LA RICERCA OPERATIVA. Richiami storici

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1 LA RICERCA OPERATIVA La ricerca operativa si occupa delle tecniche e dei metodi che sono di supporto alle decisioni in campo economico ed organizzativo. La ricerca operativa ha lo scopo di individuare il migliore impiego delle varie risorse a disposizione (capitali, materie prime, mano d opera, tempi di lavoro, macchine, ecc..) nonché l utilità della produzione delle materie prime, la loro lavorazione e la possibilità di immissione sui differenti mercati dei prodotti ottenuti. In altre parole la ricerca operativa consente al dirigente aziendale di determinare la soluzione migliore, tra le tante che possono presentarsi per particolari problemi, affinché si possa operare efficientemente. La massima efficienza aziendale si realizza cercando di ottenere massimi ricavi e minimi costi (massima economicità), il migliore uso dei mezzi impiegati (massima produttività). La ricerca operativa fornisce gli strumenti matematici di supporto alle attività decisionali nei quali occorre gestire e coordinare attività e risorse limitate al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo e l insegnamento di questa disciplina è importante nei corsi di studio che mirano a formare figure con capacità manageriali. Richiami storici Le radici della ricerca operativa risalgono al secolo a.c. (Archimede), ma fu durante la prima rivoluzione industriale che si avvertì l esigenza di approfondirne gli studi. Successivamente, durante la seconda guerra mondiale, vennero creati in alcuni Paesi Alleati gruppi di ricerca orientati alla soluzione di importanti problemi di ordine strategico e tattico collegati alla difesa nazionale. Nel Regno Unito furono istituiti gruppi di ricerca formati da militari e scienziati per svolgere studi riguardanti l ottimizzazione della dislocazione delle risorse militari per la difesa dagli aerei e dai sommergibili tedeschi. Il loro lavoro divenne noto come Ricerca Operativa "Operational Research". I successi ottenuti in campo bellico da questi gruppi di ricerca determinò un vero progresso in questo campo. Al termine della seconda guerra mondiale le conoscenze acquisite e le nuove metodologie furono rivolte alla ricostruzione e quindi al mondo dell economia, dell industria e dei trasporti. Nei settori più propriamente civili, la ricerca operativa riprese tecniche note nel settore industriale, migliorandole ed arricchendole con l'uso di strumenti matematici e di conoscenze organizzative: si occupò della standardizzazione della produzione, di problemi connessi alla pianificazione e programmazione industriale. Nel Regno Unito, ad esempio, la riconversione avvenne prevalentemente nel settore pubblico, con studi relativi ai trasporti ferroviari, stradali ed urbani. La diffusione della ricerca operativa in Italia avvenne nella seconda metà degli anni 50 ad opera della Marina Militare grazie alla collaborazione con le Forze Armate statunitensi.

2 Fasi della ricerca operativa La ricerca operativa si attua attraverso cinque fasi:. Formulazione del problema. Raccolta dei dati. Costruzione del modello matematico 4. Ricerca di una soluzione 5. Controllo del modello e della soluzione. La formulazione del problema nella quale si determinano con precisione gli obiettivi da raggiungere, le variabili da prendere in esame e i vincoli che li determinano.. La raccolta dei dati per individuare le variabili del problema, i valori che si possono assumere e le eventuali relazioni esistenti fra esse.. La costruzione del modello matematico. un modello matematico è la rappresentazione astratta di una situazione reale espressa con simboli ed espressioni matematiche. Il modello matematico è costituito da: la FUNZIONE OBIETTIVO da massimizzare se esprime ricavi, profitti, vendite, ecc.., oppure da minimizzare se invece esprime costi, perdite, n macchinari, ecc.. z f x, x, x,..., x ) dove x, x, x,..., xn ( n indicano le variabili indipendenti dette variabili d azione o ammissibili o di decisione, di cui si dovranno determinare i rispettivi valori L insieme dei valori che possono essere assunti dalle variabili viene detto regione ammissibile o campo di scelta. Le variabili di solito sono legate tra di loro e devono sottostare a determinate limitazioni. le relazioni fra le variabili sono dette VINCOLI TECNICI i VINCOLI DI SEGNO come ad es.: 0 x ; x 0 ; x 0 ; Tutto ciò è rappresentato nel modello da equazioni e disequazioni. 4. La ricerca della soluzione Creato il modello matematico si cerca, se esiste, la soluzione ottimale o con i metodi della matematica classica o con i metodi di analisi numerica, oppure con tecniche di iterazione, partendo da una soluzione e cercando di migliorarla, oppure con simulazioni al computer. La soluzione ottima è un elemento della regione ammissibile che rende massima o minima la funzione obiettivo prefissata. 5. Controllo del modello e della soluzione Trovata la soluzione ottimale è necessario analizzarla e valutarla nel contesto reale. Bisogna verificare se il modello tecnico approssima abbastanza bene la realtà, se la soluzione produce davvero i benefici attesi ed eventualmente individuare gli opportuni adattamenti per la sua attuazione.

