Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia

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1 Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia La diversità tra gli agenti economici è alla base della nascita dell attività economica e, in generale, lo scambio di beni e servizi ha per effetto l innalzamento del livello di benessere di ciascuno dei partecipanti. Il migliore meccanismo di scambio è quello che rende massimo il guadagno totale. In generale ciò che influisce sulla domanda di un bene non è solo il prezzo ma sono anche le preferenze dell'acquirente. Queste non si possono misurare ma si possono prevedere analizzando i comportamenti in un arco di tempo (utilizzando, come vedremo, metodi statistici). In molti scambi, da un lato dello scambio troviamo l impresa e non un individuo. In un certo senso una impresa è diversa da un individuo, per il fatto che ad una impresa è associato un processo di trasformazione, l impresa acquista gli input (cioè i fattori produttivi) e li trasforma, mediante un processo produttivo in output e quindi li vende. Se vogliamo, nel processo produttivo, ciò che per l'individuo è rappresentato dalle preferenze, per l'impresa sono le tecnologie. Prendiamo ora in esame i due diversi punti di vista (consumatore-impresa) e analizziamone analogie e differenze. Punto di vista del consumatore La funzione di utilità è definita da: = f, (1) e rappresenta l'utilità del consumatore nel procurarsi i due beni e, con 0 e 0. Ne esistono diversi tipi nella teoria economica: -Funzione lineare = -Funzione di secondo grado = 2 e diversi altri tipi, ma le più utilizzate sono la - Funzione di Cobb-Douglas =x a 1 x 1 a 2 con 0 a 1 - Funzione di Stone-Geary = s 1 a s 2 1 a con 0 a 1 che differisce dalla precedente in quanto l'individuo fissa il suo livello minimo di sussistenza per i due beni, indicati rispettivamente con s 1 e s 2. Dal punto di vista matematico la funzione di Utilità è funzione delle due variabili e, con 0e 0 della quale è possibile tracciare le linee di livello. 1 Tali linee di livello prendono il nome di Curve di indifferenza e che si ottengono ponendo =costante (2) La nuova ipotesi di lavoro è che l individuo detenga il proprio reddito in forma di moneta. La quantità di moneta detenuta dall individuo è indicata con B e non dipende dai prezzi. Il vincolo di bilancio è definito dalla seguente equazione: B= p 1 p 2 (3) ove p 1 e p 2 sono i prezzi unitari dei prodotti e e B è il suo bilancio (reddito). Il problema dell'utilità del consumatore con il vincolo del bilancio è un problema di massimo vincolato per funzioni di due variabili ove la (1) è la funzione da massimizzare e l'equazione (3) è quella del vincolo. A seconda del tipo di funzione il problema può essere risolto mediante metodo grafico o algebrico. 2 1 Esercitazione di laboratorio sulle curve di indifferenza 2 Vedere gli esempi 1 pag 137 del libro ed esempio 2 pag 139 del libro di testo. Esercizi dal n 34 al n 43 a pag.644 e

