per un altro; le più importanti sono quelle di seguito elencate.

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1 2 Abilità di calcolo I quiz raccolti in questo capitolo sono finalizzati alla valutazione della rapidità e della precisione con cui esegui i calcoli matematici. Prima di cimentarti con i test proposti, potrebbe giovarti l analisi delle nozioni di teoria schematizzate nelle note seguenti. Numeri primi: sono numeri naturali divisibili solamente per 1 e per se stessi (a differenza dei numeri composti: ad esempio 10 è un numero composto perché oltre ad essere divisibile per 1 e per se stesso, è divisibile anche per 2 e per 5). I numeri primi che si incontrano più frequentemente sono: Dalla definizione di numero primo sono esclusi i numeri 0 e 1: lo zero perché è divisibile per tutti i numeri ma non per se stesso (0 : 0 è una forma indeterminata); l esclusione del numero 1 è giustificata dal fatto che l unico divisore è se stesso. Pertanto, lo zero e l uno non si considerano né numeri primi né numeri composti. Criteri di divisibilità: sono regole che permettono di stabilire se un numero è divisibile per un altro; le più importanti sono quelle di seguito elencate. Divisibilità per 2: un numero è divisibile per 2 se è pari, cioè se la sua ultima cifra è 0 o 2 o 4 o 6 o 8 (ad esempio, 470 è divisibile per 2 perché è un numero pari, mentre 19 non è divisibile per 2 perché non è un numero pari). Divisibilità per 3: un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3 (1). Esempio n. 1 Il numero è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre è: = 12 e 12 è divisibile per 3. (1) Questo criterio si può applicare successivamente alla somma delle cifre, fino ad avere un numero costituito da una sola cifra: se quest ultima cifra è 3, 6 o 9 il numero è divisibile per 3, altrimenti non lo è. Ad esempio, sommando le cifre di ottieni: = 58; sommando, poi, le cifre di 58 ottieni: = 13; sommando, infine, le cifre di 13 ottieni: = 4. Poiché da questa sequenza di operazioni non hai ottenuto né 3, né 6, né 9, ma il risultato è stato 4, allora puoi concludere che il numero non è divisibile per 3. 2 Abilità di calcolo 269

2 Divisibilità per 4: un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono due zeri oppure formano un numero multiplo di 4 (2). Esempio n. 2 I numeri 200, 196 e 226 sono divisibili per 4? Il numero 200 è divisibile per 4 perché termina con 2 zeri. Il numero 196 è divisibile per 4 perché la penultima cifra è dispari e l ultima è 6. Il numero 226 non è divisibile per 4 perché le ultime due cifre, 26, non sono un multiplo di 4 (n.b.: i multipli di 4 sono i termini della tabellina del 4, continuandola, anche, oltre 40, ovvero 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ). Divisibilità per 5: un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5. Esempio n. 3 I numeri 350, 501, 875 sono divisibili per 5? 350 è divisibile per 5 perché finisce con lo zero. 501 non è divisibile per 5 perché non finisce né con lo zero, né con il è divisibile per 5 perché finisce con il 5. Divisibilità per 6: un numero è divisibile per 6 se è pari e se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3. Esempio n. 4 I numeri 324 e 63 sono divisibili per 6? 324 è divisibile per 6 perché è un numero pari e la somma delle cifre è un multiplo di 3 ( = 9). 63 non è divisibile per 6 perché, nonostante la somma delle cifre dia un multiplo di 3 (6 + 3 = 9), non è un numero pari. Divisibilità per 9: un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9 (3). Esempio n. 5 I numeri 918 e sono divisibili per 9? 918 è divisibile per 9 perché la somma delle sue cifre è = 18, e 18 è un multiplo di 9. Il numero non è divisibile per 9 perché la somma delle sue cifre è = 10, e 10 non è un multiplo di 9. (2) In base ad un criterio alternativo, ma equivalente a quello esposto, un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono tali che la sua penultima è dispari e l ultima è 2 oppure 6, oppure la sua penultima cifra è pari e l ultima è lo 0, oppure il 4, oppure l 8. (3) Questo criterio si può applicare successivamente fino ad ottenere un numero di una cifra: se quest ultima cifra è 9 il numero è divisibile per 9, altrimenti non lo è. 270 Parte Seconda Test logico-matematici

