4 a Esercitazione: soluzioni

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1 4 a Esercitazione: soluzioni A cura di Monica Bonacina Corso di Microeconomia A-K, a.a Questo eserciziario sostituisce gli esercizi di fine capitolo del vostro libro di testo. La struttura degli esercizi è analoga a quella che troverete all esame. Ciascun capitolo dell eserciziario si compone di tre sezioni. Nella prima sezione, chiamata "Definizioni", vi si chiede di definire sinteticamente alcuni termini. Qualora fosse necessario potrete avvalervi dll aiuto di formule o/o grafici. Nella seconda sezione, chiamata "Vero/Falso", vi si chiede di dire se gli enunciati riportati sono da considerarsi veri, falsi o incerti e di fornire una spiegazione della vostra risposta. Mi raccomando, concentratevi sulla spiegazione perchè è la parte più importante. La terza sezione, chiamata "Esercizi", contiene degli esercizi. Gli esercizi possono essere sia numerici che di analisi grafica. Buon lavoro!! La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d esame Argomenti trattati in questa esercitazione: scelte in condizioni di incertezza, informazione nascosta (selezione avversa) ed azione nascosta (azzardo morale). Prerequisito allo svolgimento dei quesiti contenuti nell esercitazione è lo studio del Libro di Testo, Lavanda Italo e Rampa Giorgio, Microeconomia. Scelte individuali e benessere sociale, Carocci (ed.), 2004, pag Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è monica.bonacina@unibocconi.it! 1

2 1 A - Definizioni. Si definiscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e grafici. Per ogni definizione corretta viene attribuito 1 punto. Def. 1. Informazione nascosta. Soluzioni. Situazione nella quale una parte del mercato non è in condizione di valutare in maniera completa la qualità dei beni/servizi off erti. Def. 2. Lotteria. Soluzioni. Una lotteria è una variabile casuale i cui valori sono somme monetarie. Def. 3. Utilità attesa di una lotteria. Soluzioni. L utilità attesa di una lotteria è il valore atteso dell utilità di ciascuno dei possibili risultati di una lotteria, ciascuno pesato per le rispettive probabilità. Def. 4. Valore atteso di una lotteria. Soluzioni. Il valore atteso di una lotteria è il valore atteso delle vincite monetarie che la lotteria off re, ciascuna ponderata con la corrispondente probabilità. Def. 5. Funzione di utilità concava rispetto alla ricchezza. Soluzioni. Si tratta del caso in cui l utilità marginale della ricchezza è decrescente. È la tipica funzione di utilità di un soggetto avverso al rischio: infatti un aumento di ricchezza di X arreca all individuo una variazione di utilità inferiore alla riduzione di utilità arrecata da una eguale (X) diminuzione di ricchezza. Def. 6. Certo equivalente di una lotteria. Soluzioni. Si consideri una lotteria caratterizzata da valore atteso pari a EV e da un utilità attesa pari a EU. Il certo equivalente di questa lotteria per un individuo è quella somma che, se ricevuta con certezza garantirebbe all individuo considerato la stessa utilità della lotteria. Formalmente se le preferenze dell individuo per la ricchezza sono rappresentate dalla generica funzione di utilità U(x) = x a, possiamo dire che il certo equivalente è tale per cui U(x) = EU ovvero x a = EU da cui x = EU 1/a. Def. 7. Assicurazione equa a risarcimento integrale (anche detta assicurazione attuarialmente equa a copertura integrale). 2

3 Soluzioni. Un assicurazione è definita equa (o attuarialmente equa) se il premio richiesto dalla compagnia assicurativa è pari al danno atteso per l assicurato. Tale assicurazione consente di trasformare una lotteria in una situazione certa caratterizzata da una ricchezza pari al valore atteso della lotteria. Ad esempio. Considerate un individuo che dispone di una ricchezza monetaria pari a M nel caso in cui non si verifichi alcun evento sfavorevole e pari a zero nel caso in cui si verifichi l evento sfavorevole. 1 Sapendo che la probabilità che l evento sfavorevole si verifichi è pari a ρ, quanto sopra implica che l individuo - in assenza di sottoscrizione della polizza assicurativa - dispone di una ricchezza pari a M (1 ρ) }{{} + zero ρ }{{} probabilità di probabilità non subire danni di danno = M(1 ρ); ne consegue che il danno atteso dall individuo in assenza di polizza assicurativa è M M(1 ρ) = Mρ. Un contratto assicurativo equo chiederebbe all individuo in questione un premio pari al danno atteso, Mρ, ed in cambio risarcirebbe integralmente l individuo nel caso in cui si verificasse l evento dannoso. Ne consegue che l individuo scegliendo di assicurarsi si garantirebbe una ricchezza pari a M (1 ρ) }{{} probabilità di non subire danni + (zero + M) }{{} perdo tutto ma l assicurazione mi rimborsa integralmente ρ }{{} probabilità di danno ρm }{{} premio assicurativo Assicurandosi l individuo si garantisce una ricchezza certa pari al valore atteso della lotteria. = M(1 ρ) 1 Da notare che nel caso in cui si veificasse l evento sfavorevole l individuo considerato subirebbe un danno esattamente pari a M in quanto perderebbe tutta la sua ricchezza. 3

