4 a Esercitazione: soluzioni

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1 4 a Esercitazione: soluzioni Corso di Microeconomia A, a.a Monica Bonacina (monica.bonacina@unibocconi.it) Corso di Microeconomia Z, a.a Stefania Migliavacca (stefania.migliavacca@enicorporateuniversity.eni.it) Esercizi da svolgere ad esercitazione Premessa. Con riferimento agli esercizi sulla produzione, è convenzione misurare sull asse orizzontale (in ascissa) il fattore che nelle funzioni di produzione è citato per primo (generalmente il lavoro) e sull asse verticale (in ordinata) il secondo fattore (generalmente il capitale); quindi quando trovate Q(;), il fattore da misurare in ascissa è, mentre quello da misurare in ordinata è. Esercizio 1. Date le seguenti funzioni di produzione: a) Q (;) 2 (+) b) Q (;) 1/4 2/4 c) Q (;) 2 () 1/2 d) Q (;) min[; 2] 1) Spiegate In cosa consiste, in generale, il concetto di rendimenti di scala e quale legame essi hanno con la scala di produzione di un determinato settore industriale; 2) Determinate, per ciascuna funzione di produzione, se i rendimenti di scala sono costanti, crescenti o decrescenti, indicando obbligatoriamente i diversi passaggi algebrici a sostegno della vostra risposta; 3) Calcolate, per ciascuna funzione di produzione, la produttività marginale del fattore capitale () e lavoro (), commentando il risultato. Esercizio 1. Soluzione. I rendimenti di scala (r.d.s.) sono una proprietà tecnica di lungo periodo della funzione di produzione (f.d.p.) che descrive la relazione tra scala ed efficienza. In altre parole, essi evidenziano in che modo varia l output al variare di tutti gli input in una stessa proporzione. In particolare: - se tutti gli input aumentano nella stessa proporzione e si osserva un aumento equi proporzionale dell output, allora si hanno rendimenti di scala costanti; - se tutti gli input aumentano nella stesso proporzione e si osserva un aumento meno che proporzionale dell output, allora si hanno rendimenti di scala decrescenti; 1

2 - se tutti gli input aumentano nella stessa proporzione e si osserva un aumento più che proporzionale dell output, allora si hanno rendimenti di scala crescenti. I r.d.s. sono di grande importanza per stabilire se la produzione è più efficiente su grande o piccola scala: r.d.s. crescenti portano ad un mercato in cui operano pochi grandi produttori. Al contrario, r.d.s. decrescenti favoriscono imprese di piccola scala. In questi casi infatti, aumentando la scala l impresa diventa meno efficiente (ad esempio perché la gestione e l organizzazione si complicano) ed il processo produttivo non riesce a sfruttare al meglio l incremento degli input. Una f.d.p. non presenta necessariamente gli stessi r.d.s. per qualsiasi livello di output. Al contrario capita spesso che un a f.d.p. esibisca r.d.s. variabili. Operativamente, per verificare i r.d.s. di una f.d.p. occorre moltiplicare tutti gli input per una medesima costante positiva t (ad esempio calcolando Q(t; t)) e confrontare il risultato con tq(;). Avremo tre casi: I) tq(;) Q(t;t) aumento dell output EQUI PROPORZIONAE, quindi r.d.s. COSTANTI; II) tq(;) > Q(t;t) aumento dell output MENO che proporzionale quindi r.d.s. DECRESCENTI; III) tq(;) < Q(t;t) aumento dell output PIU che proporzionale quindi r.d.s. CRESCENTI. In caso di funzione di produzione omogenea di grado r, un modo per individuare la tipologia di rendimenti che la caratterizzano è analizzare il valore assunto da r. In generale, una funzione di produzione è omogenea di grado r se: Q(t,t) t r Q(,). Di conseguenza: - Se r 1 allora Q (t,t) t Q (,) rendimenti di scala costanti; - Se r > 1 allora Q (t,t) t r Q (,) > t Q (,) rendimenti di scala crescenti; - Se r < 1 allora Q (t,t) t r Q (,) < t Q (,) rendimenti di scala decrescenti. a) Q (;) 2 (+) Questa f.d.p. di tipo additivo indica una relazione di perfetta sostituibilità tra il fattore lavoro () e il fattore capitale (). a mappa degli isoquanti è composta da rette parallele e la combinazione ottima dei fattori di produzione prevede l impiego di uno solo degli input. Per verificare i r.d.s. moltiplico entrambi i fattori per una costante positiva t e controllo se il risultato è maggiore, minore o uguale a t*q(;). Avremo allora: Q(t;t)2(t+t) 2t(+)tQ( ;) rendimenti di scala costanti a funzione in oggetto è anche omogenea di grado r1, laddove il grado di omogeneità è rappresentato dall esponente di t. In altre parole: 2