3 Divisibilità per 10, 100, : un numero è divisibile per 10, 100, 1.000,... se termina, rispettivamente, con uno, due, tre zeri, Esempio n. 6 Sono divisibili per 10 i numeri 340, 1.230, perché finiscono con almeno uno zero; sono divisibili per i numeri , perché finiscono con almeno 4 zeri, etc. Divisibilità per 11: un numero è divisibile per 11 se, quando si sommano, a partire da destra (cifra delle unità), le cifre di posto dispari e le cifre di posto pari e si fa la differenza di queste somme, il risultato è 0 oppure 11 oppure un multiplo (4) di 11. Esempio n. 7 I numeri e sono divisibili per 11? Per verificare se il numero è divisibile per 11 devi eseguire la somma delle cifre di posto dispari (ovvero la prima cifra, il 9, + la terza cifra, il 7, + ), che è = 25, e la somma delle cifre di posto pari (ovvero la seconda cifra, il 4, + la quarta cifra, il 6, + ), che è = 14. La differenza tra le due somme calcolate è = 11: quindi il numero è divisibile per 11. Per verificare se il numero è divisibile per 11 devi eseguire la somma delle cifre di posto dispari, che è = 10, e la somma delle cifre di posto pari, che è = 7. La differenza 10 7 = 3 non dà per risultato né 0, né 11, né un multiplo di 11: quindi il numero non è divisibile per 11. Divisibilità per 25: un numero è divisibile per 25 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre a destra del numero o quando le ultime due cifre sono due o più zeri (in altri termini, un numero è divisibile per 25 quando termina con 25, 50, 75, oppure con 00). Esempio n. 8 I numeri 2.350, e sono divisibili per 25? Si, perché termina con 50 e 50 è un multiplo di 25; termina con 75 e 75 è un multiplo di 25; termina con due zeri. Quadrati perfetti: si definiscono quadrati perfetti i numeri ottenuti dal prodotto di un numero naturale per se stesso, ovvero, se il numero è n, il suo quadrato è n n. I quadrati che si incontrano più frequentemente sono elencati nella tabella seguente. (4) Un criterio alternativo è quello di sottrarre l ultima cifra al numero formato dalle altre; se si ottiene 0 o un multiplo di 11, il numero è divisibile per 11. Ad esempio, Il numero 352 è divisibile per 11: infatti, per il criterio appena esposto la differenza 35 2 = 33 e 33 è un multiplo di 11 (i primi multipli di 11 sono 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). 2 Abilità di calcolo 271

4 Numero naturale Quadrato Numero naturale Quadrato Cubi perfetti: si definiscono cubi perfetti i numeri ottenuti dal prodotto di un numero naturale moltiplicato per se stesso 3 volte, ovvero, se il numero è n, il suo cubo è n n n. I cubi che si incontrano più frequentemente sono elencati nella tabella seguente. Numero naturale Cubo Espressione aritmetica: è una successione di operazioni aritmetiche il cui ordine di esecuzione è stabilito da alcune regole e dall uso di parentesi. Le operazioni di un espressione vanno eseguite rispettando un ordine di precedenza prefissato. Si è stabilito quanto segue. 1. In assenza di parentesi, moltiplicazione e divisione si eseguono prima dell addizione e della sottrazione. Ad esempio, osserva l illustrazione seguente: 2. In assenza di parentesi, moltiplicazione e divisione si eseguono nell ordine in cui si presentano. Ad esempio, osserva l illustrazione seguente: 272 Parte Seconda Test logico-matematici

