2 a Esercitazione: soluzioni

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1 2 a Esercitazione: soluzioni onica Bonacina (monica.bonacina@unibocconi.it) Corso di icroeconomia A-K, a.a Premessa. Con riferimento alle esercitazioni sul consumo intertemporale, è convenzione misurare sull asse orizzontale (in ascissa) il consumo oggi (o nel primo periodo) e sull asse verticale (in ordinata) il consmo domani (o nel secondo periodo). Per quanto attiene il modello di scelta consumo-tempo libero, è convenzione misurare in ascissa il consumo di tempo libero e in ordinata il consmo di altri beni. De nizioni. Si de niscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e gra ci. Def.. Elasticità incrociata. Soluzioni. L elasticità incrociata misura la variazione percentuale della quantità domandata di un bene (ad esempio il bene ) conseguente ad un aumento di un punto percentuale del prezzo di un altro bene (ad esempio il bene ). Def. 2. Bene inferiore (e di Gi en). Soluzioni. Un bene inferiore è un bene il cui consumo diminuisce all aumentare del reddito. I beni di Gi en sono un caso particolare di bene inferiore con curva di domanda inclinata positivamente. Def. 3. Vincolo di bilancio intertemporale. Soluzioni. Il intertemporale può essere espresso sia in valore attuale che in termini futuri. In valore attuale stabilisce l uguaglianza fra il valore attuale della spesa per beni di consumo ed il valore attuale dei redditi che il consumatore guadagna nell arco di tempo considerato: +i C + C 0 = +i + 0 dove C 0 è il consumo nel periodo presente, C quello nel consumo futuro, 0 è il reddito guadagnato nel periodo presente, quello nel periodo futuro ed i il tasso di interesse. Similmente il intertemporale espresso in termini futuri stabilisce l uguaglianza fra il valore futuro della spesa per beni di consumo ed il valore futuro dei redditi del consumatore nell arco di tempo considerato: C + ( + i) C 0 = + ( + i) 0 Def. 4. Costo opportunità di un ora di tempo libero. Soluzioni. Il costo opportunità di un ora di tempo libero è il salario.

2 Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche gra ca se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. Vero/Falso. Se la funzione di domanda di un bene è perfettamente anelastica, signi ca che esiste un perfetto sostituto di quel bene. Soluzioni. FALSO. Una curva di domanda perfettamente anelastica (= elasticità nulla) è rappresentata attraverso una retta verticale. In questo caso il consumatore non è disposto a rinunciare all acquisto qualunque sia il prezzo al quale il bene è venduto (la quantità domandata del bene non cambia al variare del prezzo). Se il consumatore non varia la quantità domandata del bene quando varia il suo prezzo, vuol dire che non esistono sostituti del bene. Vero/Falso 2. Se il bene è un bene inferiore, una diminuzione della pressione scale (ovvero una riduzione delle tasse sul reddito) non servirà a stimolarne la domanda. Soluzioni. VERO. La diminuzione della tassa sul reddito genera un incremento del reddito disponibile per acquisto di beni di consumo (il consumatore diventa relativamente più ricco). Nel caso di beni inferiori, all aumentare del reddito diminuisce la domanda. Quindi, il provvedimento non stimola la domanda del bene, anzi ne produce una riduzione. Vero/Falso 3. Se l elasticità dei cioccolatini rispetto al reddito è pari a 3 e il reddito si riduce del 0% allora la quantità domandata di cioccolatini deve crescere del 30%. Soluzioni. FALSO. L elasticità dei cioccolatini (bene ) rispetto al reddito () misura la variazione percentuale della quantità domandata di cioccolatini conseguente ad una variazione percentuale del reddito. Formalmente " reddito = = = Il reddito si riduce del 0% ( = = 0%), quindi se l elasticità è pari a 3 la quantità domandata diminuirà del 30% ( = = 30%). Vero/Falso 4. Nello scegliere come allocare il tempo disponibile tra tempo libero e tempo dedicato al lavoro, un individuo razionale deciderà sempre di lavorare di più in seguito ad un aumento del salario. Soluzioni. INCERTO. Se il consumatore riceve un salario orario più elevato potrebbe anche decidere di lavorare meno ore perchè può guadagnare lo stesso reddito (e dunque permettersi lo stesso consumo) raggiunto in precedenza impegnando meno ore. (Spiegazione aggiuntiva) Indichiamo con L il numero di ore destinate ad attività lavorativa, con T quelle dedicate al tempo libero (T+L = tempo totale a disposizione del consumatore), con il generico paniere dei beni di consumo acquistabile dal nostro consumatore, con p il prezzo di tale paniere e con w il salario orario percepito 2

