Sistemi di primo grado

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1 Sistemi di primo grado Consideriamo il seguente problema: Determina due numeri la cui somma è e la cui differena è. Possiamo risolvere questo problema utiliando due incognite per indicare i due numeri cercati. Avremo quindi che dovrà essere indicando con il maggiore): La parentesi graffa sta ad indicare che le due equaioni devono essere soddisfatte entrambe e diciamo che abbiamo un sistema di due equaioni che in questo caso risulta di primo grado in due incognite). Ma come possiamo risolvere questo sistema di equaioni cioè determinare i valori di e di che le soddisfano entrambe? Possiamo ricavare l incognita dalla prima equaione e sostituirla nella seconda equaione poi continuare a sviluppare la seconda equaione che contiene a questo punto solo l incognita ) e ricavare alla fine il valore di. 9 9 A questo punto non ci rimane che sostituire il valore che abbiamo trovato di nella prima equaione e determinare anche il valore dell incognita : 9 9 In conclusione i due numeri sono 9.

2 METODI DI RISOLUZIONE DI UN SISTEMA DI PRIMO GRADO Vediamo quindi i metodi con cui possiamo risolvere un sistema di primo grado in due incognite. Innanitutto è opportuno svolgere eventualmente dei calcoli per portarlo nella forma cosiddetta normale : Consideriamo per esempio il sistema ) Svolgiamo i calcoli per ricondurre il sistema a forma normale : Abbiamo quindi ottenuto: Vediamo alcuni metodi per risolverlo. METODO DI SOSTITUZIONE Come abbiamo fatto nel primo esempio considerato ricaviamo una incognita dalla prima o dalla seconda equaione in genere da quella in cui l incognita si ricava più facilmente): ricaviamo per esempio la dalla prima equaione Sostituiamo l espressione trovata per la nella seconda equaione e svolgendo i calcoli determiniamo la Torniamo nella prima equaione e sostituiamo a il valore trovato determinando così il valore della e quindi la soluione del sistema ' ' ' c b a c b a

3 METODO DEL CONFRONTO Consideriamo sempre il sistema Ricaviamo la stessa incognita da entrambe le equaioni per esempio la Uguagliamo le due espressioni trovate e determiniamo la ; riscriviamo inoltre una delle due equaioni Sostituiamo il valore trovato per la nell altra equaione e troviamo anche la e quindi la soluione del sistema METODO DI RIDUZIONE o di addiione e sottraione Conviene utiliare questo metodo quando un incognita compare con lo stesso coefficiente nelle due equaioni o con coefficienti opposti). Per esempio nel nostro caso abbiamo l incognita compare con lo stesso coefficiente nelle due equaioni: allora sottraiamo membro a membro le due equaioni ottenendo un equaione equivalente che contiene però la sola incognita / / Combiniamo l equaione ottenuta con una delle due equaioni del sistema e sostituiamo il valore trovato per la per determinare la Nota: se i coefficienti di un incognita sono opposti si sommano membro a membro le equaioni in modo da eliminare un incognita.

4 Sistemi determinati indeterminati impossibili Quante soluioni può avere un sistema di due equaioni di primo grado in due incognite? Dal momento che sia utiliando il metodo di sostituione che quello del confronto otteniamo ad un certo punto un equaione di primo grado in una incognita se questa è determinata ha una soluione) avremo una sola soluione del sistema se è indeterminata verificata per tutti i valori dell incognita) anche il sistema sarà indeterminato e se infine l equaione è impossibile nessuna soluione) anche il sistema non avrà nessuna soluione. Esempi ) Consideriamo il sistema Il sistema ha quindi la soluione ; ) e si dice determinato. ) Consideriamo il sistema equaione impossibile Il sistema non ha nessuna soluione e si dice impossibile. ) Consideriamo il sistema ) equaione ind. Il sistema ha quindi infinite soluioni cioè tutte le coppie ;) per cui si abbia che - e si dice indeterminato. Per esempio: se fisso così via.. e quindi la coppia ;) se fisso e quindi la coppia ; ) è soluione del sistema; è un altra soluione del sistema e

5 Problemi di geometria risolubili con sistemi Esempio Un rettangolo ha il perimetro di cm. Sapendo che il doppio dell altea è i della base quali sono le lunghee della base e dell altea? Indichiamo con la base e con l altea. Avremo quindi il seguente sistema: Quindi abbiamo:

6 COMPLEMENTO Sistemi di tre equaioni di primo grado in tre incognite Esempio Ricaviamo un incognita da una equaione e sostituiamo nelle altre due: Ricaviamo un altra incognita tra la seconda e la tera equaione) e sostituiamo: e sostituendo avremo: La soluione è quindi la terna ) ; ;. Nota Naturalmente posso avere sistemi con infinite soluioni indeterminati) o nessuna soluione impossibili). Per esempio: è impossibile mentre ha infinite soluioni del tipo ; - ; )

