3 a Esercitazione: soluzioni

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1 3 a Esercitazione: soluzioni A cura di Monica Bonacina Corso di Microeconomia A-K, a.a Questo eserciziario sostituisce gli esercizi di fine capitolo del vostro libro di testo. La struttura degli esercizi è analoga a quella che troverete all esame. Ciascun capitolo dell eserciziario si compone di tre sezioni. Nella prima sezione, chiamata "A-Definizioni", vi si chiede di definire sinteticamente alcuni termini. Qualora fosse necessario potrete avvalervi dll aiuto di formule o/o grafici. Nella seconda sezione, chiamata "B-Vero/Falso", vi si chiede di dire se gli enunciati riportati sono da considerarsi veri, falsi o incerti e di fornire una spiegazione della vostra risposta. Mi raccomando, concentratevi sulla spiegazione perchè è la parte più importante. La terza sezione, chiamata "C-Esercizi", contiene degli esercizi. Gli esercizi possono essere sia numerici che di analisi grafica. Buon lavoro!! La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d esame Argomenti trattati in questa esercitazione: il modello di scelta intertemporale e scelta ottima tra tempo libero e reddito. Prerequisito allo svolgimento dei quesiti contenuti nell esercitazione è lo studio dei Capitoli 5 e 4 del Libro di Testo, Robert H. Frank, Microeconomia, McGraw-Hill (ed.), 5 a edizione a cura di Romano Piras, ISBN Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è monica.bonacina@unibocconi.it!

2 A - Definizioni. Si definiscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e grafici. Per ogni definizione corretta viene attribuito punto. Def. Vincolo di bilancio intertemporale. Soluzioni. Il vincolo di bilancio intertemporale può essere espresso sia in valore attuale che in termini futuri. In valore attuale stabilisce l uguaglianza fra il valore attuale della spesa per beni di consumo ed il valore attuale dei redditi che il consumatore guadagna nell arco di tempo considerato: +i C + C 0 = +i M + M 0 dove C 0 è il consumo nel periodo presente, C quello nel consumo futuro, M 0 è il reddito guadagnato nel periodo presente, M quello nel periodo futuro ed i il tasso di interesse. Similmente il vincolo di bilancio intertemporale espresso in termini futuri stabilisce l uguaglianza fra il valore futuro della spesa per beni di consumo ed il valore futuro dei redditi del consumatore nell arco di tempo considerato:. C + ( + i) C 0 = M + ( + i) M 0 Def. 2 Saggio marginale di preferenza intertemporale. Soluzioni. Il saggio marginale di preferenza intertemporale definisce il numero di unità di consumo futuro che il consumatore vuole scambiare con una unità aggiuntiva di consumo presente. Alternativamente potremmo anche dire che il saggio marginale di preferenza intertemporale definisce il numero di unità di consumo domani che il consumatore chiederebbe in cambio della rinuncia ad una unità di consumo oggi al fine di mantenere il proprio livello di soddisfazione inalterato. Def. 3 Tasso di interesse a debito. Soluzioni. Tasso a cui un individuo che si è indebitato deve ripagare il prestito ricevuto. Def. 4 Curva di offerta di lavoro di un lavoratore. Soluzioni. La curva di offerta di lavoro di un lavoratore individua la relazione tra il numero di ore che l individuo considerato decide di destinare ad attività lavorativa (L) ed il saggio di salario (o salario orario, w). 2

3 2 B - Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. L argomentazione è più importante della corretta classificazione. Per ogni vero/falso corretto viene attribuito punto. Vero/Falso 5. Un soggetto dispone di 24 ore di tempo libero T (in ascissa) e di nessuna una unità di bene di consumo Y (in ordinata); supponiamo che il salario orario sia w, e che il prezzo del bene di consumo sia p. Allora il suo vincolo di bilancio è Y = 24 (w/p)t. Soluzioni. FALSO. Sostituendo nella forma generale del vincolo di bilancio py = w(24 T ) si ottiene. Y = w p 24 w p T Vero/Falso 6. Nello scegliere come allocare il tempo disponibile tra tempo libero e tempo dedicato al lavoro, un individuo razionale deciderà sempre di lavorare di più in seguito ad un aumento del salario. Soluzioni. INCERTO. Se il consumatore riceve un salario orario più elevato potrebbe anche decidere di lavorare meno ore perchè può guadagnare lo stesso reddito (e dunque permettersi lo stesso livello di consumo) raggiunto in precedenza impegnando meno ore. Vero/Falso 7. In seguito ad un aumento del tasso di interesse un risparmiatore potrebbe decidere di indebitarsi. Soluzioni. FALSO. In seguito all aumento del tasso di interesse il risparmiatore potrebbe ridurre il suo livello di risparmio (che, come evidenziato dal grafico sottostante potrebbe passare da S = M 0 C0 a S = M 0 C0 < S) ma non è possibile che il paniere ottimo appartenga al tratto di vincolo di bilancio caratterizzato da un consumo presente superiore al reddito presente. 3