2 Definiamo utilità marginali le derivate parziali della funzione(1) fatte rispetto a ciascuna variabile U cioè, U mentre si chiamano utilità marginali ponderate i quozienti tra le utilità marginali di una bene ed il prezzo di quel bene. Si ha il seguente teorema1 noto in economia come il : Teorema del livellamento delle utilità marginali ponderate: Per avere il massimo utile il consumatore deve distribuire il suo bilancio in modo che per ogni bene risultino uguali le utilità marginali ponderate. Dimostrazione: Consideriamo il problema del massimo utile del consumatore con il vincolo del bilancio come problema di massimo in due variabili da risolvere con il metodo di Lagrange; si deve massimizzare la funzione Z,, = f, p 1 p 2 B (4) risolvendo il sistema delle derivate parziali prime uguali a zero: f ' x1 p 1 =0 f ' x2 p 2 =0 si ottiene f ' x1 p 1 = f ' p 2. Punto di vista dell'impresa L impresa è un istituzione che ha la funzione di acquisire beni sul mercato (fattori produttivi o input) e utilizzarli in un processo produttivo al fine di trasformarli in un prodotto finito (output) da mettere a disposizione del mercato. Pertanto, le attività primarie dell impresa sono: l acquisizione degli input, la trasformazione degli input in output e la vendita dell output ai consumatori. Anche se nel mondo reale ciascuna impresa impiega molti input nel proprio processo produttivo e porta sul mercato più di un output, la teoria economica della produzione analizza il comportamento di un impresa tipica che trasforma due soli input in un unico output. E questa un ipotesi che rende più agevole l analisi, ma i risultati ottenuti sono facilmente generalizzabili. La funzione di produzione L impresa tipica trasforma due fattori di produzione in un unico output. Assumiamo che i due fattori di produzione siano gli input 1 e 2, impiegati dall impresa in quantità pari a q1 e q2 per produrre l output z. Assumiamo inoltre che entrambi gli input siano fattori di produzione in senso stretto: l impresa ottiene un output crescente all aumentare dell impiego di ciascuno dei due input. Determinante è la considerazione del processo produttivo che consente all impresa di trasformare i due input in output. In generale, tale processo produttivo viene descritto da una funzione di produzione definita da: z= f q 1, con q 1 0 e 0 (5) dove f(.) è una funzione crescente in entrambi i suoi argomenti. La funzione di produzione è una funzione di due variabili e come per la funzione di utilità ne esistono di diversi tipi: -Funzione lineare: z=q 1 -Funzione di secondo grado: z= q del libro.

3 -Funzione di Cobb-Douglas generalizzata: z= A q a 1 q b 2 con 0 a 1e 0 b 1 dove A è una costante positiva che dipende dal livello tecnologico dell'azienda. Uno degli aspetti della funzione di produzione che interessa l'impresa è quello dei rendimenti di scala che analizzano la relazione tra il livello di impiego dei fattori di produzione e il volume dell output, cioè cosa avviene quando variano le quantità dei due input impiegati nel processo produttivo. Ad esempio, che effetto ha sulla produzione un incremento delle quantità dei due input da (q1, q2) a (sq1, sq2), dove s è una costante positiva? Naturalmente, l output aumenta da f(q1,q2) a f(sq1, sq2). Il problema però è verificare se l incremento dell output sia proporzionale all incremento degli input. In altri termini, è necessario verificare se: f(sq1, sq2) è maggiore, uguale o minore sf(q1,q2). In matematica questa proprietà si può formalizzare così: s s f q 1, si dice che i rendimenti di scala sono decrescenti s s f q 1, si dice che i rendimenti di scala sono crescenti, s =s f q 1, si dice che i rendimenti di scala sono costanti ed in tal caso la funzione f si dice omogenea di 1 grado. 3 La funzione di produzione ha come linee di livello curve che prendono il nome di isoquanti: una curva disegnata nello spazio dei punti (q1, q2) che rappresenta il luogo delle combinazioni di input che producono lo stesso livello di output : f q 1, =costante (6) Supponiamo ora di trovarci nel breve periodo e che i due fattori utilizzati dall'impresa in input siano L, la quantità totale di lavoro, e K il capitale utilizzato; indicando con Q la quantità prodotta la funzione di produzione diventa allora del tipo: e indichiamo con K Q=f(K,L) (7) il prodotto marginale del capitale cioè la variazione della quantità per una variazione unitaria del capitale e con il prodotto marginale del lavoro cioè la variazione L della quantità per una variazione unitaria del lavoro. Se indichiamo con w il costo unitario del lavoro e con r il costo unitario del capitale definiamo Costo totale dell'impresa la funzione C=wL rk (7) Anche la funzione costo, come funzione di due variabili ammette come linee di livello quelle curve (in genere delle rette) che rappresentano le possibili combinazioni di capitale e lavoro che lasciano invariato il costo totale per l'azienda e prendono il nome di isocosti e si traducono nella condizione: C 0 =wl rk (8). Si possono presentare due tipi di problemi di applicazione della teoria dei massimi e minimi per funzioni di due variabili: 1.Determinare la combinazione di capitale e lavoro che rende minimo il costo totale mediante il vincolo della funzione di produzione 4 [ con il metodo delle linee di livello si hanno gli isocosti (8)]; 2.Determinare la combinazione di capitale e lavoro che rende massima la produzione con il vincolo 3 Esercitazione di laboratorio sui rendimenti di scala. 4 Pag. 141 del testo