5 3. In presenza di parentesi si procede dalle parentesi più interne alle parentesi più esterne. Le parentesi si utilizzano a coppia, procedendo dall interno verso l esterno, le tonde ( ), le quadre [ ], e le graffe { }. Ad esempio, osserva l illustrazione seguente: 4. In presenza di potenze, si calcolano prima le potenze e, quando è possibile, per agevolare i calcoli, si applicano le proprietà delle potenze. Ricorda, altresì, che il prodotto tra due numeri negativi dà come risultato un numero positivo, mentre il prodotto tra un numero positivo ed un numero negativo dà come risultato un numero negativo. Tieni presente, infine, che in alcuni casi i test da risolvere possono richiedere anche il giusto inserimento di segni aritmetici per poter svolgere esattamente determinati calcoli, come mostrato negli esempi che seguono, dove, per rendere più facile la comprensione dell esercizio, vengono usate delle frecce per indicare gli spazi vuoti tra una cifra e l altra, da riempire appunto con gli opportuni segni aritmetici. 2 Abilità di calcolo 273

6 Esempio n = 5 4 A +, : B, + C +, D, + La risposta corretta è la A: : 2 3 = = = 5 4 Esempio n. 10 (7 25) 15 = 20 A +,, : B,, + C +,, D,, La risposta corretta è la D: 7 25 ( ) 15 = 7 5 ( ) 15 = = Parte Seconda Test logico-matematici

7 Test di verifica 1) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono quadrati perfetti. A 2 C 1 B 3 D ) La corretta riduzione ai minimi termini di 144 è: A 1 1 C 6 12 B 6 D 12 3) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono cubi perfetti. A 3 C 1 B 2 D Tutti 4) Quale, tra le seguenti, è la differenza tra i numeri 2,61 e 0,032? A 2,588 C 2,58 B 2,579 D 2,578 5) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono quadrati perfetti. A 1 C 2 B 3 D Nessuno 6) 36 è il risultato di: A 180 : 6 C 422 : 14 B 144 : 4 D 816 : 18 7) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono numeri primi. A 4 C 3 B 1 D 2 2 Abilità di calcolo 275

8 8) Per quali numeri risulta divisibile 1.250? A Solo per 10 B È divisibile solo per 2 e per 5 C È divisibile solo per 2, per 5 e per 10 D Nessuna delle risposte indicate è corretta 9) Tra i numeri seguenti, , indicare quanti sono numeri primi. A 3 C 1 B 2 D 4 10) Qual è il resto della divisione intera 58 : 11? A 1 C 5 B 3 D 7 11) Quale dei seguenti numeri è divisibile per 11? A C B D ) Quale dei seguenti numeri è divisibile per 25? A 315 C 175 B 170 D ) Quale dei seguenti numeri è divisibile per 4? A 322 C 850 B 164 D ) Quale dei seguenti numeri è divisibile per 9? A 818 C B 323 D ) Quale dei seguenti numeri è divisibile per 3? A C B D ) In quali delle seguenti espressioni è presente un errore? A 7: = 5 B 42 ( 1) = Parte Seconda Test logico-matematici

9 C = 3 D 8 (15 15) + 2 = 10 17) Trovare il numero mancante ? A 2 C 5 B 3 D 10 18) Trovare i due numeri mancanti. 16? ? 1 A 2-15 C 4-7 B D ) Quali sono i due numeri il cui prodotto è 0,25? A 0,5-0,5 C 0,25-0,1 B 0,1-0,75 D 0,5-0,15 20) 46 è il risultato di: A 280 : 6 C : 14 B : 38 D 916 : 18 21) Quali sono i due numeri la cui somma è 29 35? A 1 3 e 8 5 B 9 4 e 2 13 C 2 5 e 3 7 D 3 e Test di verifica 277

10 22) Fra 3, 4, 1, 2, individuare il numero da eliminare in modo che la differenza fra i restanti tre sia uguale a 0. A 2 C 1 B 3 D 4 23) Individuare i due numeri che, divisi tra loro, diano per risultato 9 8. A 5 6 e 7 8 C 2 3 e 9 5 B 3 4 e 2 3 D 1 2 e ) Fra 2, 6, 7, 49, individuare il numero da eliminare in modo che la differenza fra i restanti tre sia uguale a 36. A 49 C 6 B 7 D 2 25) Individuare i due numeri che, divisi tra loro, diano per risultato 1. A 100 e 0,1 C 1 2 e 0,5 B 0,001 e 5 D 0,5 e ) Fra 28, 31, 32, 37, individuare il numero da eliminare in modo che la somma dei restanti tre sia pari a 100. A 37 C 32 B 31 D 28 27) Individuare i due numeri la cui somma è pari a A 3 2 e 2 9 B 4 3 e 8 15 C 5 8 e 2 16 D 3 4 e Parte Seconda Test logico-matematici

