Economia Pubblica Rischio e Incertezza

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Economia Pubblica Rischio e Incertezza"

Transcript

1 Economia Pubblica Rischio e Incertezza Giuseppe De Feo Università degli Studi di Pavia Secondo Semestre

2 Seconda parte del corso di Economia Pubblica I problemi dell economia dell informazione e degli effetti per la regolamentazione saranno oggetto della nostra analisi Noi analizzeremo situazioni in cui l informazione è importante perché non è Completa e Perfetta utilizzeremo la teoria dei giochi fatta in Economia Industriale come base di partenza

3 Informazione Incompleta e imperfetta Dagli studi di teoria dei giochi in Economia Industriale: giochi simultanei: giochi con informazione completa Ogni giocatore conosce tutti i dettagli del gioco Giochi dinamici: giochi con informazione completa e perfetta ogni giocatore conosce le scelte fatte in ogni stadio precedente del gioco Ma se al momento della scelta il giocatore non conosce le decisioni già prese dagli altri giocatori: informazione imperfetta E se i dettagli del gioco non sono tutti noti a tutti i giocatori: informazione incompleta

4 Perché è importante studiare l economia dell informazione? evita di utilizzare l assunzione di conoscenza perfetta che è abbastanza irrealistica; dà gli strumenti per analizzare situazioni dove l informazione è asimmetrica costruisce modelli che permettono di analizzare i problemi di incentivo in un mondo imperfetto è uno strumento molto utile per l analisi del comportanto individuale e dell equilibrio di mercato quando l informazione è fondamentale. (i mercato finanziari e assicurativi sono gli esempi più chiari) ma anche per l analisi della vita di tutti i giorni Utilizzeremo il rigore analitico e le tecniche della teoria dei giochi, ma anche l intuizione e analisi meno formali per descrivere i problemi causati dall informazione incompleta.

5 Taxiiii!!!?

6 Perché tanti mutui subprime?

7 Rischio e Incertezza Outline Introduction scelte dalle conseguenze incerte Valore atteso Utilità attesa Utilità del valore atteso Attitudine al rischio Lotterie eque Avversione al rischio Rappresentazione grafica dell avversione al rischio Paragoni Interpersonali di avversione al rischio vincolo di bilancio per beni contingenti assicurazione Premio assicurativo equo Teorema dell assicurazione completa Mercati assicurativi concorrenziali

8 Riferimenti bibliografici Frank (2010), Microeconomia 5/ed capitolo 6 Katz & Rosen (2003), Microeconomia 2/ed capitolo 6

9 Scommesse e lotterie

10 Scommesse e lotterie Mr Punter ha una ricchezza monetaria m esi chiede se scommettere o meno sul sul numero fortunato, il 4 Example (Roulette francese) 2 stati del mondo rilevanti la pallina si ferma sul 4 la pallina si ferma altrove Probabilità % prob stato % prob stato 2 37 Risultati possibili: Non scommette Scommette e perde x Scommette e vince w

11 Scommesse e lotterie Example (Roulette Francese) MrPunter Bet Not bet Nature 1 Nature 2 n = 4 (0.027) n 4 (0.973) n = 4 (0.027) m+w m x m m Questo non è l albero di un gioco dinamico, ma è un albero della decisione non c è interazione strategice tra Mr Punter e la fortuna o Natura (un giocatore fittizio) Le probabilità delle mosse della Natura sono scritte accanto ai rami dell albero ci sono solo le vincite contingenti

12 Il valore atteso di una scelta dalle conseguenze incerte Mr Punter deve scommettere o meno? La risposta dipende dalla vincita attesa 1. il modo più semplice è paragonare il valore atteso delle vincite Definition (Valore atteso (EV)) Il valore atteso della vincita derivante da una particolare scelta è pari alla media delle vincite associate a tutti i possibili esiti derivanti dalla scelta stessa. La media è calcolata pesando ciascuna vincita per la probabilità ad essa associata. Se non scommette: EVnobet = m se scommette: EVbet = (m+w)+ 37 (m x) EVbet > EV nobet solo se (m+w)+ 37 (m x) > m or w > 36x

