4 a Esercitazione: soluzioni

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1 4 a Esercitazione: soluzioni A cura di Monica Bonacina Corso di Microeconomia A-, a.a La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d esame. 1 De nizioni. Si de niscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e gra ci. Def. 1. Prodotto marginale. Soluzione. Quantità addizionale di output che l impresa può produrre utilizzando un unità aggiuntiva di un input. Def. 2. Isoquanto. Soluzione. E l insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi che consentono all impresa di ottenere un certo volume di produzione. Def. 3. Saggio marginale di sostituzione tecnica. Soluzione. Indica in quale rapporto una data tecnologia consente di sostituire un fattore produttivo con un altro mantenendo inalterato il livello di produzione. E pari alla pendenza dell isoquanto in valore assoluto. Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche gra ca se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. Vero/Falso 3. Se nel breve periodo il prodotto marginale del lavoro è costante (ad esempio MP L = 2), allora all aumentare del numero dei lavoratori l output totale non cambia. Falso. Se il prodotto marginale del lavoro è costante, ciò signi ca che all aumentare del numero dei lavoratori l output totale aumenta sempre della stessa proporzione. Vero/Falso 4. Se una tecnologia è caratterizzata da rendimenti marginali decrescenti, allora presenta rendimenti di scala decrescenti. Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è monica.bonacina@unibocconi.it! 1 Con riferimento agli esercizi sulla produzione è convenzione misurare in ascissa il fattore lavoro (L) ed in ordinata il fattore capitale (); inoltre è consuetudine indicare con w il prezzo del fattore lavoro e con r il prezzo del fattore capitale. 1

2 Falso. I rendimenti marginali decrescenti non implicano rendimenti di scala decrescenti (es. Y = L 1=2 1=2 e Y = L 1=2 3=4 ). Vero/Falso 5. Considerate la seguente funzione di produzione Q(; L) = 2L+3, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e sono, rispettivamente, lavoro e capitale. Il prodotto marginale del lavoro è crescente. Falso. Il prodotto marginale del lavoro è costante ed uguale a 2. Vero/Falso 6. Si consideri la funzione di produzione Q = min(l; 2). Si supponga che attualmente la combinazione dei fattori utilizzati sia L = 8 e = 3. Allora il prodotto marginale del capitale è 2. Vero. Aumentando di una unità l impiego del fattore capitale l output aumenta di 2 unità. Ma ulteriori aumenti di capitale (da 4 a 5 unità ad esempio) se non a ancati da aumenti di lavoro non porteranno ad ulteriori aumenti nell output. Vero/Falso 7. Sono in presenza di economie di scala quando il prodotto medio è costante. Falso. Sono in presenza di economie di scala (rendimenti crescenti di scala) quando il prodotto medio è crescente. Vero/Falso 8. Un impresa che usa lavoro e capitale ha una tecnologia descritta da una funzione di tipo Cobb-Douglas. Allora, se il salario unitario è troppo elevato non userà lavoro. Falso. Impiegherà lavoro ntanto che MP L =MP k =w/r. Vero/Falso 9. Sono in presenza di diseconomie di scala quando funzione di produzione è del tipo Q(; L) = L a b, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). Incerto. Se a+b<1 allora sono in presenza di diseconomie di scala (rendimenti di scala decrescenti); se a+b=1 sono in presenza di rendimenti di scala costanti; in- ne se a+b>1 sono in presenza di economie di scala (rendimenti crescenti di scala). Vero/Falso 10. Un impresa ha la seguente funzione di costo medio: AC = Q. Allora la sua funzione di costo marginale è MC = 2Q. Vero. Se il costo medio è Q, il costo totale è TC=AC*Q=Q 2, da cui un costo marginale pari a 2Q. Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Esercizio 1. La tecnologia dell impresa Gamma è rappresentata dalla seguente funzione di produzione: Q(; L) = 3 + L, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). (1) Discutete la relazione che lega i due input e rappresentate in un opportuno gra co gli isoquanti associati ai livelli di output Q 1 = 90 e Q 2 = 120. (2) Sapendo che i prezzi dei fattori sono w = 4 e r = 8, scrivete l espressione analitica del generico isocosto e trovate la combinazione dei fattori necessaria per produrre 120 unità di output. 2