11 28) Individuare i due numeri il cui prodotto è pari a 3. A 2 3 e 9 2 C 5 6 e 1 9 B 7 4 e 7 24 D 9 2 e ) Calcolare due numeri sapendo che la loro somma è uguale a 75 e il loro rapporto è pari a 7 8. A C B D ) Calcolare due numeri sapendo che la loro differenza è uguale a 72 e che uno è i 15 6 dell altro. A C 75-3 B D ) Calcolare due numeri sapendo che uno è i 5 3 dell altro e che la somma dei loro quadrati è uguale a 136. A C 11-5 B 10-6 D ) Partendo da 8, raddoppiando per 3 volte e sottraendo 9 dopo ogni operazione, quanto si ottiene? A 4 C 3 B 2 D 1 33) Partendo da 120, dimezzando e sottraendo 10 per due volte, quanto si ottiene? A 15 C 30 B 40 D 35 34) Partendo da 2, triplicando e dimezzando per tre volte, quanto si ottiene? A 5,25 C 3 B 6,75 D 3,70 2 Test di verifica 279

12 35) Partendo da 25, sottraendo 20 per sei volte e moltiplicando per 5 ad ogni sottrazione, quanto si ottiene? A 1,5 C 20 B 25 D 15 36) Riducendo di 5 la metà di un terzo di 66, quanto si ottiene? A 1,5 C 11 B 6 D 7 37) Riducendo di 11 la metà di due terzi di 120, quanto si ottiene? A 20 C 31 B 44 D 29 38) Triplicando 2,5 e sottraendo 1,5 al valore ottenuto, per due volte, quanto si ottiene? A 18 C 17,5 B 16,5 D 15 39) Quanto si ottiene partendo da 3, aggiungendo due volte 5 e sottraendo ogni volta 2,5? A 10 C 8 B 10,5 D 7 40) Partendo da 2, aggiungendo 4 per tre volte e sottraendo ogni volta 5, quanto si ottiene? A 1 C 1 B 0 D 2 41) Elevando al cubo la radice quadrata di 4 e aggiungendo 8 al risultato, quanto si ottiene? A 0 C 1 B 12 D 4 42) Moltiplicando 4 per 2 per tre volte e dimezzando ogni volta il risultato, quanto si ottiene? A 8 C 4 B 6 D Parte Seconda Test logico-matematici

13 43) Estraendo la radice cubica di 125 e moltiplicando per 3, quanto si ottiene? A 5 C 25 B 12 D 15 44) Raddoppiando 3 per cinque volte e sottraendo 2 ogni volta, quanto si ottiene? A 34 C 25 B 13 D 11 45) La terza parte del quadrato della differenza tra 9 e 3 è: A 6 C 9 B 10 D 12 46) Il doppio della settima parte della somma tra 12 e il triplo di 3 è: A 7 C 6 B 2,5 D 5 47) Un quinto di un settimo della differenza tra 60 e il quadrato di 5 è: A 1 C 0 B 17,5 D 5 48) Il doppio della quinta parte della somma tra 9 e il triplo di 7 è: A 12 C 15,5 B 21 D 17 49) La differenza tra il triplo della metà di 18 e il quintuplo della quarta parte di 16 è: A 2 C 7 B 2 D 5 50) La terza parte della somma tra il cubo di 3 e il doppio della terza parte di 9 è: A Impossibile C 7 B 11 D 5 51) Un cappotto costa 619,74. Se il prezzo aumenta del 20%, quanto costeranno due cappotti? A 1.487,376 C 1.590,687 B 1.260,154 D 1.612,219 2 Test di verifica 281