13 L utilità attesa di una scelta dalle conseguenze incerte L utilità non (sempre) dipende dal valore atteso ad es. se ti piace o sei avverso al rischio. Al fine di tener conto dell attitudine al rischio: 2. un modo alternativo è paragonare l utilità attesa (EU) delle vincite Definition (Utilità attesa (EU)) L utilità attesa delle possibili vincite derivanti da una scelta è la media dell utilità delle vincite associate a tutti i possibili esiti derivanti dalla scelta stessa. La media è calcolata pesando ciascuna utilità per la probabilità ad essa associata. EU è generalmente diversa dalla utilità del valore atteso (UEV)

14 Utilità del valore atteso EU è generalmente diversa dalla utilitàdel valore atteso (UEV) Definition (Utilità del Valore Atteso (UEV)) L utilità del valore atteso di una scelta dalle conseguenze incerte è l utilità della media pesata delle vincite associate a tutti i possibili esiti. È cioè l utilità di EV. EU di scommettere per Mr Punter è: 1 36 U(m+w) U(m x) Mentre l utilità del valore atteso (UEV) è: ( ) 1 36 U (m+w) (m x) Vedremo che esse sono uguali solo se mr Punter non è influenzato dal rischio

15 Valore atteso e utilità attesa Voi cosa massimizzate, il valore atteso o l utilità attesa? Example (Scegliete tra le seguenti lotterie) Lotteria 1: 10% di probabilità di vincere Euro5,000 70% di probabilità di vincere Euro2,500 20% di probabilità di vincere zero Lotteria 2: 40% di probabilità di vincere Euro5,000 20% di probabilità di vincere Euro2,500 40% di probabilità di vincere zero Quale preferite?

16 Valore atteso e utilità attesa Voi cosa massimizzate, il valore atteso o l utilità attesa? Example (ancora un altra scelta tra lotterie) Lotteria A: 50% di probabilità di vincere Euro10,000 50% di probabilità di vincere zero Lotteria B: 100% di probabilità di vincere Euro5,000 Se le persone massimizzano l utilità attesa piuttosto che il valore atteso, non sceglieranno necessariamente le opzioni con il più alto valore atteso Se il rischio ha un effetto sulle preferenze delle persone, l utilità attesa di una lotteria sarà diversa (maggiore o minore) dell utilità del valore atteso ma l utilità attesa in assenza di incertezza (lotteria degenerata) sarà uguale all utilità del valore atteso

17 Attitudine al rischio Neutralitàl rischio: utilità marginale costante: U(x) = x (infatti, MU = du/dx = 1) questo implica che UEV = EU Indifferente tra una vincita certa ed una lotteria con lo stesso EV Example (neutralità al rischio: U(x) = x) Lotteria A: (1/2) (1/2)zero So EU = UEV EU = 1/2U(0)+1/2U(10,000) = 0.5(10,000) = 5,000 UEV = U(1/2(10, 000)) = 5000 Lotteria B: (1)5000 vincita certa EU = UEV = (1)U(5000) = 5000 Quindi l individuo è indifferente tra A e B

18 Attitudine al rischio Avversione al rischio: Utilità marginale decrescente; ad es. U(x) = x 2 1 = x infatti, (MU = du/dx = 1 2 x 1 2 = 1 1 questo implica che UEV > EU Si preferiscono le opzioni più sicure 2 x ) Example (avversione al rischio: U(x) = x 1 2) Lotteria A: (1/2) (1/2)zero EU = 1/2U(0)+1/2U(10,000) = 0.5(10,000) 2 1 = 50 UEV = U(1/2(10,000)) = = 70.7 So UEV > EU Lotteria B: (1)5000 vincita certa EU = UEV = = 70.7 Quindi B è preferita ad A perché è una opzione più sicura

19 Attitudine al rischio Funzioni di utilità di amanti del rischio: Utilità marginale crescente; ad es. U(x) = x 2 (infatti, MU = du/dx = 2x) questo implica che UEV < EU scelte rischiose sono preferite a scelte più sicure Example (amanti del rischio: U(x) = x 2 ) Lotteria A: (1/2) (1/2)zero EU = 1/2U(0)+1/2U(10,000) = 0.5(10,000) 2 = 50,000,000 UEV = U(1/2(10,000)) = = 25,000,000 So UEV < EU Lottery B: (1)5000 vincita certa EU = UEV = = 25,000,000 Quindi A è preferita a B perché si ama il rischio