4 C Nuovo paniere ottimo Paniere ottimo iniziale M Paniere delle dotazioni iniziali +i C* 0 C** 0 M 0 C 0 Vero/Falso 8. Le preferenze di Guido per consumo presente (C 0 ) e consumo futuro (C ) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U(C 0, C ) = min(c 0, C ). I prezzi dei due beni sono entrambi pari ad. Guido sa che il suo reddito di quest anno è M 0 = 20, mentre il reddito del prossimo anno è M = 40. Qualunque sia il tasso di interesse (i), Guido deciderà di risparmiare. Soluzioni. FALSO. Il paniere ottimo di Guido, stanti le preferenze del consumatore, si caratterizzerà per un livello di consumo presente pari al livello di consumo futuro (infatti dalla funzione di utilità si evince che la retta dei vertici è C 0 = C ). Dato che il reddito prsente di Guido è inferiore al reddito futuro ( M 0 < M ) ci aspettiamo che Guido si indebiti. Vero/Falso 9. In seguito ad una riduzione del tasso di interesse un soggetto mutuatario (che è indebitato) potrebbe decidere di risparmiare. Soluzioni. FALSO. In seguito alla contrazione del tasso di interesse il debitore deciderà sicuramente di aumentare il suo livello di indebitamento (come si evidenzia nel grafico sottostante). 4

5 C Paniere delle dotazioni iniziali Paniere ottimo iniziale M Nuovo paniere ottimo M 0 +i C* 0 C** 0 Nuovo vincolo di bilancio C 0 Vero/Falso 0. Il paniere ottimo di Paolo si caratterizza per un livello di consumo futuro maggiore del consumo presente; quindi Paolo è un risparmiatore. Soluzioni. INCERTO. Paolo sarà un risparmiatore se il suo panire ottimo di consumo conterrà un livello di consumo presente, C 0, inferiore al reddito presente, M 0 ; Paolo si indebiterà se il suo panire ottimo di consumo conterrà un livello di consumo presente, C 0, speriore al reddito presente, M 0. Vero/Falso. Un soggetto sa che il suo reddito di quest anno è M 0, mentre il reddito del prossimo anno è M. Quel soggetto può consumare il bene C 0 quest anno e il bene C nel prossimo anno. Se i prezzi dei due beni sono entrambi pari a e il tasso di interesse è i, allora il vincolo di bilancio si può scrivere come C = M 0 + M ( + i) C 0 ( + i). Soluzioni. FALSO. Il vincolo di bilancio intertemporale espresso in termini futuri sarà C = M 0 ( + i) + M C 0 ( + i). Vero/Falso 2. Si consideri il modello di scelta intertemporale. Consumo oggi (C ) e consumo domani ( ) sono per Susanna perfetti complementi. Se il tasso (r) al quale Susanna può dare o prendere a prestito diminuisce, allora la consumatrice deciderà di diminuire il consumo in entrambi i periodi. Soluzioni. INCERTO. L eff etto della contrazione di r sulle decisioni di consumo di Susanna dipende da dove si trova il paniere delle dotazioni iniziali rispetto alla retta dei vertici e quindi dal livello di investimento o di indebitamento iniziale della consumatrice. Vero/Falso 3. Il signor Rossi sa che il suo reddito odierno è 250 e che il prossimo anno guadagnerà 330 (M = 250; M 2 = 330). Rossi può destinare il proprio reddito all acquisto di due beni: pane oggi, C, oppure pane il prossimo anno,. Il tasso 5