3 dal consumatore. In rosso tratteggiato il VdB al salario w, in rosso continuo il VdB con il salario w, w >w In verde tratteggiato la CdI al salario w, in verde continuo la CdI con il salario w In rosso tratteggiato il VdB al salario w, in rosso continuo il VdB con il salario w, w >w In verde tratteggiato la CdI al salario w, in verde continuo la CdI con il salario w w L/p Ottimo finale Se aumenta il reddito decido di lavorare di più (T* ) w L/p Se aumenta il reddito decido di lavorare meno (T* ) wl/p wl/p Ottimo finale Ottimo iniziale Ottimo iniziale T** T* tempo totale T T* T** tempo totale T Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Esercizio. Gustavo spende tutto il suo reddito settimanale per acquistare caramelle (bene ) e cioccolatini (bene ). Il suo reddito settimanale è pari a ed i prezzi dei due beni sono rispettivamente pari a e. La funzione di utilità di Gustavo è: U(; ) = a b. () Derivate analiticamente e rappresentate in un opportuno gra co il paniere ottimo di Gustavo supponendo che = 4, = 4 e = 80. (2) Per un generico valore del reddito () e dei prezzi dei due beni ( e ), scrivete la curva di domanda di Gustavo per il bene. (3) De nite il concetto di elasticità della domanda di un bene rispetto al prezzo e calcolate l elasticità della domanda di caramelle rispetto al proprio prezzo e rispetto al prezzo del bene. Discutete i risultati ottenuti. (4) Se il prezzo del bene aumentasse dell %, di quanto varierebbe il consumo di caramelle? Argomentate. Soluzioni. () Il di Gustavo è + =! =! = 20 ed il paniere ottimo di Gustavo si ottiene risolvendo il seguente sistema condizione di tangenza CdI e VdB () La pendenza del (in valore assoluto) è = = 4=4 = mentre la pendenza della curva di indi erenza (in valore assoluto) è pari al saggio marginale di sostituzione dove in quanto RS = Ux U y = a b U x = a a b e U y = b a b Quindi sostituendo = 20 condizione di tangenza CdI e VdB! a b = px 3

4 da cui = b e gra camente = a+b 20 a a+b 20 / Paniere ottimo * Curva di indifferenza Vincolo di bilancio * / (2) Se la funzione di utilità è di tipo Cobb-Douglas, la curva di domanda per il bene si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello nell eq. () ottenuto per valori generici di reddito e prezzi dei beni. Formalmente ( = condizione di tangenza CdI e VdB! a b = px sostituendo poi il valore di (ovvero del bene di cui NON vogliamo calcolare la curva di domanda) ottenuto dal ( = (= ) ( = )) nella condizione di tangenza tra e curva di indi erenza otteniamo a b = px! a (=) b (=) = px! = a a+b che è esattamente la domanda del bene. Notate che la domanda di Gustavo per bene dipende dalle preferenze di Gustavo (attraverso i parametri a e b), dal reddito e dal prezzo del bene (ma non dal prezzo del bene ). (3) L elasticità della domanda di un bene al proprio prezzo è de nita come la variazione percentuale della quantità domandata del bene rispetto ad una variazione di prezzo dell %: " dove ) è la pendenza della curva di domanda. Stante la forma della curva di domanda di abbiamo che = a a+b p 2 x ricordando poi che =[a/(a+b)]/ e sostituendo otteniamo " = a a a+b p 2 x = a+b p 2 a x a+b px = In seguito ad un aumento di un punto percentuale del prezzo del bene si veri ca una contrazione di un punto percentuale della quantità di bene domandata. L elasticità incrociata di rispetto a misura la variazione percentuale della quantità domandata di bene conseguente ad un aumento di un punto percentuale del prezzo di. " 4