3 (3) Supponete ora che il produttore voglia raddoppiare la sua attuale produzione. Stabilite la nuova combinazione ottimale degli input e rappresentatela gra camente. (1) Capitale e lavoro sono perfetti sostituti; infatti il saggio marginale di sostituzione tecnica (che è pari al rapporto tra la produttività marginale del fattore lavoro, MP L = 1, e quella del fattore capitale, MP = 3) è costante e pari ad 1/3. Isoquanto = 3 + L! =30-(1/3)L Isoquanto = 3 + L! =40-(1/3)L Isoquanto 120 Isoquanto 90 1/3 1/ L (2) Il generico isocosto è T C = wl + r! = T C=8 (1=2)L e si caratterizza per una pendenza pari a -1/2 (-w/r). Dato che il valore assoluto della pendenza dell isocosto (1/2) è maggiore del valore assoluto della pendenza dell isoquanto (1/3), l impresa sceglierà di impiegare solo capitale; quindi per produrre 120 unità impiegherà L =0, =40 sostenendo un costo complessivo T C = r = 320 Combinazione ottima 40 Isoquanto 120 Isocosto in corrispondenza della combinazione ottima 1/2 1/3 120 L (3) La funzione di produzione considerata si caratterizza per rendimenti marginali costanti per entrambi i fattori; quindi per raddoppiare la produzione è su ciente raddippiare l impiego di capitale. La combinazione ottima per produrre 240 unità 3

4 è:l =0, = Nuova combinazione ottima Isoquanto 240 Vecchia combinazione ottima 40 Isoquanto 120 Isocosto in corrispondenza della nuova combinazione ottima 1/2 1/3 120 L Esercizio 2. L impresa Con t2011 produce marmellata di fragole utilizzando esclusivamente lavoro e capitale secondo la seguente funzione di produzione: Q(,L) = min(l; 2) dove Q indica la quantità prodotta mentre L e sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). (1) Discutete la relazione che lega i due input e rappresentate in un opportuno gra co gli isoquanti associati ai livelli di output Q 1 = 6 e Q 2 = 12. (2) I prezzi dei fattori sono w = 1 e r = 2. Supponendo che Con t2011 voglia produrre 12 unità di output, calcolate la combinazione ottima di fattori. (3) Supponete che il prezzo di entrambi i fattori raddoppi. Senza fare troppi calcoli discutete gli e etti di tale aumento sulla scelta ottima di Con t2011 ipotizzando che l impresa voglia continuare a produrre 12 unità di output. (1) Capitale e lavoro sono perfetti complementi. A seconda delle combinazioni dei due input il saggio marginale di sostituzione tecnica è in nito (tratto verticale dell isoquanto), nullo (tratto orizzontale dell isoquanto) o non de nito (punto angoloso). Isoquanto 6 6=min(L; 2) Isoquanto =min(l; 2) Isoquanto 12 Isoquanto 6 Retta dei vertici 2=L L (2) La combinazione ottima di input stante l obiettivo di produzione è Isoquanto = min(l; 2) Retta dei vertici!! 2 = L 12 = min(l; L)! L = 12; = 6 2 = L 4

5 (3) Il cambiamento nei pezzi degli input non modi ca la scelta ottima dell impresa ma aumenta i costi totali di produzione. Esercizio 3. Un impresa produce il suo output Q con la funzione di produzione Q(,L)= 1=3 L 1=3, dove e L sono le quantità di capitale e lavoro utilizzate. Il costo unitario del lavoro è w = 5, e quello del capitale è r = 2. (1) Fornite le de nizioni e le espressioni con i dati a disposizione, delle seguenti nozioni: isocosto (in corrispondenza di un generico costo totale, TC), e saggio marginale di sostituzione tecnica. (2) Supponete che l impresa operi nel breve periodo, con una dotazione di capitale pari a 1 = 10. Qual è il minimo costo al quale l impresa può produrre la quantità Q 1 = 10? (3) Supponete che l impresa operi nel lungo periodo. Qual è il minimo costo al quale l impresa può produrre la quantità Q 1? Commentate la di erenza rispetto al caso precedente. (1) L isoquanto Q 1 è l insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi che consentono all impresa di ottenere un volume di produzione pari a Q 1. Nel caso in esame abbimo che Isoquanto 10! 10 = 1=3 L 1=3! = 10 3 =L Il generico isocosto TC è l insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi associate ad un costo totale TC. Isocosto TC! T C = r + wl! = T C=2 (5=2)L Il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS), espresso in valore assoluto, è il saggio al quale il capitale (in ordinata) può essere sostituito al lavoro (in ascissa), lasciando invariato livello dell output. Geometricamente, è l inclinazione di un isoquanto in un dato punto. MRT S = L = MP L MP = L in quanto MP L = (1=3) 1=3 L 2=3 e MP = (1=3) 2=3 L 1=3. (2) Se si vuole produrre un output pari a 10 usando un ammontare sso di capitale ( ) pari a 10, data la funzione di produzione occorre che sia soddisfatta la condizione 10 = 1=3 L 1=3! 10 = 10 1=3 L 1=3! L = 100 Dati i prezzi dei fattori, il costo totale da sostenere nel breve periodo sarà dunque r + wl = = 520 (3) Nel lungo periodo entrambi i fattori sono variabili e la combinazione ottima di input si ottiene risolvendo il sistema Isoquanto 10 = 10 Tangenza isocosto-isoquanto! 3 =L = 10 MRTS=w/r! 3 =L =L = 5=2 da cui si ottiene L = 20 e = 50: Il costo totale in corrispondenza di tale situazine è r + wl = = 200 < 520 La possibilità di variare entrambi gli input consente all impresa una minimizzazione dei costi di produzione (non possibile nel breve periodo dove un input era sso). 5