4 del costo 5 [con il metodo delle linee di livello si hanno gli isoquanti(6). 6 Si definisce prodotto marginale ponderato il quoziente tra il prodotto marginale e il costo di quel fattore, nel nostro caso prodotto marginale ponderato del lavoro= L w e prodotto marginale ponderato del capitale= K. r Valgono i due seguenti teoremi che lascio da dimostrare ai lettori applicando la metodologia utilizzata in precedenza nel teorema1e che vanno sotto il nome di Teorema del livellamento delle produttività marginali ponderate: Teorema2: Il costo totale di produzione è minimo se le produttività marginali ponderate dei diversi fattori di produzione sono uguali 7. Teorema3:La produttività risulta massima se le produttività marginali ponderate dei diversi fattori di produzione sono uguali 8. La funzione Utile Come nel caso di problemi in una variabile la funzione utile che indicheremo con q 1, è la dufferenza tra il Ricavo totale (R) ed il costo totale (C): q 1, =R - C (9) e assume forme diverse a seconda di come si calcolano C ed R, in particolare per quest'ultimo : 1)Regime di concorrenza perfetta : un'impresa produce due beni q 1 e e li vende ai prezzi p 1 e p 2 che sono fissi e non dipendono dalla quantità, quindi: quindi la funzione Utile è: R=q 1 p 1 p 2 (10) q 1, =q 1 p 1 p 2 C q 1, (11) 2)Regime di monopolio: in questo caso i prezzi non sono costanti ma dipendono dalla funzione di domanda dei due prodotti. Si può definire in questo caso il concetto di beni complementari, cioè tali che l'aumento di prezzo di uno dei due faccia diminuire anche la domanda dell'altro ( ad es. benzina e automobili)oppure di beni surrogati cioè tali che l'aumento di prezzo di uno dei due faccia aumentare la domanda dell'altro (es. olio d'oliva e olio di semi vari) 9. 3)Un'azienda che vende lo stesso prodotto in due mercati diversi: si devono determinare le quantità q 1 e dello stesso prodotto tenendo conto che le leggi della domanda, e quindi i prezzi, dei due mercati possono essere diverse. In ogni caso le quantità dei due prodotti devono essere tali che: q 1 =q (12) dove q è la quantità complessiva. 10 In ognuno di questi casi si applica la teoria sui massimi e minimi per funzioni di due variabili. 5 Pag.144 del testo 6 Esercizi dal n 44 al 54 a pag. 647 e 648 del libro 7 Pag.142 del libro di testo 8 Pag. 144 del libro di testo 9 Vedere il concetto sulle elasticità parziali a pag. 130 paragrafo 3 del libro di testo 10 Vedere l'esempio 3 di pag. 135 del libro di testo

5 Riporto nella tabella seguente in parallelo le diverse funzioni trattate sia dalla parte del consumatore che dell'impresa: Consumatore Impresa Funzione di Utilità (1) Funzione di produzione (5) Curve di indifferenza (2) Isoquanti (6) Utilità marginali Prodotto marginale del Lavoro Prodotto marginale del Capitale Vincolo del Bilancio (3) Costo totale dell'impresa (7)- Isocosti (8) Problema del massimo utile con vincolo del bilancio (Teorema1) Problema del minimo Costo con il vincolo di produzione (Teorema2) Problema della massima Quantità prodotta con il vincolo del Costo (Teorema3) Bibliografia: 1. John D. Hey (McGraw-Hill 2003), Intermediate Microeconomics: People are different, traduzione italiana a cura di Daniela di Cogno e Marco Spallone. 2. A.Gambotto Manzone, B.Consolini, Conoscere e applicare la matematica, testo in adozione, ed Tramontana, vol A. Scalzo(1986), Elementi di Economia politica,petrini ed.