6 al quale Rossi può dare o prendere a prestito è r = 0%. Allora il vincolo di bilancio intertemporale di Rossi si può scrivere come C = 550 /,. Soluzioni. VERO. Il valore presente del vincolo di bilancio intertemporale di Rossi è M + M 2 /( + r) = C + /( + r). Sostituendo i dati che vengono forniti nell esercizio si ottiene: /, = C + /, ovvero 550 = C + /,, da cui C = 550 /,. Vero/Falso 4. Il signor Rossi sa che il suo reddito odierno è 250 e che il prossimo anno guadagnerà 330 (M = 250; M 2 = 330). Rossi può destinare il proprio reddito all acquisto di due beni: pane oggi, C, oppure pane il prossimo anno,. Il tasso al quale Rossi può dare o prendere a prestito è r = 0%. Allora il saggio marginale di preferenza intertemporale di Rossi è,. Soluzioni. FALSO in generale. Il saggio marginale di preferenza intertemporale definisce il numero di unità di consumo futuro che il consumatore vuole scambiare con un unità aggiuntiva di consumo presente; analiticamente il saggio marginale di preferenza intertemporale è pari al rapporto tra l utilità marginale del consumo oggi rispetto a quella del consumo il prossimo anno: MU C /MU C2. Nel caso di preferenze regolari (ad esempio di tipo Cobb-Douglas) tale rapporto è pari a, (ovvero a +r) in corrispondenza della scelta ottima dell individuo (N.B. ma solo in corrispondenza di tale scelta ottima). Vero/Falso 5. Le preferenze di Claudio per consumo presente (C ) e consumo il prossimo anno ( ) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità tipo Leontief: U(C, ) = min(c, ). Claudio dispone di 200 al tempo presente (M = 200) e sa che disporrà di 00 il prossimo anno (M 2 = 00). Il tasso a cui Claudio può dare e prendere a prestito è r = 50%. Allora Claudio sceglierà di risparmiare 50 al tempo presente per potersi permettere un maggior livello di consumo il prossimo anno. Soluzioni FALSO. Il valore futuro del vincolo di bilancio intertemporale di Claudio è M ( + r) + M 2 = C ( + r) + ovvero, sostituendo i valori che ci vengono forniti nell esercizio 400 = C (, 5) + ; inoltre, data la forma delle preferenze di Claudio per consumo presente e futuro sappiamo che il consumatore desidera mantenere un profilo di consumo costante nel tempo (dunque la scelta ottima di Claudio dev essere tale per cui C = C 2 ); quindi sostituendo nel vincolo di bilancio intertemporale otteniamo che la scelta ottima di Claudio è 400 = C (, 5) + C C = 400/2, 5 = 60. Dal momento che Claudio dispone di un reddito presente pari a 200 e che ne spende 60 in consumo presente, risparmierà =40 al tempo presente per potersi permettere un maggior consumo il prossimo anno. 6

7 0 Vincolo di bilancio Paniere delle dotazioni, 00 C 3 C - Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Per ogni esercizio corretto vengono attribuiti 0 punti. Esercizio. Il signor Tettys Cicada non ha alcun reddito nel 200 (M = 0), ma sa già che nel 20 guadagnerà un reddito pari a 0 (M 2 = 0). Il pane del 200 (C, in ascissa) e quello del 20 ( ) hanno prezzo pari a ; il tasso di interesse è del 0% (r = 0%); le preferenze di Tettys sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U(C, ) = C 0.7 C Rappresentate graficamente il vincolo di bilancio intertemporale di Tettys, indicando i valori di intercetta, l inclinazione ed il paniere delle dotazioni. 2. Individuate la scelta ottima di Tettys. Dite anche quanto risparmia, o di quanto si indebita Tettys nel Calcolate la domanda di pane nel 200 in funzione di M 2 ed r. Soluzioni. () Il vincolo di bilancio intertemporale (in valore futuro) del consumatore è ( + r)c + = ( + r)m + M 2 da cui =, C + 0 (2) Stante la forma delle preferenze di Tettys, da cui si ricava un saggio marginale di sostituzione MRS = MU C MU C2 = 0,7 0,7 = C2 C, il paniere ottimo è ottenuto risolvendo il sistema vincolo di bilancio condiz di tangenza C2 =, C + 0 = + r C C 2, 2C = 0 =, C da cui C = 50 C 2 = 55 ed il livello di indebitamento di Tettys è quindi pari a S = M C = 50 7