3 Esempio di problema Un panificio dispone di un forno con una capacità produttiva massima pari a 60 q. di pane alla settimana. Il fornaio, per la sua produzione, sostiene un costo fisso pari a 00 settimanali ed un costo variabile pari a 6 in funzione della quantità prodotta. Il prezzo di vendita è legato alla domanda secondo la seguente funzione di vendita: Determinare: p( q) 00 0, 8q A) la quantità che il fornaio deve produrre e vendere per ottenere il massimo guadagno. B) i limiti di produzione per non essere in perdita Soluzione Dal testo del problema ricaviamo i seguenti dati: Costi fissi = 00 alla settimana Costi variabili = 6 per quintale di pane prodotto Capacità produttiva massima = 6 quintali alla settimana C(q) = q R( q) p( q) q R( q) (00 0,8q) q 00q 0,8q U( q) R( q) C( q) U ( q) 00q 0,8q (00 6q) 0,8q 64q 00 Come si vede il guadagno è espresso da una funzione di grado che è rappresentata graficamente da parabola con il vertice nel punto 40;980 V che interseca l asse delle ascisse in q 5 e q 75

4 Costruzione del modello matematico Variabili del problema: x rappresenta il numero dei quintali di pane prodotti Funzione obiettivo: Z ( x ) 0, 8x 64x 00 che è soggetta ai vincoli tecnici e di segno: x 60 x 0 Soluzione del modello Area di perdita: 0 x 5 Punto di equilibrio economico tra costi e ricavi: x 5 Area di utile: 5 x 60 Quantità massima: x 40 Guadagno massimo: Z ( 40) 980 Limiti di produzione per non essere in perdita: 5 x 60 Problema di scelta tra più alternative Oltre i problemi in cui bisogna di determinare il massimo o il minimo di una funzione obiettivo, spesso è richiesto invece di determinare l opzione più conveniente in corrispondenza di specifici valori della variabile d azione. Esempio di problema di minimo Un azienda alimentare può inscatolare fino ad un massimo di q di mais ogni giorno in barattoli da 500 g ciascuno, per fare ciò può utilizzare tre diversi cicli produttivi che hanno gli stessi costi per unità di tempo e dei quali si ha che: il ciclo A impiega 0 secondi per preparare un barattolo ed ha tempi di preparazione iniziali di 60 minuti; il ciclo B impiega 5 secondi per preparare un barattolo ed ha tempi di preparazione iniziale di 0 minuti; il ciclo C impiega 0 secondi per preparare un barattolo ed ha tempi di preparazione iniziale di 5 minuti. Quale ciclo produttivo bisogna usare per avere il massimo rendimento? Soluzione Poiché i tre cicli produttivi hanno lo stesso costo per unità di tempo, il massimo rendimento si ottiene utilizzando il ciclo produttivo che richiede il minor tempo. In altre parole il tempo la grandezza che utilizziamo per confrontare i tre cicli produttivi. Costruzione del modello matematico Se indichiamo con: x la variabile d azione che esprime il numero di barattoli che si preparano Y la funzione obiettivo che esprime il tempo impiegato da ciascun ciclo per preparare ogni barattolo ( usiamo come unità di misura i minuti) 4

5 allora il tempo di ciascun ciclo produttivo è rappresentato dalle tre seguenti funzioni: Y a = x + 60 ciclo A 6 Y b = x + 0 ciclo B 4 Y c = x +5 ciclo C tutte sottoposte ai vincoli x 600 x 0 x modello matematico del problema Ricerca della soluzione Rappresentiamo sul piano cartesiano le tre funzioni che rappresentano le tre opzioni di scelta. Poiché le tre equazioni individuano graficamente delle rette, procediamo allo studio di ciascuna di esse: Y a = x x Y a Y b = x x Y b Y c = x +5 x Y c A (0;60) B (60;0) C (70;05) P (600;60) D (0;0) E (80;75) F (60;0) G (0;5) H (80;75) I (70;05) Rappresentiamo nel I quadrante le tre rette considerando i segmenti di ascisse esterne 0 e 600: 5

6 Soluzione del modello Per l azienda la scelta più conveniente è quella che comporta il minor tempo di utilizzo della macchina che prepara i barattoli. Come si può vedere dal grafico si ha che: se 0 x 80 è più conveniente il ciclo C se x 80 è indifferente o il ciclo B o il ciclo C se 80 x 60 è più conveniente il ciclo B se x = 60 è indifferente o il ciclo A o il ciclo B se 60 x 600 è più conveniente il ciclo A Conclusioni sulla soluzione del problema: La soluzione ottimale è evidenziata nel grafico dalla linea spezzata GEFP. 6

7 Classificazione dei problemi di scelta I problemi di natura economica che studieremo saranno tutti problemi di scelta o di decisione di questo tipo: Ad una variabile d azione Ad esempio: z f (x) A due o più variabili d azione Ad esempio: z f (x;y) oppure z f (x ; x ;...;x ) n Con variabili continue Con variabili discrete Se le variabili d azione possono assumere tutti i valori del loro intervallo di possibilità (infiniti valori) Se le variabili d azione possono assumere solo valori interi all interno dei loro intervalli di variabilità In condizioni di certezza In condizioni di incertezza Se i dati sono sicuri e fissi, frutto di indagini precise e la loro conseguenza è verificata a priori Se i dati dipendono da eventi casuali che hanno una certa probabilità di verificarsi Con effetti immediati Con effetti differiti Se il tempo che intercorre fra la decisione e la realizzazione non influisce sulle grandezze economiche in questione Se bisogna valutare il tempo che intercorre fra la decisione e l attuazione della scelta, come negli investimenti finanziari o industriali I problemi di cui si occupa la ricerca operativa possono essere così classificati: Problemi di R.O. In condizioni di certezza In condizioni di incertezza Effetti immediati Effetti differiti Effetti immediati Effetti differiti Problemi di max min (continui o discreti) ad una o due variabili Problemi sugli investimenti Finanziari e Industriali Problemi riguardanti le scorte Problemi di scelta tra due o più alternative Problemi di programmazione lineare 7