Esercitazione Fondamenti di Informatica 2

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1 Esercitazione Fondamenti di Informatica 2 Matrici (seconda parte) 27 marzo 2006

2 a Prodotto righe-colonne Scrivere un metodo Matrice moltiplica(matrice mat) che, applicato ad una istanza dell oggetto Matrice, calcola il prodotto righe per colonne tra la matrice su cui è invocato il metodo e la matrice mat Date due matrici A(n x p) e B(p x m) il loro prodotto è possibile solamente se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Il risultato del prodotto la matrice C avrà dimensione (n x m) a b b b ( a b + a b ) ( a b + a b ) ( a b + a b ) 1,1 1,2 1,1 1,2 1,3 1,1 1,1 1,2 2,1 1,1 1,2 1,2 2,2 1,1 1,3 1,2 2,3 a2,1 a = 2,2 b2,1 b2,2 b2,3 ( a2,1b1,1 + a2,2b2,1) ( a2,1b1,2 + a2,2b2,2) ( a2,1b1,3 + a2,2b2,3) 2

3 Prodotto righe - colonne public Matrice moltiplica (Matrice mat){ // Pre: this e mat sono matrici bidimensionali... Matrice prod=null; // risultato if(m[0].length==mat.m.length){ // controllo di compatibilità int colonne=mat.m[0].length; // numero delle colonne del risultato int colonnem=m[0].length; int righe=m.length; // numero delle righe del risultato prod=new Matrice(righe,colonne); for (int i=0;i<righe;i++) for (int j=0;j<colonne;j++) { // prodotto scalare della riga i della matrice m1 e // della colonna j della matrice m2 int d=0; for (int k=0; k<colonnem; k++) d = d + M[i][k] * mat.m[k][j]; // moltiplicazione riga- colonne prod.m[i][j] = d; return prod; 3

4 Casi particolari Somma delle righe = 15 1 Somma delle colonne Matrice p1=new Matrice(2) p1.m[0]=new int[]{2,3,4; p1.m[1]=new int[]{3,5,7; Matrice p2=new Matrice(3); p2.m[0]=new int[]{1; p2.m[1]=new int[]{1; p2.m[2]=new int[]{1; Matrice res=p1.moltiplica(p2); System.out.println(res); [ 1 1] = [ ] Matrice p1=new Matrice(2) p1.m[0]=new int[]{2,3,4; p1.m[1]=new int[]{3,5,7; Matrice p2=new Matrice(1,2); p2.m[0]=new int[]{1,1; Matrice res=p2.moltiplica(p1); System.out.println(res); 4

5 Matrice trasposta Scrivere un metodo Matrice trasposta() che, applicato ad una istanza dell oggetto Matrice, calcola la matrice trasposta dell istanza dell oggetto matrice che ha invocato il metodo. Data una matrice A, la matrice trasposta A T è definita: A a1,1 a1,2 a T 1,1 a2,1 = A a a = a a 2,1 2,2 1,2 2,2 5

6 Matrice trasposta public Matrice trasposta () { // pre: la matrice è bidimensionale int colonne=m[0].length; // numero delle colonne int righe=m.length; // numero delle righe Matrice trasp = new Matrice(colonne,righe); // Creazione della trasposta for (int i=0;i<righe;i++) for (int j=0;j<colonne;j++) trasp.m[j][i] = M[i][j]; // assegnazione dei valori return trasp; Trasposta di un una matrice rettangolare (esempio): Matrice vriga=new Matrice(1,3); vriga.m[0][0]=1; vriga.m[0][1]=2; vriga.m[0][2]=3; System.out.println(vRiga); System.out.println(vRiga.trasposta()); 6

7 Determinante di una matrice Scrivere un metodo Matrice determinante() che, applicato ad una istanza dell oggetto Matrice, calcola il determinante trasposta dell istanza dell oggetto matrice che ha invocato il metodo. Per la realizzazione del metodo usare una strategia ricorsiva Il determinante di una matrice (1 x 1) è pari al valore della sua unica componente - Il determinante di una matrice A (n x n) lo si ottiene come somma dei prodotti di ciascun elemento di una linea qualsiasi per il determinante del rispettivo complemento algebrico. Quindi: Se n=1 segue det(a,1) = A[0][0]; se n>1 segue det(a,n) = 1 0 n + k A k A n 0k k =0 ( 1) [0][ ] det(, 1) 7

8 Calcolo del minore complementare // costruisce un minore della matrice che ha invocato il metodo, // togliendo la riga k e la colonna l public Matrice costruisciminore (int k, int l) { Matrice minore = new Matrice(M.length-1,M[0].length-1); int a=0, b=0; for (int i=0; i<m.length; i++) if (i!=k) { b=0; for (int j=0; j<m[0].length; j++){ if ( j!=l) { minore.m[a][b] = M[i][j]; b++; a++; return minore; 8

9 Calcolo del determinante /* calcola ricorsivamente il determinante dell oggetto matrice che invoca il metodo */ public int determinante (){ // pre: matrice quadrata int det; if (M.length==1) det= M[0][0]; // determinante di uno scalare else{ det=0; // scansione di una riga qualsiasi for (int j=0; j<m[0].length; j++) { // estrazione del minore j-esimo Matrice minore = costruisciminore (0, j); // calcolo del determinante del minore int detmin = minore.determinante(); // aggiornamento del determinante generale det = det + (int)math.pow (-1,j) * M[0][j] * detmin; return det; 9