14 52) Qual è il 50% di 1.600? A 160 C B 800 D ) Qual è il 75% di 800? A 50 C 600 B 750 D ) Uno scaffale contiene 66 libri. Se un terzo di essi è da riparare, quanti sono i libri integri? A 6,6 C 33 B 22 D 44 55) Se un operaio ha uno stipendio di 1.239,50 e viene applicata una ritenuta del 25%, quale sarà lo stipendio netto? A 929,625 C 991,597 B 1.084,55 D 1.015,50 56) Qual è il doppio del 25% di 900? A 225 C 90 B 450 D ) Qual è il 68% di 900? A 612 C 599 B 680 D ) 10 matite costano 0,51. Se il prezzo raddoppia, quanto costeranno 5 matite? A 0,25 C 1,02 B 0,51 D 0,35 59) 12 viti costano 1,16. Se il prezzo diminuisce di un terzo, quanto costeranno 8 viti? A 0,60 C 0,35 B 0,30 D 0,75 60) Un litro di vino costa 6,20. Se il prezzo aumenta del 15%, quanto costeranno 500 ml? A 7,12 C 3,56 B 5,11 D 4, Parte Seconda Test logico-matematici

15 Sostituire alle frecce i giusti segni aritmetici. 61) [7 (9 3)] 12 = 9 A, :, C,, : B +,, D +,, + 62) = A +, C, + B +, D, : 63) [(37 17) 9] 4 = 72 A,, + C, +, B +, :, D +,, 64) (9 16) 7 = 29 A +,, C,, + B,, D :,, + 65) ( 13 6) 14 = 8 A +, C :, + B, + D, 2 Test di verifica 283

16 Risposte al test 1) Risposta esatta: B Sono 361, 49 e ) Risposta esatta: A 24 Sia numeratore che denominatore sono numeri pari, quindi sono divisibili per 2: 144 = Anche 12 e 72 sono numeri pari, quindi: = 6. Puoi continuare a semplificare, dividendo numeratore 36 6 e denominatore per 2: 36 = e 18 sono divisibili per 3, quindi: 3 18 = ) Risposta esatta: D 4) Risposta esatta: D Prova a svolgere il calcolo, aggiungendo a 2,61 uno zero dopo l 1 (nei numeri decimali, aggiungendo degli zeri a destra dell ultima cifra decimale, non viene modificato il valore del numero), come mostrato di seguito: 2,610 0,032 = 2,578 5) Risposta esatta: D 6) Risposta esatta: B 7) Risposta esatta: A 93 non è un numero primo perché è divisibile per 3: sommandone le cifre, infatti, ottieni = 12 e 12 è un multiplo di 3. 8) Risposta esatta: D è divisibile per 2 (infatti è un numero pari), per 5 (infatti termina con 0), per 10 (infatti termina con almeno uno zero), per 25 (infatti termina con 50) etc. 9) Risposta esatta: A 49 è divisibile per 7 (49, infatti, è il quadrato di 7), mentre 87 è divisibile per 3 (se sommi le cifre di 87 ottieni = 15 e 15 è un multiplo di 3). 10) Risposta esatta: B Pensa al multiplo di 11 immediatamente più piccolo di 58, ovvero 55. Chiediti: quante unità ci sono tra 55 e 58? La risposta è 3 e 3 è il resto della divisione tra 58 e 11 (in alternativa al metodo esposto, dovresti svolgere la divisione). 284 Parte Seconda Test logico-matematici

