Parte II. Numeri Complessi

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1 Parte II Numeri Complessi 34

2 4 Incontro del gennaio Numeri immaginari Già gli antichi greci (Erone, I secolo a.c.) utilizzarono nei loro trattati radici quadrate di numeri negativi. Molte altre volte nella storia ci si imbattè nel dover risolvere equazioni di secondo grado con discriminante negativo, ad esempio + 1 = 0, che ammette come soluzione l unità immaginaria i = 1 e il numero ad essa opposto i. L esigenza di introdurre questo nuovo tipo di numeri potrebbe sembrare artificiosa ed essere liquidata assumendo che l equazione + 1 = 0 non abbia alcuna radice. Nel XVI secolo il matematico italiano Niccolò Fontana detto il Tartaglia trovò un metodo algebrico per risolvere le equazioni di terzo grado. Egli mostrò che tali equazioni possono essere sempre ricondotte, con un cambio di variabile, a equazioni aventi la forma particolare 3 + p + q = 0. (4.1) La soluzione della (4.1) sembra che fosse già nota in precedenza al matematico Scipione Del Ferro e al suo allievo Antonio Maria Fior, detto Floridus in latino. Essi però non conoscevano la soluzione del caso generale. Erone di Alessandria (chiamato anche Erone il Vecchio) è stato un matematico, ingegnere e inventore greco antico. Realizzò l eolipila e molti altri congegni meccanici. È anche noto per la formula A = p(p a)(p b)(p c) che permette di esprimere l area di un triangolo a partire dalle lunghezze dei suoi lati a, b e c e dal suo semiperimetro p. Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò Fontana (Brescia, 1499 circa Venezia, 13 dicembre 1557), è stato un matematico italiano, il cui nome legato al noto triangolo. Scipione del Ferro (Bologna, 6 febbraio 1465 Bologna, 5 novembre 156) è stato un matematico italiano, a cui si deve il primo metodo risolutivo per le equazioni di terzo grado. 35

3 La (4.1) si risolve ponendo = u+v, dove le variabili u e v sono legate dalla relazione 3uv = p, ed inserendo tale sostituzione nella (4.1). Si ottiene 0 = 3 + p + q = u 3 + 3u v + 3uv + v 3 + p(u + v) + q = u 3 + 3uv(u + v) + v 3 + p(u + v) + q = = u 3 p(u + v) + v 3 + p(u + v) + q = = u 3 + v 3 + q A questo punto si possono ricavare il valori di u 3 e v 3 risolvendo il sistema simmetrico u 3 + v 3 = q u 3 v 3 = p3 7 Cosicché i valori di u 3 e v 3 sono le radici dell equazione di secondo grado (in t) ossia t + qt p3 7 = 0 u 3 = q q p3 7 e v 3 = q q ottenendo infine = 3 q q p q q 4 + p p3 7 Questo metodo pone peró problemi anche per casi relativamente semplici. Se consideriamo ad esempio l equazione 3 = 0, che ammette le tre radici reali 0, 1 e 1, notiamo che per essa l espressione q 4 + p3 7, che nelle formule risolutive è posta sotto il segno di radice quadrata, è uguale a 1 7 : un numero negativo. Nonostante l equazione ammetta tre radici reali, non è possibile risolverla con metodi algebrici senza estendere il campo numerico ed introducendo i numeri complessi. 4. Numeri complessi Un numero complesso z è un espressione della forma z = a + ib, dove a e b sono due numeri reali chiamati parte reale e parte immaginaria del numero complesso z e dove i = 1 rappresenta l unità immaginaria. Scriveremo allora Re(z) e Im(z) per denotare rispettivamente le parti reale a e immaginaria b del numero complesso z. La coppia di numeri reali (a, b) identifica univocamente il numero complesso z. L insieme dei numeri complessi viene denotato usualmente con il simbolo C = {a + ib a, b R}. 36

4 y (a, b) = (ρ cos θ, ρ sen θ) θ z = a + ib ρ = a + b Figura 4.1: Il numero complesso z come vettore Il numero complesso z = a+ib può venire identificato con il punto di coordinate (a, b) del piano cartesiano ortogonale, oppure, ancora meglio, con il vettore che spicca dall origine degli assi e termina nel punto (a, b). La lunghezza ρ = a + b di tale vettore viene chiamata modulo del numero complesso z e viene denotata con z. L angolo θ, espresso in radianti, che il vettore forma con il semiasse positivo delle ascisse è detto argomento di z e viene denotato con arg(z). L argomento di un numero complesso è definito a meno di multipli interi dell angolo giro π. Si vede facilmente che a = z cos(arg(z)) = ρ cos θ e b = z sen(arg(z)) = ρ sen θ. La somma due numeri complessi z = a+ib e w = c+id è il numero complesso z + w = (a + c) + i(b + d), che corrisponde alla somma di z e w come vettori. In particolare il numero complesso z = a + ib è somma di due vettori tra loro y z (a + c, b + d) (c, d) w = c + id z + w z = a + ib w (a, b) Figura 4.: Somma di numeri complessi perpendicolari: il vettore orizzontale a (che corrisponde al punto (a, 0) sull asse delle ascisse) e del vettore verticale ib (che corrisponde al punto (0, b) sull asse delle ordinate). Per come è stata definita la somma di numeri complessi gode delle proprietà associativa e commutativa, ammette 0 = 0 + i0 come elemento neutro ed ogni 37