20 Lotterie eque Le lotterie eque hanno un valore atteso EV = 0 Ad es. un gioco in cui si ha: probabilità del 50% di vincere 10 probabilità del 50% di perdere 10 Il EV della ricchezza se si accetta la scommessa è lo stesso che si ha rifiutando la scommessa Accettereste queto tipo di lotteria? Persone avverse al rischio rifiuterebbero queste lotterie eque

21 Summary Persone neutrali al rischio non sono influenzate dal rischio Scelgono l opzione con il più alto valore atteso il rischio non piace alle persone avverse al rischio queste scelgono l opzione più sicura si assicurano Agli amanti del rischio piace il rischio scelgono le opzioni più rischiose a loro piace scommettere

22 Rappresentazione grafica dell avversione al rischio Example (Che tempo che fa) Un contadino deve affrontare una lotteria: con probabilità 1 2 il tempo sarà buono 20,000 con probabilità 1 2 il tempo sarà cattivo 10,000 Le sue preferenze relative al reddito sono descritte da U(x) Il valore atteso della lotteria è: ci chiediamo se EV(x) = EU(x)? UEV(x)

23 Rappresentazione grafica dell avversione al rischio U(20) UEV = U( 1 EU = U(10) ) 2 U(20) U(10) U(x) CE x CE è l Equivalente Certo: la somma di denaro certa che dà al contadino la medesima utilità attesa della lotteria CE < EV poiché il contadino è avverso al rischio EV CE = Premio al rischio

24 Paragoni Interpersonali di avversione al rischio U(x) Neutrale al rischio minore avversione al rischio maggiore avversione al rischio x coefficiente Arrow-Prat di avversione al rischio: Usa U(x) = x α con diversi valori di α (0,1] più piccolo è α, maggiore è l avversione al rischio xu (x) U (x)

25 Scelte disponibili in condizioni di incertezza Indichiamo con (x,y) ogni scelta possibile per un individuo in condizioni di incertezza, dove x è il payoff monetario nel caso di evento negativo y è il payoff monetario nel caso di evento positivo Con ciò possiamo mostrare che spesso gli individui possono scegliere la combinazione (x, y) preferita nell insieme di combinazioni possibili spesso le combinazioni possibili sono rappresentate da un equazione lineare ax +by = θ questa è chiamata vincolo di bilancio o linea delle opportunità di mercato

26 Asset (attività finanziaria) Definition Un asset è un opportunità che dà un rendimento basso x con probabilità π e un rendimento alto y con probabilità (1 π). Example (Investire in un asset) Alberto ha una ricchezza monetaria pari a 100 Euro. Egli può investire z Euro in un assett che da un rendimento pari a 3 z con una probabilità paria a 0.7 z con una probabilità pari a 0.3 In termini di combinazione (x,y): x = 100 z y = 100+3z Riscrivendo la prima eq.: z = 100 x e sostituendola nella seconda otteniamo il vincolo di bilancio y +3x = 400

27 Assicurazione Example (Assicurarsi) Un individuo ha una proprietà che vale Euro con una probabilità pari a 0.05 (5%) questa può essere danneggiata con una perdita pari a Euro Ma ci si può assicurare ad un prezzo pari a 10 cent per Euro di copertura se C è la copertura aquistata: x = 400+C 0.10C y = C riscrivendo la 2a: C = y e sostituendo nella 1a: x +9y = è il vincolo di bilancio (linea delle opportunità di mercato) (si verifichi che sia vera in assenza di compertura assicurativa)

28 Premio assicurativo equo Definition La linea della quotazione equa è quel vincolo di bilancio che puèo essere scritto nella forma di πx +(1 π)y = θ dove π è la vera probabilità di ricevere x, e θ è una costante. Example Assicurazione Si assuma che la probabilità di un incidente sia pari al 5%. Se il premio assicurativo è pari a 5 cent per Euro, allora la linea delle opportunità di mercato è.05x +(1 0.05)y = θ dove θ dipende dalla ricchezza individuale e dal valore del danno. In tal caso diciamo che il premio assicurativo è equo.