8 0 Vincolo di bilancio Paniere delle dotazioni 55 E*, C (3) La domanda di pane del 200 si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello al punto (2), mantenendo incogniti il reddito nel secondo periodo ( M 2 ) e il tasso di interesse (r) da cui. vincolo di bilancio condiz di tangenza C2 = ( + r)c + M 2 C = + r C = M2 2(+r) Esercizio 2. Il signor Bonaventura sa che quest anno avrà un reddito pari a (M = 2.000), e l anno prossimo un reddito pari a (M 2 = 2.340). Con tali redditi Bonaventura può acquistare pane odierno (C ) e pane futuro ( ). Il prezzo dei beni di consumo è costante nel tempo e pari a (p =p 2 = ). Il tasso di interesse è l 8% (r = 8%; cioè r = 0,08). Le preferenze di Bonaventura sono rappresentate dalla funzione di utilità U(C, ) = C 0.6 C Si rappresenti graficamente il vincolo di bilancio intertemporale di Bonaventura, indicando con precisione le dotazioni iniziali, l inclinazione e le intercette. 2. Si calcolino le quantità di pane odierno e pane futuro scelte da Bonaventura per massimizzare la sua utilità, riportandole sul grafico di cui al punto precedente; spiegare se Bonaventura risparmia o si indebita, motivando ciò sulla base della forma della sua funzione di utilità. 3. Se la funzione di utilità di Bonaventura fosse U(C, ) = C 0.4 C 0.6 2, vi aspettereste che la sua scelta in termini di risparmio o indebitamento sia la stessa? Non occorre rifare i calcoli. Soluzioni. () Il vincolo di bilancio intertemporale (espresso in valori futuri) è dato da: M ( + r) + M 2 = C p ( + r) + p 2 vale a dire, usando i dati proposti nell esercizio: = 4500 C, 08 Non si riporta il grafico, ma solo i numeri: in ascissa e ordinata ci sono rispettivamente le quantità dei due beni C e. Ne segue che: l intercetta verticale del 8

9 vincolo di bilancio intertemporale è (0; 4500); l intercetta orizzontale è (466,67; 0); la pendenza è -(+r) = -,08; il paniere delle dotazioni iniziali coincide con il valore dei redditi nei due periodi (2000; 2340). (2) La scelta ottima di Bonaventura si ottiene risolvendo il seguente sistema C2 = 4500 C, 08 C MRS = + r = 2500; C2 = 800 Dato che C >M, Bonaventura si indebita per 500. (3) Invertendo i due esponenti, le preferenze di Bonaventura si invertono, e il consumatore dà maggiore importanza al consumo futuro: ci si attende allora che Bonaventura voglia trasferire consumo al futuro, dunque risparmiando nel primo periodo anziché indebitandosi. Esercizio 3. Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini grafici. Un individuo dispone di 24 ore di tempo libero (N, in ascissa), di cui può godere oppure a cui può rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito ottenuto può comprare un bene (Y, in ordinata) il cui prezzo è p. Per il nostro individuo tempo libero e bene di consumo sono complementi perfetti.. Rappresentate il vincolo di bilancio dell individuo, esplicitandone inclinazione e intercette. 2. Rappresentate alcune curve di indifferenza dell individuo, spiegando bene il perché di quella forma. Individuate la scelta ottima dell individuo. 3. Supponete che il prezzo del bene di consumo aumenti passando a p > p. Come si modifica la scelta ottima dell individuo? Soluzioni. () () Il vincolo di bilancio del nostro individuo è costituito da tutte le combinazioni dei bue beni (tempo libero e consumo) che egli si può permettere tenendo conto dei dati, cioè della sua dotazione di 24 ore di tempo libero, del salario orario e del prezzo del bene. Il vincolo di bilancio si rappresenta in un grafico i cui assi misurano le quantità di tempo libero (ascissa) e di bene di consumo (ordinata). Indichiamo con N il tempo libero, con Y il consumo di tutti gli altri beni, e con L le ore dedicate ad attività lavorativa. Il vincolo di bilncio è wl = py Y = (w/p)l dove, ricodando che L=24-N e sostituendo Y = wt p w p N Y = w p (24) w p N L intercetta orizzontale è (24;0); questo è anche il paniere delle dotazioni del nostro consumatore. L intercetta verticale è (0; 24w/p). La pendenza del vincolo di bilancio è w/p. 9