6 Esercizio 4. Si consideri la seguente funzione di produzione Q(,L)= a L b, dove Q è l output, e L e le quantità, rispettivamente, di lavoro e capitale impiegate. (1) Si de nisca la nozione di prodotto (o rendimento) marginale di un generico fattore di produzione; per la funzione di produzione considerata, si fornisca l espressione dei prodotti marginali dei due fattori, e si dica se e quando essi sono crescenti, decrescenti, o costanti; si de nisca il saggio marginale di sostituzione tecnica e se ne fornisca l espressione per la funzione di produzione considerata, spiegando a parole il signi- cato di tale espressione. (2) Si de nisca la nozione di rendimenti di scala per una generica funzione di produzione; per la funzione di produzione considerata, si indichi come vanno valutati i rendimenti di scala, e se e quando essi sono crescenti, decrescenti, o costanti. (3) Si consideri in ne una funzione di produzione, del tutto diversa dalla precedente, che ha per argomento il solo fattore L. Le uniche informazioni che abbiamo sono che il prodotto medio ha intercetta nulla, è inizialmente crescente, e poi decrescente. Si tracci il gra co del prodotto medio e di quello marginale. (1) Il prodotto (o rendimento) marginale di un fattore indica di quanto aumenta l output se la quantità di quel fattore aumenta di una unità mantenendo invariata la quantità dell altro fattore. Considerando la funzione di produzione Q(,L)= a L b abbiamo un prodotto marginale del fattore lavoro pari a MP = b a L b 1 ed un prodotto marginale del fattore capitale = a a 1 L b Questi prodotti marginali sono crescenti, decrescenti o costanti a seconda dell esponente del corrispondente fattore. MP L MP crescente b-1>0 a-1>0 costante b-1=0 a-1=0 decrescente b-1<0 a-1<0 Il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS), considerando il lavoro in ascissa, è il tasso a cui il capitale deve essere sostituito al lavoro per lasciare l output invariato, ovvero misura di quanto deve diminuire il capitale quando il lavoro aumenta di una unità e vogliamo rimanere sul medesimo isoquanto (è dunque l inclinazione dell isoquanto). Nel caso della funzione considerata abbiamo MRT S = L = MP L MP = b a L (2) I rendimenti di scala indicano di quanto varia l output se le quantità di tutti i fattori aumentano nella medesima proporzione. In particolare, i rendimenti di scala di una funzione di produzione si dicono crescenti se l output aumenta in maniera più che proporzionale rispetto agli input; costanti se l output aumenta in maniera proporzionale agli input; decrescenti se l output aumenta in maniera meno che proporzionale rispetto agli input. Indichiamo con Q 0 il livello di output associato all impiego di un quantitativo L 0 di lavoro e 0 di capitale Q 0 = ( 0 ) a (L 0 ) b moltiplicando entrambi gli input per lo stesso numero (questo signi ca farli aumentare nella stessa proporzione) otterremmo Q 1 = ( 0 ) a (L 0 ) b = a+b ( 0 ) a (L 0 ) b = a+b Q 0 6

