4 Esercitazione: soluzioni

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1 4 Esercitazione: soluzioni A cura di Monica Bonacina Corso di Microeconomia A-K, a.a Questo eserciziario sostituisce gli esercizi di fine capitolo del vostro libro di testo. La struttura degli esercizi è analoga a quella che troverete all esame. Ciascun capitolo dell eserciziario si compone di tre sezioni. Nella prima sezione, chiamata "Definizioni",visichiededidefinire sinteticamente alcuni termini. Qualora fosse necessario potrete avvalervi dll aiuto di formule o/o grafici. Nella seconda sezione, chiamata "Vero/Falso", vi si chiede di dire se gli enunciati riportati sono da considerarsi veri, falsi o incerti e di fornire una spiegazione della vostra risposta. Mi raccomando, concentratevi sulla spiegazione perchè è la parte più importante. La terza sezione, chiamata "Esercizi", contiene degli esercizi. Gli esercizi possono essere sia numerici che di analisi grafica. Buon lavoro!! La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d esame. 1 Definizioni. Si definiscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e grafici. Def. 1. Prodotto marginale del lavoro. Soluzione. Quantità addizionale di output che l impresa può produrre utilizzando un unità aggiuntiva di lavoro. Supponendo che la funzione di produzione sia del tipo Q(K,L), il prodotto marginale del lavoro è MP = ( ). Def. 2. Economie di scala. Soluzione. Sono in presenza di economie di scala quando all aumentare del numero di unità prodotte il costo medio sostenuto dall impresa per produrle decresce. Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è monica.bonacina@unibocconi.it! 1

2 Def. 3. Saggio marginale di sostituzione tecnica. Soluzione. Indica in quale rapporto una data tecnologia consente di sostituire un fattore produttivo con un altro mantenendo inalterato il livello di produzione. E pari alla pendenza dell isoquanto in valore assoluto. Def. 4. Prodotto medio del lavoro. Soluzione. Indica quanto output producono mediamente i lavoratori impiegati. Supponendo che la funzione di produzione sia del tipo Q(K,L), il prodotto medio del lavoro è AP = ( ). Def. 5. Funzione di produzione di tipo additivo. Soluzione. Si tratta di una funzione di produzione del tipo Q(K,L)=aL+bK dove L e K sono i due input impiegati nella produzione (che in questo caso sono perfetti sostituti) mentre a, b sono parametri positivi. Quando la funzione di produzione è di tipo additivo gli isoquanti di produzione sono rette aventi pendenza costante e pari, in valore assoluto, ad a/b (MRTS=a/b). Def. 6. Funzione di produzione di breve periodo. Soluzione. Si tratta di una funzione di produzione del tipo Q( K,L) dove ho usato K per indicare che il fattore capitale è fisso; dunque il lavoro, L, è il solo fattore variabile per l impresa considerata. Def. 7. Rendimenti marginali decrescenti del fattore capitale. Soluzione. Sono in presenza di rendimenti marginali decrescenti nel fattore capitale quando all aumentare delle unità di capitale che l impresa impiega l output aumentamainmisuramenocheproporzionale(mp èdecrescente). 2 Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. Vero/Falso 8. Se nel breve periodo il prodotto marginale del lavoro è costante (ad esempio =2), allora all aumentare del numero dei lavoratori l output totale non cambia. Falso. Se il prodotto marginale del lavoro è costante, ciò significa che all aumentare del numero dei lavoratori l output totale aumenta sempre della stessa proporzione. 2