17 11) Risposta esatta: A Un numero è divisibile per 11 quando la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari o viceversa è uguale a zero o ad un multiplo di 11. Nel caso di 3.476, ad esempio, la differenza tra la somma delle cifre di posto pari (4 + 6 = 10) e quella delle cifre di posto dispari (3 + 7 = 10) è appunto uguale a zero. 12) Risposta esatta: c Un numero è divisibile per 25 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre o se queste sono entrambe zero (es.: 125, 200, 225 etc.). 13) Risposta esatta: b Un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre o se queste sono entrambe zero (es.: 800, 644, 528 etc.). 14) Risposta esatta: d Un numero è divisibile per 9 se la somma delle cifre che lo compongono è multipla di 9 (es.: 873, 279, etc.). 15) Risposta esatta: c Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle cifre che lo compongono è un multiplo di 3 (es.: 321, 717, 936 etc.). 16) Risposta esatta: a-d Nella prima espressione dividere 7 per 1 significa in realtà moltiplicarlo per 7, cosicché = Nella quarta, invece, (15 15) = 0, quindi 8 0 = 0, sicché l espressione risulta uguale a 2. 17) Risposta esatta: c Sommando le cifre presenti nelle caselle del quadrato in senso orizzontale, verticale e obliquo, si nota che il risultato è sempre 15, cosicché il numero mancante è il 5. 18) Risposta esatta: a La spiegazione è analoga a quella fornita nella risposta precedente, con la differenza che, in questo caso, la somma delle cifre è sempre uguale a 34, cosicché i numeri mancanti possono essere solo 2 e ) Risposta esatta: a 20) Risposta esatta: b 21) Risposta esatta: c 22) Risposta esatta: d 23) Risposta esatta: b 24) Risposta esatta: d 2 Test di verifica 285

18 25) Risposta esatta: c 26) Risposta esatta: d 27) Risposta esatta: d 28) Risposta esatta: a 29) Risposta esatta: d Per risolvere il problema si indicano i due numeri con x e y, e si ha, in base ai dati: x + y = 75 x : y = 7 : 8 Per determinare i valori incogniti si applica la proprietà del comporre alla proporzione, e si ha: da cui: Pertanto i valori incogniti sono: 30) Risposta esatta: d (x + y) : x = (7 + 8) : 7 (x + y) : y = (7 + 8) : 8 75 : x = 15 : 7 75 : y = 15 : 8 x = = 35 e y = = 40 Indicando con x e y i valori incogniti, in base ai dati del problema si ha: x y = 72 x : y = 15 : 6 Applicando la proprietà dello scomporre alla proporzione si ha: da cui: Pertanto i valori incogniti sono: 31) Risposta esatta: b In base ai dati del problema si ha: x = (x y) : x = (15 6) : 15 (x y) : y = (15 6) : 6 72 : x = 9 : : y = 9 : 6 = 120 e y = 72 6 = 48 9 x : y = 5 : 3 x 2 + y 2 = 136 Elevando al quadrato i quattro membri della proporzione si ha: x 2 : y 2 = 25 : Parte Seconda Test logico-matematici

19 Applicando la proprietà del comporre si ha: ossia: da cui: (x 2 + y 2 ) : x 2 = (25 + 9) : : x 2 = 34 : 25 x 2 = = x = 100 = 10 finché, sostituendo il valore della x nella proporzione data, si ha: da cui: 32) Risposta esatta: d 33) Risposta esatta: a 34) Risposta esatta: b 35) Risposta esatta: b 36) Risposta esatta: b 37) Risposta esatta: D 38) Risposta esatta: b 39) Risposta esatta: c 40) Risposta esatta: a 41) Risposta esatta: a 42) Risposta esatta: c 43) Risposta esatta: d 44) Risposta esatta: a 45) Risposta esatta: D 46) Risposta esatta: c 47) Risposta esatta: a 10 : y = 5 : 3 y = 6 2 Test di verifica 287

20 48) Risposta esatta: a 49) Risposta esatta: c 50) Risposta esatta: b 51) Risposta esatta: a 52) Risposta esatta: b 53) Risposta esatta: c 54) Risposta esatta: D 55) Risposta esatta: a 56) Risposta esatta: b 57) Risposta esatta: a 58) Risposta esatta: b 59) Risposta esatta: a 60) Risposta esatta: c 61) Risposta esatta: a ( ) 7 9:3 12 = = = 9 62) Risposta esatta: b = = = ) Risposta esatta: b ( 37+17): 9 4 = 54 :3 4 = 18 4 = 72 64) Risposta esatta: b ( 9 16) 7 = ( 9 4 ) 7 = 36 7 = 29 65) Risposta esatta: d ( 13 6) 14 = = 64 = Parte Seconda Test logico-matematici