4 2 Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. Vero/Falso 8. Se la funzione di utilità di un soggetto è convessa, allora questi sarà sicuramente avverso al rischio. Soluzioni. FALSO. Per un individuo avverso al rischio, l utilità cresce sempre meno all aumentare della vincita. La funzione di utilità corrispondente è quindi concava. Vero/Falso 9. In presenza di informazione nascosta, uno scambio avvantaggia sempre la parte meglio informata. Soluzioni. FALSO. Consideriamo il caso di vantaggio informativo dei produttori sui consumatori e supponiamo che malgrado l asimmetria informativa avvengano scambi di prodotti sia di alta che di bassa qualità. I produttori di beni di bassa qualità si avvantaggiano dello scambio a discapito vuoi di quella parte di consumatori (imperfettamente informati) che scoprono di aver acquistato beni di bassa qualità, vuoi dei produttori di beni di alta qualità (perfettamente informati) che sono costretti ad accettare un prezzo inferiore alla reale disponibilità a pagare dei consumatori per il loro prodotto. Vero/Falso 10. Si consideri una lotteria che promette due vincite monetarie (M) 0 e 10, ciascuna con probabilità Se un soggetto ha la funzione di utilità U(M) = M allora l utilità attesa della lotteria per quel soggetto e 5. Soluzioni. FALSO. L utilità attesa (EU) è la media ponderata delle utilità nei due casi (M=0 e M=10), ciascuna pesata per le probabilità che i due eventi si verifichino quindi EU = 1 2 U(0) + 1 2U(10) = 50 Vero/Falso 11. Un individuo avverso al rischio non acquisterà mai il biglietto di una lotteria il cui prezzo è pari alla vincita attesa. Soluzioni. VERO. Entrambi gli eventi garantirebbero un analoga vincita ma la partecipazione alla lotteria è più rischiosa (la varianza è maggiore); quindi un soggetto avverso al rischio preferirà non acquistare il biglietto. Vero/Falso 12. Si consideri una lotteria che promette le vincite monetarie (M) 0 e 100, ciascuna con probabilità 1 2. Se un soggetto ha la funzione di utilità U(M) = M 0.5 allora l utilità attesa della lotteria per quel soggetto e 50. Soluzioni. FALSO. L utilità attesa (EU) è la media ponderata delle utilità nei due casi (M=0 e M=100) ponderata per le probabilità che i due eventi si verifichino 4

5 quindi EU = 1 2 U(0) U(100) = 5 Vero/Falso 13. Marcello trova per strada un biglietto della lotteria. La lotteria promette una vincita di 10 con probabilità 1/2. Guido offre a Marcello 5 in cambio del biglietto della lotteria. Marcello, che è avverso al rischio, rifiuta. Soluzioni. FALSO. Il valore atteso della lotteria (EV) è la media delle vincite nei due casi (M=0 e M=10) ponderata per le probabilità che i due eventi si verifichino quindi EV = 1 2 (0) (10) = 5 Se Marcello fosse avverso al rischio e gli si offrisse la possibilità di scambiare la lotteria cn una somma certa peri al valore atteso della lotteria accetterebbe sicuramente la somma certa. Vero/Falso 14. Aldo può acquistare per 12 euro il biglietto di una lotteria che promette una vincita nulla, di 9 o di 27 euro con la stessa probabilità. Se Aldo fosse neutrale al rischio sicuramente sceglierebbe di non acquistare il biglietto. Soluzioni. FALSO. Il valore atteso della lotteria (EV) è la media delle vincite nei due casi (M=9 e M=27) ponderata per le probabilità che i due eventi si verifichino quindi EV = 1 2 (9) (27) = 18 Aldo può scegliere tra una somma fissa di 12 euro o una lotteria il cui valore atteso è pari a 18 (superiore alla somma certa). Se Aldo è neutrale al rischio sceglie sicuramente la lotteria. Vero/ Falso 15. Si consideri una lotteria che promette due vincite monetarie (M) 1 e 100, ciascuna con probabilità 1 2. Se un soggetto ha la funzione di utilità U(M) = M allora l utilità attesa della lotteria per quel soggetto e 5,5. Soluzioni. VERO. L utilità attesa di una lotteria (EU) è la media delle utilità nei due casi (M=1 e M=100) ponderata per le probabilità che i due eventi si verifichino quindi EU = = 0, = 5, 5 Vero/Falso 16. Si consideri una lotteria che promette due vincite monetarie (M) 1 e 10, ciascuna con probabilità 1 2. Se un soggetto ha la funzione di utilità U(M)=M2 allora l utilità attesa della lotteria per quel soggetto e 50,5. Soluzioni. VERO. L utilità attesa di una lotteria (EU) è la media delle utilità nei due casi (M=1 e M=10) ponderata per le probabilità che i due eventi si verifichino quindi EU = = 0, = 50, 5 5