3 Vero/Falso 9. Se una tecnologia è caratterizzata da rendimenti marginali decrescenti in entrambi i fattori produttivi, allora presenta rendimenti di scala decrescenti. Falso/Incerto. I rendimenti marginali decrescenti non implicano rendimenti di scala decrescenti (es. = e = ). Vero/Falso 10. Se una tecnologia è caratterizzata da rendimenti marginali costanti e positivi in entrambi i fattori produttivi, allora presenta rendimenti di scala crescenti. Vero. Sono in presenza di rendimenti marginali costanti in entrambi i fattori produttivi se la mia funzione di produzione è del tipo Q(K,L)=L con a=b=1 (ovvero se gli esponenti di ambedue i fattori produttivi sono pari ad 1); quindi i rendimenti di scala saranno crescenti a+b=1+1=2 1. Vero/Falso 11. Se una tecnologia è caratterizzata da rendimenti di scala decrescenti, allora si caratterizzerà per rendimenti marginali in entrambi i fattori decrescenti. Vero. Sono in presenza di rendimenti di scala decrescenti se la mia funzione di produzione è del tipo Q(K,L)=L con a+b 1 (ovvero se la somma degli esponenti èinferioread1);quindiirendimentimarginalidiambedueifattorisarannodecrescenti(ovverosiaachebdovrannoessereinferioriad1). Vero/Falso 12. Nel caso di input perfetti sostituti il prodotto marginale di entrambi i fattori è decrescente. Falso. Nel caso di perfetti sostituti la funzione di produzione sarà del tipo Q(K,L)=aL+bK ed il prodotto marginale di ciascun input è costante e pari a, rispettivamente, MP = ; MP =. Vero/Falso 13. Considerate la seguente funzione di produzione ( ) =2 + 3, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale. Il prodotto marginale del lavoro è crescente. Falso. Ilprodottomarginaledellavoroècostanteeparia2. Vero/Falso 14. Si consideri la funzione di produzione = ( ;2 ). Si supponga che attualmente la combinazione di fattori utilizzati sia =8e =3. Allora ilprodottomarginaledelcapitaleè2. Vero. Aumentando di una unità l impiego del fattore capitale l output aumenta di 2 unità. Ma ulterioriaumentidicapitale(da4a5unitàadesempio)senon affiancati da aumenti di lavoro non porteranno ad ulteriori aumenti nell output. 3

4 Vero/Falso 15. Un impresa si caratterizza per una funzione di costo totale convessa, allora il costo marginale sarà crescente. Vero. Se la funzione di costo totale è convessa le unità addizionali che vengono prodotte costano sempre di più; quindi i costi marginali (che misurano l incremento nei costi totali derivante dalla produzione di un unità aggiuntiva) sono crescenti. Vero/Falso 16. Un impresa che usa lavoro e capitale ha una tecnologia descritta da una funzione di tipo Cobb-Douglas. Allora, se il salario unitario è troppo elevato non userà lavoro. Falso. Impiegherà lavoro fintanto che =w/r. Vero/Falso 17. Sono in presenza di rendimenti di scala costanti quando la funzionediproduzioneèdeltipo ( ) =, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). Incerto. Se a+b 1 allorasonoinpresenzadidiseconomiediscala(rendimenti di scala decrescenti); se a+b=1 sono in presenza di rendimenti di scala costanti; infine se a+b 1 sono in presenza di economie di scala (rendimenti crescenti di scala). Vero/Falso 18. Un impresa produce gomme da masticare attraverso la seguente funzione di produzione ( ) =3 +, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale. Allora potrà minimizzare i suoi costi impiegando solo il fattore lavoro. Incerto. L impresa minimizza i costi di produzione impiegando solo il fattore lavoro se MRTS w/r. Nel caso in esame MRTS=3 ma non conoscendo i prezzi dei due input non possiamo dire se la condizione sia effettivamente verificata. Vero/Falso 19. Se i costi marginali sono inferiori ai costi medi, sono in presenza di economie di scala. Vero. Seicostimarginalisonoinferioriaicostimedivuoldirecheilcostomedio èdecrescenteeseilcostomedioèdecrescentesonoinpresenzadieconomiediscala. Vero/Falso 20. Se sono in presenza di diseconomie di scala, i costi medi sono superiori ai costi maginali. Falso. Se i costi medi sono superiori ai costi marginali vuol dire che le unità addizionali che vado a produrre mi costano meno delle unità fino a qui prodotte; quindi il costo medio sarà decrescente e se il costo medio è decrescente sono in presenza di economie di scala. 4

