Economia Pubblica Rischio e Incertezza

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1 Economia Pubblica Rischio e Incertezza Giuseppe De Feo Università degli Studi di Pavia Secondo Semestre

2 Seconda parte del corso di Economia Pubblica I problemi dell economia dell informazione e degli effetti per la regolamentazione saranno oggetto della nostra analisi Noi analizzeremo situazioni in cui l informazione è importante perché non è Completa e Perfetta utilizzeremo la teoria dei giochi fatta in Economia Industriale come base di partenza

3 Informazione Incompleta e imperfetta Dagli studi di teoria dei giochi in Economia Industriale: giochi simultanei: giochi con informazione completa Ogni giocatore conosce tutti i dettagli del gioco Giochi dinamici: giochi con informazione completa e perfetta ogni giocatore conosce le scelte fatte in ogni stadio precedente del gioco Ma se al momento della scelta il giocatore non conosce le decisioni già prese dagli altri giocatori: informazione imperfetta E se i dettagli del gioco non sono tutti noti a tutti i giocatori: informazione incompleta

4 Perché è importante studiare l economia dell informazione? evita di utilizzare l assunzione di conoscenza perfetta che è abbastanza irrealistica; dà gli strumenti per analizzare situazioni dove l informazione è asimmetrica costruisce modelli che permettono di analizzare i problemi di incentivo in un mondo imperfetto è uno strumento molto utile per l analisi del comportanto individuale e dell equilibrio di mercato quando l informazione è fondamentale. (i mercato finanziari e assicurativi sono gli esempi più chiari) ma anche per l analisi della vita di tutti i giorni Utilizzeremo il rigore analitico e le tecniche della teoria dei giochi, ma anche l intuizione e analisi meno formali per descrivere i problemi causati dall informazione incompleta.

5 Taxiiii!!!?

6 Perché tanti mutui subprime?

7 Rischio e Incertezza Outline Introduction scelte dalle conseguenze incerte Valore atteso Utilità attesa Utilità del valore atteso Attitudine al rischio Lotterie eque Avversione al rischio Rappresentazione grafica dell avversione al rischio Paragoni Interpersonali di avversione al rischio vincolo di bilancio per beni contingenti assicurazione Premio assicurativo equo Teorema dell assicurazione completa Mercati assicurativi concorrenziali

8 Riferimenti bibliografici Frank (2010), Microeconomia 5/ed capitolo 6 Katz & Rosen (2003), Microeconomia 2/ed capitolo 6

9 Scommesse e lotterie

10 Scommesse e lotterie Mr Punter ha una ricchezza monetaria m esi chiede se scommettere o meno sul sul numero fortunato, il 4 Example (Roulette francese) 2 stati del mondo rilevanti la pallina si ferma sul 4 la pallina si ferma altrove Probabilità % prob stato % prob stato 2 37 Risultati possibili: Non scommette Scommette e perde x Scommette e vince w

11 Scommesse e lotterie Example (Roulette Francese) MrPunter Bet Not bet Nature 1 Nature 2 n = 4 (0.027) n 4 (0.973) n = 4 (0.027) m+w m x m m Questo non è l albero di un gioco dinamico, ma è un albero della decisione non c è interazione strategice tra Mr Punter e la fortuna o Natura (un giocatore fittizio) Le probabilità delle mosse della Natura sono scritte accanto ai rami dell albero ci sono solo le vincite contingenti

12 Il valore atteso di una scelta dalle conseguenze incerte Mr Punter deve scommettere o meno? La risposta dipende dalla vincita attesa 1. il modo più semplice è paragonare il valore atteso delle vincite Definition (Valore atteso (EV)) Il valore atteso della vincita derivante da una particolare scelta è pari alla media delle vincite associate a tutti i possibili esiti derivanti dalla scelta stessa. La media è calcolata pesando ciascuna vincita per la probabilità ad essa associata. Se non scommette: EVnobet = m se scommette: EVbet = (m+w)+ 37 (m x) EVbet > EV nobet solo se (m+w)+ 37 (m x) > m or w > 36x

13 L utilità attesa di una scelta dalle conseguenze incerte L utilità non (sempre) dipende dal valore atteso ad es. se ti piace o sei avverso al rischio. Al fine di tener conto dell attitudine al rischio: 2. un modo alternativo è paragonare l utilità attesa (EU) delle vincite Definition (Utilità attesa (EU)) L utilità attesa delle possibili vincite derivanti da una scelta è la media dell utilità delle vincite associate a tutti i possibili esiti derivanti dalla scelta stessa. La media è calcolata pesando ciascuna utilità per la probabilità ad essa associata. EU è generalmente diversa dalla utilità del valore atteso (UEV)