6 Vero/Falso 17. Tontolo può scegliere tra una vincita certa di 5 euro o una lotteria. Partecipando alla lotteria Tontolo potrebbe vincere zero, 6 o 9 euro (M 0 = 0; M 1 = 6; M 2 = 9). Ciascun esito ha probabilità 1/3. Sapendo che Tontolo ha accettato di partecipare alla lotteria perché giocando ottiene un utilità maggiore, ne concludiamo che la sua funzione di utilità è U(M)=M a con a <1. Soluzioni. FALSO. Il valore atteso della lotteria (EV) è la media delle vincite nei tre stati del mondo ponderata per le probabilità che i tre eventi si verifichino quindi EV = = = 5 Se l individuo preferisce la lotteria ad una somma certa il cui valore è lo stesso della lotteria, allora l individuo sarà amante del rischio. Un individuo amante del rischio si caratterizza per una funzione di utilità convessa ovvero del tipo U(M)=M a con a>1. Vero/Falso 18. Ugo può acquistare per 35 euro il biglietto di una lotteria che promette una vincita nulla, di 27 o di 81 euro. Ciascun esito ha probabilità 1/3. Se Ugo fosse amante del rischio sceglierebbe di acquistare il biglietto. Soluzioni. VERO. Il valore atteso della lotteria (EV) è la media delle vincite nei tre stati del mondo ponderata per le probabilità che i tre eventi si verifichino quindi EV = = 36 Se l individuo è amante del rischio preferisce una lotteria che in media paga 36 euro ad una somma certa di 36 euro; in questo caso dove addirittura gli si offre la possibilità di scegliere tra una somma certa di 35 ed una lotteria che in media paga 36 sceglierà sicuramente la lotteria ed acquisterà il biglietto. Vero/Falso 19. una lotteria equa. Un individuo propenso al rischio non acquisterà mai il biglietto di Soluzioni. FALSO. Una lotteria è equa se il prezzo per partecipare a tale lotteria è pari alla vincita attesa della lotteria. Una lotteria equa consente quindi ad un individuo di scambiare una ricchezza certa pari ad X (dove X indica il generico prezzo del biglietto della lotteria) in una prospettiva incerta avente valore atteso pari ad X. Poichè un individuo propenso al rischio tra due lotterie aventi il medesimo valore atteso sceglie sempre quella a maggior varianza (ovvero che si caratterizza per un maggior livello di rischio), un individuo amante del rischio sceglierà sicuramente di acquistare il biglietto di una lotteria equa. Vero/Falso 20. Sul mercato delle automobili usate vengono vendute sia auto di qualità che catorci. Gli acquirenti tipo, la cui disponibilità a pagare è riportata nella tabella sottostante unitamente al prezzo di riserva dei venditori, non sono in grado di distinguere i due tipi di auto. Supponete inoltre che l acquirente tipo sia neutrale al rischio. 6

7 Auto di qualità Catorci Disponibilità a pagare di un acquirente tipo Prezzo di riserva dei venditori Sapendo che tra le auto in vendita ci sono dei catorci, non si verificheranno scambi. Soluzioni. VERO. Un individuo neutrale al rischio non è disposto a pagare un prezzo superiore al valore del bene che si accinge ad acquistare dunque nel caso in esame per un auto di cui non riconosce la qualità sarà disposto a pagare al massimo un prezzo pari a 3000p (1 p) dove p indica la probabilità che l auto sia di qualità e (1-p) la probabilità che si tratti di un catorcio. Inoltre, poichè 3000p (1 p) < 3000 ovvero poichè la massima disponibilità a pagare dell acquirente tipo con informazione asimmetrica risulta inferiore al prezzo di riserva dei venditori di auto di qualità, a tale prezzo il solo bene che l acquirente tipo potrebbe acquistare è un catorcio. Dunque l acquirente tipo, nonostante il problema di asimmetria informativa è consapevole che pagando un prezzo non superiore a 3000p (1 p) potrà acquistare esclusivamente un catorcio. Ma per un catorcio l acquirente tipo sarebbe disposto a pagare al massimo 1000 e tale disponibilità a pagare risulta inferiore al prezzo di riserva dei venditori di catorci; quindi se vi è una probabilità positiva di acquistare un catorcio e gli acquirenti non sono in grado di distinguere le auto di qualià, non si verificheranno scambi. 2 Indica il prezzo massimo ch l acquirente tipo sarebbe disposto a pagare per ciascun quadro. 3 Indica il prezzo minimo a cui il venditore tipo sarebbe disposto a vendere ciascun quadro. 7

