Richiami essenziali dei modelli di utilità scontata e attesa

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1 Richiami essenziali dei modelli di utilità scontata e attesa Utilità scontata (US) attiene alla scelta/allocazione tra oggi e domani (i.e. risparmio ottimo). Elemento psicologico: propensione alla parsimonia. Tasso di sconto intertemporale soggettivo ( è il tasso che l agente usa per attualizzare l US. Dipende dalla psicologia (propensione alla parsimonia) Utilità attesa (UA) attiene alla scelta/allocazione tra rischio e certezza (i.e. portafoglio ottimo). Elemento psicologico: propensione al rischio. Variabile casuale variabile che assume uno tra un certo numero di valori ciascuno caratterizzato da una certa probabilità. Lotteria è una variabile casuale i cui valori sono somme monetarie. Una lotteria si dice equa se il suo valore monetario atteso è pari al costo di partecipazione. Valore atteso (VA o EV) di una lotteria è il valore che in media ci si aspetta di vincere e si calcola come media ponderata dei diversi valori, con pesi dati dalle corrispondenti probabilità. Non dipende dalla psicologia dell agente e, graficamente, è una retta che va confrontata con la curvatura della funzione di utilità (che dipende dalla psicologia). Funzione di utilità ci dice quale livello(=numero) di utilità corrisponde al possesso di ogni possibile somma monetaria. Nel modello dell UA l utilità è una variabile casuale e dipende anche dalla psicologia (propensione al rischio). Massimizzando: l agente vuole il massimo dell UA, non del reddito/consumo. M. Bovi Pag. 1

2 Propensione al rischio è l elemento psicologico che piega la funzione di utilità. Equivalente certo (EC o ce) è quel valore, certo, che rende l agente indifferente tra il partecipare o meno alla lotteria. Dipende dalla psicologia dell agente: per dato VA, maggiore avversione => minore EC (=> maggiore PR). Premio per il rischio = PR = VA EC. Pertanto, il PR è il risultato del confronto tra elementi oggettivi (VA) e soggettivi (EC). In termini di utilità: PR=VA-U(VA); Avverso al rischio: U(VA)>VA; VA>EC => PR>0. Se deve scegliere tra una lotteria ½200+½0 e un reddito certo di 100, pur matematicamente equivalenti, sceglie 100. Paga per non rischiare. Neutrale al rischio: U(VA)=VA; VA=EC => PR=0. Per lui il rischio non conta nulla. Amante del rischio: U(VA)<VA; VA<EC => PR<0. Paga per rischiare. Entrambi i modelli qui richiamati - utilità scontata e utilità attesa assumono che l individuo studiato sia walrasiano. M. Bovi Pag. 2

3 Utilità Scontata ESERCIZIO 1 L'agente vive due periodi (t, t+1) e ha: m t = m t+1 = reddito = 10, x=consumo, preferenze=lnx t + lnx t+1, <1 r=tasso di interesse Domande: i) Scrivete il problema di massimizzazione dell'agente e le condizioni del primo ordine (FOC) ii) Supponiamo che non esistano mercati finanziari, i.e., l'agente non può risparmiare/prendere a prestito: Scrivete il vincolo di bilancio. iii) Con inflazione nulla, il tasso di interesse r è reale o nominale? M. Bovi Pag. 3

4 SOLUZIONI i) Scriviamo il vincolo di bilancio Insieme alle preferenze, il vincolo ci dà il lagrangiano: da cui le FOC (=le derivate di tutti gli argomenti del lagrangiano uguali a zero) M. Bovi Pag. 4

5 ii) Non potendo risparmiare, s=0 e quindi l'agente è costretto a consumare quanto guadagna in ogni periodo (i.e. 10): Notate che, come atteso, x t = x t+1 = 10 iii) Con inflazione nulla, i tassi reali e nominali coincidono. M. Bovi Pag. 5

6 ESERCIZIO 2 Tizio deve decidere cosa fare da grande e ha le seguenti preferenze: U(X)=X. Ha di fronte a sé tre periodi (studio, lavoro, pensione) e due scelte di vita : essere un atleta professionista o un professore. Tizio sa che: come professore ha una borsa di studio di , poi lavora e guadagna , infine va in pensione con come atleta deve pagarsi gli allenamenti: Poi gioca e guadagna ; poi va in pensione con (es: pur guadagnando di più ha meno tempo per versare i contributi) A) Quale carriera sceglierà se il suo tasso di sconto intertemporale, è 25%? B) Cambierebbe scelta se avesse =5%? Se cambia, perché lo fa? M. Bovi Pag. 6