5 Dal momento che la domanda di bene non dipende dal prezzo del bene, l elasticità incrociata sarà pari a zero: qualunque variazione nel prezzo di non comporta alterazioni nel consumo di. (4) Se il prezzo del bene aumentasse dell %, il consumo di caramelle non subirebbe variazioni. L aumento del prezzo provocherebbe una rotazione verso l interno del (con perno in corrispondenza dell intercetta orizzontale). Il consumo di bene si ridurrebbe (dato che il bene diventa più costoso il consumatore decide di acquistarne meno unità) mentre non varia il consumo ottimo di bene. Cosa accade al paniere ottimo quando Nuova e vecchia (tratteggiata) / curva di indifferenza * ** Nuovo paniere ottimo Nuovo e vecchio (tratteggiato) vincolo di bilanci * / Esercizio 2. Le vacanze estive si avvicinano e arcella deve decidere come ripartire il suo reddito tra costumi da bagno (bene ) e riviste di enigmistica (bene ). La funzione di utilità di arcella è U(; ) = min fa; b g. Usate per indicare il reddito detenuto da arcella, per il prezzo del bene e per il prezzo del bene. () Derivate analiticamente e rappresentate in un opportuno gra co il paniere ottimo di arcella supponendo che =, = 2 e = 0. (2) Derivate la curva di domanda di arcella per il bene. (3) De nite il concetto di elasticità della domanda di un bene rispetto al reddito e calcolate l elasticità della domanda di bene rispetto al reddito. Sulla base del risultato ottenuto dite se il bene è un bene inferiore. Soluzioni. () Costumi da bagno e riviste di enigmistica sono per arcella complementi perfetti. Le preferenze di arcella hanno la caratteristica forma ad "L" ed il vertice è collocato lungo la retta quindi b = a da cui = a b Retta dei vertici: =(a/b) U 3 U 2 U 5

6 Il di arcella è + = da cui =! = 5 2 Il paniere ottimo si ottiene risolvendo il sistema sottostante = 5 ) 2 retta dei vertici = a b (2) procedendo con le opportune sostituzioni = 0a 2a+b = 0b 2a+b / Retta dei vertici Paniere ottimo * Curva di indifferenza * / Vincolo di bilancio (2) Nel caso di beni perfetti complementi, la curva di domanda di bene si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello nell eq. (2) ottenuto per valori generici di reddito e prezzi dei beni. Formalmente retta dei vertici ) = = a b sostituendo poi il valore di (ovvero del bene di cui NON vogliamo calcolare la curva di domanda) ottenuto dal ( = (= ) ( = )) nella retta dei vertici a = b! a = b [(= ) ( = )]! = b a+b (3) Notate che la domanda di arcella per bene dipende dalle preferenze di arcella (attraverso i parametri a e b), dal reddito, dal prezzo del bene e dal prezzo del bene. (3) L elasticità della domanda di un bene al reddito è misurata dal rapporto tra la variazione percentuale della quantità domandata e la variazione percentuale del reddito: " reddito = da cui, sostituendo il valore di trovato nella (3) " reddito = b a+b = b a+b b a+b b apy +bpx = Ad una variazione in aumento del reddito dell % segue un aumento della domanda di bene dell %. Dato che la relazione reddito-consumo è positiva ( " reddito > 0), possiamo concludere che il bene è per arcella un bene normale. 6