8 3 C - Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Per ogni esercizio corretto vengono attribuiti 10 punti. Esercizio 1. La Medium Job fa settimanalmente colloqui di lavoro per assumere i dipendenti del suo nuovo stabilimento. I candidati si presentano tutti vestiti allo stesso modo e con lo stesso curriculum, ma metà di essi sono più effi cienti degli altri. La Medium Job sa questa cosa ma non riesce in alcun modo a distinguere tra le due tipologie di candidati. 1. Discutete il problema fronteggiato dalla Medium Job e rappresentate questa situazione con le categorie economiche che conoscete. 2. L incapacità di distinguere tra le tipologie di candidati incida sui contratti offerti dalla Medium Job? In che modo? Rispondete alla domanda specificando le differenze tra quanto vi aspettate che accada nella situazione qui descritta e quanto si verificherebbe se la Medium Job riuscisse a distinguere i candidati. 3. Quale soluzione potrebbero ideare la Medium Job e i candidati più effi cienti per tentare di risolvere il problema discusso al punto precedente? Soluzioni. (1) Questo è chiaramente un problema di informazione asimmetrica, in particolare di informazione nascosta. Una delle due parti dello scambio (l acquirente, Medium Job) è meno informata dell altra (i candidati) circa la qualità dell oggetto che si sta per scambiare (l effi cienza delle prestazioni lavorative). La prima parte (Medium Job) ottiene risultati diversi a seconda della qualità dell oggetto scambiato (lavoro), ma non è in grado di conoscere tale qualità, a diff erenza dell altra parte, verosimilmente a causa di un comportamento di coloro che sono caratterizzati da qualità bassa (bassa effi cienza). Da non confondere il caso di con azione nascosta (asimmetria di informazione sul comportamento tenuto da una delle parti durante l esecuzione di un contratto). (2) Se la Medium Job potesse distinguere i candidati, sarebbe disposta a pagare di più i lavoratori più effi cienti: si formerebbero due mercati separati per le due qualità, e sul mercato della qualità migliore sia la curva di domanda sia quella d offerta sarebbero spostate più in alto rispetto all altro mercato, con un conseguente maggior prezzo di equilibrio. Non potendo distinguere i candidati, per ogni diversa quantità di lavoro la Medium Job sarà disposta ad offrire una paga pari ad una media ponderata fra il prezzo alto e quello basso che vorrebbe pagare in caso di informazione simmetrica: i pesi della media sono inizialmente 1/ 2 e 1/ 2, poiché Medium Job sa che questa è la proporzione dei due tipi. In altri, termini, la Medium Job si presenta sui due mercati con la medesima curva di domanda. Ma ora i lavoratori più effi cienti si offriranno in minor numero, perché si vedono offrire una paga inferiore a quella che avrebbero nel caso di informazione simmetrica. In maniera simmetrica i lavoratori meno effi cienti si offriranno in maggior numero, perché si vedono offrire una paga superiore a quella che avrebbero nel caso di informazione simmetrica. Dunque le proporzioni dei due tipi di lavoratori assunti cambiano, a favore della quota dei meno effi cienti: se, dopo aver sperimentato l eff ettiva qualità dei suoi lavoratori, la Medium Job deduce che la probabilità di trovare lavoratori effi cienti è inferiore a 1/ 2, la settimana successiva abbasserà la paga off erta. Procedendo così, sul mercato potrebbero rimanere solo lavoratori poco effi cienti e con paga bassa ( selezione avversa ): è scomparso il mercato 8