3 Q(t;t)2(t+t) 2t r (+) Calcoliamo le produttività marginali dei fattori produttivi, derivando la f.d.p. prima rispetto a e poi rispetto a : MP 2 MP 2 In entrambi i casi ottengo un valore costante, perciò la produttività marginale non dipende dalla quantità di e/o di ma è sempre pari a 2. b) Q (;) 1/4 2/4 Questa f.d.p. di tipo Cobb Douglas indica una relazione di parziale sostituibilità tra il fattore lavoro () e il fattore capitale (). Per verificare i r.d.s. moltiplico entrambi i fattori per una costante positiva t e controllo se il risultato è maggiore, minore o uguale a t*q(;). 1/4 2/4 1/4 1/4 2/4 2/4 3/4 1/4 2/4 1/4 2/4 Q(t, t) (t) (t) t t t ( ) < t Rendimenti di scala decrescenti NB: Qualunque generica funzione di tipo Cobb Douglas α β Q (;) A è sempre omogenea di grado r(α+β). Conseguentemente è possibile individuare i r.d.s. osservando la somma degli esponenti. Qualora lo studente in sede di esame applichi questo procedimento abbreviato, è tenuto a motivare la propria risposta in maniera opportuna. Ricaviamo infine le produttività marginali degli input: /4 MP 4 2 1/4 2/4 MP 4 Diversamente dal caso a), in cui MP ed MP erano delle costanti, in questo caso otteniamo produttività marginali che variano al variare delle quantità di input utilizzate (sono funzioni di e ). c) Q (;) 2 () 1/2 Anche in questo caso, come nel precedente, abbiamo una f.d.p. di tipo Cobb Douglas: Q(t; t) 1/2 1/2 2(tt) t[2() ] tq(; ) Rendimenti di scala costanti Alternativamente posso ragionare sul grado di omogeneità della funzione: r(α+β). Nel caso specifico r (1/2+1/2)1 rendimenti di scala costanti. 3

4 Vediamo la produttività marginale: MP 1/2 1/2 MP 1/2 1/2 Diversamente dal caso a), in cui MP ed MP erano delle costanti, in questo caso otteniamo produttività marginali che variano al variare delle quantità di input utilizzate (sono funzioni di e ). d) Q (;) min[; 2] Questo tipo di funzione di produzione (di eontiev) indica una relazione di perfetta complementarietà tra i due input (lavoro e capitale). Gli isoquanti che ne derivano saranno ad angolo retto e la combinazione ottima di produzione si troverà in uno dei vertici. Per valutare i r.d.s. dobbiamo moltiplicare entrambi gli input per una medesima costante positiva t. Q (t; t) min[t; 2t] Tuttavia se t<0 possiamo sicuramente dire che min[t; 2t]tmin[; 2] quindi Q (t; t) t Q (;) Rendimenti di scala costanti Il che in generale è vero per tutte le f.d.p. di tipo eontiev. Ricordiamo che la funzione in oggetto offre due casi: 1) Q(;) quando <2 2) Q(;) 2 quando 2< Di conseguenza la produttività marginale potrà valere: caso 1) MP1 MP0 caso 2) MP0 MP2 In entrambi i casi la MP e costante e non dipende dalla quantità di input utilizzata. Esercizio 2. azienda di caramelle Sweetie utilizza una tecnologia descritta dalla seguente funzione di produzione (Cobb Douglas): Q(;) 2 1/3 1/2 Siano w 4 ed r 9 rispettivamente i costi unitari dei fattori di produzione lavoro () e capitale (). a spesa totale che l azienda intende sostenere per l acquisto degli input è pari a Scrivete e rappresentate graficamente l equazione dell isocosto della Sweetie, indicando chiaramente i valori delle intercette e della pendenza. 2. Data la tecnologia impiegata dalla Sweetie, possiamo dire che lavoro e capitale sono perfetti sostituti? Argomentate la vostra risposta. 3. Calcolate il saggio tecnico di sostituzione tra lavoro e capitale e rappresentate la mappa degli isoquanti. 4. Calcolate la combinazione ottima di input ed evidenziatela in un grafico. Per effetto della crisi economica, il costo unitario del capitale si riduce a r 6. 4