7 SOLUZIONE A) US prof = /(1.25) /(1.25)^2 = US atleta = /(1.25) /(1.25)^2 = Sceglierà la carriera sportiva. B) US prof = /(1.05) /(1.05)^2 = US atleta = /(1.05) /(1.05)^2 = Sceglierà la carriera accademica poiché con =5% invece di 25% l agente è meno impaziente (maggiore è, maggiore è il peso dato al presente). E chiaro perché uno che punta più sul cervello che sul fisico è meno impaziente? M. Bovi Pag. 7

8 UTILITA ATTESA ESERCIZIO 1 Tizio ha una funzione di utilità u=1000x 1/2, dove x è il reddito. Egli può effettuare un investimento che produce un reddito pari a 60 con probabilità ½ e pari a 400 con probabilità ½. a) Dopo averne dato la definizione, si determini il valore dell Equivalente Certo (EC) del reddito incerto di Tizio. b) Dopo averne dato la definizione, si determini il valore del Premio per il Rischio (PR) di Tizio. NB. CHIAMERO IN MODI DISPARATI, MA EQUIVALENTI, LE VARIABILI IN GIOCO. PER ESEMPIO, VALORE ATTESO=VA=EV; UTILITA ATTESA=UA=EU; ECC E=expected. E PER AUMENTARE LA VOSTRA ELASTICITA MENTALE M. Bovi Pag. 8

9 SOLUZIONE a) L Equivalente Certo (EC) è la somma di denaro che dà a Tizio un utilità pari all utilità attesa (EU) del reddito incerto. Si deve avere, cioè: U(EC) = EU. Dunque: EU = ½[1000(60) 1/2 ] + ½ [1000(400) 1/2 ] = 3.872, = ,5 (utilità attesa) U(EC) = 1000(EC) 1/2 ; EU = 1000(EC) 1/2 = ,5 Qual è quella somma EC che inserita in U(EC) = 1000(EC) 1/2 mi dà una EU =13.872,5? EC = (13,8725) 2 = 192,44 (=somma certa che mi dà la stessa utilità attesa della lotteria) b) Il Premio al Rischio è la differenza tra il valore atteso (VA) di un reddito incerto e il suo EC; cioè è la somma di denaro con cui si deve compensare un individuo per indurlo ad accettare un reddito incerto al posto di uno certo. PR = VA EC VA = ½(60) + ½(400) = = 230 PR = ,44 = 37,56 M. Bovi Pag. 9

10 ESERCIZIO 2 Un agente la cui funzione di utilità è 100x 0,3 (x è il reddito) può scegliere tra due diversi investimenti, S e T. Da S può ottenere, sostenendo un costo di 20, un reddito lordo pari a 40 oppure pari ad 80, ciascuno con probabilità ½. Da T può ottenere, con un costo pari a 12, un reddito lordo pari a 20 oppure pari a 100 ciascuno con probabilità ½. 2.1) Quale dei due progetti presenta l utilità attesa più elevata? 2.2) Determinare il valore dell equivalente certo dell investimento scelto dall agente. M. Bovi Pag. 10

11 SOLUZIONE 2.1) Il reddito netto dei due progetti: S1=40-20=20; S2=80-20=60; T1= 20-12=8; T2=100-12=88. Trasformiamo il reddito atteso in utilità attesa (prima si calcola l esponenziale): EU S = ½ [100(20) 0,3 ]+ ½ [100(60) 0,3 ]= ½(245,6)+ ½ (341,5)=293,55 EU T = 1/2 [100(8) 0,3 ]+ ½ [100(88) 0,3 ]= ½ 186,6 + ½ 383,1 =284,85 Verrà scelto il progetto S poiché presenta l utilità attesa più elevata. 2.2) Definizione di EC: U(EC S )=EU S Valore di EC: EC S =293,55 100(EC S ) 0,3 =293,55 EC S =36,22 = valore dell equivalente certo dell investimento dell agente M. Bovi Pag. 11

12 ESERCIZIO 3 L agente ha una funzione di utilità pari a U(X) = X 1/2. Ci sono due possibili stati del mondo equiprobabili. Il primo comporta per l agente un reddito pari a 16. Il secondo un reddito pari a Determinare l utilità attesa (EU) e il valore atteso (EV) della scommessa. 3.2 Determinare sia analiticamente che graficamente la propensione dell agente rispetto al rischio. M. Bovi Pag. 12

13 SOLUZIONE 3.1) EU = ½U(16) + ½U(64) = = ½ ½ = 6 EV = ½16 + ½64 = ) Analiticamente: L agente è avverso al rischio U poiché U > 0 e U <0. Più esplicitamente: U = U = -0.25X -1.5 Graficamente: La funzione di utilità è una radice quadrata che è una funzione concava che genera CI convesse. L andamento del SMS di CI convesse è compatibile con il comportamento di una persona avversa al rischio. M. Bovi Pag. 13

