Ricerca Operativa. Esercizi proposti - II A B C D E

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1 Ricerca Operativa Esercizi proposti - II 1. Risolvere, con l algoritmo Ungherese, il seguente problema dell Assegnamento: A B C D E Risolvere, con l algoritmo Ungherese, il seguente problema dell Assegnamento: A B C D E Scrivere il modello in programmazione lineare del seguente problema. Una società di investimenti finanziari deve gestire un budget di 1GL. per conto di un cliente. Le alternative prese in considerazione sono fondi di investimento nazionali, fondi di investimento internazionali, buoni ordinari del tesoro, buoni ordinari comunali ed azioni immobiliari. I rendimenti annui e le valutazioni di rischio sono presentati nella tabella di seguito. titoli FIN FII BOT BOC AI rendimenti rischi Il cliente non vuole superare come rischio medio 6.5 e vuole garantirsi un rendimento annuo del 11.5%. L investimento deve durare 5 anni. I BOT ed i BOC sono tassati i primi due anni del 12.5%, mentre i 1

2 fondi di investimento sono tassati all ultimo anno del 25% (le azioni immobiliari sono esenti da tasse). Scrivere il PL per la formulazione di un piano di investimenti che massimizzi il rendimento globale alla fine dei cinque anni (la decisione presa all inizio non può essere modificata durante i cinque anni). 4. Scrivere il modello in programmazione lineare del seguente problema. Si consideri un territorio sul quale siano localizzati 7 punti di domanda (ad es.7 città) indicati in tabella con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Si considerino, inoltre, 5 punti di offerta indicati in tabella con A, B, C, D, E nei quali potrebbero essere aperti dei centri vendita di un impresa di distribuzione. Tale impresa è interessata a soddisfare la domanda sopramenzionata in modo tale che i clienti non percorrano più di 30 minuti di auto per raggiungere almeno uno dei centri vendita. In tabella, per ogni coppia di punti di domanda e di offerta, viene indicato il tempo auto necessario. L impresa ha inoltre fatto sapere che accetterà soluzioni che prevedano l attivazione del centro vendita B se è già attivo uno dei centri C o D. L apertura dei centri vendita costa rispettivamente (in miliardi di lire): A = 310, B = 250, C = 260, D = 330, E = 280. L obiettivo dell impresa è di minimizzare i costi di apertura dei centri vendita garantendo il fatto che che tutti i punti di domanda vengano serviti. A B C D E

3 5. Scrivere il modello in programmazione lineare del seguente problema. Un mobilificio possiede due stabilimenti: A e B. Nello stabilimento A vengono prodotti letti e armadi. I primi richiedono 0.2 m 3 di legno ed i secondi 0.6 m 3 di legno oltre a 3 e 5 ore di lavoro rispettivamente. Nello stabilimento B vengono prodotti tavoli e scrivanie che richiedono 0.3 e 0.5 m 3 di legno rispettivamente e 4 ore di lavoro ciascuno. La disponibilità di manodopera è di 4000 ore di lavoro mensili per stabilimento. Il legno è prodotto lontano dagli stabilimenti. La direzione centrale sa di avere mensilmente la disponibilità di unità di capacità di trasporto con i propri mezzi e che ogni m 3 di legno spedito allo stabilimento A assorbe 5 unità e ogni m 3 di legno spedito allo stabilimento B assorbe 3 unità. La direzione dispone questo mese di m 3 di legno. I costi unitari del legno sono di 1000 L./m 3 e per il trasporto di 2000 L. / unità di capacità. Sapendo che i prezzi unitari sono di L per i letti, di L per gli armadi, di L per i tavoli e di L per le scrivanie, si vuole determinare la produzione nel mese corrente, in modo da massimizzare il profitto. 6. Scrivere il modello in programmazione lineare del seguente problema. Una fabbrica di pasta possiede due stabilimenti: A e B. Nello stabilimento A vengono prodotti fusilli e rigatoni. I primi richiedono 0.2 kg. di grano per ogni chilo prodotto ed i secondi 0.6 kg. di grano oltre a 9 e 12 minuti di lavoro rispettivamente. Nello stabilimento B vengono prodotti maccheroni e penne che richiedono 0.3 e 0.5 kg. di grano rispettivamente per chilo prodotto e 10 minuti di lavoro ciascuno. La disponibilità di manodopera è di 1000 ore di lavoro mensili per stabilimento. Il grano è reperibile presso un consorzio agricolo a 10 km. dagli stabilimenti. La direzione centrale sa di avere mensilmente la disponibilità di unità di capacità di trasporto dal consorzio agli stabilimenti con i propri mezzi e che ogni Kg. di grano spedito allo stabilimento A assorbe 5 unità e ogni kg. di grano spedito allo stabilimento B assorbe 3 unità. Il consorzio dispone questo mese di Kg. di grano. I costi unitari del grano sono di 50 L./Kg. e per il trasporto di 2000 L. / unità di capacità. Sapendo che i profitti per kg. di prodotto sono di L. 500 per i fusilli, di L. 600 per i rigatoni, di L. 700 per i maccheroni e di L. 800 per le penne, si vuole ottimizzare la produzione nel mese corrente. 3