29 Teorema dell assicurazione completa Theorem Si supponga che il vincolo di bilancio sia πx +(1 π)y = θ, dove π è la probabilità di evento negativo x. Allora, un individuo avverso al rischio massimizza l utilità attesa comprando assicurazione completa, ovvero definendo x = y = θ Prova: Si consideri y funzione di x. y(x) dal vincolo di bilancio: x = π 1 π max x EU(x) = πu(x)+(1 π)u(y(x)) FOC: EU(x) x = πu (x)+(1 π)u (y(x)) y(x) x =0 riarranginando: πu (x) = (1 π)u (y(x)) π 1 π π Si ottiene: 1 π U (x) = U (y(x)) π 1 π Quindi: U (x) = U (y(x)) che è possibile solo quando x = y (poiché U < 0)

30 Teorema dell assicurazione completa Si supponga il seguente problema: Un individuo ha una ricchezza pari a = W La probabilità di avere una perdita è = P L L ammontare della possibile perdita è = L ma l individuo può acquistare una polizza assicurativa dove l ammontare coperto pari a = q il prezzo unitario dell assicurazione è = r il costo totale è pari a = rq se si acquista assicurazione completa allora q = L

31 Assicurarsi si, ma quanto? La scelta di q che massimizza l utilità attesa è data da EU ins = P L U(W L+q(1 r))+(1 P L )U(W rq) Per trovare il valore di q che max EU ins F.O.C.: EU ins q = 0 (1 r)p L U (W L+q(1 r)) r(1 P L )U (W rq) = 0 Riarrangiando l equazione: P L U (W L+q(1 r)) (1 P L ) U = r (W rq) 1 r che è la regola decisionale per colui che deve comprare l assicurazione

32 Assicurarsi si, ma quanto? Theorem (Il teorema dell assicurazione completa) se il premio è equo, cioè se r = P L, individui avversi al rischio comprano assicurazione piena Infatti, P L U (W L+q(1 r)) r (1 P L ) U = (W rq) 1 r r U (W L+q(1 r)) r 1 r U = (W rq) 1 r U (W L+q(1 r)) U = 1 (W rq) U (W L+q(1 r)) = U (W rq) Ma quest ultima è vera se e solo se q = L

33 Esempio numerico Si assuma che Giorgia ha una funzione di utilit pari a U(w) = w α con α = 1 2 e la sua ricchezza vale 100 Euro. Francesco ha una funzione di utilità V(w) = w α con α = 1 3 e la sua ricchezza vale 100. Si supponga che entrambi rischino di perdere utta la loro ricchezza con una probabilità pari a π = 0.1. Quanta assicurazione sono disposti a pagare se il prezzo di mercato è pari a 10 cent per Euro? E quanta copertura assicurativa se il prezzo è invece pari a 20 cent per Euro?

34 Il comportamento delle imprese assicurative in un mercato competitivo Le compagnie di assicurazione massimizzano il profitto Il profitto atteso è paria a: Π = (1 P L )rq P L (1 r)q Assumendo concorrenza perfetta Π = 0 da cui: (1 P L )rq = P L (1 r)q (P L ) r = = r = P L (1 P L ) (1 r) Con mercati assicurativi competitivi i clienti acquistano assicurazione completa e si raggiunge l efficienza allocativa. Infatti tutti i possibili guadagni di efficienza tra consumatori avversi al rischio e imprese neutrali al rischio sono realizzati. Note: Si noti che questo è vero solo quando l informazione è simmetrica

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS 1 UTILITÀ Classicamente sinonimo di Desiderabilità Fisher (1930):... uno degli elementi che contribuiscono ad identificare la natura economica di un bene e sorge

Dettagli

Scelta sotto incertezza

Scelta sotto incertezza Scelta sotto incertezza 1. Introduzione Nei capitoli 1 e 2 della microeconomia standard si studia la scelta dei consumatori e dei produttori, che hanno un informazione perfetta sulle circostanze che caratterizzano

Dettagli

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Rosa Maria Mininni a.a. 2014-2015 1 Introduzione ai modelli binomiali La valutazione degli strumenti finanziari derivati e, in particolare, la valutazione

Dettagli

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia La diversità tra gli agenti economici è alla base della nascita dell attività economica e, in generale, lo scambio di beni e servizi ha

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

L impresa che non fa il prezzo

L impresa che non fa il prezzo L offerta nei mercati dei prodotti L impresa che non fa il prezzo L impresa che non fa il prezzo (KR 10 + NS 6) Dipartimento di Economia Politica Università di Milano Bicocca Outline L offerta nei mercati