7 Esercizio 3. Il signor Rossi ha a disposizione 24 ore, che può fruire come tempo libero oppure impiegare per lavorare onde ottenere un reddito per consumare altri beni. Le preferenze di Rossi relativamente alle ore di tempo libero (T, misurato in ascissa) e altri beni (, misurati in ordinata) sono descritte dalle seguente funzione: U(T; ) = T 0:6 0:6. Il prezzo degli altri beni è p = C=, mentre il salario orario è pari a w = 9C=. () Calcolate e fornite una rappresentazione gra ca del paniere ottimo scelto da Rossi speci cando pendenza ed intercette del. Stante la forma della funzione di utilità, discutete della relazione che sussiste tra i beni considerati. (2) Supponete che il salario orario raddoppi (w0 = 8C=). Discutete le conseguenze di tale aumento sulla decisione ottima di Rossi. In particolare: quanto lavorava prima e quanto lavora adesso? (3) Supponete che la funzione di utilità di Rossi sia U(T; ) = T 0:8 0:4. Senza fare calcoli, argomentate come varierebbe la scelta ottima di Rossi rispetto a quanto trovato al punto, a parità di prezzi e di salario (p = C= e w = 9C=). Soluzioni. () Si tratta di un problema da a rontare con gli strumenti standard della teoria del consumatore: i due beni oggetto di consumo sono il tempo libero (T) ed il paniere contenente tutti gli altri beni di consumo ; le preferenze di Rossi sono di tipo Cobb-Douglas, per cui le curve di indi erenza sono decrescenti e convesse. Dato che Rossi ha a disposizione 24 ore e che T indica il numero di ore destinate a tempo libero, L = 24 T indica le ore destinate ad attività lavorativa. Il di Rossi è ottenuto come segue: p = wl la spesa in beni di consumo deve eguagliare il reddito a disposizione. Ricordando poi che L=24-T si ottiene p = w(24 T )! = w p (24 T )! = 26 9T Se Rossi gode internamente delle sue 24 ore nella forma di tempo libero, cioè non lavora, non ottiene alcun reddito e dunque non consuma alcuna quantità degli altri beni: l intercetta orizzontale è dunque il punto (24;0). Se Rossi lavorasse tutto il giorno, 24 ore, (cioè non fruisse di alcuna ora di tempo libero), guadagnerebbe un reddito pari a 9 24 = 26; dunque l intercetta verticale è (0;26). In ne la pendenza del, in valore assoluto, è w/p=9. Data la funzione di utilità, si deduce che il saggio marginale di sostituzione è RS = U T U = 0:6(T 0:6 0:6 ) 0:6(T 0:6 0:6 ) = 0:6(T 0:4 0:6 ) 0:6+0:4 0:6 0:6(T 0:6 0:4 ) = 0:6T = 0:6+0:4 T ed è quindi crescente in e decrescente in T. Ne deduciamo che il consumatore manifesta una preferenza per la varietà ovvero che il paniere ottimo di Rossi si caratterizzerà per la presenza sia di bene T che di beni. I beni non sono né perfetti sostituti né perfetti complementi. Il paniere ottimo si ottiene risolvendo il sistema costituito dal e dalla condizione di tangenza fra vincolo e curva di indi erenza. Formalmente = 26 9T = 26 9T condizione di tangenza CdI e VdB!! = 9T T = w p 7

8 da cui T*=2 ed *=08. 24w/p Paniere ottimo * Curva di indifferenza 9 Vincolo di bilancio T* 24 T (2) L aumento del salario incide certamente sul. Non si modi ca l intercetta orizzontale (se non lavoro, cioè T=24, non consumo altri beni comunque), ma cambiano pendenza (w /p=8) ed intercetta verticale (T=0; =432). Il nuovo è p = w 0 (24 T )! = w0 p (24 T )! = 432 8T Il paniere ottimo si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello precedente ma con il nuovo vincolo e la nuova pndenza del. Formalmente = 432 8T condizione di tangenza CdI e VdB!! = 26 T = 2 T = w0 p La scelta ottima di tempo libero di Rossi non muta, ma avendo un maggiore reddito il consumatore può permetersi più elevati livelli di consumo. Rossi consuma 2 ore di tempo libero, cioè lavora 24 2 = 2 ore, sia prima sia dopo il raddoppio del salario. (3) In questa nuova funzione di utilità l esponente del tempo libero è maggiore a quello degli altri beni (in particolare il primo è il doppio del secondo), indicando che il contributo del tempo libero alla soddisfazione di Rossi è maggiore di quello degli altri beni. Il tempo libero è ora per Rossi relativamente più prezioso degli altri ben; ci aspettiamo quindi che Rossi ora scelga di consumare più tempo libero - a parità di prezzo degli altri beni e di salario - e meno bene. Esercizio 4. Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra ci. Un individuo dispone di 24 ore di tempo libero, di cui può godere oppure a cui può rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito ottenuto può comprare un bene il cui prezzo è p. Per il nostro individuo tempo libero e bene di consumo sono complementi perfetti. () Rappresentate il del individuo, esplicitandone inclinazione e intercette. (2) Rappresentate alcune curve di indi erenza dell individuo, spiegando il perché di quella forma. Individuate la scelta ottima dell individuo. (3) Supponete che il prezzo del bene di consumo aumenti passando da p a p0 > p. Come si modi ca la scelta ottima dell individuo? Soluzioni. () Il del nostro individuo è costituito da tutte le combinazioni dei bue beni (tempo libero e consumo) che egli si può permettere tenendo conto della sua dotazione di tempo (24 ore), del salario orario (w) e del prezzo del bene (p). Il è p = w(24 T )! = w p (24 T ) 8