5 numero complesso z = a + ib ha come opposto z = a + i( b). Dato un numero complesso z = a + ib è detto suo coniugato il numero complesso z = a ib che ha parte immaginaria opposta rispetto a quella di z; esso si ottiene riflettendo z rispetto all asse delle ascisse. Chiaramente z = z e arg( z) = arg(z). y +θ θ z = a + ib (a, b) z = a ib (a, b) Figura 4.3: Numero complesso coniugato Il prodotto di numeri complessi si calcola imponendo che esso sia commutativo e distributivo rispetto alla somma e ricordando che i = 1: (a + ib) (c + id) = ac + aid + ibc + i bd = = ac + i(ad + bc) + ( 1)bd = = (ac bd) + i(ad + bc) È facile verificare che il prodotto così definito è associativo, commutativo, distributivo rispetto alla somma, ammette 1 = 1 + i 0 come elemento neutro. I numeri che hanno parte immaginaria nulla (appartengono all asse delle ascisse) sono individuati dalla loro parte reale. Si comportano rispetto a somma e prodotto come numeri reali. Pertanto il numero complesso a = a + i 0 coincide a tutti gli effetti con il numero reale a e l asse delle ascisse viene in tal modo identificato con l insieme R. Pertanto l insieme dei numeri reali R è un sottoinsieme dell insieme dei numeri complessi C che da quest ultimo eredita le operazioni di somma, prodotto e modulo (valore assoluto). Una semplice verifica mostra che z + w = z + w z w = z w. Dato un numero complesso z = a + ib si ha che z z = (a + ib)(a ib) = a i b = a + b = z. 38

6 ( ) 1 Pertanto, se z 0, si trova che z z z = 1, cosicché l inverso di z = a + ib è il numero complesso z 1 = z ( ) ( ) a b z = a + b i a + b. 4.3 Forma polare o trigonometrica Se denotiamo come sopra con ρ e θ rispettivamente il modulo e l argomento di z = a + ib, possiamo scrivere l eguaglianza z = ρ cos θ + iρ sen θ = ρ(cos θ + i sen θ) che viene usualmente detta forma trigonometrica o polare del numero complesso z. Il modulo ρ e l argomento θ possono essere calcolati tramite le formule ρ = a + b cos θ = a ρ sen θ = b ρ Il numero cos θ + i sen θ viene denotato con e iθ = cos θ + i sen θ e ha modulo e iθ = cos θ + sen θ = 1. Rappresenta un numero complesso che giace sulla circonferenza goniometrica (centrata nell origine e di raggio unitario) e forma con l asse reale un angolo θ. y (a, b) = (ρ cos θ, ρ sen θ) e iθ (cos θ, sen θ) θ 1 Figura 4.4: Forma trigonometrica/polare del numero a + ib 39

7 4.4 Prodotti scalari e regola di De Moivre Il prodotto scalare u v di due vettori u e v è definito come il prodotto del modulo di u per la proiezione di v lungo u. Si vede immediatamente che u v = u v cos α, dove α = u v è l angolo formato dai due vettori. y v v sen α u α v cos α Figura 4.5: Prodotto scalare È immediato verificare che il prodotto scalare è un operazione commutativa e distributiva rispetto alla somma di vettori: u ( v + w) = u v + u w. B w = BC v = B v + w = C C B u = A A C Figura 4.6: Proprietà distributiva 40

8 Riferendoci alla figura 4.4, abbiamo infatti che u ( v + w) = A C = = A ( B + B C ) = = A B + A B C ) = = u v + u w, dove tutti i prodotti denotati con un punto sono da intendersi tra misure (eventualmente negative) di segmenti orientati. Poichè i numeri complessi 1 = 1+0 i e i = 0+1 i sono tra loro perpendicolari il loro prodotto scalare come vettori è nullo: 1 i = 0. Inoltre 1 e i hanno entrambi modulo unitario. Possiamo allora calcolare il prodotto scalare dei due numeri complessi z = a + ib e w = c + id ottenendo la seguente formula per il prodotto scalare: Si trova allora z w = (a + ib) (c + id) = = a c + a id + ib c + ib id = = a c ib id = ac + bd = = Re(z) Re(w) + Im(z) Im(w) y T(w) = d + ic y = w = c + id +η η π η w = c id Figura 4.7: w e T(w) 41