5 Vero/Falso 21. Un impresa ha la seguente funzione di costo medio: =. Allora la sua funzione di costo marginale è =2. Vero. Dalla funzione di costo medio posso ricavare i costi totali TC=AC = 2. I costi marginali sono quindi MC=dTC/dQ=2Q. Vero/Falso 22. La seguente funzione di costo totale, ( ) = 2 +10, presenta economie di scala. Falso. Dalla funzione di costo totale posso ricavare la seguente funzione di costo medio: AC=TC/Q=Q+10. Dato che i costi medi sono crescenti nell output, avrò diseconomie di scala. Vero/Falso 23. La seguente funzione di costo totale, ( ) = , presenta diseconomie di scala per livelli di produzione superiori a 5. Vero. Dalla funzione di costo totale posso ricavare le seguenti funzioni di costo marginale e medio: MC = dtc dq = 3Q e AC = TC Q = Q Il minimo della funzione di costomedio si raggiunge quando MC=AC ovvero quando 3Q =Q da cui si ottiene Q*=5; quindi per livelli di output superiori a 5 MC AC (per livelli inferiori avrei MC AC) e quando MC AC AC è crescente sono in presenza di diseconomie di scala. Vero/Falso 24. La seguente funzione di costo totale, ( ) = , presenta rendimenti di scala crescenti. Vero. Dalla funzione di costo totale posso ricavare la seguente funzione di costo medio AC=TC/Q=10+150/Q. All aumentare del livello di output il costo medio diminuisce; quindi sono effettivamente in presenza di economie di scala ovvero di rendimenti di scala crescenti. Vero/Falso 25. La seguente funzione di costo totale, ( ) = , presenta economie di scala per livelli di produzione inferiori a 30. Falso. Dalla funzione di costo totale posso ricavare le seguenti funzioni di costo marginale e medio: MC = dtc dq = 3Q e AC = TC Q = Q Il minimo della funzione di costomedio si raggiunge quando MC=AC ovvero quando 3Q = Q dacuisiottieneq*=25;quindi per livelli di output inferiori a 25 MC AC (per livelli superiori avrei MC AC) e quando MC AC AC è decrescente sono in presenza di economie di scala. Vero/Falso 26. scala. Se i costi totali sono concavi allora l impresa gode di economie di Vero. Se la funzione di costo totale è concava le unità addizionali che ven- 5

6 gono prodotte costano sempre meno; quindi sia i costi marginali (che misurano l incremento nei costi totali derivante dalla produzione di un unità aggiuntiva) che i costi medi sono decrescenti. Vero/Falso 27. Se i costi totali sono lineari nell output e siamo nel breve periodo, allora l impresa gode di economie di scala. Vero. Se la funzione di costo totale è lineare e siamo nel breve periodo vuol dire che i costi totali sono del tipo TC(Q)=cQ+CF (dove c è un parametro positivo e CF indica il costo fisso che abbiamo nel breve periodo). I costi medi saranno quindi del tipo AC=c+CF/Q e dunque decrescenti nell output. E quando i costi medi sono decrescenti siamo in presenza di economie di scala. Vero/Falso 28. Se i costi totali sono lineari nell output e siamo nel lungo periodo, allora il costo di ogni unità aggiuntiva di output sarà costante. Vero. Se la funzione di costo totale è lineare e siamo nel lungo periodo vuol dire cheicostitotalisonodeltipotc(q)=cq (dovec è un parametro positivo e non ho costi fissi perchè sono nel lungo periodo). Il costo di un unità aggiuntiva è il costo merginaleenelcasodispeciemc=ccostante! 3 Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Esercizio 1. La tecnologia dell impresa Gamma è rappresentata dalla seguente funzione di produzione: ( ) =3 +, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). (1) Discutete la relazione che lega i due input e rappresentate in un opportuno grafico gli isoquanti associati ai livelli di output Q 1 =90eQ 2 = 120. (2) Sapendo che i prezzi dei fattori sono = 4 e r = 8, scrivete l espressione analitica del generico isocosto e trovate la combinazione dei fattori necessaria per produrre 120 unità di output. (3) Supponete ora che il produttore voglia raddoppiare la sua attuale produzione. Stabilite la nuova combinazione ottimale degli input e rappresentatela graficamente. Soluzioni. (1) Capitale e lavoro sono perfetti sostituti; infatti il saggio marginale di sostituzione tecnica (che è pari al rapporto tra la produttività marginale del fattore lavoro, MP =1, e quella del fattore capitale, MP =3) è costante e pari ad 1/3. Isoquanto = 3 + K=30-(1/3)L Isoquanto = 3 + K=40-(1/3)L 6

