Microeconomia Douglas Bernheim, Michael Whinston Copyright 2009 The McGraw-Hill Companies srl Capitolo 10: Scelte in condizioni di rischio

Transcript

1 Capitolo 10: Scelte in condizioni di rischio Soluzioni degli esercizi di riepilogo 10.1 Guidare un automobile comporta rischi finanziari come quello di fare un incidente e distruggere la macchina o causare dei danni a qualcuno, oppure rompere una qualche componente della vettura che necessiterà quindi di essere riparata. Andare all università comporta i seguenti rischi finanziari: non trovare lavoro una volta laureato, non riuscire a stare al passo con gli esami una volta pagate le tasse, fare un incidente d auto nel parcheggio interno dell università, farsi male o far male agli altri durante la pratica di uno sport con la squadra universitaria, Provare una nuova marca di cereali per colazione comporta i seguenti rischi finanziari: la necessità di pagare una visita in ospedale o di pagare per le medicazioni nel caso in cui il cibo si dimostri avvelenato, mancare al lavoro a causa dell intossicazione alimentare, non trovare di proprio gradimento i nuovi cereali e buttar via la confezione pagata 4 al supermercato, Fare una vacanza negli Stati Uniti comporta i seguenti rischi finanziari: perdere il biglietto per il volo di ritorno, essere derubati alla metropolitana, Assumere un nuovo dipendente comporta i seguenti rischi finanziari: può risultare meno produttivo di un altro lavoratore che si era proposto ma che non era stato assunto oppure, se incompetente, il dipendente può danneggiare i macchinari o far perdere clienti all azienda, a. Il payoff atteso è 380 e la deviazione standard è 146,97. (Si veda la tabella seguente) Payoff atteso e deviazione standard Probabilità Probabilità Payoff Probabilità Payoff Deviazione Quadrato della Deviazione quadrato della deviazione. 40% % Payoff atteso 380 Varianza Scarto quadratico medio 146,97

2 b. Il payoff atteso è 144 e la deviazione standard è 23,75. (Si veda la tabella seguente) Payoff atteso e deviazione standard Probabilità Probabilità Payoff Probabilità Payoff Deviazione Quadrato della Deviazione quadrato della deviazione. 20% ,2 30% ,8 10% ,6 40% ,4 Payoff atteso 144 Varianza 564 Scarto quadratico medio 23,75 c. Il payoff atteso è 150 mentre la deviazione standard è 29,155. (La tabella qui non è inclusa.) Se si ha utilizzato una probabilità pari all 1% (pensando che vi siano 100 esiti possibili), bisogna far notare che, in realtà, gli esiti possibili sono 101, quindi la probabilità corretta da utilizzare è 1/ Dall Equazione (3) di pagina 319, sappiamo che l equazione della retta di consumo atteso costante è data da: F P e C = 1 Π 1 Π Π F S In tale formula, C e rappresenta il consumo atteso mentre II è la probabilità che ci sia il sole. Dato che nella Figura 10.3 di pagina 318 il consumo atteso è pari a 500, tutto quello che dobbiamo fare è inserire la probabilità che ci sia il sole all interno della formula. (Si faccia attenzione al fatto che il problema fornisce la probabilità dell evento contrario, ovvero che piova: 1 П.) a. Se la probabilità di pioggia è del 50%, allora la probabilità che ci sia il sole è del 50%; la retta di consumo atteso costante è dunque: 500 0,5 F = 1 0,5 1 0,5 F P = F S P F S

3 b. Se la probabilità di pioggia è del 25%, allora la probabilità che ci sia il sole è del 75%; la retta di consumo atteso costante è dunque: 500 0,75 F = 1 0,75 1 0,75 F P = F S P F S c. Se la probabilità di pioggia è del 75%, allora la probabilità che ci sia il sole è del 35%; la retta di consumo atteso costante è dunque: 500 0,25 F = 1 0,25 1 0,25 F P = 666,67 ⅓F S P F S I seguenti grafici illustrano i tre casi considerati: a. b. c. sull asse verticale, scrivere: Consumo di cibo in caso di pioggia (kg) sull asse orizzontale, scrivere: Consumo di cibo in caso di sole (kg) sostituire le virgole con i punti all interno delle cifre riportate lungo gli assi