10 Rappresentazione matriciale dei sistemi lineari Un sistema lineare di n equazioni in n incognite a11x1 + a12x a1 nxn = b1 a x + a x a x = b... a x + a x a x = b n n 2 n1 1 n2 2 nn n n Può essere rappresentato in forma matriciale: A a11 a12... a1 n a a... a an1 an2... ann n = E dunque A*X=B X x1 x... xn 2 = B b1 b... bn 2 = A: matrice dei coefficienti X: vettore delle incognite B: vettore dei termini noti 10

11 Risoluzione dei sistemi metodo di Cramer Se il determinante det(a) dei coefficienti del sistema è diverso da zero, il sistema ammette una ed una sola soluzione data da: D1 D2 Dn x1 = x2 =... xn = A A A Dove i termini D i rappresentano i determinanti che si ottengono dalla matrice dei coefficienti sostituendo la colonna i-esima con la colonna dei termini noti B. 11

12 Sostituzione colonne /* metodo che produce un matrice in cui una colonna viene completamente sostituita dal vettore passato come parametro di input. Simile, proceduralmente, alla clonazione di una matrice */ public Matrice sostcol(matrice val, int col){ Matrice res=null; if(m.length==val.m.length){ res=new Matrice(M.length, M[0].length); // scansione di tutti gli elementi della matrice. for(int i=0; i<val.m.length;i++){ for(int j=0; j<m[0].length;j++){ if(j==col) // colonna da sostituire. res.m[i][j]=val.m[i][0]; else res.m[i][j]=m[i][j]; // copia degli elementi return res; Rappresentazione di un vettore tramite l oggetto Matrice: Vettore riga: Matrice vriga=new Matrice(1,3); vriga.m[0][0]=1; VRiga.M[0][1]=2; vriga.m[0][2]=3; Vettore colonna: Matrice vcol=new Matrice(2,1); vcol.m[0][0]=1; vcol.m[1][0]=2 12

13 Metodo di Cramer public Matrice cramer(matrice Tnoti){ int col=m[0].length; // numero delle colonne Matrice res=new Matrice(col); // vettore destinato a contenere i vari determinanti int det=determinante(); // calcola il determinante della matrice M attuale; for(int i=0;i<col;i++){ Matrice sost=sostcol(tnoti,i); int val=sost.determinante()/det; // ATTENZIONE divisione intera (*) res.m[i]=new int[]{val; return res; (*) La divisione intera è dovuta alla rappresentazione interna dei dati dell oggetto matrice la quale è costituita da un array di array di valori interi. Per essere più corretti occorre riscrivere la classe matrice in modo che essa possa rappresentare anche dati reali come le soluzioni di sistemi lineari. 13

14 Esempio Matrice D=new Matrice(2,2); D.M[0][0]=1; D.M[0][1]=1; D.M[1][0]=-1; D.M[1][1]=-2; System.out.println(D.determinante()); Matrice col=new Matrice(2); col.m[0]=new int[]{3; col.m[1]=new int[]{-5; Matrice cambio=d.cramer(col); System.out.println(cambio); 14

15 Esercizio Spirale Scrivere un metodo che, dato un numero naturale m, crea e restituisce una matrice quadrata di ordine n che memorizza i numeri interi disposta da 1 a n 2 disposti a spirale. public static int[][] spirale(int n){ int[][] res=new int[n][n]; // creazione della matrice; int i,j; // indici della matrice int num; // conterrà di volta in volta l'elemento da inserire. int direzione; /**** Inizializzazione delle variabili ***/ i=0; j=0; res[i][j]=1; direzione = 0; // inizializzata per default da sinistra verso destra for(num=2;num<=n*n; num++){ // Calcola la nuova direzione direzione=aggiornadirezione(direzione,i,j,n); // Aggiorna l'indice delle righe dove necessario if((direzione==1) (direzione==3)) i=aggiornariga(i,direzione); else j=aggiornacolonna(j,direzione); /* Aggiorna l'indice delle colonne dove necessario*/ res[i][j]=num; /* Inserisce il nuovo elemento nella posizione precedentemente calcolata.*/ return res; 15

16 Spirale public static int AggiornaDirezione(int direzione, int i, int j, int n){ if (i+j == n-1) // se si trova lungo la diagonale secondaria direzione++; // se si trova lungo la diagonale principale con somma degli indici >= n if (i==j && j+j>=n) direzione++; if (i==j+1 && i+j<n) // riassume gli altri casi di cambio direzione. direzione++; return direzione % 4; public static int AggiornaRiga(int i,int direzione){ int res; if (direzione==1) res=i+1; // muove dall'alto verso il basso else res=i-1; // muove dal basso verso l'alto return res; public static int AggiornaColonna(int j,int direzione){ int res; if(direzione==0) res=j+1; // muove da sinistra verso destra else res=j-1; // muove da destra verso sinistra return res; 16