9 ac bd = z w ad + bc = z T(w) dove w è il coniugato di w, mentre T(w) = d + ic = i w è il numero complesso che si ottiene riflettendo w rispetto alla prima bisettrice (ovvero scambiando tra loro le sue coordinate). Si nota subito che l angolo tra w e T(w) è retto. Scriviamo ora i numeri z e w in forma trigonometrica: z = ρ z (cos θ + i sen θ) e w = ρ w (cos η + i sen η). L angolo tra z e w è uguale a θ + η mentre l angolo tra z e T(w) è uguale a π η θ, pertanto si trova ac bd = z w = z w cos(θ + η) = ρ z ρ w cos(θ + η) ( π ) ad + bc = z T(w) = z w cos η θ = ρ z ρ w sen(θ + η) da cui possiamo concludere che z w = (ac bd) + i(ad + bc) = ρ z ρ w (cos(θ + η) + i sen(θ + η)) Regola di De Moivre. Il prodotto di due numeri complessi z e w aventi rispettivamente moduli ρ z e ρ w e argomenti θ e η, è il numero complesso zw avente modulo ρ zw = ρ z ρ w uguale al prodotto dei moduli dei fattori e argomento arg(zw) = arg(z) + arg(w) = θ + η uguale alla somma degli argomenti. In particolare si trova la formula e iθ e iη = (cos θ + i sen θ)(cos η + i sen η) = cos(θ + η) + i sen(θ + η) = e i(θ+η) che mostra che la notazione esponenziale e iθ soddisfa formalmente le proprietà delle potenze. Esercizio. Dimostrare che il triangolo che ha per vertici i tre numeri complessi u, v e w, ha area uguale a 1 ) ((u Im w)(v w). 4.5 Formule di addizione degli archi per coseno e seno Dalla regola di de Moivre abbiamo cos(α + β) + i sen(α + β) = e i(α+β) = e iα e iβ = (cos α + i sen α)(cos β + i sen β) = = (cos α cos β sen α sen β) + i(sen α cos β + cos α sen β). Abraham de Moivre (Vitry-le-François, 6 maggio 1667 Londra, 7 novembre 1754) è stato un matematico francese, amico di Isaac Newton. È noto per la formula di de Moivre (che collega i numeri complessi con la trigonometria), i suoi lavori sulla distribuzione normale e la teoria della probabilità, nonché scoprì (anche se in forma incompleta) l approssimazione di Stirling. 4

10 Se ne ricavano le note formule di addizione degli archi cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β, sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β. Esercizio. Trovare una formula per esprimere cos(nθ) come un polinomio T n () di grado n calcolato in cos θ. Soluzione. cos(nθ) + i sen(nθ) = e inθ = (e iθ ) n = = (cos θ + i sen θ) n = n/ ( ) n = ( 1) k (cos θ) n k (sin θ) k + k k=0 + i (n 1)/ h=0 ( ) n ( 1) h (cos θ) n h 1 (sin θ) h+1. h + 1 Pertanto cos(nθ) = = n/ k=0 n/ k=0 = T n (cos θ). ( ) n ( 1) k (cos θ) n k (sin θ) k = k ( ) n ( 1) k (cos θ) n k (1 cos θ) k = k dove T n () = n/ k=0 ( ) n ( 1) k n k (1 ) k. k I polinomi T n () sono chiamati polinomi di Čebyšhëv e possono essere definiti per ricorrenza tramite la formula T n+1 () = T n () T n 1 (). Una proprietà interessante è T n () ha sempre n radici reali distinte nell intervallo [ 1, 1]. Pafnutij L vovič Čebyšhëv (Borovsk, 16 maggio 181 San Pietroburgo, 8 dicembre 1894) è stato un matematico e statistico russo. È considerato uno dei padri fondatori della grande scuola matematica russa. 43