14 ESERCIZIO 4 Ad uno studente di Economia viene chiesto di decidere se partecipare ad un Corso di Perfezionamento dal quale può successivamente ottenere un reddito (X) di 20 con probabilità 1/5 e una perdita di 6 con probabilità 4/5. Lo studente partecipa solo se il Corso è una scommessa equa : parteciperà? M. Bovi Pag. 14

15 SOLUZIONE Il reddito atteso derivante dall operazione è: E(X) = 4/5*(-6) + 1/5*20 = -4/5 La scommessa è quindi iniqua (il valore atteso è negativo). Lo studente (walrasiano) non parteciperà. Sappiamo che molti studenti e, in generale, molte persone non fanno questo genere di conti. Approfondiremo in altre lezioni. M. Bovi Pag. 15

16 ESERCIZIO 5 Un concorrente del programma Affari tuoi ha di fronte la possibilità di vincere 500 mila euro oppure 10 mila euro (in assenza di altre informazioni si può supporre che la probabilità di ciascun esito sia pari a 0.5). In alternativa alla continuazione del gioco, al concorrente è offerta una somma di 100 mila euro con certezza. Calcolate: 5.1) il valore atteso di continuare a giocare 5.2) la scelta che farebbe un giocatore neutrale al rischio (spiegando il perché) 5.3) la scelta che farebbe un giocatore con una funzione di utilità U = X ) il valore minimo che quest ultimo giocatore sarebbe disposto ad accettare invece di continuare a giocare. M. Bovi Pag. 16

17 SOLUZIONE (separatore decimale è il punto, la virgola separa le migliaia) 5.1) VA di continuare a giocare: E(X) = 0.5*500, *10,000 = 255, ) Un individuo neutrale al rischio sceglierebbe di continuare a giocare poiché il relativo valore atteso (255,000) è maggiore della somma offerta per fermarsi (100,000). 5.3) L utilità attesa per un giocatore con utilità U = X 0.5 è: UA(X) = 0.5*500, *10, = 403,553 L utilità di accettare 100,000 è invece: UA(X) = = 316,228 Nonostante l avversione al rischio il giocatore preferisce continuare a giocare poiché, in termini di utilità, l offerta è inferiore al valore atteso. L avverso è prudente, non irrazionale. Però, se il concorrente fosse particolarmente prudente, allora avrebbe una funzione di utilità particolarmente concava e allora il rischio avrebbe il sopravvento sull opportunità. 5.4) Il valore minimo che il giocatore è disposto ad accettare è quello che gli garantisce la stessa utilità di continuare a giocare (i.e., l equivalente certo): C 0.5 = 403,553 => C =162,855 Dunque, il giocatore avverso è indifferente tra una offerta di 162,855 euro certi e continuare a giocare. Per farlo giocare gli devono offrire più di 162,855 euro. M. Bovi Pag. 17

18 ESERCIZIO 6 Ci sono due possibili stati del mondo equiprobabili Nel primo l agente ha un reddito pari a X1 = 144; Nel secondo l agente ha un reddito pari a X2 = 36. Una compagnia assicuratrice è disposta ad assicurare il soggetto contro il rischio di una possibile perdita economica = d = X1 X2 = 108 e propone il seguente contratto: La compagnia rimborserà l agente se si verifica lo stato 2 (i.e. pagherà d) e in cambio il soggetto pagherà un premio assicurativo p=60 qualunque sia lo stato del mondo. Rispondere alle seguenti questioni: 6.1) Qual è la prospettiva corrispondente al contratto offerto dalla compagnia e la prospettiva in assenza di assicurazione? 6.2) Se il soggetto è neutrale al rischio, accetterà o rifiuterà il contratto? 6.3) Se la funzione di utilità di VNM del soggetto è U =X 0.5, quale sarà la sua decisione? 6.4) Definire e calcolare il premio assicurativo attuarialmente equo. Stabilire, inoltre, se il soggetto è disposto ad accettare questo nuovo contratto. M. Bovi Pag. 18