5 5. Spiegate in che modo tale cambiamento influenza la scelta di produzione della Sweetie. Evidenziate in un grafico la nuova situazione. Esercizio 2. Soluzione. 1) isocosto è il luogo geometrico dei punti che rappresentano combinazioni di fattori produttivi (capitale e lavoro) il cui acquisto da parte dell azienda comporta il medesimo esborso totale. equazione generale della retta di isocosto è Cw+r Dove C rappresenta il vincolo di costo, la spesa massima che l azienda si prefigge di sostenere per acquistare gli input; w rappresenta la spesa per acquistare il fattore lavoro (w è il costo unitario del lavoro); r rappresenta la spesa per acquistare il fattore capitale (r è il costo unitario del capitale). a stessa equazione può essere scritta come C w r r dove C/r intercetta verticale, w/r pendenza C/w intercetta orizzontale. Nel caso specifico della Sweetie, il vincolo di costo può essere scritto come Poiché per convenzione rappresentiamo in ascissa e in ordinata, è utile riscrivere tale equazione esplicitando la Dove pendenza 4/9 intercetta verticale 0 10 intercetta orizzontale 90/ Isocosto 45/2 2) a f.d.p della Sweetie è del tipo Cobb Douglas: ciò significa che i due fattori produttivi sono solo in parte sostituti. Se lavoro e capitale fossero perfetti sostituti avremmo una f.d.p. di tipo additivo, con un saggio tecnico di sostituzione costante e isoquanti lineari. Nel nostro caso invece il saggio tecnico di sostituzione è 5

6 variabile e dipende da e : gli isoquanti hanno la classica forma convessa veso l origine (vedi punto successivo). 3) il saggio tecnico di sostituzione (TRS) indica, in ogni punto della curva di indifferenza, il tasso al quale il produttore è disposto a scambiare l input misurato in ascissa con quello misurato in ordinata senza modificare la quantità di output prodotta. Matematicamente TRS è pari al valore assoluto della pendenza della curva di isoquanto e al rapporto tra la produttività marginale dell input in ascissa (MP) e la produttività marginale dell input in ordinata (MP). MP Q( ; ) Q( ; ) TRS dove MP MP MP Nel nostro esercizio avremo 2 TRS 3 10 * * E * I3 I2 I1 45/2 4) Sfruttiamo il grafico del punto 3 per individuare la combinazione ottima dei fattori produttivi: il punto E (*;*) infatti si trova nel punto di tangenza tra l isocosto e l isoquanto più esterno. Ricordiamo che l isoquanto rappresenta il luogo geometrico dei punti cui sono associate combinazioni di input (lavoro e capitale) che danno luogo allo stesso livello di output. Il punto E soddisfa dunque le due condizioni essenziali: permette di produrre la massima quantità di output possibile rispettando il vincolo di costo che l azienda si è prefissata. Formalmente, per individuare le coordinate del punto E dovremo risolvere il sistema equazione dell isocosto condizione di tangenza tra isoquanto e isocosto * 9 * 6 5) Se il costo del capitale si riduce a r 6 il primo effetto sulle scelte di produzione sarà una modifica del vincolo di costo 6