14 Utilità del valore atteso EU è generalmente diversa dalla utilitàdel valore atteso (UEV) Definition (Utilità del Valore Atteso (UEV)) L utilità del valore atteso di una scelta dalle conseguenze incerte è l utilità della media pesata delle vincite associate a tutti i possibili esiti. È cioè l utilità di EV. EU di scommettere per Mr Punter è: 1 36 U(m+w) U(m x) Mentre l utilità del valore atteso (UEV) è: ( ) 1 36 U (m+w) (m x) Vedremo che esse sono uguali solo se mr Punter non è influenzato dal rischio

15 Valore atteso e utilità attesa Voi cosa massimizzate, il valore atteso o l utilità attesa? Example (Scegliete tra le seguenti lotterie) Lotteria 1: 10% di probabilità di vincere Euro5,000 70% di probabilità di vincere Euro2,500 20% di probabilità di vincere zero Lotteria 2: 40% di probabilità di vincere Euro5,000 20% di probabilità di vincere Euro2,500 40% di probabilità di vincere zero Quale preferite?

16 Valore atteso e utilità attesa Voi cosa massimizzate, il valore atteso o l utilità attesa? Example (ancora un altra scelta tra lotterie) Lotteria A: 50% di probabilità di vincere Euro10,000 50% di probabilità di vincere zero Lotteria B: 100% di probabilità di vincere Euro5,000 Se le persone massimizzano l utilità attesa piuttosto che il valore atteso, non sceglieranno necessariamente le opzioni con il più alto valore atteso Se il rischio ha un effetto sulle preferenze delle persone, l utilità attesa di una lotteria sarà diversa (maggiore o minore) dell utilità del valore atteso ma l utilità attesa in assenza di incertezza (lotteria degenerata) sarà uguale all utilità del valore atteso

17 Attitudine al rischio Neutralitàl rischio: utilità marginale costante: U(x) = x (infatti, MU = du/dx = 1) questo implica che UEV = EU Indifferente tra una vincita certa ed una lotteria con lo stesso EV Example (neutralità al rischio: U(x) = x) Lotteria A: (1/2) (1/2)zero So EU = UEV EU = 1/2U(0)+1/2U(10,000) = 0.5(10,000) = 5,000 UEV = U(1/2(10, 000)) = 5000 Lotteria B: (1)5000 vincita certa EU = UEV = (1)U(5000) = 5000 Quindi l individuo è indifferente tra A e B

18 Attitudine al rischio Avversione al rischio: Utilità marginale decrescente; ad es. U(x) = x 2 1 = x infatti, (MU = du/dx = 1 2 x 1 2 = 1 1 questo implica che UEV > EU Si preferiscono le opzioni più sicure 2 x ) Example (avversione al rischio: U(x) = x 1 2) Lotteria A: (1/2) (1/2)zero EU = 1/2U(0)+1/2U(10,000) = 0.5(10,000) 2 1 = 50 UEV = U(1/2(10,000)) = = 70.7 So UEV > EU Lotteria B: (1)5000 vincita certa EU = UEV = = 70.7 Quindi B è preferita ad A perché è una opzione più sicura

19 Attitudine al rischio Funzioni di utilità di amanti del rischio: Utilità marginale crescente; ad es. U(x) = x 2 (infatti, MU = du/dx = 2x) questo implica che UEV < EU scelte rischiose sono preferite a scelte più sicure Example (amanti del rischio: U(x) = x 2 ) Lotteria A: (1/2) (1/2)zero EU = 1/2U(0)+1/2U(10,000) = 0.5(10,000) 2 = 50,000,000 UEV = U(1/2(10,000)) = = 25,000,000 So UEV < EU Lottery B: (1)5000 vincita certa EU = UEV = = 25,000,000 Quindi A è preferita a B perché si ama il rischio

20 Lotterie eque Le lotterie eque hanno un valore atteso EV = 0 Ad es. un gioco in cui si ha: probabilità del 50% di vincere 10 probabilità del 50% di perdere 10 Il EV della ricchezza se si accetta la scommessa è lo stesso che si ha rifiutando la scommessa Accettereste queto tipo di lotteria? Persone avverse al rischio rifiuterebbero queste lotterie eque

21 Summary Persone neutrali al rischio non sono influenzate dal rischio Scelgono l opzione con il più alto valore atteso il rischio non piace alle persone avverse al rischio queste scelgono l opzione più sicura si assicurano Agli amanti del rischio piace il rischio scelgono le opzioni più rischiose a loro piace scommettere

22 Rappresentazione grafica dell avversione al rischio Example (Che tempo che fa) Un contadino deve affrontare una lotteria: con probabilità 1 2 il tempo sarà buono 20,000 con probabilità 1 2 il tempo sarà cattivo 10,000 Le sue preferenze relative al reddito sono descritte da U(x) Il valore atteso della lotteria è: ci chiediamo se EV(x) = EU(x)? UEV(x)