Dettagli

Lezione XII: La differenziazione del prodotto

Lezione XII: La differenziazione del prodotto Lezione XII: La differenziazione del prodotto Ci sono mercati che per la natura del loro prodotto, la numerosità dei soggetti coinvolti su entrambi i lati del mercato (e in particolare, la bassa concentrazione

Dettagli

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3)

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) L'INSIEME OPPORTUNITÁ E IL VINCOLO DI BILANCIO Un paniere di beni rappresenta una combinazione di beni o servizi Il vincolo di bilancio o retta

Dettagli

Economia e Finanza delle. Assicurazioni. Introduzione al corso. Mario Parisi. Università di Macerata Facoltà di Economia

Economia e Finanza delle. Assicurazioni. Introduzione al corso. Mario Parisi. Università di Macerata Facoltà di Economia Economia e Finanza delle Assicurazioni Università di Macerata Facoltà di Economia Mario Parisi Introduzione al corso 1 Inquadramento del corso 1996: Gruppo di ricerca sulle metodologie di analisi, sugli

Dettagli

Corso di Matematica finanziaria

Corso di Matematica finanziaria Corso di Matematica finanziaria modulo "Fondamenti della valutazione finanziaria" Eserciziario di Matematica finanziaria Università degli studi Roma Tre 2 Esercizi dal corso di Matematica finanziaria,

Dettagli

Teoria dei giochi Gioco Interdipendenza strategica

Teoria dei giochi Gioco Interdipendenza strategica Teoria dei giochi Gioco Interdipendenza strategica soggetti decisionali autonomi con obiettivi (almeno parzialmente) contrapposti guadagno di ognuno dipende dalle scelte sue e degli altri Giocatori razionali

Dettagli

Qual è il fine dell azienda?

Qual è il fine dell azienda? CORSO DI FINANZA AZIENDALE SVILUPPO DELL IMPRESA E CREAZIONE DI VALORE Testo di riferimento: Analisi Finanziaria (a cura di E. Pavarani) - McGraw-Hill - 2001 Cap. 9 1 Qual è il fine dell azienda? Massimizzare

Dettagli

Equilibrio generale ed efficienza dei mercati (Frank, Capitolo 15)

Equilibrio generale ed efficienza dei mercati (Frank, Capitolo 15) Equilibrio generale ed efficienza dei mercati (Frank, Capitolo 15) EQUILIBRIO ECONOMICO GENERALE Esistono molteplici relazioni tra mercati Per comprendere il funzionamento dell economia è quindi indispensabile

Dettagli

Lezione 13- I due teoremi fondamentali dell economia del benessere e il second best

Lezione 13- I due teoremi fondamentali dell economia del benessere e il second best Lezione 13- I due teoremi fondamentali dell economia del benessere e il second best La mano invisibile e i due teoremi fondamentali dell economia del benessere Nel 1776 Adam Smith nella Ricchezza delle

Dettagli

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente

Dettagli

Capitolo 12 Il monopolio. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl

Capitolo 12 Il monopolio. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 12 Il monopolio IL MONOPOLIO Il monopolio è una forma di mercato in cui un unico venditore offre un bene che non ha stretti sostituti, ad una moltitudine di consumatori La differenza fondamentale

Dettagli

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione 8.2.4 La gestione finanziaria La gestione finanziaria non dev essere confusa con la contabilità: quest ultima, infatti, ha come contenuto proprio le rilevazioni contabili e il reperimento dei dati finanziari,

Dettagli

Equilibrio economico generale e benessere

Equilibrio economico generale e benessere Scambio Equilibrio economico generale e benessere Equilibrio economico generale e benessere (KR 12 + NS 8) Dipartimento di Economia Politica Università di Milano Bicocca Outline Scambio 1 Scambio 2 3 4

Dettagli

Introduzione alla Teoria dei Giochi

Introduzione alla Teoria dei Giochi Introduzione alla Teoria dei Giochi A. Agnetis Questi appunti presentano alcuni concetti introduttivi fondamentali di Teoria dei Giochi. Si tratta di appunti pensati per studenti di Ingegneria Gestionale

Dettagli

i tassi di interesse per i prestiti sono gli stessi che per i depositi;

i tassi di interesse per i prestiti sono gli stessi che per i depositi; Capitolo 3 Prodotti derivati: forward, futures ed opzioni Per poter affrontare lo studio dei prodotti derivati occorre fare delle ipotesi sul mercato finanziario che permettono di semplificare dal punto