4 7. Scrivere il modello in programmazione lineare del seguente problema. Un azienda meccanica deve pianificare il lavoro delle sue tre macchine per un dato giorno. Si possono assegnare fino ad un massimo di otto lotti, ognuno dei quali ha i seguenti requisiti: lotto tempi (h) profitti (k$) Ogni macchina può lavorare 8 ore. Inoltre è possibile aggiungere al massimo 3 ore per macchina al costo aggiuntivo di $300 all ora. Si vuole identificare l assegnazione che massimizza il profitto. 8. Scrivere in forma standard il seguente modello di programmazione lineare: max 4x 1 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 x 1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4 5 2x 1 x 2 + x 3 6x 4 1 x 1 R x 2 R + x 3, x 4 R 9. Si risolva il seguente problema di programmazione lineare: min z = 9x 1 x 2 3x 1 + x 2 9 3x 1 + 2x 2 6 4

5 10. Si risolva il seguente problema di programmazione lineare: max z = x 1 + 3x 2 x 1 + x 2 6 x 1 + 2x Si risolva il seguente problema di programmazione lineare: min z = 4x 1 5x 2 + 3x 3 2x 4 x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 4 x 1 + x 2 2x 3 + 2x 4 = Si risolva il seguente problema di programmazione lineare: max 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 2 2x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 3 5

6 13. Si risolva il seguente problema di trasporto: min z = 4x 11 +3x 12 +4x 13 +8x 14 +5x 21 +5x 22 +2x 23 +5x 24 +6x 31 +2x 32 +6x 33 +3x 34 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 70 (1) x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 120 (2) x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 110 (3) x 11 + x 21 + x 31 = 130 (4) x 12 + x 22 + x 32 = 50 (5) x 13 + x 23 + x 33 = 20 (6) x 14 + x 24 + x 34 = 100 (7) x ij 0 i j (8) 14. Un bar deve rifornirsi di caffé per le prossime tre settimane. Secondo le previsioni sono necessari 100kg. per la prima, 120 kg per la seconda e 110 per la terza. Ci sono due fornitori. Il primo con capacità settimanale di 140kg. ed il secondo con capacità settimanale di 150kg. Il primo fornitore chiede 10$/kg la prima settimana, 12$/kg la seconda e 13$/kg la terza. Il secondo chiede 11$/kg la prima, 10$/kg la seconda e 9$/kg la terza. In caso di necessità è possibile fornirsi presso il mercato al costo di 20$/kg. Trovare la soluzione ottima per gli acquisti di caffé (ogni settimana non si può acquistare più caffé del necessario). 15. Trovare il cammino minimo tra il nodo 1 ed il nodo 6 del problema indicato in tabella utilizzando l algoritmo di Dijkstra

7 16. Si risolva con il metodo Branch and Bound il seguente problema di knapsack 0/1. min 7x 1 + 5x 2 + 9x x x 5 4x 1 + x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 6x 5 12 x i {0, 1} i 17. Si risolva il seguente problema di knapsack 0/1. max 6x x 2 + 8x x 4 5x 1 + 7x 2 + 4x 3 + 7x 4 17 x i {0, 1} i 7