9 e si caratterizza per una pendenza (in valore assoluto) pari a w/p, un intercetta orizzontale T=24 ed una verticale =24w/p. Gra camente 24w/p w/p Vincolo di bilancio 24 T (2) Se i beni sono complementi perfetti, l utilità dell individuo non aumenta se viene aumentata la quantità di uno solo dei due beni. L usuale forma della funzione di utilità per questo caso è U(T; ) = min fat; b g dove T è la quantità di tempo libero, quella di bene di consumo, ed a,b sono parametri non negativi. Gra camente si tratta di curve di indi erenza dalla tipica forma a "L" il cui vertice giace lungo la retta at = b! = a b T ; (4) infatti partendo da una combinazione appartenente alla retta dei vertici ed aumentando la disponibilità di uno solo dei due beni non modi chiamo la soddisfazione del consumatore: ciò signi ca che il tratto orizzontale a destra di, e quello verticale sopra, ciascuno di questi punti costituiscono la curva di indi erenza relativa a quel punto. In altri termini, ogni curva di indi erenza è un angolo retto che ha vertice in uno dei punti appartenenti alla retta in (4). La scelta ottima dell individuo si trova nel punto di intersezione tra e retta dei vertici: 24w/p Retta dei vertici a/b Paniere ottimo * Curva di indifferenza w/p Vincolo di bilancio T* 24 T (3) Se il prezzo del bene aumenta, il ruota verso l interno facendo perno in corrispondenza dell intercetta orizzontale. L intercetta orizzontale non si modi ca, perché non dipende dal prezzo del bene mentre l intercetta verticale 9

10 diminuisce 24w/p Vincolo di bilancio nuovo (segmento continuo) e vecchio (tratteggiato) 24w/p w/p 24 T La nuova scelta ottima si caratterizza per un livello di consumo e tempo libero inferiori a quelle iniziali. 24w/p Retta dei vertici a/b Vecchio paniere ottimo * ** Curva di indifferenza nuovo paniere ottimo w/p Vincolo di bilancio T** T* 24 T Esercizio 5. Luca rma un contratto di lavoro per due anni. Il contratto prevede una retribuzione di 000C= il primo anno ( = 000) e di 00C= il secondo anno ( 2 = 00). Luca può prendere e dare a prestito ad un tasso d interesse di mercato pari al 0% (r = 0%). Indichiamo con C il consumo presente e con il consumo futuro (i prezzi dei beni di consumo sono costanti e uguali ad ). () Scrivete il intertemporale di Luca e rappresentatelo in un opportuno gra co indicando chiaramente le intercette, la pendenza ed il paniere delle dotazioni iniziali. (2) Le preferenze di Luca sono espresse dalla seguente funzione di utilità intertemporale: U(C ; ) = min f; C ; g. Determinate i livelli ottimali di consumo nei due periodi e dite se Luca è risparmiatore o mutuatario. (3) Ipotizzate che il tasso d interesse aumenti e che il nuovo tasso sia pari al 20% (r0 = 20%). Attraverso un opportuno gra co discutete l e etto di tale aumento sulla scelta ottima di Luca e sulla sua decisione di prendere o dare a prestito. Soluzioni. () Per calcolare il intertemporale di Luca è necessario riportare tutte le variabili (reddito e consumo) alla stessa data. Il valore attuale dei redditi [PV()] di Luca è P V () = + 2 +r 0

11 e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] di Luca è P V (C) = p C + p 2 +r = C + +r essendo p = p 2 = ; dunque il intertemporale del nostro consumatore (espresso in valore attuale) è da cui P V () = P V (C)! + 2 +r = C + +r = ( + r) C + ( + r) + 2! = ; C La pendenza del di Luca è, in valore assoluto Gra camente 2 + (+r) Dotazioni iniziali 2200 Dotazioni iniziali 2 D 00 D + 2 /(+r) C C (2) Le preferenze di Luca indicano che consumo presente e consumo futuro sono perfetti complementi (curve di indi erenza ad "L"); quindi il paniere ottimo per il consumatore si collocherà all intersezione tra (VdB) intertemporale e retta dei vertici (RdV). Formalmente V db RdV ) C2 = ; C ; 2C = 2200 C ) ) = 000 ; C = ; C = C2 = 00 Gra camente 2200 Retta dei vertici =, C Paniere ottimo 00 D C Dal momento che il paniere ottimo del nostro consumatore coincide con il paniere delle sue dotazioni, ne consegue che Luca non è nè risparmiatore nè mutuatario infatti il isparmio (S) di Luca nel primo periodo è S = C = = 0