7 Nel caso in esame a+b è l aumento di output conseguente ad un aumento di volte di entrambi i fattori produttivi. Ho rendimenti di scala crescenti se rendimenti di scala costanti se rendimenti di scala decrescenti se a+b >! a + b > 1; a+b =! a + b = 1; a+b <! a + b < 1: (3) Il prodotto marginale (MP) è uguale al prodotto medio (AP) in corrispondenza della "primissima" unità prodotta; inoltre AP è crescente quando MP>AP, costante quando MP=AP, decrescente quando MP<AP. Gra camente AP MP MP AP L Esercizio 5. La tecnologia dell impresa Alfa è rappresentata dalla seguente funzione di produzione: Q(; L) = L + 4, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). (1) Dite di che tipo di tecnologia si tratta, calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica e rappresentate n un opportuno gra co gli isoquanti associati ai livelli di output Q 1 = 40 e Q 2 = 80. (2) Sapendo che i prezzi dei fattori sono w=2 e r=6, scrivete l espressione analitica del generico isocosto e trovate (indicandola nel gra co) la combinazione dei fattori necessaria per produrre Q 2 = 80 unità di output. (3) Il governo locale decide di agevolare l impiego di lavoro ed introduce una tassa di ammontare t (t > 0) per ogni unità di fattore capitale impiegato. Indicate l e etto della manovra sul prezzo del capitale. Qual è il valore minimo della tassa per cui il lavoro è preferito al capitale? Discutete il risultato ottenuto. (1) Capitale e lavoro sono perfetti sostituti; il saggio marginale di sostituzione tecnica è costante e pari ad 1/4 (MP L = 1, MP = 4). Isoquanto 40 Isoquanto 80! 40 = L = L + 4 = 10 (1=4)L! = 20 (1=4)L 7

8 da cui 20 Isoquanto Isoquanto 40 1/4 1/ L (2) L espressione analitica del generico isocosto TC è Isocosto TC! T C = r + wl! = T C=6 (1=3)L Dal momento che i fattori sono perfetti sostituti e che il valore assoluto della pendenza dell isocosto (w/r=1/3) è maggiore del valore assoluto della pendenza di un isoquanto (MRTS=1/4), l impresa deciderà di impiegare esclusivamente capitale; dunque per produrre 80 unità impiegherà L = 0; = 20 sostenendo un costo complessivo pari a wl + r = = 120 Combinazione ottima 20 Isoquanto Isoquanto 40 1/4 1/ L (3) In seguito all introduzione della tassa il prezzo del capitale diventa r+t>r. La manovra incentiva l impiego di lavoro se la tassa è tale da far sì che MRT S w r+t! t! t 2 Per valori della tassa inferiori a 2 la manovra non ha e etto, per valori superiori induce le imprese ad impiegare solo lavoro, quando t=2 qualunque combinazione di input appartenente all isoquanto rappresenta una possibile combinazione ottima. Esercizio 6. Si consideri la seguente funzione di produzione Q(; L) = min(a; bl), dove Q è l output, e L e le quantità, rispettivamente, di lavoro e capitale impiegate. (1) Fornite l espressione dei prodotti marginali dei due fattori e dite se (e quando) essi sono crescenti, decrescenti, o costanti. (2) Sapendo che i prezzi dei fattori sono w ed 8

9 r, individuate sulla base delle informazioni a disposizione, la combinazione di fattori impiegata dall impresa per produrre una unità di output. (3) Supponete che il costo del capitale si riduca (r <r). Discutete l e etto di tale contrazione sulla combinazione ottima di fattori e sul costo torale di produzione ipotizzando di voler produrre sempre una sola unità di output. (1) Il prodotto (o rendimento) marginale di un fattore indica di quanto aumenta l output se la quantità di quel fattore aumenta di una unità mantenendo invariata la quantità dell altro fattore. In generale, si tratta della derivata parziale della funzione di produzione rispetto a quel fattore. Nel caso della funzione considerata, la funzione Lentief", ovvero con fattori perfetti complementi, occorre però stare attenti. Il prodotto marginale del fattore lavoro è MP L = b se bl < a 0 se bl a infatti quando bl a per aumentare l output è necessario un aumento del fattore capitale; similmente il prodotto marginale del capitale è a se bl > a MP = 0 se bl a (2) La combinazione ottima di input per produrre un unità di output si ottiene risolvendo il sistema Isoquanto 1 1 = min(a; bl) Retta dei vertici! a = bl da cui L = 1=b e = 1=a con un costo complessivo di produzione wl + r = w b + r a (3) La contrazione nel costo del capitale non modi ca la scelta ottima dell impresa che resta L = 1=b e = 1=a; modi ca però il costo totale di produzione che si riduce (a parità di output prodotto). 9