10 Y 24w/p Vincolo di bilancio Retta dei vertici Y=N Paniere ottimo Y* Curva di indifferenza N* w/p 24 N Paniere delle dotazioni iniziali (2) Se i beni sono complementi perfetti, l utilità dell individuo non aumenta se (a partire dal vertice di una curva di indifferenza) viene aumentata la quantità di uno solo dei due beni. Data l usuale forma della funzione di utilità per questo caso (forma a "L") ovvero U(N, Y) = min(an;by), dove a e b sono parametri positivi. Ad esempio se il consumatore volesse consumare un ora di tempo libero con un unità di bene di consumo la funzione di utilità risultarebbe U(N,Y)=min(N;Y) e si caratterizzerebbe per una retta dei vertici coincidente con la bisettrice del primo quadrante. Una volta tracciata la retta dei vertici - che nel caso di consumo in rapporto fisso : coincide con la bisettrice e ha pendenza - possiamo rappresentare la mappa di curve di indiff erenza richiesta dall esercizio. il consumatore desidera consumarli congiuntamente in un rapporto fisso (:) quindi le sue curve di indiff erenza avranno la tipica forma a "L". Le preferenze possono essere dunque rappresentate dalla funzione di utilità U(N,Y)=min(N,Y) che si caratterizza per una retta dei vertici Y=N. La scelta ottima dell individuo, paniere E*, si ottiene risolvendo il seguente sistema tra vincolo di bilancio e retta dei vertici Y = w p (24) w p N N = Y Y = w p (24) w p Y N = Y Y = 24w p+w N = 24w p+w (3) In seguito ad un aumento del prezzo del bene di consumo il consumatore contrarrà il livello di consumo sia di tempo libero che di bene di consumo. Il nuovo paniere ottimo di consumo, E**, si caratterizza infatti per Y**<Y* e N**<N*. Per la legge della domanda essendo aumentato il prezzo del bene Y il consumatore ne acquistarà meno unità. Inoltre, dato che il consumatore consuma il bene Y ed il tempo libero in un rapporto fisso (beni complementari) e potendo acquistare un minor numero di unità di bene Y, il consumatore ridurrà anche le unità di tempo libero consumate. La nuova scelta ottima si caratterizza quindi per un minor quantitativo sia di bene di consumo che di tempo libero. 0

11 Y 24w/p 24w/p Curve di indifferenza Retta dei vertici Y=N Paniere ottimo Y* Y** N** N* w/p 24 N Nuovo paniere ottimo Paniere delle dotazioni iniziali Esercizio 4. Il signor Rossi ha a disposizione 24 ore, che può fruire come tempo libero (T) oppure impiegare per lavorare (L) onde ottenere un reddito per consumare altri beni. Le preferenze di Rossi relativamente alle ore di tempo libero (T, misurato in ascissa) e altri beni (Y, misurati in ordinata) sono descritte dalle seguente funzione: U(T, Y ) = T 0.6 Y 0.6. Il prezzo degli altri beni è p = euro, mentre il salario orario è pari a w = 9 euro.. Calcolate e fornite una rappresentazione grafica del paniere ottimo scelto da Rossi specificando pendenza ed intercette del vincolo di bilancio. Stante la forma della funzione di utilità, discutete della relazione che sussiste tra i beni considerati. 2. Supponete che il salario orario raddoppi (w = 8 euro). Discutete le conseguenze di tale aumento sulla decisione ottima di Rossi. In particolare: quanto lavorava prima e quanto lavora adesso? 3. Supponete che la funzione di utilità di Rossi sia U(T, Y ) = T 0.8 Y 0.4. Senza fare calcoli, argomentate come varierebbe la scelta ottima di Rossi rispetto a quanto trovato al punto, a parità di prezzi e di salario (p = euro e w = 9 euro). Soluzioni. () Si tratta di un problema da aff rontare con gli strumenti standard della teoria del consumatore: i due beni oggetto di consumo sono il tempo libero (T) ed il paniere contenente tutti gli altri beni di consumo Y; le preferenze di Rossi sono di tipo Cobb-Douglas, per cui le curve di indiff erenza sono decrescenti e convesse. Dato che Rossi ha a disposizione 24 ore e che T indica il numero di ore destinate a tempo libero, L = 24 T indica le ore destinate ad attività lavorativa. Il vincolo di bilancio di Rossi è ottenuto come segue: py = wl la spesa in beni di consumo deve eguagliare il reddito a disposizione. Ricordando poi che L=24-T si ottiene py = w(24 T ) Y = w p (24 T ) Y = 26 9T