7 7 ESERCIZI ) ) ) 7 ) ) ) ) ) ) 9 ) 7 7) ) 9) [impossibile] ) [indeterminato] 7 9

8 ) ) ) ) ) ) [indeterminato] ) [impossibile] ) ) ) ) ) ) ) ) 7) ) 9) )

9 ) ) 7 [ )] ) ) [ ) ] ) [ )] ) ) ) ) 9 ) In un rettangolo il perimetro è cm. La base supera l altea di cm. Trova le dimensioni del rettangolo. cm cm ) Calcola la lunghea delle diagonali di un rombo sapendo che la somma di della maggiore e di 9 della minore è 9 cm e che diminuendo la maggiore di cm e aumentando di 9 cm la minore le due diagonali diventano congruenti. [ cm cm] 7) Calcola la lunghea della diagonale di un rettangolo sapendo che il perimetro è cm e che l altea supera la base di cm. [ cm] ) Calcola le lunghee delle basi di un trapeio sapendo che l area è cm l altea è cm e la differena delle basi è cm. cm cm 9

10 9) In un rombo la somma delle diagonali è cm i della maggiore superano di cm la minore. Determina il perimetro del rombo. [ cm] ) Calcola l area di un triangolo sapendo che i dell altea sono cm e che il doppio della base supera di cm l altea. [ cm ] ) Il perimetro di un rettangolo è 9 cm e la base supera di cm il doppio dell altea. Calcola l area. [ cm ] ) Calcola l area di un trapeio rettangolo sapendo che il lato obliquo è cm che la base maggiore è il triplo della minore e che la somma delle basi è cm. [ cm ] ) Determina il perimetro di un trapeio isoscele sapendo che la sua area è cm che la base maggiore supera di cm la base minore e che l altea è cm. [ cm] ) L area di un trapeio rettangolo è 7 cm. La somma delle basi è cm e la loro differena è cm. Determina il perimetro. [ cm] ) In un trapeio isoscele gli angoli alla base sono di e il perimetro è cm. Sapendo che la base maggiore è della minore calcola le misure dei lati del trapeio. [ cmcm cm cm] ) Sappiamo che la somma delle diagonali di un rombo è cm e che la loro differena è cm. Calcola l area del rombo. [ cm ] 7) Il perimetro di un trapeio isoscele è 7 cm. Calcola l area del trapeio sapendo che il lato obliquo è uguale alla metà della base minore e che la somma dei della base maggiore con il lato obliquo è cm. [ cm ]

11 ) Calcola l area di un trapeio isoscele sapendo che le basi differiscono di cm che la base maggiore è uguale al doppio della minore diminuito di cm e che il lato obliquo è cm. [ cm ] 9) Calcola le lunghee dei lati di un rettangolo sapendo che il maggiore supera di cm il minore e che aumentando di cm il maggiore e diminuendo di cm il minore l area del rettangolo diminuisce di cm. [ cm; cm ] ) Calcola il perimetro di un rombo sapendo che le sue diagonali differiscono di a e che la loro semisomma è il doppio della minore diminuito di a. [ a ] ) Calcola l area e il perimetro di un rettangolo sapendo che le due dimensioni sono tali che la loro somma è cm e che aggiungendo cm alla minore e togliendo cm dalla maggiore si ottiene un quadrato. [ cm ; cm ] ) In un rombo la diagonale maggiore supera la minore di cm e la somma tra i 7 della maggiore e della minore è cm. Determina le diagonali. [ cm; cm ] ) In un trapeio rettangolo la somma delle basi misura a e la semidifferena delle lunghee delle basi è della base minore. Sapendo inoltre che l altea è uguale alla base minore determina il perimetro del trapeio. [ a ]

12 TEST SIMULTANEUS EQUATIONS ) Thilo and Tob bu some boats and trains from the to shop. The cost of one boat is b cents and the cost of one train is t cents. a) Tob bus boats and trains for $.7. Complete this equation bt.. b) Thilo bus boat and trains for $..Write this information as an equation.. c) Solve our to equations to find the cost of a boat and the cost of a train.you must show all our working. Cost of a boat..cents Cost of a train..cents ) Pens cost p cents and pencils cost q cents. a) Aisha bus pens and pencils for $..Write down an equation representing this cost in cents... b) Bishen bus pens and pencils for $.. Write down an equation representing this cost in cents... c) Solve our equations to find the value of p and the value of w. p..cents q..cents ) Solve the simultaneous equations