7 K Isoquanto 120 Isoquanto 90-1/3-1/ L (2) Il generico isocosto è = + = 8 (1 2) e si caratterizza per una pendenza pari a -1/2 (-w/r). Dato che il valore assoluto della pendenza dell isocosto (1/2) è maggiore del valore assoluto della pendenza dell isoquanto (1/3), l impresa sceglierà di impiegare solo capitale; quindi per produrre 120 unità impiegherà L =0, K =40sostenendouncostocomplessivo = = 320 K Combinazione ottima 40 Isoquanto 120 Isocosto in corrispondenza della combinazione ottima -1/2-1/3 120 L (3) La funzione di produzione considerata si caratterizza per rendimenti marginali costanti per entrambi i fattori; quindi per raddoppiare la produzione è sufficiente raddippiare l impiego di capitale. La combinazione ottima per produrre 240 unità 7

8 è L =0, K =80. K 80 Nuova combinazione ottima Isoquanto 240 Vecchia combinazione ottima 40 Isoquanto 120 Isocosto in corrispondenza della nuova combinazione ottima -1/2-1/3 120 L Esercizio 2. L impresa Confit2011 produce marmellata di fragole utilizzando esclusivamente lavoro e capitale secondo la seguente funzione di produzione: Q(K,L) =min( ;2 ) dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). (1) Discutete la relazione che lega i due input e rappresentate in un opportuno grafico gli isoquanti associati ai livelli di output Q 1 =6eQ 2 =12. (2) I prezzi dei fattori sono =1er=2. Supponendo che Confit2011 voglia produrre 12 unità di output, calcolate la combinazione ottima di fattori. (3) Supponete che il prezzo di entrambi i fattori raddoppi. Senza fare troppi calcoli discutete gli effetti di tale aumento sulla scelta ottima di Confit2011 ipotizzando che l impresa voglia continuare a produrre 12 unità di output. Soluzioni. (1) Capitale e lavoro sono perfetti complementi. A seconda delle combinazioni dei due input il saggio marginale di sostituzione tecnica è infinito (tratto verticale dell isoquanto), nullo (tratto orizzontale dell isoquanto) o non definito (punto angoloso). Isoquanto 6 6=min( ;2 ) Isoquanto =min( ;2 ) 8

9 K Isoquanto 12 Isoquanto 6 Retta dei vertici 2K=L L (2) La combinazione ottima di input stante l obiettivo di produzione è ½ ½ Isoquanto = min( 2 ) Retta dei vertici 2 = ½ 12 = min( ) 2 = =12 =6 (3) Il cambiamento nei pezzi degli input non modifica la scelta ottima dell impresa ma aumenta i costi totali di produzione. Esercizio 3. Un impresa produce il suo output Q con la funzione di produzione Q(K,L)=K 1 3 L 1 3, dove K e L sono le quantità di capitale e lavoro utilizzate. Il costo unitario del lavoro è w = 5, e quello del capitale è r = 2. (1) Fornite le definizioni e le espressioni con i dati a disposizione, delle seguenti nozioni: isocosto (in corrispondenza di un generico costo totale, TC), e saggio marginale di sostituzione tecnica. (2) Supponete che l impresa operi nel breve periodo, con una dotazione di capitale pari a K 1 =10. Qual è il minimo costo al quale l impresa può produrre la quantità Q 1 =10? (3) Supponete che l impresa operi nel lungo periodo. Qual è il minimo costo al quale l impresa può produrre la quantità Q 1? Commentate la differenza rispetto al caso precedente. Soluzioni. (1) L isoquanto Q 1 è l insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi che consentono all impresa di ottenere un volume di produzione pari a Q 1. Nel caso in esame abbimo che Isoquanto = =10 3 Il generico isocosto TC è l insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi associate ad un costo totale TC. Isocosto TC = + = 2 (5 2) Il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS), espresso in valore assoluto, è il saggio al quale il capitale (in ordinata) può essere sostituito al lavoro (in ascissa), 9