7 Pendenza 2/3 Intercetta verticale 15 Intercetta orizzontale 45/2 intercetta orizzontale non si modifica poiché il costo del lavoro e il vincolo di costo sono immutati. Ciò che varia sono la pendenza (che aumenta) e l intercetta verticale (che si sposta verso l alto). Il nuovo puto di ottimo E ( ; ) sarà associato ad una maggior quantità di capitale (fattore che è diventato meno caro) e ad una minore quantità di lavoro (in parte sostituito dal capitale). 15 nuovo punto di ottimo * * E * E I2 I3 * 45/2 Per calcolare le coordinate di E procedo come prima, risolvendo il sistema tra isocosto e condizione di tangenza tra isoquanto e isocosto: ʹ ʹ Esercizio 3. Nell ambito della teoria neoclassica della produzione, supponete di ragionare nel breve periodo, assumendo fissa la dotazione di capitale. Il lavoro è dunque l unico fattore variabile. 1) Date una definizione di prodotto medio e prodotto marginale del lavoro; 2) Assumendo che questi abbiano una generica forma ad U rovesciata datene una rappresentazione grafica, avendo cura di porli reciprocamente nella corretta posizione; 3) Dimostrate algebricamente la relazione che lega prodotto medio e prodotto marginale, commentando poi i vostri risultati alla luce del grafico ottenuto al punto 2. Esercizio 3. Soluzione. Prodotto marginale: la variazione del prodotto totale derivante da una variazione unitaria dell input variabile (nel nostro caso il lavoro): 7

8 Q( ) MP Prodotto medio: è il rapporto tra il prodotto totale e la quantità impiegata di input variabile Q( ) AP Q() Punto di massimo del prodotto medio AP MP 3) a relazione che sussiste tra MP e AP può essere dimostrata a partire dallo studio del segno di AP: iniziamo allora ricavando la derivata prima di AP Q( ) AP Q( ) AP Q( ) Q( ) MP 2 AP MP AP Questa frazione, che rappresenta la derivata prima di AP, potrebbe essere positiva, negativa oppure nulla. a) b) c) MP > AP MP AP MP < AP AP > 0 AP 0 AP < 0 Nel caso a) il prodotto marginale è maggiore del prodotto medio, il che implica che la derivata abbia segno positivo. Il prodotto medio si trova quindi nel suo tratto crescente. Nel caso b) il prodotto marginale è pari al prodotto medio. a derivata assume valore zero e il prodotto medio raggiunge il punto stazionario (massimo). Infine, nel caso c) il prodotto marginale è maggiore del prodotto medio: AP ha derivata prima negativa e la curva AP ha un andamento decrescente. Queste tre osservazioni trovano riscontro nel grafico al punto 2: il caso a) corrisponde al 8

9 primo tratto crescente, il punto b) alla intersezione (MP interseca AP nel suo punto di massimo), il punto c) corrisponde alla parte destra del grafico in cui AP è decrescente. Q() MP>AP MP<AP MPAP AP MP Quando il prodotto marginale è maggiore del prodotto medio, il prodotto medio è crescente. Quando il prodotto medio è maggiore del prodotto marginale il prodotto medio è decrescente. Il prodotto marginale interseca il prodotto medio nel punto di massimo di quest ultimo. Esercizio 4. impresa Gamma produce palloni da calcio utilizzando capitale e lavoro come fattori produttivi secondo la funzione Q ( ; ) min[2;5]. 1) Data la tecnologia produttiva utilizzata dalla Gamma, che relazione intercorre tra lavoro e capitale? 2) Commentate la seguente affermazione: Se il costo del capitale aumenta, l impresa Gamma impiegherà una quantità maggiore di lavoro. 3) Disegnate la mappa degli isoquanti dell impresa Gamma: commentate il valore del saggio tecnico di sostituzione. Il costo unitario del lavoro è pari a w6 Euro e quello del capitale r3 Euro. Il budget che l impresa Gamma si è prefissata di spendere per acquistare gli input ammonta a 600 Euro. 4) Rappresentate in un grafico l isocosto dell impresa Gamma, evidenziandone pendenza, intercetta orizzontale ed intercetta verticale. 5) Calcolate la combinazione ottima di impiego dei fattori di produzione. 6) In corrispondenza del punto di ottimo individuato al punto 4), a quanto ammonterà la quantità totale prodotta Q? 7) Con riferimento alla funzione di produzione dell impresa Gamma, cosa si può dire dei rendimenti di scala? Esercizio 4. Soluzione. 1) a f.d.p. è di tipo eontiev: implica che capitale e lavoro sono perfetti complementi. I due input sono quindi utilizzati secondo una proporzione fissa e non sono tra loro sostituibili. 2) affermazione è falsa: stante la f.d.p. dell impresa Gamma se il costo del capitale aumenta diminuirà il suo impiego nella funzione di capitale e anche l impiego del fattore lavoro diminuirà perché gli input sono perfetti complementi. 9