19 SOLUZIONI 6.1 Senza assicurazione EV = ½144 + ½36 = 90 Con assicurazione EV = ½ (144 p) + ½ (36 p + d) = ½ (84) + ½ (84) = 84 Assicurandosi, indipendentemente dallo stato del mondo per il soggetto non c è rischio sul reddito futuro. Ma, ovviamente, il reddito atteso è minore: la certezza non è gratis. 6.2 Se il soggetto è neutrale al rischio allora ordinerà le prospettive in base al valore atteso (e non all EU). Poiché il EV è maggiore senza assicurazione, l agente preferisce non assicurarsi. 6.3 L agente ha una utilità attesa pari a: senza assicurazione, EU = ½U(144) + ½U(36) = 9 con assicurazione, EU = ½U(144 p) + ½U(36 p + d) = = 9.16 Dato che 9.16 > 9 l agente accetterà il contratto assicurativo. Tale scelta è coerente con il fatto che dalla concavità della funzione di utilità sappiamo che l agente è avverso al rischio. 6.4 Un contratto assicurativo è attuarialmente equo se il premio assicurativo (p) è uguale all indennità attesa. L indennità attesa che l assicurazione pagherà è ½108 + ½0 = 54 => Il premio attuarialmente equo è p=54 (<60 poiché l Assicurazione non è una onlus) Se è neutrale al rischio l agente è indifferente tra effettuare o non effettuare l assicurazione perché le due prospettive hanno lo stesso valore atteso: Senza assicurazione EV = ½144 + ½36 = 90 Con assicurazione EV = ½ (144 54) + ½ ( ) = 90 Se è avverso al rischio, per definizione preferisce un reddito certo pari al valore atteso della prospettiva stessa. Quindi accetterà il contratto. M. Bovi Pag. 19

20 ESERCIZIO 7 Tizio e Caio devono capire se fare un investimento che rende: 100 con probabilità=0.5 0 con probabilità=0.5 Essi hanno le seguenti funzioni di utilità (reddito=x): U T = X U C = X ) Dovessero decidere di comprare, quale è la commissione massima che questi agenti sono disposti a pagare al broker? 7.2) Qual è il premio per il rischio richiesto dai nostri agenti? M. Bovi Pag. 20

21 SOLUZIONE 7.1) Si tratta di trovare l equivalente certo. Infatti, il prezzo massimo che i due agenti sono disposti a pagare è quello che gli rende indifferente l atto di investire o meno. Ovvero, bisogna trovare quel prezzo per il quale investire o meno fa rimanere gli agenti con la medesima utilità. Quindi: Utilità Attesa (EU) per: Tizio: EU T (X) = ½U(100) + ½U(0) = ½100 + ½0 = 50 Caio: EU C (X) = ½U(100) + ½U(0) = ½(100) ½U(0) 0.5 = 5 Equivalente Certo (qui chiamato y) per: Tizio: U T (y) = EU T (X) = 50; y T = 50 Caio: U C (y) = EU(X) = 5; y 0.5 = 5 => y C = 25 Dunque, - Per Tizio l equivalente certo (pari a 50) è uguale al valore atteso dell investimento: y T = E(X)= ½100 + ½0 = 50 Ciò si ha poiché Tizio è neutrale al rischio. Perché è neutrale? Risp. Perché la sua funzione di utilità è lineare: U T =X. E ovvio che E(X)=retta coincida con EU T (X)=retta. - Caio, invece, ha una funzione di utilità concava. Perciò è avverso al rischio e perciò è disposto a pagare cifre inferiori per partecipare ad un investimento rischioso: y T =50 > y C =25 7.2) Sostituendo i valori già trovati si ha per Tizio: PR T = VA EC = = 0 (è neutrale: perché pagare?) Caio: PR C = VA EC = = 25 M. Bovi Pag. 21

22 ESERCIZIO 8 Tizio ha una ricchezza iniziale (W) di 20 e gli viene chiesto di partecipare ad una lotteria (L) con la quale può perdere 8 euro e vincere 20 euro con probabilità 0.5. Egli ha una funzione di utilità del tipo U(W) = ln(w) Parteciperà alla lotteria? 8.2. Qual è l equivalente certo e il premio per il rischio della lotteria sopra descritta per Tizio? M. Bovi Pag. 22

23 SOLUZIONE 8.1. Partecipando alla lotteria l utilità attesa di Tizio è E(L) = 0.5ln(20-8) + 0.5ln(20+20) = Non partecipando alla lotteria, l utilità attesa di Tizio è U(W) = ln(20) = E(L)>U(W) => Partecipa. 8.2 L equivalente certo della lotteria, EC(L), è quella somma certa che aggiunta alla ricchezza iniziale di Tizio forma una ricchezza tale che la sua utilità è proprio pari all utilità attesa che gli deriva dal partecipare alla lotteria (che è pari a E(L)=3.087). Bisogna quindi risolvere la seguente equazione: ln(20 + EC(L)) = Esplicitando, si ottiene EC(L) = Il premio per il rischio è la differenza tra la vincita attesa dalla lotteria e l equivalente certo della lotteria: PR(L) = = 4.09 M. Bovi Pag. 23