10 lasciando invariato livello dell output. Geometricamente, è l inclinazione di un isoquanto in un dato punto. = = in quanto MP =(1 3) emp =(1 3) (2) Se si vuole produrre un output pari a 10 usando un ammontare fisso di capitale ( K) pari a 10, data la funzione di produzione occorre che sia soddisfatta la condizione = 10 = = = 100 Dati i prezzi dei fattori, il costo totale da sostenere nel breve periodo sarà dunque + = = 520 (3) Nel lungo periodo entrambi i fattori sono variabili e la combinazione ottima di input si ottiene risolvendo il sistema ½ ½ ½ Isoquanto 10 =10 Tangenza isocosto-isoquanto 3 =10 MRTS=w/r 3 =5 2 dacuisiottienel =20e =50 Il costo totale in corrispondenza di tale situazine è + = = La possibilità di variare entrambi gli input consente all impresa una minimizzazione dei costi di produzione (non possibile nel breve periodo dove un input era fisso). Esercizio 4. Si consideri la seguente funzione di produzione Q(K,L)=K L,dove Qèl output, eleklequantità, rispettivamente, di lavoro e capitale impiegate. (1) Si definisca la nozione di prodotto (o rendimento) marginale di un generico fattore di produzione; per la funzione di produzione considerata, si fornisca l espressione dei prodotti marginali dei due fattori, e si dica se e quando essi sono crescenti, decrescenti, o costanti; si definisca il saggio marginale di sostituzione tecnica e se ne fornisca l espressione per la funzione di produzione considerata, spiegando a parole il significato di tale espressione. (2) Si definisca la nozione di rendimenti di scala per una generica funzione di produzione; per la funzione di produzione considerata, si indichi come vanno valutati i rendimenti di scala, e se e quando essi sono crescenti, decrescenti, o costanti. (3) Si consideri infine una funzione di produzione, del tutto diversa dalla precedente, che ha per argomento il solo fattore L. Le uniche informazioni che abbiamo sono che il prodotto medio ha intercetta nulla, è inizialmente crescente, e poi decrescente. Si tracci il grafico del prodotto medio e di quello marginale. Soluzioni. (1) Il prodotto (o rendimento) marginale di un fattore indica di quanto aumenta l output se la quantità di quel fattore aumenta di una unità mantenendo invariata la quantità dell altro fattore. Considerando la funzione di produzione Q(K,L)=K abbiamo un prodotto marginale del fattore lavoro pari a = ( ) ed un prodotto marginale del fattore capitale = ( ) 10 = 1 = 1

11 Questi prodotti marginali sono crescenti, decrescenti o costanti a seconda dell esponente del corrispondente fattore. MP MP crescente b-1 0 a-1 0 costante b-1=0 a-1=0 decrescente b-1 0 a-1 0 Il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS), considerando il lavoro in ascissa, è il tasso a cui il capitale deve essere sostituito al lavoro per lasciare l output invariato, ovvero misura di quanto deve diminuire il capitale quando il lavoro aumenta di una unità e vogliamo rimanere sul medesimo isoquanto (è dunque l inclinazione dell isoquanto). Nel caso della funzione considerata abbiamo = = = (2) I rendimenti di scala indicano di quanto varia l output se le quantità di tutti i fattori aumentano nella medesima proporzione. In particolare, i rendimenti di scala di una funzione di produzione si dicono crescenti se l output aumenta in maniera più che proporzionale rispetto agli input; costanti se l output aumenta in maniera proporzionale agli input; decrescenti se l output aumenta in maniera meno che proporzionale rispetto agli input. Indichiamo con 0 il livello di output associato all impiego di un quantitativo L 0 di lavoro e K 0 di capitale 0 =( 0 ) ( 0 ) moltiplicando entrambi gli input per lo stesso numero (questo significa farli aumentare nella stessa proporzione) otterremmo 1 =( 0 ) ( 0 ) = + ( 0 ) ( 0 ) = + 0 Nel caso in esame + è l aumento di output conseguente ad un aumento di volte di entrambi i fattori produttivi. Ho rendimenti di scala crescenti se rendimenti di scala costanti se rendimenti di scala decrescenti se + + 1; + = + =1; (3) Il prodotto marginale (MP) è uguale al prodotto medio (AP) in corrispondenza della "primissima" unità prodotta; inoltre AP è crescente quando MP AP, costante quando MP=AP, decrescente quando MP AP. Graficamente 11