Dettagli

10 1 Gli obiettivi dell OMC 2 I sussidi alle esportazioni agricole in un Paese piccolo 3 I sussidi alle esportazioni agricole in un Paese grande 4

10 1 Gli obiettivi dell OMC 2 I sussidi alle esportazioni agricole in un Paese piccolo 3 I sussidi alle esportazioni agricole in un Paese grande 4 I SUSSIDI ALLE ESPORTAZIONI NELL AGRICOLTURA E NEI SETTORI AD ALTA TECNOLOGIA 10 1 Gli obiettivi dell OMC 2 I sussidi alle esportazioni agricole in un Paese piccolo 3 I sussidi alle esportazioni agricole

Dettagli

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Microeconomia venerdì 29 febbraio 2008 La struttura della lezione

Dettagli

L Economia del Benessere

L Economia del Benessere L Economia del Benessere L'Economia del Benessere è la branca normativa della Scienza Economica. In quest'area della ricerca vengono studiate e definite delle regole (o dei metodi) per poter classificare,

Dettagli

Flusso a costo minimo e simplesso su reti

Flusso a costo minimo e simplesso su reti Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo

Dettagli

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso Esercizio 1 Data la funzione di domanda: ELASTICITÀ Dire se partendo da un livello di prezzo p 1 = 1.5, al produttore converrà aumentare il prezzo fino al livello p 2 = 2. Sarebbe conveniente per il produttore

Dettagli

Economia del Lavoro 2010

Economia del Lavoro 2010 Economia del Lavoro 2010 Capitolo 1-3 Offerta di lavoro -Le preferenze del lavoratore 1 Offerta di lavoro Le preferenze del lavoratore Il comportamento dell offerta di lavoro è analizzato dagli economisti

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Capitolo 1 CRITERI DI VALUTAZIONE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

Capitolo 1 CRITERI DI VALUTAZIONE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA Capitolo 1 CRITERI DI VALUTAZIONE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA 1.1 Introduzione Fino ad ora abbiamo esaminato prevalentemente criteri di valutazione e scelte di investimenti nell ipotesi di operare in condizione

Dettagli

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 20: 28 Maggio 2010 Cycle Monotonicity Docente: Vincenzo Auletta Note redatte da: Annibale Panichella Abstract In questa lezione

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Funzione del benessere sociale e trade-off equità ed efficienza

Funzione del benessere sociale e trade-off equità ed efficienza Funzione del benessere sociale e trade-off equità ed efficienza Economia Pubblica lezione 3 1 Esistono infinite allocazioni Pareto-efficienti: Frontiera del Benessere (FB) o grande frontiera dell utilità

Dettagli

PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI

PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI 1 PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI La ricerca operativa nata durante la seconda guerra mondiale ed utilizzata in ambito militare, oggi viene applicata all industria, nel settore pubblico e nell

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Corso di Politica Economica

Corso di Politica Economica Corso di Politica Economica Lezione 6: Equilibrio economico generale (part 2) David Bartolini Università Politecnica delle Marche (Sede di S.Benedetto del Tronto) d.bartolini@univpm.it (email) http://utenti.dea.univpm.it/politica

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

risparmio, dove lo metto ora? le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi

risparmio, dove lo metto ora? le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi il risparmio, dove lo ora? metto le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi Vademecum del risparmiatore le principali domande emerse da una recente ricerca di mercato 1

Dettagli

Effetto reddito ed effetto sostituzione.

Effetto reddito ed effetto sostituzione. . Indice.. 1 1. Effetto sostituzione di Slutsky. 3 2. Effetto reddito. 6 3. Effetto complessivo. 7 II . Si consideri un consumatore che può scegliere panieri (x 1 ; ) composti da due soli beni (il bene

Dettagli

Le imprese nell economia. esportazioni, multinazionali. Capitolo 8. adattamento italiano di Novella Bottini (ulteriore adattamento di Giovanni Anania)

Le imprese nell economia. esportazioni, multinazionali. Capitolo 8. adattamento italiano di Novella Bottini (ulteriore adattamento di Giovanni Anania) Capitolo 8 Le imprese nell economia globale: esportazioni, outsourcing e multinazionali [a.a. 2012/13] adattamento italiano di Novella Bottini (ulteriore adattamento di Giovanni Anania) 8-1 Struttura della