12 Se Rossi gode interamente delle sue 24 ore nella forma di tempo libero non ottiene alcun reddito e dunque non consuma alcuna quantità degli altri beni: l intercetta orizzontale è dunque il punto (24;0). Se Rossi lavorasse tutto il giorno, 24 ore, guadagnerebbe un reddito pari a 9 24 = 26; dunque l intercetta verticale è (0;26). Infine la pendenza del vincolo di bilancio, in valore assoluto, è w/p=9. Data la funzione di utilità, si deduce che il saggio marginale di sostituzione è MRS = MU T MU Y = 0.6(T 0.6 Y 0.6 ) 0.6(T 0.6 Y 0.6 ) = 0.6(T 0.4 Y 0.6 ) Y 0.6(T 0.6 Y 0.4 ) = 0.6T = Y T ed è quindi crescente in Y e decrescente in T. Ne deduciamo che il consumatore manifesta una preferenza per la varietà ovvero che il paniere ottimo di Rossi si caratterizzerà per la presenza sia di bene T che di bene Y. I beni non sono né perfetti sostituti né perfetti complementi. Il paniere ottimo si ottiene risolvendo il sistema costituito dal vincolo di bilancio e dalla condizione di tangenza fra vincolo e curva di indiff erenza. Formalmente vincolo di bilancio Y = 26 9T condizione di tangenza CdI e VdB Y da cui T*=2 ed Y*=08. T = w p Y = 26 9T Y = 9T Y 24w/p Paniere ottimo Y* Curva di indifferenza 9 Vincolo di bilancio T* 24 T (2) L aumento del salario incide certamente sul vincolo di bilancio. Non si modifica l intercetta orizzontale, ma cambiano pendenza (w /p=8) ed intercetta verticale (T=0; Y=432). Il nuovo vincolo di bilancio è py = w (24 T ) Y = w p (24 T ) Y = 432 8T Il paniere ottimo si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello precedente ma con il nuovo vincolo e la nuova pendenza del vincolo di bilancio. Formalmente vincolo di bilancio Y = 432 8T Y condizione di tangenza CdI e VdB Y = 26 T = 2 T = w p La scelta ottima di tempo libero di Rossi non muta, ma avendo un maggiore reddito il consumatore può permettersi più elevati livelli di consumo. Rossi consuma 2 ore di tempo libero, cioè lavora 24 2 = 2 ore, sia prima sia dopo il raddoppio del salario. (3) In questa nuova funzione di utilità l esponente del tempo libero è maggiore a quello degli altri beni (in particolare il primo è il doppio del secondo), indicando che 2

13 il contributo del tempo libero alla soddisfazione di Rossi è maggiore di quello degli altri beni. Il tempo libero è ora per Rossi relativamente più prezioso degli altri ben; ci aspettiamo quindi che Rossi ora scelga di consumare più tempo libero - a parità di prezzo degli altri beni e di salario - e meno bene Y. Esercizio 5 Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini grafici. Un individuo dispone di 30 ore di tempo libero, di cui può godere oppure a cui può rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito ottenuto può comprare un bene il cui prezzo è p. Per il nostro individuo tempo libero e bene di consumo sono complementi perfetti; in particolare l individuo desidera sempre consumare unità di tempo libero (T) congiuntamente a 2 unità di bene di consumo (Y).. Rappresentate il vincolo di bilancio del individuo, esplicitandone inclinazione e intercette. 2. Rappresentate alcune curve di indifferenza dell individuo, spiegando il perché di quella forma. Individuate la scelta ottima dell individuo. 3. Supponete che il prezzo del bene di consumo si riduca passando da p a p < p. Come si modifica la scelta ottima dell individuo? Soluzioni. () Il vincolo di bilancio del nostro individuo è costituito da tutte le combinazioni dei bue beni (tempo libero e consumo) che egli si può permettere tenendo conto della sua dotazione di tempo (30 ore), del salario orario (w) e del prezzo del bene Y (p). Il vincolo di bilancio è py = w(30 T ) Y = w p (30 T ) e si caratterizza per una pendenza (in valore assoluto) pari a w/p, un intercetta orizzontale T=30, Y=0 ed una verticale T=0, Y=30w/p. Lascio a voi la rappresentazione grafica (tale rappresentazione è simile a quella fornità nell esercizio 3 ad eccezione del fatto che in questo caso l individuo dispone di 30 ore di tempo). (2) Se i beni sono complementi perfetti, l utilità dell individuo non aumenta se viene aumentata la quantità di uno solo dei due beni. L usuale forma della funzione di utilità per questo caso è U(T, Y ) = min at, by } dove T è la quantità di tempo libero, Y quella di bene di consumo, ed a,b sono parametri non negativi. Graficamente si tratta di curve di indifferenza dalla tipica forma a "L" il cui vertice giace lungo la retta at = by Y = a b T ; () infatti partendo da una combinazione appartenente alla retta dei vertici ed aumentando la disponibilità di uno solo dei due beni non modifichiamo la soddisfazione del consumatore: ciò significa che il tratto orizzontale a destra di, e quello verticale sopra, ciascuno di questi punti costituiscono la curva di indiff erenza relativa a quel punto. In altri termini, ogni curva di indifferenza è un angolo retto che ha vertice in uno dei punti appartenenti alla retta in (). La scelta ottima dell individuo si trova nel punto di intersezione tra vincolo di bilancio e retta dei vertici. In particolare il testo ci dice che l individuo desidera sempre consumare unità di tempo libero con 2 unità di bene di consumo; dunque la retta dei vertici deve necessariamente passare per il paniere T=, Y=2. Sostituendo nella generica retta dei vertici otteniamo 3

