convergenza è =. Pertanto la serie converge assolutamente in R e totalmente negli intervalli itati. La sua somma è: n= n x n (n )! = x n= n x n (n )! = x e x. 64

66 5 Compito di Analisi Matematica I del /3/. Determinare le soluzioni z C dell equazione z 3 z +3z +4 =.. Tracciare il grafico della funzione così definita (non si richiede il calcolo della derivata seconda) ( ) x f(x) = arcsin. x + 3. Studiare il seguente ite, al variare di α >, tan(x 3 ) tan 3 x. x + x α 4. Stabilire se il seguente integrale improprio è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore + x (x +4x+9) dx. 5. Studiare la convergenza puntuale e totale della seguente serie di funzioni Calcolarne la somma. n= ( ) n x (n+). x+ 65

67 5. Soluzione del compito del /3/. L equazione si può scrivere come z zz +3z +4 = z z +3z +4 = z ( z +3)+4 =. Pertanto, essendo z +3 un numero reale positivo, dalle proprietà del modulo abbiamo z ( z +3) = 4 z ( z +3) = 4 z 4 +3 z 4 =. Lesoluzionisono z = 4e z =, esolo z = èaccettabile. Indefinitiva 4z +4 = z = ±i.. (Dominio e simmetrie) La funzione arcsin x è definita in [, ]. Poiché il denominatore è strettamente positivo e x x +, la funzione f è definita per ogni x R, è continua ed è pari. (Intersezioni con gli assi e segno) Poichè la funzione arcsin x è crescente, ne segue f(x) x (x ) ( x). Inoltre f() = arcsin( ) = π/, f( ) = f() =. (Asintoti) Si ha x ± f(x) = arcsin = π/ quindi y = π è asintoto orizzontale a sinistra e a destra. (Derivata prima e monotonia) La funzione arcsin x non è derivabile per x = quindi, per x, risulta f (x) = = ( x x + 4x 4x (x +) = ) x(x +) x(x ) (x +) x x (x +). In definitiva f è decrescente in (,], è crescente in [,+ ) e in x = ha un punto di minimo assoluto e un punto angoloso. (Derivata seconda e convessità) La derivata seconda, per x, vale f (x) = 4x (x +) x x. La funzione f è concava in (,) e in (,+ ). 66