12 AP MP MP AP L Esercizio 5. La tecnologia dell impresa Alfa è rappresentata dalla seguente funzione di produzione: ( ) = +4, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). (1) Dite di che tipo di tecnologia si tratta, calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica e rappresentate in un opportuno grafico gli isoquanti associati ai livelli di output Q 1 =40eQ 2 =80. (2) Sapendo che i prezzi dei fattori sono w=2 e r=6, scrivete l espressione analitica del generico isocosto e trovate (indicandola nel grafico) la combinazione dei fattori necessaria per produrre Q 2 =80unità di output. (3) Il governo locale decide di agevolare l impiego di lavoro ed introduce una tassa di ammontare t (t 0) per ogni unità di fattore capitale impiegato. Indicate l effetto della manovra sul prezzo del capitale. Qual è il valore minimo della tassa per cui il lavoro è preferito al capitale? Discutete il risultato ottenuto. Soluzioni. (1) Capitale e lavoro sono perfetti sostituti; il saggio marginale di sostituzione tecnica è costante e pari ad 1/4 (MP =1,MP =4). Isoquanto 40 Isoquanto = = +4 =10 (1 4) =20 (1 4) da cui K 20 Isoquanto Isoquanto 40-1/4-1/ L 12

13 (2) L espressione analitica del generico isocosto TC è Isocosto TC = + = 6 (1 3) Dal momento che i fattori sono perfetti sostituti e che il valore assoluto della pendenza dell isocosto (w/r=1/3) è maggiore del valore assoluto della pendenza di un isoquanto (MRTS=1/4), l impresa deciderà di impiegare esclusivamente capitale; dunque per produrre 80 unità impiegherà L =0 K =20sostenendo un costo complessivo pari a + = = 120 K Combinazione ottima 20 Isoquanto Isoquanto 40-1/4-1/ L (3) In seguito all introduzione della tassa il prezzo del capitale diventa r+t r. La manovra incentiva l impiego di lavoro se la tassa è tale da far sì che Per valori della tassa inferiori a 2 la manovra non ha effetto, per valori superiori induce le imprese ad impiegare solo lavoro, quando t=2 qualunque combinazione di input appartenente all isoquanto rappresenta una possibile combinazione ottima. Esercizio 6. Si consideri la seguente funzione di produzione ( ) = ( ), dove Q è l output, e L e K le quantità, rispettivamente, di lavoro e capitale impiegate. (1) Fornite l espressione dei prodotti marginali dei due fattori e dite se (e quando) essi sono crescenti, decrescenti, o costanti. (2) Sapendo che i prezzi dei fattori sono w ed r, individuate sulla base delle informazioni a disposizione, la combinazione di fattori impiegata dall impresa per produrre una unità di output. (3) Supponete che il costo del capitale si riduca (r r). Discutete l effetto di tale contrazione sulla combinazione ottima di fattori e sul costo torale di produzione ipotizzando di voler produrre sempre una sola unità di output. Soluzioni. (1) Il prodotto (o rendimento) marginale di un fattore indica di quanto aumenta l output se la quantità di quel fattore aumenta di una unità mantenendo invariata la quantità dell altro fattore. In generale, si tratta della derivata parziale della funzione di produzione rispetto a quel fattore. Nel caso della funzione considerata, la funzione Lentief", ovvero con fattori perfetti complementi, occorre però stare attenti. Il prodotto marginale del fattore lavoro è = se 0 13