Dettagli

Soluzione degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato

Soluzione degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Francesco Daddi - 8 novembre 00 Soluzione degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Esercizio. Un corpo parte da fermo con accelerazione

Dettagli

Esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato

Esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Francesco Daddi - 8 novembre 010 Esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Esercizio 1. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a

Dettagli

FORWARD RATE AGREEMENT

FORWARD RATE AGREEMENT FORWARD RATE AGREEMENT FLAVIO ANGELINI. Definizioni In generale, un contratto a termine o forward permette una compravendita di una certa quantità di un bene differita a una data futura a un prezzo fissato

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

Tassi a pronti ed a termine (bozza)

Tassi a pronti ed a termine (bozza) Tassi a pronti ed a termine (bozza) Mario A. Maggi a.a. 2006/2007 Indice 1 Introduzione 1 2 Valutazione dei titoli a reddito fisso 2 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon)................ 3 2.2 Obbligazioni

Dettagli

Redditi diversi Prof. Maurizio Sebastiano Messina. Redditi diversi

Redditi diversi Prof. Maurizio Sebastiano Messina. Redditi diversi Redditi diversi Redditi diversi - art. 67 Sono redditi diversi se non costituiscono redditi di capitale, ovvero se non sono conseguiti nell esercizio di arti e professioni o di imprese commerciali, o da

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

CELTA IUSTA. Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi

CELTA IUSTA. Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi ONDI OMUNI: AI A CELTA IUSTA Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi CONOSCERE I FONDI D INVESTIMENTO, PER FARE SCELTE CONSAPEVOLI I fondi comuni sono

Dettagli

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2

Se x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2 NLP -OPT 1 CONDIZION DI OTTIMO [ Come ricavare le condizioni di ottimo. ] Si suppone x* sia punto di ottimo (minimo) per il problema min f o (x) con vincoli g i (x) 0 i I h j (x) = 0 j J la condizione

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

La mobilità sociale tra Stato e mercato

La mobilità sociale tra Stato e mercato La mobilità sociale tra Stato e mercato di Carlo Lottieri, Università di Siena Nella cultura contemporanea si tende a guardare alla mobilità sociale intesa quale possibilità di ascendere da una posizione

Dettagli

IL MONOPOLIO NATURALE E LA GESTIONE DEI SERVIZI PUBBLICI LOCALI

IL MONOPOLIO NATURALE E LA GESTIONE DEI SERVIZI PUBBLICI LOCALI IL MONOPOLIO NATURALE E LA GESTIONE DEI SERVIZI PUBBLICI LOCALI SOMMARIO 1. COS E IL MONOPOLIO NATURALE 2. LE DIVERSE OPZIONI DI GESTIONE a) gestione diretta b) regolamentazione c) gara d appalto 3. I

Dettagli

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 1. Si lancia una moneta 2 volte: qual è la probabilità che esca TESTA 0 volte? 1 volta? 2 volte? 2. Si lancia una moneta 3 volte:

Dettagli

Politica economica in economia aperta

Politica economica in economia aperta Politica economica in economia aperta Economia aperta L economia di ciascun paese ha relazioni con il Resto del Mondo La bilancia dei pagamenti (BP) è il documento contabile che registra gli scambi commerciali

Dettagli

L apertura di una economia ha 3 dimensioni

L apertura di una economia ha 3 dimensioni Lezione 19 (BAG cap. 6.1 e 6.3 e 18.1-18.4) Il mercato dei beni in economia aperta: moltiplicatore politica fiscale e deprezzamento Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Università di Pavia Economia

Dettagli

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali

Dettagli

Determinare il livello produttivo che consente di rendere minimo il costo medio, nonché il suo valore corrispondente.

Determinare il livello produttivo che consente di rendere minimo il costo medio, nonché il suo valore corrispondente. ESERCIZI SVOLTI SU COMPORTAMENTO DELL IMPRESA di G.Garofalo 1. Nota la funzione di costo totale CT = 1 + 3 + 70 Determinare le funzioni di costo: - fisso e medio fisso - variabile e medio variabile - medio

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA DEFINIZIONE: Dato un numero reale a che sia a > 0 e a si definisce funzione esponenziale f(x) = a x la relazione che ad ogni valore di x associa uno e un solo