10 3) Gli isoquanti di questa f.d.p. sono ad angolo retto ed i vertici si trovano allineati lungo la semiretta di equazione 25. Il saggio tecnico di sostituzione (TRS) in questo caso sarà pari a zero nel tratto orizzontale dell isoquanto e pari a nel tratto verticale. Retta dei vertici 4) isocosto dell impresa Gamma sarà C w + r Pendenza 2 Intercetta verticale 200 Intercetta orizzontale Punto di ottimo Retta dei vertici * 100 5) Per calcolare le coordinate del punto di ottimo E(*;*) devo risolvere un sistema in due equazioni per individuare l intersezione tra l isocosto e la retta dei vertici * 250 / (200 2) * 100 / 3 6) In corrispondenza di E il livello di output sarà determinato dalla f.d.p.. Occorre dunque sostituire * e * nell f.d.p.: Q(*;*)min[2(250/3);5(100/3)]500/3 7) I rendimenti di scala dell impresa Gamma saranno costanti. Infatti moltiplicando gli input produttivi per una medesima costante t>0 avremo che l output aumenta in modo equi proporzionale: Q ( t; t) min[2t;5t] t min[2;5] tq( ; ) 10

11 Esercizio 5. impresa Delta produce borotalco utilizzando capitale e lavoro come fattori produttivi secondo la funzione Q( ; ) ) Disegnate la mappa degli isoquanti dell impresa Delta: commentate il valore del saggio tecnico di sostituzione. Il costo unitario del lavoro è pari a w2 Euro e quello del capitale r4 Euro. Il budget che l impresa Gamma si è prefissata di spendere per acquistare gli input ammonta a 80 Euro. 2) Tracciate l isocosto dell impresa Delta indicandone pendenza, intercetta verticale e intercetta orizzontale. 3) Calcolate la combinazione ottima degli input. 4) Supponete che il budget di costo dell impresa Delta venga ridotto a 60 Euro: come si modifica la combinazione ottima dei fattori? Fate un confronto grafico tra le due situazioni commentando in modo esauriente le differenze. 5) In che modo si dovrebbero modificare i costi di lavoro e capitale affinché la combinazione ottima di fattori preveda solo l impiego di capitale? Esercizio 5. Soluzione. 1) a f.d.p. dell impresa Delta è di tipo additivo: ciò significa che lavoro e capitale sono due fattori di produzione perfettamente sostituibili. In casi come questo gli isoquanti sono lineari e il saggio tecnico di sostituzione (che ne rappresenta la pendenza in valore assoluto) sarà costante MP Q(; ) 1 TRS MP Q(; ) 4 isoquanti pendenza 1/4 2) isocosto rappresenterà invece l insieme di combinazioni produttive (capitale e lavoro) che esauriscono il vincolo di costo dell impresa. a sua equazione sarà: C w + r pendenza 1/2 intercetta verticale 20 intercetta orizzontale 40 isocosto ha una pendenza maggiore rispetto a quella degli isoquanti: ciò significa che il punto di ottimo si troverà sull asse verticale. Al contrario se la pendenza 11

12 dell isocosto fosse inferiore a quella degli isoquanti, il punto di ottimo sarebbe sull asse orizzontale. Rappresentiamo l isocosto sul grafico: 20 * E isocosto pendenza 1/2 Z 40 3) A livello grafico possiamo individuare il punto di ottimo nel punto E(*;*) con *0. Data la forma della f.d.p. ci aspettiamo infatti una soluzione d angolo che giace su uno dei due assi cartesiani. Tuttavia il punto Z non può essere un ottimo poiché nel punto E l isocosto va a toccare un isoquanto più esterno, cui corrisponde un livello di output maggiore. Per calcolare il punto di ottimo in presenza di una funzione additiva non possiamo impostare il solito sistema in due equazioni poiché l uguaglianza TRS w r non sarebbe mai verificata, dal momento che TRS è una costante. Ciò che devo fare algebricamente è confrontare TRS e w/r: TRS < w/r ottimo sull asse verticale, 0; TRS > w/r ottimo sull asse orizzontale, 0; TRS w/r isoquanto e isocosto coincidono: tutti i punti dell isocosto sono ottimi. Nel nostro caso *0; *20. 4) Se il budget a disposizione per l acquisto dei fattori si riduce a 60, avremo uno spostamento dell isocosto verso l origine, in modo parallelo a sé stesso. a pendenza infatti dipende dal costo dei fattori (che rimane invariato) mentre si modificano le intercette: intercetta verticale 15; intercetta orizzontale 30. Il nuovo punto di ottimo si troverà comunque ancora sull asse verticale poiché i costi relativi dei fattori non sono cambiati. a relazione tra TRS e w/r è invariata. 12