14 infatti quando per aumentare l output è necessario un aumento del fattore capitale; similmente il prodotto marginale del capitale è se MP = 0 (2) La combinazione ottima di input per produrre un unità di output si ottiene risolvendo il sistema ½ ½ Isoquanto 1 1= ( ) Retta dei vertici = da cui L =1 ek =1 conuncostocomplessivodiproduzione + = + (3) La contrazione nel costo del capitale non modifica la scelta ottima dell impresa che resta L =1 ek =1 ; modifica però il costo totale di produzione che si riduce (a parità di output prodotto). Esercizio 7. L impresa A è caratterizzata dalla seguente funzione di produzione: ( ) =4 +3, dove Q è l output, mentre L e K sono gli input. I prezzi degli input sono rispettivamente w = 2 e r = 6. (1) Rappresentate in un opportuno grafico la mappa di isoquanti (almeno 3 curve) e calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro. (2) Supponete che l impresa voglia produrre 24 unità di output (Q* = 24). Trovate la combinazione ottima di fattori produttivi necessaria a produrre tale quantità e calcolate il costo sostenuto dall impresa. Rappresentate la combinazione ottima di fattori nel grafico al punto precedente. (3) Ipotizzate ora che il salario raddoppi (w =4). Qual è l effetto di questo aumento nel costo del lavoro sulla combinazione ottima di input e sul costo totale di produzione? Supponete che l impresa continui a voler produrre 24 unità di output. Soluzioni. (1) Tecnologia con fattori perfetti sostituti. MRTS=4/3. (2) Dal momento che MRTS P /P l impresa usa solo fattore lavoro per produrre l output desiderato; quindi vaolendo produrre 24 unità di output e dato che 14

15 K*=0, sostituendo nella funzione di produzione si ottiene L*=24/4=6. Il costo totale sostenuto dall impresa è TC(24)=wL*+rK*=12. (3) L impresa continuerà ad utilizzare solo lavoro per produrre l output, poichè MRTS è ancora maggiore di P /P. Non ci sarà impatto sulla combinazione ottima di input utilizzata (che sarà quindi ancora L*=6 e K*=0), ma il costo totale di produzione saràsuperiore al precedente: TC (24)=w L*+rK*=24. Esercizio 8. Si consideri un impresa che produce utilizzando due soli fattori di produzione. La funzione di produzione è Q(K,L)= KL, dove Q indica il livello di output mentre K e L indicano, rispettivamente, capitale e lavoro. Il salario è w = 2 mentre il costo del capitale è r = 3. (1) Stante la forma della funzione di produzione, cosa si può dire sui rendimenti marginali (di ciascun fattore) e sui rendimenti di scala di quest impresa? (2) Si supponga che nel breve periodo il capitale sia fisso al livello =1. Siricavilafunzionedicostototalee il costo marginale di breve periodo. Quante unità di lavoro sono necessarie all impresa per produrre 6 unità di output? Che costi deve sostenere l impresa? (3) Supponete ora che l impresa operi nel lungo periodo e che quindi entrambi i fattori siano variabili. Calcolate la combinazione di input che minimizza la spesa necessaria a produrre 6 unità di output. I costi sostenuti dall impresa nel lungo periodo sono superiori o inferiori a quelli di breve periodo? Soluzioni. (1)Irendimentimarginalidientrambiifattorisonocostantiedi rendimenti di scala della funzione di produzione sono crescenti; infatti raddoppiando l impiego di entrambi gli input l output quadruplica ossia aumenta in maniera più che proporzionale. (2) L isocosto di breve periodo è TC=wL+r =2 +3; inoltre dalla funzione di produzione nel breve periodo otteniamo che Q(1,L)=L ovvero la produzione di una unità di output richiede l impiego di un lavoratore (L=Q) quindi la funzione di costo di breve periodo dell impresa è TC(Q)=2Q+3 da cui si ottiene il seguente costo marginale: MC=2. Se l impresa vuole produrre 6 unità di output dovrà impiegare 6 lavoratori e sostenere dei costi complessivi pari a 15. (3) Nel lungo periodo l impresa puù far variare entrambi gli input e scegliere la combinzione che le consente di minimizzare i costi stante il suo obiettivo di produzione. Per individuare la cominazione ottima di input dobbiamo risolvere un sistema tra l isoquanto che ci interessa (ovvero l isoquanto con Q=6) e la condizione di tangenza tra isoquanto ed isocosto (MRTS=w/r). Formalmente ½ ½ 6= =6 =2 3 2 =4 =2e =3 ne consegue un costo di lungo periodo pari a 12 (inferiore a quello sostenuto dall impresa nel breve periodo quando il capitale era fisso). NB. Dal momeno che nel lungo periodol impresapuòmodificare la quantità impiegata di entrambi gli input, il suo costo dilungoperiodosarànonsuperioreaquellodibrevepe Esercizio 9. L impresa Alfa produce dolci (Q) utilizzando due fattori produttivi: lavoro (L) e farina (K). La funzione di produzione dell impresa è la seguente: Q(K,L)=L (1) Stante la forma della funzione di produzione, cosa si può dire sui rendimenti marginali (di ciascun fattore) e sui rendimenti di scala di quest impresa? Motivate la risposta. (2) Supponendo che il salario sia pari a 12 e il costo della farina sia pari a 3, scrivete l equazione del generico isocosto, e rappresentatelo graficamente, indicando le intercette e la pendenza. (3) Individuate la combinazione ottima di input 15