Dettagli

Capitolo 2 - Teoria della manutenzione: classificazione ABC e analisi di Pareto

Capitolo 2 - Teoria della manutenzione: classificazione ABC e analisi di Pareto Capitolo 2 - Teoria della manutenzione: classificazione ABC e analisi di Pareto Il presente capitolo continua nell esposizione di alcune basi teoriche della manutenzione. In particolare si tratteranno

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Problema 1 Due carrelli A e B, di massa m A = 104 kg e m B = 128 kg, collegati da una molla di costante elastica k = 3100

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera

Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera Ricerca Operativa Branch-and-Bound per problemi di Programmazione Lineare Intera L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi

Dettagli

Analisi della comunicazione del gioco nella sua evoluzione

Analisi della comunicazione del gioco nella sua evoluzione Nel nostro Paese il gioco ha sempre avuto radici profonde - Caratteristiche degli italiani in genere - Fattori difficilmente riconducibili a valutazioni precise (dal momento che propensione al guadagno

Dettagli

derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici

derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici derivati azionari guida alle opzioni aspetti teorici PREFAZIONE Il mercato italiano dei prodotti derivati 1. COSA SONO LE OPZIONI? Sottostante Strike

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

COOPERAZIONE INTERNAZIONALE E INTERDIPENDENZA ECONOMICA

COOPERAZIONE INTERNAZIONALE E INTERDIPENDENZA ECONOMICA Coop intern - 1 COOPERAZIONE INTERNAZIONALE E INTERDIPENDENZA ECONOMICA VARIE ACCEZIONI DEL TERMINE COOPERAZIONE INTERNAZIONALE CONSULTAZIONE TRA STATI COORDINAMENTO STRETTO DELLE POLITICHE COORDINAMENTO:

Dettagli

Grafici di redditività BREAK-EVEN ANALYSIS

Grafici di redditività BREAK-EVEN ANALYSIS Grafici di redditività BREAK-EVEN ANALYSIS 1 Analisi del punto di equilibrio o di pareggio Consiste nella determinazione grafica o matematica del quantitativo di vendita al quale i costi totali e i ricavi

Dettagli

Capitolo 6. La produzione. A.A. 2013-2014 Microeconomia - Cap. 6 1. Questo file (con nome cap_06.pdf)

Capitolo 6. La produzione. A.A. 2013-2014 Microeconomia - Cap. 6 1. Questo file (con nome cap_06.pdf) Capitolo 6 La produzione A.A. 2013-2014 Microeconomia - Cap. 6 1 Questo file (con nome cap_06.pdf) può essere scaricato da siti e file elearning.moodle2.unito.it/esomas/course/ view.php?id=215 abbreviato

Dettagli

Capitolo 12 La regressione lineare semplice

Capitolo 12 La regressione lineare semplice Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

è la manovra del bilancio dello Stato che ha per obiettivo una variazione del reddito e dell occupazione nel breve periodo

è la manovra del bilancio dello Stato che ha per obiettivo una variazione del reddito e dell occupazione nel breve periodo Politica fiscale Politica fiscale è la manovra del bilancio dello Stato che ha per obiettivo una variazione del reddito e dell occupazione nel breve periodo polit fiscale 2 Saldo complessivo B s Entrate

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

TEORIA DEL CONSUMATORE

TEORIA DEL CONSUMATORE TEORIA DEL CONSUMATORE Premessa: La moderna teoria economica del comportamento del consumatore è intimamente legata alla teoria marginalista neo-classica, essendo fra l'altro da essa storicamente derivata.

Dettagli

Aste a valore privato, comune e affiliato

Aste a valore privato, comune e affiliato Aste a valore privato, comune e affiliato Siano: V i = il valore di mercato che il bidder i assegna al bene v i = la valutazione soggettiva del bene, da parte dell i-esimo bidder In un asta a valore privato,

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson

Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson Antonio Paradies Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Università degli studi di Napoli Federico II Napoli, 25 Febbraio

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

IMPRENDITORIALITA E INNOVAZIONE

IMPRENDITORIALITA E INNOVAZIONE Università degli studi di Bergamo Anno accademico 2005 2006 IMPRENDITORIALITA E INNOVAZIONE Docente: Prof. Massimo Merlino Introduzione Il tema della gestione dell innovazione tecnologica è più che mai

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Obiettivi - Descrivere il comportamento quantistico di un elettrone in un cristallo unidimensionale - Spiegare l origine delle bande di

Dettagli