4 10.4 La curva di indiferenza ad L implica avversione al rischio perfetta dal momento che l investitore accetterà solamente il paniere di consumo che giace sulla retta di consumo garantito (e quindi il paniere associato ad un grado di rischio pari a zero). Nessun quantitativo di cibo in caso di sole può compensare questo consumatore per il minimo rischio a cui può venire sottoposto. Supponiamo, ad esempio, che il consumo dell individuo sia pari a 400 quando c è il sole e sia pari a 200 in caso di uragano. Anche se la probabilità che si verifichi un uragano è pari allo 0,001%, questo consumatore risulterà meno felice di quanto sarebbe se gli fosse garantito un consumo paria 200 a fronte di ogni possibile stato di natura. Per questo consumatore, in altre parole, ogni forma di incertezza provoca un fastidio di infinite proporzioni. L area ombreggiata della figura rappresenta l insieme dei panieri che hanno un consumo atteso maggiore rispetto al paniere A (dato che stanno al di sopra della linea di consumo atteso costante, rappresentata come una retta particolarmente ripida, a significare che l uragano è molto meno probabile del bel tempo). Tali panieri risultano però inaccettabili per il consumatore visto che giacciono al di sotto della curva di indifferenza di A. Risulta inaccettabile perfino un paniere come C, che fornisce molto più cibo nel caso (probabilissimo) che vi sia il sole e sottrae pochissimo cibo in caso di uragano (evento davvero poco probabile). L unico modo per rendere più felice tale consumatore è quello di garantirgli che consumerà più di 400 unità di cibo in qualsiasi stato di natura. sull asse verticale, scrivere: Consumo di cibo in caso di pioggia (kg) sull asse orizzontale, scrivere: Consumo di cibo in caso di sole (kg) sostituire le virgole con i punti all interno delle cifre riportate lungo gli assi sostituire Indifference curve con Curva di indifferenza 10.5 Se Maria riceve 36 kg di cibo quando c è il sole (e ciò avviene con probabilità ⅔) e 81 kg di cibo quando si verifica un uragano (la cui probabilità e pari a ⅓), il suo consumo atteso è la somma dei prodotti fra i vari payoff e le rispettive probabilità: ⅔(36) + ⅓(81) = = 51 kg Dato che, in questo problema, Maria crede che il cibo in ciascun stato di natura sia un perfetto complemento del cibo nell altro stato, la prospettiva di avere più cibo in caso di uragano non le comporta alcun aumento di benessere rispetto alla prospettiva di ricevere

5 36 kg anche in caso di uragano. Siccome il paniere sarà (36, 36), abbiamo allora l equivalente certo: 36 kg. E dato che = 15, il premio al rischio è proprio 15 kg Per prima cosa, si noti che un individuo amante del rischio ha un premio al rischio negativo, mentre un individuo neutrale al rischio ha premio al rischio paria zero. In questi casi, dunque, il premio al rischio non può mai essere maggiore della differenza fra il consumo atteso e il più basso payoff che può verificarsi con probabilità positiva. Se il premio al rischio eccedesse mai tale misura, questo potrebbe avvenire solamente in riferimento ad un individuo avverso al rischio. sull asse verticale, scrivere: Consumo in caso esito negativo sull asse orizzontale, scrivere: Consumo in caso di esito positivo sostituire Risk premium for B con Premio al rischio per B sostituire Indifference curve con Curva di indifferenza Se un individuo avverso al rischio si trova a fronteggiare il rischio, allora sarà disponibile, in ogni stato di natura possibile, ad accettare, in cambio della rimozione del rischio, un payoff minore del payoff atteso in caso di rischio. La parte del payoff atteso a cui si è disposti a rinunciare è una misura del premio al rischio. Se il premio al rischio fosse maggiore della differenza fra il consumo atteso e il più basso payoff possibile, il consumatore sarebbe disposto ad accettare una garanzia di consumo inferiore rispetto a ogni possibile payout. Facciamo un esempio: viene proposto di accettare 5 certi piuttosto che affrontare una lotteria che paga 6 metà delle volte e paga 7 l altra metà delle volte. Anche la persona più avversa al rischio al mondo deciderebbe di rifiutare la proposta e partecipare alla lotteria. Una persona avversa al rischio in senso assoluto sarebbe però più felice se ricevesse in ogni caso 6 (si tratta ovviamente di una persona che odia il rischio, e il solo fatto di essere sottoposto ad una lotteria genera un utilità negativa che supera ogni possibile variazione positiva dell utilità legata a vincite nel gioco).