9 dei lavoratori più effi cienti, e con esso il relativo surplus sociale, che sarebbe invece esistito in caso di informazione simmetrica. (3) E interesse dei lavoratori più effi cienti convincere la Medium Job di essere tali. Un modo economicamente effi cace per fornire una garanzia alla Medium Job è essere disposti ad accettare un contratto in cui, per esempio, vengono inizialmente pagati con paga elevata, ma poi accetteranno un ampia riduzione di paga (scendendo sotto la paga di un lavoratore non effi ciente) se si scopre che non sono effi cienti. I lavoratori non effi cienti non accetterebbero un contratto di questo tipo, in quanto sono certi che dovranno poi accettare una paga inferiore al loro valore. Accettare quel contratto è dunque un segnale credibile di qualità elevata. Esercizio 2. Si discuta del modello di scelta sotto incertezza. In particolare: 1. si definiscano le nozioni di variabile casuale, o lotteria, valore atteso e varianza, spiegando quali caratteristiche del problema di scelta le due ultime misurano; 2. si definisca la nozione avversione al rischio, usando solo le nozioni individuate al punto precedente e senza fare grafici; 3. si definisca la nozione di utilità attesa; utilizzando il principio dell utilità attesa, si dimostri che una funzione di utilità concava rappresenta effettivamente le preferenze di un avverso al rischio. Soluzioni. (1) Si parla di scelta sotto incertezza quando gli esiti delle proprie scelte non sono noti con certezza nel momento in cui le si prende, vale a dire che dopo aver compiuto una scelta interviene ancora qualche evento casuale in grado di influenzare l esito. L esito stesso, dunque, può essere visto come una variabile casuale, cioè una variabile che potrà assumere uno tra un certo numero di valori, ciascuno con una certa probabilità. La probabilità di ognuno dei valori è un numero compreso fra zero e uno; una probabilità maggiore indica che c è maggior fiducia che nella possibilità che quel valore si verifichi. Una lotteria è una variabile casuale i cui valori sono somme monetarie. Il valore atteso (VA) di una lotteria è il valore che in media ci si aspetta di vincere, e si calcola come media ponderata dei diversi valori, con pesi dati dalle corrispondenti probabilità. La varianza di una lotteria misura il suo rischio, vale a dire il fatto che con quella lotteria si possa vincere molto ma anche perdere molto; la varianza è la media ponderata (con le probabilità) delle distanze al quadrato dei diversi esiti dal loro valore atteso. (2) Si dice avverso al rischio un soggetto che fra due lotterie con il medesimo valore atteso preferisce quella con minor varianza. (3) Se un soggetto può fruire di una certa somma monetaria, per valutare il suo benessere non usiamo la somma monetaria, ma l utilità che quel soggetto ricava dalla somma monetaria stessa. Una funzione di utilità è una funzione che dice qual è il livello di utilità (un numero) che corrisponde al possesso di ogni possibile somma monetaria. È ragionevole supporre che una funzione di utilità sia crescente. Allora, un soggetto che aff ronta una lotteria è interessato non tanto alle somme monetarie che potrà ottenere quanto alle utilità che ne deriveranno. Ecco allora che la variabile casuale che davvero interessa a quel soggetto è in termini di utilità: una variabile casuale con valori pari alle utilità delle diverse somme monetarie, e con probabilità pari alle corrispondenti somme monetarie stesse. Essendo l utilità una variabile casuale, se ne può calcolare il valore atteso, che si chiama utilità attesa (UA). Il principio 9

10 dell utilità attesa aff erma che ogni soggetto, di fronte a diverse lotterie, sceglie quella che gli dà massima utilità attesa. Se la funzione di utilità di un individuo è concava, gli archi giacciono sopra la corrispondente corda (vedi grafico) U U(A) U(VA) UA U(B) B VA A M In questo caso l individuo preferisce strettamente disporre con certezza della somma VA piuttosto che partecipare ad una lotteria con analogo valore atteso; infatti U(V A) > UA Dato che la varianza associata all opzione "disporre con certezza della somma VA" è nulla mentre la varianza associata all opzione "partecipare ad una lotteria con esito atteso VA" è positiva, l individuo è eff ettivamente avverso al rischio. Esercizio 3. La funzione di utilità di Antonio è data da U(X) = Xdove X indica il reddito percepito. Antonio ha due possibilità lavorative: diventare un impiegato di banca ed ottenere 100 euro/ora; avviare un attività in proprio ed ottenere 400 euro/ora nel 20% dei casi (25 euro/ora altrimenti). 1. Caratterizzate l atteggiamento di Antonio rispetto al rischio e calcolate il reddito orario che Antonio si aspetta di ottenere nelle due opzioni lavorative. 2. Definite e calcolate l utilità attesa di Antonio in corrispondenza delle due opzioni lavorative. In base ai risultati ottenuti, quale carriera verrà scelta? 3. Mario è neutrale al rischio mentre Alberto è amante del rischio. Qualora venissero loro offerte le medesime opzioni lavorative presentate ad Antonio, cosa deciderebbero di fare? Argomentate la risposta. Soluzioni. (1) Dal momento che Antonio si caratterizza per una funzione di utilità crescente e concava, du(x) dx = 1 2 X 0.5 > 0 e d2 U(X) (dx) 2 = 1 4 X 1.5 < 0, egli è avverso al rischio. Nel caso in cui scelga la prima opzione lavorativa Antonio otterrà con certezza 100 euro/ora. Il valore atteso del reddito in corrispondenza della seconda opzione è invece EV 2 = (400) 20% % = =