12 Quanto sopra si veri ca in quanto il paniere delle dotazioni appartiene alla retta dei vertici. (3) Il tasso di interesse raddoppia (aumentano gli interessi che un mutuatario deve versare per debito contratto, e che un risparmiatore ottiene per l investimento e ettuato), dunque prendere a prestito diventa meno vantaggioso. a Luca non è nè mutuatario nè risparmiatore, per lui i consumi nei due periodi sono beni perfettamente complementari, ed il paniere ottimo inizialmente scelto è ancora raggiungibile; quindi ci aspettiamo che non modi chi la sua scelta di consumo. a proviamolo formalmente. Il intertemporale (in valori attuali) diventa + 2 +r 0 = C + +r 0! = ( + r 0 ) C + ( + r 0 ) + 2 sostituendo i valori di reddito e tasso di interesse = ; 2C + ; 2 (000) + 00 = ; 2C Gra camente, il ruota facendo perno in corrispondenza del paniere delle dotazioni. I consumatori risparmiatori diventano più ricchi mentre quelli debitori diventano più poveri a seguito dell aumento del tasso di interesse Panieri ora accessibili Retta dei vertici =, C 00 Panieri ora non più accessibili , C Consumatori risparmiatori Consumatori mutuatari Il paniere ottimo si trova nel punto di intersezione tra retta dei vertici e (nuovo) (VdB ) V db 0 RdV ) C2 = ; 2C C ) = 000 ; C = C2 = 00 Luca continua a scegliere di non indebitarsi (e di non risparmiare) e consuma integralmente il reddito detenuto in ogni periodo. Gra camente 2

13 Retta dei vertici =, C Paniere ottimo , C Esercizio 6. La signora Ant yrmex ha un reddito pari a 0 ( = 0) nel 200, e sa già che nel 20 non guadagnerà alcun reddito ( 2 = 0). Il pane del 200 (C, in ascissa) e quello del 20 ( ) hanno prezzo pari a ; il tasso di interesse è del 0% (r = 0%); le preferenze di Ant sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U(C ; )=C 0:3 C 0:3 2. () Rappresentate gra camente il intertemporale di Ant, indicando i valori di intercetta, l inclinazione ed il paniere delle dotazioni. (2) Individuate la scelta ottima di Ant. Dite anche quanto risparmia, o di quanto si indebita Ant nel 200. (3) Supponete che il tasso di interesse raddoppi. Senza fare troppi conti discutete in che direzione si modi cano le quantità ottime di pane presente e futuro scelte da Ant; di conseguenza, dite qual è l elasticità della domanda di pane presente al tasso di interesse. Soluzioni. () Il valore attuale dei redditi [PV()] di Ant è P V () = + 2 +r = 0 e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] è P V (C) = p C + p 2 +r = C + ; essendo p = p 2 = ; dunque il intertemporale della nostra consumatrice (espresso in valore attuale) è P V () = P V (C)! = 2 + ; C 2 Vincolo di bilancio Paniere delle dotazioni, 0 C 3

14 (2) Dal momento che Ant si caratterizza per preferenze di tipo Cobb-Douglas, e dunque manifesta una preferenza per la varietà, sappiamo già che il paniere ottimo conterrà sia pane presente che pane futuro. La scelta ottima è ottenuta risolvendo il sistema condizione di tangenza CdI e VdB! ( C2 = 2 + ; C RS = p(+r) p 2! C2 = 2 + ; C C = ; da cui C = 55 e C 2 = 60; 5. Dato che C <, Ant risparmia nel 200 una somma pari a 55 in modo da assicurarsi un consumo anche nel secondo periodo. (3) E possibile dimostrare che il consumo del 200 non dipende dal tasso di interesse. Consideriamo la condizione di ottimo nel caso geneale di reddito nullo nel secondo periodo ( 2 = 0), reddito positivo nel primo periodo ( > 0) e tasso di interesse generico r, si ottengono le due seguenti curve di domanda per pane nel 200 e nel 20 condizione di tangenza CdI e VdB! C2 = ( + r) + ( + r)c C = ( + r) C! = 2 = ( + r) 2 Dato che la domanda di consumo presente non varia al variare del tasso di interesse, l elasticità è uguale a zero. Dato che reddito e consumo nel primo periodo non variano, la consumatrice non modi ca la sua scelta di risparmio ma un aumento del tasso di interesse fa aumentare il montante del risparmio (ossia il valore futuro di quanto ho risparmiato) e dunque fa aumentare il suo consumo futuro. 4