16 supponendo che l impresa desideri produrre 60 dolci. Fornite una rappresentazione grafica di tale scelta ottima. (4) Se l impresa volesse raddoppiare la sua produzione, quale sarebbe la sua nuova combinazione ottima di input? Motivate la risposta. [N.B. Non sono necessari calcoli]. Soluzioni. (1) Si tratta di una funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas con esponenti per ciascun input pari a 0.5 e somma degli esponenti pari ad 1; quindi i rendimenti di scala sono costanti ( =1) mentre i rendimenti marginali di ambedue i fattori sono decrescenti (0.5 1). (2) Il generico isocosto è TC=wL+rK ovvero, sostituendo i dati forniti dall esercizio, TC=12L+3K e si caratterizza per un intercetta verticale (0; TC/3), per un intercetta orizzontale (TC/12; 0) e per una pndenza, in valore assoluto, pari a 4. (3) Stante il tipo di tecnologia impiegata per individuare la combinazione ottima di input nell ipotesi di volet produrre 60 unità di output dobbiamo risolvere un sistema con isoquanto 60 e condizione di tangenza tra isoquanto ed isocosto; quindi ½ 60 = =4 ½ =4 60 = 2 = 120 e =30 La rappresentazione grafica della combinazione ottima di input è riportata nel grafico al punto (1). (4) Dal momento che i rendimenti di scala sono costanti l impresa per raddoppiare il volume di output dovrà impiegare una quantità doppia di ambedue gli input. Esercizio 10. L impresa Beta fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = min (L, K), dove Q indica la quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati nel processo produttivo. (1) Stante la forma della funzione di produzione discutete della relazione tra i due fattori produttivi. Fornite una rappresentazione grafica di 3 isoqanti di produzione. (2) Sapendo che w=3, r=4 e che l impresa vuole produrre 60 unità di output, individuate la combinazione ottima di input e rappresentatela nel grafico al punto (1). (3) Supponete ora che il salario aumenti, w =7. supponendo che r=3 e che l impresa desideri ancora produrre 60 unità di output, che effetto avrà tale aumento sulla combinazione ottima di input? E sui costi di produzione dell impresa? Rispondete sia analiticamente che graficamente. 16

17 Soluzioni. (1) Capitale e lavoro sono perfetti complementi; l impresa necessita di entrambi per la produzione dell output; in particolare necessita di 1 unità di K e di 1 unità di lavoro per ogni unità di output che desidera produrre. (2) Se l impresa vuole produrre 60 unità di output avrà bisogno di 60 unità di lavoro e di 60 unità di capitale. La scelta ottima è rappresentata nel grafico al punto precedente. (3) Se l impresa vuole continuare a produrre 60 unità di output dovrà necessariamente cotinuare ad impiegare 60 unità di lavoro e 60 unità di capitale; dunque la combinazione ottima di input sarà la stessa del punto (2). Ma visto che il costo del lavoro è aumentato ora l impresa dovrà sopportare dei costi più elevati; infatti il costo totale di produrre 60 unità di output in corrispondenza dei prezzi iniziali degli input era TC(60)=420 mentre il costo di produrre 60 unità di output in corrispondenz dei nuovi prezzi degli input è TC (60)=600 TC(60)=420. Nel grafico al punto (1) riportiamo l isocosto TC(60)=420, l isocosto equivalente con i nuovi prezzi (quello tratteggiato più vicino all origine con la stessa intercetta verticale dell isocosto TC(60)=420 ) e l isocosto TC (60)=600 che ha la stessa pendenza dell isocosto tratteggiato ma è più lontano dall origine e consente all impresadiprodurre60unitàdi output a minimo costo. 17