6 Partiamo dal punto B del grafico, che rappresenta un painere rischioso. Il punto A presenta lo stesso consumo atteso del paniere B, mentre il punto C è l equivalente certo. Il premio al rischio è dato dalla distanza che separa i punti A e C. Il solo modo per far sì che il premio al rischio sia maggiore della differenza fra consumo atteso e livello minimo di consumo possibile(c L ) è che la curva di indifferenza passante per B passi anche per un punto come D, ma questo vorrebbe dire che la curva di indifferenza ha la concavità rivolta verso l esterno e non verso l origine, il che è assurdo L equivalente certo eccede il livello atteso di consumo dal momento che il consumatore non è disposto a ridurre il consumo atteso per eliminare il rischio (come avviene invece nel caso di un individuo avverso al rischio). Piuttosto, la preferenza per il rischio di questo consumatore lo indurrà invece ad aumentare l equivalente certo, per cui l ammontare di consumo necessario per compensare la riduzione del rischio dovrà essere maggiore. sull asse verticale, scrivere: Consumo di cibo in caso di uragano (kg) sull asse orizzontale, scrivere: Consumo di cibo in caso di sole (kg) sostituire Risk premium for B con Premio al rischio per B sostituire Certainty equivalence con Equivalenza certa sostituire Indifference curve con Curva di indifferenza Il premio al rischio è negativo dato che è calcolato come differenza fra il consumo atteso e l equivalente certo. Siccome, in questo caso, l equivalente certo è maggiore del consumo atteso, il premio al rischio è negativo; in altre parole, il consumatore è disposto a rinunciare ad una quantità negativa di consumo per ridurre il grado di rischio cui è sottoposto, il che significa che richiede un consumo aggiuntivo a scopo compensativo.

7 10.8 Se un consumatore amante del rischio si colloca nel B del grafico, allora per quel punto passa una curva di indifferenza con concavità rivolta verso l origine. L offerta di una copertura assicurativa attuarialmente equa consente al consumatore di muoversi lungo la retta di bilancio che unisce A e B (dove A rappresenta l assicurazione completa che uguaglia i consumi, qualsiasi sia l esito). Tuttavia, a causa della concavità della curva di indifferenza del consumatore, ogni punto collocato sulla retta di bilancio deve giacere su una curva di indifferenza più bassa rispetto a quella del paniere B. Il consumatore ha quindi un utilità maggiore nel punto B che in qualsiasi altro punto raggiungibile grazie all assicurazione contro le perdite. Tale risultato appare ragionevole: se il consumatore ama il rischio, perché dovrebbe assicurarsi? sull asse verticale, scrivere: Consumo in caso esito negativo sull asse orizzontale, scrivere: Consumo in caso di esito positivo sostituire Budget line con Retta di bilancio sostituire Indifference curve con Curva di indifferenza 10.9 Si può dare il caso che certi rischi, come quello di una malattia grave o di un infortunio, possano dar luogo a costi potenziali così elevati che gli individui avversi al rischio decidono sia meglio coprirsi con un assicurazione. Sono casi in cui lo stato di natura peggiore corrisponde ad una situazione decisamente grave. Tuttavia, possono sempre sorgere altre situazioni, come (ad esempio) opportunità di investimento sul mercato azionario, per le quali l utilità attesa dell investimento rischioso è maggiore dell utilità del denaro attualmente disponibile. Questo capita, normalmente, quando l esito migliore possibile corrisponde ad una situazione davvero molto buona, in grado di compensare l avversione al rischio dell individuo.

