MATEMATICA PER ECONOMIA, FINANZA E MANAGEMENT

Transcript

1 MATEMATICA PER ECONOMIA, FINANZA E MANAGEMENT Esercizi Applicazioni economiche. La domanda di un bene al variare del prezzo sia = 30 p, con 0 p 60 ; a) se la uantità offerta è = p 6, determinare il prezzo di euilibrio p * ; b) calcolare il ricavo R( p ) e verificare se è massimo per p = p *.. Si determini il prezzo e la uantitá di euilibrio per il seguente mercato 96 Qo( p) = p 3, Qd( p) =. p + 3. Un azienda produce un bene i cui costi totali sono C ( ) = , con a) Per uale valore di il costo medio è minimo? b) Se il prezzo unitario di vendita è p = 0 (costante), può l azienda raggiungere un profitto π () > 400? 4+ p 4. La domanda di un bene in funzione del prezzo sia ( p) =, con p > 0. p + Si determini per uali prezzi il ricavo R( p) è maggiore di I costi totali per produrre un bene, in un determinato periodo, sono dati dalla funzione se 0 < 60 C ( ) =, se a) Scrivere la funzione di costo medio Cm ( ) per 0 < 00; b) determinare per uali valori di il costo medio è inferiore a Un impresa, la cui massima produttività è 00, può produrre la sua merce utilizzando due linee, i cui costi di produzione sono rispettivamente C ( ) = per la prima linea, e C ( ) = 65 0 per la seconda. + G.B. MEFM-0097-eser-AppEcon

2 a) Determinare per uale uantità di merce prodotta è più conveniente la prima linea rispetto alla seconda. b) Se la merce viene venduta al prezzo p ( ) = 40, uanta merce occorre vendere 5 perché l impresa abbia un profitto superiore a 495, producendo ovviamente la merce con la linea più conveniente? 7. Un azienda produce un bene i cui costi totali, in funzione della uantità prodotta, sono C ( ) = , con Sapendo che il prezzo unitario di vendita è p( ) = 50, a) calcolare per uali valori di il profitto π () è positivo; b) calcolare il valore massimo del profitto; c) calcolare il prezzo unitario di vendita e il costo medio per i uali si ha massimo profitto. 8. Un'azienda produce un bene i cui costi sono dati da Sapendo che il ricavo è Cx ( ) e di R( x ); x+ 7 se 0 x 0 4 Cx ( ) =. 3 x+ se 0 x 3 4 R( x) = x + 4x, disegnare sullo stesso piano (x, y) il grafico di 8 a) stabilire, mediante un confronto grafico, per uali valori di x i ricavi eguagliano i costi; b) dedurre dal grafico per uali valori di x il profitto è positivo. 9. Il costo medio di produzione di un bene sia C ( ) 40 m = +, con > 0. a) Si scriva la funzione di costo C() ; b) sapendo che il prezzo di vendita del prodotto è p ( ) = + 0, si determini il valore massimo del profitto. 0. Una impresa può produrre utilizzando due diverse linee di produzione. Utilizzando la prima tecnologia, i costi fissi ammontano a e il costo unitario è di 400, mentre con la seconda tecnologia i prezzi fissi scendono a mentre il costo unitario sale a 500. G.B. MEFM-0097-eser-AppEcon

3 Determinare il punto di inversione della convenienza per la produzione dell'impresa. Un gestore telefonico offre le seguenti opzioni per l'accesso ad Internet: a) Opzione Free: 0.0 per minuto di connessione; b) Opzione 0 Ore: 5.00 di spese fisse al mese e O. 0 per minuto di connessione oltre le 0 ore mensili; c) Opzione Flat: di spese fisse al mese e nessuna spesa di connessione. Determinare uali siano le durate di connessione mensile per cui sia vantaggiosa ciascuna delle opzioni. 3 G.B. MEFM-0097-eser-AppEcon

4 Soluzioni e/o risultati. a) d = o 30 p = p 6 p* = 4. b) R( p) p = 30 p = 30 p p ; il ricavo è massimo in corrispondenza del vertice della parabola, cioè p = 30; uindi p * non è il prezzo di massimo ricavo.. Q d = Q o 96 = p + p 3 p = 00 ( p> 0) p = 0, a cui corrisponde Q = C ( ) = , con a) Il costo medio è Cm ( ) = + 5 ( 0), decrescente al crescere di, pertanto il valore minimo del costo medio si ha per = 450. b) Il profitto è π ( ) = = ; π ( ) > > 400 > 480, limitazione incompatibile con la capacità produttiva dell azienda ( 450 ), uindi la risposta è no. 4. 4p+ p R( p) = p = ; R > 0 p < p < se 0 60 C ( ) + < 5. a) La funzione di costo medio è: Cm ( ) = = se b) per 0 < 60 : Cm ( ) = 0 + < 0 > 64, non accettabili; 000 per 60 < 00 : Cm ( ) = 4 + < 0 > 6,5, accettabili. in conclusione Cm ( ) < 0 per 6,5 < G.B. MEFM-0097-eser-AppEcon

5 6. a) C ( ) < C( ) < > 375 > 6, < < 6,5 b) La funzione costo è C( ) =, uindi il profitto è , < < 6, < < 6,5 5 π ( ) = 40 = , , Deve essere π ( ) > 495: per 0 < < 6,5 : < 0 70 < < 80 valori non accettabili ; per 6,5 00 : < < 5. Il profitto è maggiore di 495 per 65 < Il profitto è π ( ) = ; a) π ( ) > 0 per < 0 0 < < 80; b) la funzione profitto è una parabola nel cui vertice il profitto assume il valore massimo: max π ( ) = π (45) = 6,5. c) 400 p (45) = 7,5 ; il costo medio è Cm( ) = 5 + ( 0), Cm(45) 3, y 3 7 a 0 b 3 x C(0) = 7, C(0) = 9,5, C(3) = 6. R(0) = R(3) = 0, R(0) = 7,5 l'ordinata del vertice è : R(6) = 3 a) I ricavi uguagliano i costi per due valori : x = a,86 3 e x = b. 5,37 5 b) π ( x ) > 0 R( x) > C( x) : il profitto è positivo per 3< x < 5 ( ) a) La funzione costo è C = + con > 0. b) π ( ) = R( ) C( ) = + 0 ( 40 + ) = Il vertice della parabola ha l ascissa 8, per cui il valore massimo del profitto π 8 =. = ( ) 5 G.B. MEFM-0097-eser-AppEcon

6 0. I costi relativi alla prima tecnologia sono ( ) seconda tecnologia sono C ( ) = + = C = , mentre i costi relativi alla. Il punto di inversione della convenienza è. Misurando il tempo in minuti, il costo della opzione Free è dato da ( ) C t = 0.0t, il costo della 5 per 0 < t 00 opzione 0 Ore è dato da C () t =, mentre il costo della opzione 0.0t+ 3 per t > 00 Flat è dato da C3 () t = 50. L opzione Free è conveniente fino a h e 40 m mensili, l opzione 0 Ore tra h e 40 m e 6 h e 40 m mensili, mentre l opzione Flat è più conveniente oltre 6 h e 40 m mensili. 6 G.B. MEFM-0097-eser-AppEcon