13 nuovo punto di ottimo E (0;15) 15 * 30 5) Affinché la soluzione ottima si sposti sull asse orizzontale occorre che il costo relativo dei fattori si modifichi. Come discusso al punto 3), se avessimo w/r<trs allora la pendenza dell isocosto sarebbe inferiore a quella degli isoquanti e il punto di ottimo si troverebbe sull asse orizzontale (impiegherei solo il fattore lavoro). Ad esempio, se w1 e r8 avremmo un isocosto con pendenza 1/8<TRS, quindi, riprendendo il grafico del punto precedente (C60): nuovo punto di ottimo E (60;0) 7,5 60 * Esercizio 6. Un impresa utilizza una tecnologia di tipo Cobb Douglas descritta dalla funzione di produzione: 13 1/2 1/2 Q(, ) 1) Ricavate l equazione di un generico isoquanto associato a questa funzione di produzione Siano w 18 e r 8 i prezzi dei fattori di produzione lavoro () e capitale (). Sia p il prezzo del bene Y. Nel breve periodo la dotazione di capitale è fissa e pari a 81. 2) Determinare la domanda di lavoro ottima dell impresa che vuole massimizzare il profitto nel breve periodo. 3) Nel lungo periodo cosa possiamo dire dei rendimenti di scala? Esercizio 6. Soluzione. 1) Ricordiamo che l isoquanto è il luogo geometrico dei punti cui corrispondono combinazioni di input che danno luogo al medesimo livello di output. Per ricavare

14 l equazione di un isoquanto dobbiamo quindi considerare costante Q (il livello di output) e ricavare in funzione di dalla f.d.p.: Q Q Q 1 2 Come potevo prevedere, l equazione descrive una relazione inversa tra e : gli isoquanti hanno la classica forma convessa verso l origine. Per essere chiari possiamo provare a sostituire qualche valore nell equazione appena ricavata: 4 2 Assumendo Q I I1 I2 2) Per calcolare la domanda di lavoro che massimizza il profitto dell impresa dovrò partire dall equazione del profitto: π ( Q) TR( Q) TC( Q) pq TC( Q) Il profitto è pari alla differenza tra ricavi totali (TR) e costi totali (TC), tutto in funzione di Q. Poiché l esercizio mi chiede di massimizzare il profitto rispetto alla quantità di lavoro domandata, il primo passo da fare sarà ottenere un equazione del profitto in funzione di anziché di Q. Per fare ciò parto dalla f.d.p. di breve periodo e la scrivo come (Q). Siccome nel b.p. 81, avremo: 1 2 Q ( ) 9 Il ricavo totale allora può essere scritto come TR ( Q) pq TR( ) p(9 ) 9p Mentre il costo totale sarà TC ( ) w + r TC( ) * Potremo allora scrivere 1 2 π( ) 9p e per massimizzare il profitto calcoleremo la derivata prima e la porremo uguale a zero. In tal modo otterremo D ovvero la domanda di lavoro che massimizza il profitto dell impresa. π( ) max[ π( )] D p p p 16 14

15 3) Nel lungo periodo i r.d.s. di questa f.d.p. sono costanti. Infatti, essendo una funzione Cobb Douglas, il grado di omogeneità (r) della f.d.p. sarà pari alla somma degli esponenti di e : nel nostro caso r1/2+1/21. Un aumento della medesima proporzione di tutti gli input variabili genererà dunque un aumento equiproporzionale dell output. 15