11 (2) L utilità attesa associata alle due opzioni lavorative è EU 1 = U(100) = 10 EU 2 = U(400) 20% + U(25) 80% = = 8 Dato che EU 1 > EU 2 Antonio preferirà la carriera di impiegato di banca. Trattandosi di individua avverso al rischio, dovendo scegliere tra due lotterie caratterizzate dal medesimo valore atteso sceglie sempre quella a minor varianza. (3) Dato che le due carriere si caratterizzano per il medesimo valore atteso, gli individui neurali al rischio, come Mario, saranno indiff erenti tra le due prospettive lavorative mentre quelli amanti del rischio, come Antonio, preferiranno certamente la seconda prospettiva alla prima. Esercizio 4. Nel Paese A ci sono due gruppi di consumatori (gruppo 1 e gruppo 2) caratterizzati dalla medesima funzione di utilità U(M) = M, dove M = 36 euro è il livello iniziale di ricchezza di ciascun consumatore. Entrambi i gruppi sono esposti ad una perdita di 20 euro ma la stessa si verificherà nel 50% dei casi per i consumatori del primo gruppo e solo nel 10% dei casi per quelli del secondo gruppo. 1. Come si può caratterizzare l atteggiamento dei due gruppi di consumatori rispetto al rischio? Calcolate il valore atteso e l utilità attesa per le due categorie di consumatori. 2. Fornite una rappresentazione grafica della funzione di utilità dei due gruppi di consumatori e riportate i valori calcolati al punto precedente. 3. Qual è la massima cifra che i consumatori appartenenti al primo gruppo sono disposti a versare per assicurarsi integralmente contro il rischio di subire la perdita? Vi aspettate che i consumatori del secondo gruppo siano disposti a versare la stessa cifra, una cifra maggiore o una cifra inferiore? Argomentate la risposta. Soluzioni. (1)-(2) Dal momento che i due gruppi di consumatori si caratterizzano per la medesima funzione di utilità e che la suddetta risulta crescente e concava, du(m) dm = 1 2 M 0.5 > 0 e d2 U(M) (dm) 2 = 1 4 M 1.5 < 0, si tratta di individui avversi al rischio. Il valore atteso (EV) è definito come a somma di tutti i possibili risultati di una lotteria, ponderata in funzione delle rispettive probabilità di verificarsi. Per quanto concerne il primo gruppo di consumatori, essi si attendono una ricchezza pari a EV 1 = (M 20) 50% + M 50% = = 26 mentre il secondo gruppo di consumatori EV 2 = (M 20) 10% + M 90% = 36 2 = 34 Con riferimento all utilità attesa, il primo gruppo di consumatori ha EU 1 = U(M 20) 50% + U(M) 50% = = 5 11

12 mentre il secondo Graficamente EU 2 = U(M 20) 10% + U(M) 90% = = 29 5 U(M) 6 Funzione di utilità EU 2 EU EV 1 EV 2 36 M (3) Dal momento che i consumatori del primo gruppo otterrebbero un utilità pari ad EU 1 avendo a disposizione con certezza una somma pari a 25 EU 1 = U(X) 5 = X X = 25, ne consegue che saranno disposti a versare fino ad un massimo di 11 euro M X = = 11 per assicurarsi contro il rischio di perdite. Tale assicurazione infatti garantirà loro una ricchezza disponibile pari a 25 in qualunque stato del mondo. (4) Pur essendo caratterizzati dalla medesima avversione al rischio, i consumatori del secondo gruppo sono meno esposti al rischio di perdite; conseguentemente la somma massima che saranno disposti a versare per un assicurazione contro il rischio di perdite sarà certamente inferiore a quella trovata al punto 3. Esercizio 5. Il signor Pavido possiede una ricchezza iniziale W=15, ma quest anno potrebbe evadere le tasse ottenendo un incremento di ricchezza pari a 8. Se però venisse scoperto, fermo restando l aumento di ricchezza, subirebbe una multa pari a 16. La probabilità di essere scoperto è 3 4. Le preferenze di Pavido per la ricchezza sono rappresentate dalla funzione di utilità U(W) =W Rappresentare in un opportuno grafico la funzione di utilità di Pavido, il livello di utilità derivante dalla ricchezza iniziale (W=15), e l utilità attesa derivante dall evasione. Determinate se Pavido sceglie di evadere o meno. 2. Rappresentate sul medesimo grafico l equivalente certo della scelta di evadere da parte di Pavido, e il suo premio per il rischio. 3. Supponete ora che la multa che Pavido deve pagare se la sua evasione è scoperta sia 8, e non 16: la scelta di Pavido cambia? Perché? 12