14 at = by a = b 2; (2) Le preferenze dell individuo possono essere quindi rappresentate dalla funzione di utilità U(T,Y)=min(aT; ay/2)=a[min(t;y/2)] quindi se, ad esempio, a= avremo U(T,Y)=min(T,Y/2). (3) Se il prezzo del bene Y si riduce, il vincolo di bilancio ruota verso l esterno facendo perno in corrispondenza dell intercetta orizzontale. L intercetta orizzontale non si modifica, perché non dipende dal prezzo del bene Y mentre l intercetta verticale aumenta (a parità di reddito i panieri accessibili aumentano). La nuova scelta ottima si caratterizza per un livello di consumo e tempo libero superiori a quelle iniziali. Per la legge della domanda essendo diminuito il prezzo del bene Y il consumatore ne acquistarà più unità. Inoltre, dato che il consumatore consuma il bene Y ed il tempo libero in un rapporto fisso (beni complementari) e potendo acquistare un maggior numero di unità di bene Y, il consumatore aumenterà anche le unità di tempo libero consumate. La nuova scelta ottima si caratterizza quindi per un maggior quantitativo sia di bene di consumo che di tempo libero. Esercizio 6 Luca firma un contratto di lavoro per due anni. Il contratto prevede una retribuzione di 000 il primo anno (M = 000) e di 00 il secondo anno (M 2 = 00). Luca può prendere e dare a prestito ad un tasso d interesse di mercato pari al 0% (r = 0%). Indichiamo con C il consumo presente e con il consumo futuro (i prezzi dei beni di consumo sono costanti e uguali ad ).. Scrivete il vincolo di bilancio intertemporale di Luca e rappresentatelo in un opportuno grafico indicando chiaramente le intercette, la pendenza ed il paniere delle dotazioni iniziali. 2. Le preferenze di Luca sono espresse dalla seguente funzione di utilità intertemporale: U(C, ) = min, C ; }. Determinate i livelli ottimali di consumo nei due periodi e dite se Luca è risparmiatore o mutuatario. 3. Ipotizzate che il tasso d interesse aumenti e che il nuovo tasso sia pari al 20% (r = 20%). Attraverso un opportuno grafico discutete l effetto di tale aumento sulla scelta ottima di Luca e sulla sua decisione di prendere o dare a prestito. Soluzioni. () Per calcolare il vincolo di bilancio intertemporale di Luca è necessario riportare tutte le variabili (reddito e consumo) alla stessa data. Il valore attuale dei redditi [PV(M)] di Luca è P V (M) = M + M 2 +r e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] di Luca è P V (C) = p C + p 2 +r = C + +r essendo p = p 2 = ; dunque il vincolo di bilancio intertemporale del nostro consumatore (espresso in valore attuale) è da cui P V (M) = P V (C) M + M 2 +r = C + +r = ( + r) C + M ( + r) + M 2 =, C

15 La pendenza del vincolo di bilancio di Luca è, in valore assoluto Graficamente M 2 +M (+r) Dotazioni iniziali 2200 Dotazioni iniziali M 2 D 00 D M M +M 2 /(+r) C C (2) Le preferenze di Luca indicano che consumo presente e consumo futuro sono perfetti complementi (curve di indiff erenza ad "L"); quindi il paniere ottimo per il consumatore si collocherà all intersezione tra vincolo di bilancio (VdB) intertemporale e retta dei vertici (RdV). Formalmente V db RdV C2 =, C , 2C = 2200 C = 000, C =, C = C2 = 00 Graficamente 2200 Retta dei vertici =, C Paniere ottimo 00 D C Dal momento che il paniere ottimo del nostro consumatore coincide con il paniere delle sue dotazioni, ne consegue che Luca non è nè risparmiatore nè mutuatario infatti il isparmio (S) di Luca nel primo periodo è S = M C = = 0 Quanto sopra si verifica in quanto il paniere delle dotazioni appartiene alla retta dei vertici. (3) Il tasso di interesse raddoppia (aumentano gli interessi che un mutuatario deve versare per debito contratto, e che un risparmiatore ottiene per l investimento eff ettuato), dunque prendere a prestito diventa meno vantaggioso. Ma Luca non è nè mutuatario nè risparmiatore, per lui i consumi nei due periodi sono beni perfettamente complementari, ed il paniere ottimo inizialmente scelto è ancora raggiungibile; 5