11 4.6 Formule di Eulero e formule di Werner Dato un numero complesso z = a + ib notiamo che z + z = a + ib + a ib = a = Re(z) e che z z = a + ib a + ib = ib = i Im(z). Ne ricaviamo che Re(z) = z + z, Im(z) = z z. i Nel caso in cui z = e iθ si ha e iθ = cos θ + i sen θ = cos θ i sen θ = cos( θ)+ i(sen( θ)) = e iθ. Si hanno allora le formule di Eulero : cos θ = Re(e iθ ) = eiθ + e iθ, sen θ = Im(e iθ ) = eiθ e iθ. i Supponiamo di voler calcolare il prodotto cos α cos β, utilizzando le formule di Eulero troviamo una delle formule di Werner : cos α cos β = eiα + e iα eiβ + e iβ = ei(α+β) + e i(α β) + e i( α+β) + e i( α β) 4 = Re(ei(α+β) ) + Re(e i(α β) ) = 4 = 1 (cos(α + β) + cos(α β)) = Esercizio. Trovare in modo analogo tutte le altre formule di Werner. Esercizio. Utilizzare le formule di Eulero per trovare le formule di prostaferesi. Suggerimento. Notare che e iα +e iβ = e i(α+β)/ (e i(α β)/ +e i( α+β)/ ) = Radici n-esime dell unità Un numero complesso w è detto radice n-esima dell unità se w n = 1. Posto ξ n = e π n i = cos(π/n) + i sen(π/n) e dato un intero k troviamo che ξ k n = cos(kπ/n) + i sen(kπ/n) è una radice n-esima dell unità, infatti (ξ k n) n = Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero (Basilea, 15 aprile 1707 San Pietroburgo, 18 settembre 1783), è stato un matematico e fisico svizzero. È considerato il più importante matematico dell Illuminismo. È noto per essere tra i più prolifici di tutti i tempi e ha fornito contributi storicamente cruciali in svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi. Johann Werner (Norimberga, 14 febbraio 1468 Norimberga, maggio 15) è stato un cartografo, matematico e religioso tedesco. 44

12 (ξn) n k = (e πi ) k = 1 k = 1. Sappiamo però che le radici n-esime dell unità sono al più in numero di n, dal momento che il polinomio n 1 ha al massimo n radici distinte e quindi il loro numero è in realtà esattamente uguale a n. Chiaramente ξn k = ξn k+n da cui deduciamo che ξn, 0 ξ n, ξn,..., ξn n 1 sono tutte e sole le radici n-esime di 1 e si dispongono sui vertici di un n-agono regolare inscritto nella circonferenza goniometrica; uno dei vertici è il numero 1. ξ 7 y ξ 1 7 ξ 3 7 e 4iπ/7 e iπ/7 ξ 4 7 e 6iπ/7 e 8iπ/7 e 10iπ/7 e 1iπ/7 e 0 ξ 0 7 = 1 ξ 6 7 ξ 5 7 Figura 4.8: Radici settime di 1 Esercizio. Una radice n-esima w di 1 è detta essere primitiva se non è anche una radice m-esima di 1 per qualche divisore positivo m n di n. Dimostrare che a) w è una radice primitiva n-esima di 1 se e solo se w = ξ k n dove k è un intero tale che MCD(k, n) = 1. b) w è una radice primitiva n-esima di 1 se e solo se ogni radice n-esima u di 1 si scrive nella forma u = w h per qualche intero h. Esercizio. Dato un numero complesso non nullo z = a + ib = ρ(cos θ + i sen θ) dimostrare che, posto w = ρ 1/n (cos(θ/n) + i sen(θ/n)), i numeri complessi w, wξ n, wξn,..., wξn n 1 sono tutte e sole le radici n-esime di z. Esercizio. Siano U n = { } ξn, 0 ξ n, ξn,..., ξn n 1 e S un sottoinsieme di C \ {0} con n elementi, tale che comunque siano scelti z, w S si ha che il prodotto zw appartiene anch esso a S. Dimostrare che S = U n. Esempio (radici quinte dell unità). Supponiamo che ε 1 sia una radice quinta di 1. Essa soddisfa l equazione 0 = ε 5 1 = (ε 1)(1 + ε + ε + ε 3 + ε 4 ). Dal 45

13 momento che ε 1 se ne deduce che 1 + ε + ε + ε 3 + ε 4 = 0. Notiamo che ε 4 ε = 1 pertanto ε 4 = ε 1 = ε/ ε = ε. Analogamente si ha che ε 3 = (ε ) 1 = (ε 1 ) = ε. Posto γ = ε + ε 4 si ha che γ = ε + ε = Re(ε) e che γ = ε + ε 8 + = ε + ε 3 +. Ne deduciamo che γ + γ 1 = (ε + ε 3 + ) + (ε + ε 4 ) 1 = 1 + ε + ε + ε 3 + ε 4 = 0 e che pertanto γ è radice dell equazione di secondo grado + 1 = 0 Possiamo allora calcolare γ = 1 ± 5 Nell ipotesi che sia ε = ξ 5 = cos ( ) ( π 5 + i sen π ) 5, allora γ = Re(ε) > 0 e quindi γ = 5 1. Se ne ricava che ( ) π 5 1 cos = γ/ =, 5 4 ( ) ( ) π π sen = 1 cos 5 = = Esercizio. Con riferimento all esempio precedente mostrare che che se ε = ξ 5 allora ε = ξ 7 10 è una radice primitiva decima di 1. Determinare inoltre il più piccolo intero positivo k tale che ξ 10 = ( ε) k. 46