13 Soluzioni (1). L utilità derivante dalla ricchezza iniziale, cioè nel caso di non evasione è 15 2 = 225. Se Pavido evade può finire con ricchezza finale 23 oppure 7, con probabilità rispettivamente 1 4 e 3 4 (come visto prima, la ricchezza attesa EV è 11). Le utilità dei due casi sono 23 2 =529 e 7 2 =49, per cui l utilità attesa in caso di evasione è EU = = 169. L utilità attesa nel caso in cui Pavido decida di evadere è inferiore a quella associata allìevasione; quindi Pavido, pur essendo propenso al rischio, deciderà di non evadere. Graficamente: (2) L equivalente certo di una situazione incerta è il livello di ricchezza che, se posseduto con certezza, darebbe al decisore la medesima utilità della situazione incerta. Nel nostro caso l utilità attesa della situazione incerta (evadere) è 169, e dunque l equivalente certo è una cifra CE tale che U(CE) = 169, cioè CE 2 = 169, da cui CE = 13. Il premio per il rischio relativo ad una certa situazione incerta è la differenza fra il suo valore atteso EV e il suo equivalente certo CE, quindi nel nostro caso è EV-CE = = -2. Si veda il grafico precedente. (3) Se la multa fosse 8, in ogni caso la ricchezza minima con cui Pavido potrebbe rimanere sarebbe 15 (se evadendo fosse scoperto). Dunque i due livelli di utilità in caso di evasione sarebbero 15 2 =225 e 23 2 =529, la cui media (EU) è comunque maggiore di 225, l utilità di non evadere. Quindi evaderebbe. Esercizio 6. Il signor Ardito possiede una ricchezza iniziale W=169, ma quest anno potrebbe evadere le tasse ottenendo un incremento di ricchezza pari a 120. Se però venisse scoperto, fermo restando l aumento di ricchezza, subirebbe una multa pari a 240. La probabilità di essere scoperto è 1 2. Le preferenze di Ardito per la ricchezza sono rappresentate dalla funzione di utilità U(W) =W Rappresentare in un opportuno grafico la funzione di utilità di Ardito, il livello di utilità derivante dalla ricchezza iniziale (W=169), e l utilità attesa derivante dall evasione. Determinate se Ardito sceglie di evadere o meno. 2. Rappresentate sul medesimo grafico l equivalente certo della scelta di evadere da parte di Ardito, e il suo premio per il rischio. 3. Supponete ora che la multa che Ardito deve pagare se la sua evasione è scoperta sia 120, e non 240: la scelta di Ardito cambierebbe, e perché? 13

14 Soluzioni. (1) L utilità derivante dalla ricchezza iniziale è 169 = 13. Come argomentato sopra, questa è anche l utilità del valore atteso (EV) della lotteria di evadere. Se evade potrebbe finire con ricchezza finale =289 oppure =49, con probabilità 1 2 : le utilità in questi due casi sono 289=17 e 49=7 per cui l utilità attesa in caso di evasione è EU = = 12. Dunque l utilità attesa in caso di evsione è inferiore a quella in caso di non evasione. Graficamente (2) L equivalente certo di una situazione incerta è il livello di ricchezza che, se posseduto con certezza, darebbe al decisore la medesima utilità della situazione incerta. Nel nostro caso l utilità attesa della situazione incerta (evadere) è 12, e dunque l equivalente certo è una cifra CE tale che U(CE) = 12, cioè CE = 12, da cui CE = 144. Il premio per il rischio relativo ad una certa situazione incerta è la differenza fra il suo valore atteso EV e il suo equivalente certo CE, quindi nel nostro caso è EV-CE = = 15. Si veda il grafico precedente. (3) Se la multa fosse 120, in ogni caso la ricchezza minima con cui Ardito potrebbe rimanere sarebbe 169 (se evadendo fosse scoperto). Dunque i due livelli di utilità in caso di evasione sarebbero 289=17 e 169=13, la cui media (EU) è comunque maggiore di 13, l utilità di non evadere. Quindi evaderebbe. Esercizio 7. Esistono due qualità di bulbi di tulipano: qualità alta e bassa. Il costo marginale di produzione (lineare crescente in entrambi i casi [cioè le curve di offerta sono crescenti e lineari]) e la disponibilità a pagare (lineare decrescente in entrambi i casi [cioè le curve di domanda sono decrescenti e lineari]), sono maggiori per la qualità alta che per quella bassa. 1. Individuate l equilibrio dei due mercati nel caso di informazione simmetrica. 2. Immaginate invece che i consumatori non sappiano distinguere la qualità dei bulbi che stanno per acquistare, ma che lo scoprano solo dopo la fioritura. Essi sanno che i bulbi possono essere sia di alta sia di bassa qualità, e inizialmente ritengono che la probabilità di trovarne uno buono sia 1 2. Spiegate che problema si crea, e come si modifica l equilibrio dei mercati rispetto al punto precedente. 14

15 3. Dite cosa possono fare i venditori di bulbi di buona qualità per risolvere il problema di cui al punto precedente. Soluzioni. (1) Dalla descrizione precedente, e dai commenti tra le parentesi quadre, ricaviamo facilmente i grafici per i due mercati: Il grafico di sinistra rappresenta il mercato della qualità alta, dove off erta e domanda (rispettivamente S A e D A ) sono curve più alte rispetto a offerta e domanda del grafico di destra (rispettivamente S B e D B ). Le quantità di equilibrio sui due mercati sono, rispettivamente, X e Y; il prezzo di equilibrio della qualità alta è maggiore di quello della qualità bassa. (2) È il caso tipico di informazione nascosta. Non potendo distinguere le qualità, i consumatori saranno disposti a pagare, per ogni bulbo, un prezzo intermedio (esattamente a metà, data l ipotesi sulle probabilità pari a 1/2) fra il prezzo alto e quello basso che pagherebbero per le due qualità sa sapessero individuarle. Dunque su entrambi i mercati esiste ora una sola curva di domanda D M, intermedia fra la D A e la D B dei due precedenti mercati. Come si vede dal grafico successivo, le quantità di equilibrio si modificano Infatti, la domanda che si presenta sul primo (secondo) mercato è ora più bassa (alta) di prima, e dunque la quantità di equilibrio del primo (secondo) mercato è ora inferiore (superiore) a prima. Questo cambiamento induce i consumatori a pensare che ora la probabilità di trovare un bulbo di bassa qualità sia maggiore, e dunque 15