16 quindi ci aspettiamo che non modifichi la sua scelta di consumo. Ma proviamolo formalmente. Il vincolo di bilancio intertemporale (in valori attuali) diventa M + M 2 +r = C + +r = ( + r ) C + M ( + r ) + M 2 sostituendo i valori di reddito e tasso di interesse =, 2C +, 2 (000) + 00 =, 2C Graficamente, il vincolo di bilancio ruota facendo perno in corrispondenza del paniere delle dotazioni. I consumatori risparmiatori diventano più ricchi mentre quelli debitori diventano più poveri a seguito dell aumento del tasso di interesse Panieri ora accessibili Retta dei vertici =, C 00 Panieri ora non più accessibili , C Consumatori risparmiatori Consumatori mutuatari Il paniere ottimo si trova nel punto di intersezione tra retta dei vertici e (nuovo) vincolo di bilancio (VdB ) V db RdV C2 =, 2C C = 000, C = C2 = 00 Luca continua a scegliere di non indebitarsi (e di non risparmiare) e consuma integralmente il reddito detenuto in ogni periodo. Graficamente Retta dei vertici =, C Paniere ottimo , C 6

17 Esercizio 7 La signora Ant Myrmex ha un reddito pari a 0 (M = 0) nel 200, e sa già che nel 20 non guadagnerà alcun reddito (M 2 = 0). Il pane del 200 (C, in ascissa) e quello del 20 ( ) hanno prezzo pari a ; il tasso di interesse è del 0% (r = 0%); le preferenze di Ant sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U(C, )=C 0.3 C Rappresentate graficamente il vincolo di bilancio intertemporale di Ant, indicando i valori di intercetta, l inclinazione ed il paniere delle dotazioni. 2. Individuate la scelta ottima di Ant. Dite anche quanto risparmia, o di quanto si indebita Ant nel Supponete che il tasso di interesse raddoppi. Senza fare troppi conti discutete in che direzione si modificano le quantità ottime di pane presente e futuro scelte da Ant; di conseguenza, dite qual è l elasticità della domanda di pane presente al tasso di interesse. Soluzioni. () Il valore attuale dei redditi [PV(M)] di Ant è P V (M) = M + M 2 +r = 0 e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] è P V (C) = p C + p 2 +r = C +, essendo p = p 2 = ; dunque il vincolo di bilancio intertemporale della nostra consumatrice (espresso in valore attuale) è P V (M) = P V (C) = 2, C 2 Vincolo di bilancio Paniere delle dotazioni, 0 C (2) Dal momento che Ant si caratterizza per preferenze di tipo Cobb-Douglas, e dunque manifesta una preferenza per la varietà, sappiamo già che il paniere ottimo conterrà sia pane presente che pane futuro. La scelta ottima è ottenuta risolvendo il sistema vincolo di bilancio condizione di tangenza CdI e VdB C2 = 2, C MRS = p(+r) p 2 C2 = 2, C C =, 7

18 da cui C = 55 e C 2 = 60, 5. Dato che C < M, Ant risparmia nel 200 una somma pari a 55 in modo da assicurarsi un consumo anche nel secondo periodo. (3) E possibile dimostrare che il consumo del 200 non dipende dal tasso di interesse. Consideriamo la condizione di ottimo nel caso geneale di reddito nullo nel secondo periodo ( M 2 = 0), reddito positivo nel primo periodo ( M > 0) e tasso di interesse generico r, si ottengono le due seguenti curve di domanda per pane nel 200 e nel 20 vincolo di bilancio condizione di tangenza CdI e VdB C2 = ( + r)m ( + r)c C = ( + r) C = M 2 = ( + r) M 2 Dato che la domanda di consumo presente non varia al variare del tasso di interesse, l elasticità è uguale a zero. Dato che reddito e consumo nel primo periodo non variano, la consumatrice non modifica la sua scelta di risparmio ma un aumento del tasso di interesse fa aumentare il montante del risparmio (ossia il valore futuro di quanto ho risparmiato) e dunque fa aumentare il suo consumo futuro. 8