8 10.10 Nel grafico qui riportato la curva di indifferenza I 1 è simile ad una curva ad L e rappresenta quindi le preferenze di un individuo particolarmente avverso al rischio rispetto ad un individuo le cui curve di indifferenza sono indicate da I 2. Se le curve di indifferenza di Maria sono come I 1, il punto di tangenza è D 1. Se Maria è meno avversa al rischio e le sue curve di indifferenza sono come I 2, allora la scelta ricadrà sul punto D 2, che comporta un maggiore investimento nella concessione per la vendita di creme solari. sull asse verticale, scrivere: Consumo di cibo in caso di uragano (kg) sull asse orizzontale, scrivere: Consumo di cibo in caso di sole (kg) sostituire Budget line con Retta di bilancio Come emerge dal grafico, se la concessione per la vendita di creme solari diventa più profittevole quando c è il sole, il paniere rischioso rappresentativo dell intero investimento si sposta verso destra. Questo implica un rendimento maggiore in caso di sole e nessuna variazione del rendimento in caso di uragano. La retta di bilancio diventa il segmento che unisce i punti A e E. Quando ciò accade, Maria sceglie il punto D 2. Questo punto

9 implica un maggiore investimento complessivo. Del resto, tutto questo è ragionevole: se l investimento è più profittevole, si vorrà investire di più e l utilità (o il benessere) risulterà più elevata. sull asse verticale, scrivere: Consumo di cibo in caso di uragano (kg) sull asse orizzontale, scrivere: Consumo di cibo in caso di sole (kg) sostituire Budget lines con Rette di bilancio Ad un individuo amante del rischio piace l idea di avere un payoff potenziale molto elevato, indipendentemente dalle perdite cui può andare incontro. Questo individuo non ha quindi ragione per diversificare, visto che la diversificazione riduce il rischio attraverso la riduzione della variabilità. In molti casi, i portafogli diversificati risultano avere un rendimento molto vicino a quello atteso ex-ante. Gli amanti del rischio vogliono invece avere la possibilità di eccedere (e di molto) il rendimento atteso e tale possibilità è maggiore in un portafoglio non diversificato che in uno diversificato. Una persona neutrale al rischio è invece indifferente alla diversificazione, ragion per cui può decidere di diversificare il proprio portafoglio come di non farlo. Gli individui neutrali al rischio si interessano unicamente del rendimento atteso: avere 100 con il 50% di probabilità e 0 con l altro 50% di probabilità è, per loro, la stessa identica cosa che avere 50 con il 100% di probabilità. Non prendono in considerazione né la possibilità di incrementare il grado di rischio, né quella di ridurlo e siccome la diversificazione non altera il payoff atteso, tali individui sono del tutto indifferenti rispetto a tale opzione a. Il payoff atteso netto di Goffredo da ciascun progetto è uguale alla somma dei prodotti dei vari rendimenti per le loro rispettive probabilità, meno (ovviamente) l investimento iniziale: Progetto A: 0,1(600) + 0,3(800) + 0,2(400) + 0,4(0) 200 = 180 Progetto B: 0,1(200) + 0,3(0) + 0,2(600) + 0,4(700) 300 = 120 Dato che Goffredo è neutrale al rischio, tutto ciò che gli interessa è il payoff atteso. Il progetto A risulta quindi preferibile, vista la differenza di 60. b. Se Goffredo dispone di una previsione meteo sicura, deciderà di investire nel progetto A se è prevista pioggia o neve, mentre investirà nel progetto B se è previsto sole o grandine. Questo insieme di decisioni costituisce una sorta di nuovo progetto, dato che Goffredo conosce in anticipo la condizione meteorologica che si manifesterà.

10 Il suo investimento nel progetto A è di 200 (investimento che verrà fatto nel 40% dei casi) mentre l investimento nel progetto B (che verrà scelto nel 60% dei casi) sarà di 300. Di conseguenza, il rendimento atteso sarà: (0,4)(200) + (0,6)(300) = 260 Consideriamo ora il rendimento atteso con il nuovo progetto (chiamiamolo C): 0,1(600) + 0,3(800) + 0,2(600) + 0,4(700) 260 = 440 Dato che le informazioni in possesso di Goffredo fanno sì che il suo payoff atteso sia maggiore di quello relativo al Progetto A, Goffredo pagherà fino a 260 per ottenere tali informazioni.