16 la curva di domanda intermedia D M si sposta ulteriormente verso il basso, facendo diminuire la quantità di equilibrio su entrambi i mercati. Ma sul mercato della bassa qualità la quantità scambiata in proporzione si riduce meno che sull altro mercato (provare sul grafico per credere), e dunque la proporzione di bulbi di bassa qualità scambiati aumenta ulteriormente, facendo ancora abbassare la curva D M. Il fenomeno continua sino al punto in cui la D M si sposta così in basso che sul mercato della qualità alta non si scambiano più bulbi. Questo problema è noto come problema di selezione avversa: solo i bulbi di bassa qualità vengono scambiati. (3) Possono chiedere un prezzo elevato, ma off rendo in cambio una garanzia: se, una volta fiorito, il tulipano sarà brutto gli acquirenti verranno rimborsati (magari con gli interessi). Siccome per i venditori della bassa qualità non è conveniente off rire tale garanzia, visto che di sicuro il tulipano sarà brutto, ecco che questo meccanismo di segnalazione può risolvere il problema e ristabilire un esito analogo a quello che si aveva in presenza di informazione simmetrica. Esercizio 8. Nel mercato concorrenziale dei quadri vengono venduti sia quadri autentici che riproduzioni. L acquirente tipo, che non è in grado di distinguere tra i due prodotti, ritiene che solo il 20% dei quadri in vendita siano autentici e che il restante 80% siano riproduzioni. In tabella sono riportate le disponibilità a pagare ed i prezzi di riserva per un quadro autentico e per una riproduzione. Quadro autentico Riproduzioni Disponibilità a pagare di un acquirente tipo Prezzo di riserva dei venditori Supponendo che l acquirente tipo sia neutrale al rischio e che il prezzo di mercato sia pari alla massima disponibilità a pagare dei consumatori, calcolate il prezzo di vendita dei quadri. 2. Supponete ora che i rivenditori di quadri autentici (ma non quelli di riproduzioni) possano acquistare un certificato di qualità attestante l autenticità del quadro venduto, quale prezzo massimo dovrebbe avere tale certificazione per essere effi cace? In questo caso i consumatori pagherebbero 2000 per un quadro certificato (ritenendo che tale quadro sia autentico) e 400 per uno non certificato (ritenendo che tale quadro sia una riproduzione). 3. Se il certificato di qualità di cui al punto (2) comportasse un costo aggiuntivo per i venditori di quadri autentici pari a 1100, si tornerebbe all effi cienza dell informazione perfetta? Argomentate. Soluzioni. (1) Un individuo neutrale al rischio non è disposto a versare una somma superiore al valore atteso del bene che si accinge ad acquistare. Nel caso in esame quindi il prezzo massimo che l acquirente tipo è disposto a pagare per un quadro di cui non distingue la qualità è % % = = 720; dunque in caso di informazione asimmetrica i quadri (sia quelli autentici che le riproduzioni) saranno in vendita ad un prezzo pari a 720. Da notare che tale prezzo risulta 4 Indica il prezzo massimo ch l acquirente tipo sarebbe disposto a pagare per ciascun quadro. 5 Indica il prezzo minimo a cui il venditore tipo sarebbe disposto a vendere ciascun quadro. 16

17 superiore sia al prezzo di riserva dei venditori di riproduzioni che a quello dei venditori di quadri autentici; dunque entrambi hanno interesse a vendere il loro prodotto. (2) La certificazione di qualità consente ai venditori di quadri autentici di farsi riconoscere e di ottenere un prezzo di D altronde il segnale comporta un costo addizionale per i rivenditori di quadri autentici quindi è necessario che il costo della segnalazione non risulti eccessivamente elevato. Formalmente è necessario che C 0 C 1400 dove C indica il costo della certificazione. (3) Nel caso in cui la certificazione comportasse per i venditori di quadri autentici un costo addizionale di 1100, i venditori di quadri autentici avrebbero interesse ad utilizzare la certificazione come segnale e si tornerebbe ad una situazione simile a quella con informazione perfetta. I consumatori infatti riconoscerebbero, per merito della certificazione, i quadri autentici (venduti con il certificato di autenticità) dalle riproduzioni; d altra parte non si tornerebbe all effi cienza dell informazione perfetta in quanto la segnalazione comporta dei costi che non sarebbero stati necessari con informazione perfetta. 17