23 Rappresentazione grafica dell avversione al rischio U(20) UEV = U( 1 EU = U(10) ) 2 U(20) U(10) U(x) CE x CE è l Equivalente Certo: la somma di denaro certa che dà al contadino la medesima utilità attesa della lotteria CE < EV poiché il contadino è avverso al rischio EV CE = Premio al rischio

24 Paragoni Interpersonali di avversione al rischio U(x) Neutrale al rischio minore avversione al rischio maggiore avversione al rischio x coefficiente Arrow-Prat di avversione al rischio: Usa U(x) = x α con diversi valori di α (0,1] più piccolo è α, maggiore è l avversione al rischio xu (x) U (x)

25 Scelte disponibili in condizioni di incertezza Indichiamo con (x,y) ogni scelta possibile per un individuo in condizioni di incertezza, dove x è il payoff monetario nel caso di evento negativo y è il payoff monetario nel caso di evento positivo Con ciò possiamo mostrare che spesso gli individui possono scegliere la combinazione (x, y) preferita nell insieme di combinazioni possibili spesso le combinazioni possibili sono rappresentate da un equazione lineare ax +by = θ questa è chiamata vincolo di bilancio o linea delle opportunità di mercato

26 Asset (attività finanziaria) Definition Un asset è un opportunità che dà un rendimento basso x con probabilità π e un rendimento alto y con probabilità (1 π). Example (Investire in un asset) Alberto ha una ricchezza monetaria pari a 100 Euro. Egli può investire z Euro in un assett che da un rendimento pari a 3 z con una probabilità paria a 0.7 z con una probabilità pari a 0.3 In termini di combinazione (x,y): x = 100 z y = 100+3z Riscrivendo la prima eq.: z = 100 x e sostituendola nella seconda otteniamo il vincolo di bilancio y +3x = 400

27 Assicurazione Example (Assicurarsi) Un individuo ha una proprietà che vale Euro con una probabilità pari a 0.05 (5%) questa può essere danneggiata con una perdita pari a Euro Ma ci si può assicurare ad un prezzo pari a 10 cent per Euro di copertura se C è la copertura aquistata: x = 400+C 0.10C y = C riscrivendo la 2a: C = y e sostituendo nella 1a: x +9y = è il vincolo di bilancio (linea delle opportunità di mercato) (si verifichi che sia vera in assenza di compertura assicurativa)

28 Premio assicurativo equo Definition La linea della quotazione equa è quel vincolo di bilancio che puèo essere scritto nella forma di πx +(1 π)y = θ dove π è la vera probabilità di ricevere x, e θ è una costante. Example Assicurazione Si assuma che la probabilità di un incidente sia pari al 5%. Se il premio assicurativo è pari a 5 cent per Euro, allora la linea delle opportunità di mercato è.05x +(1 0.05)y = θ dove θ dipende dalla ricchezza individuale e dal valore del danno. In tal caso diciamo che il premio assicurativo è equo.

29 Teorema dell assicurazione completa Theorem Si supponga che il vincolo di bilancio sia πx +(1 π)y = θ, dove π è la probabilità di evento negativo x. Allora, un individuo avverso al rischio massimizza l utilità attesa comprando assicurazione completa, ovvero definendo x = y = θ Prova: Si consideri y funzione di x. y(x) dal vincolo di bilancio: x = π 1 π max x EU(x) = πu(x)+(1 π)u(y(x)) FOC: EU(x) x = πu (x)+(1 π)u (y(x)) y(x) x =0 riarranginando: πu (x) = (1 π)u (y(x)) π 1 π π Si ottiene: 1 π U (x) = U (y(x)) π 1 π Quindi: U (x) = U (y(x)) che è possibile solo quando x = y (poiché U < 0)

30 Teorema dell assicurazione completa Si supponga il seguente problema: Un individuo ha una ricchezza pari a = W La probabilità di avere una perdita è = P L L ammontare della possibile perdita è = L ma l individuo può acquistare una polizza assicurativa dove l ammontare coperto pari a = q il prezzo unitario dell assicurazione è = r il costo totale è pari a = rq se si acquista assicurazione completa allora q = L

31 Assicurarsi si, ma quanto? La scelta di q che massimizza l utilità attesa è data da EU ins = P L U(W L+q(1 r))+(1 P L )U(W rq) Per trovare il valore di q che max EU ins F.O.C.: EU ins q = 0 (1 r)p L U (W L+q(1 r)) r(1 P L )U (W rq) = 0 Riarrangiando l equazione: P L U (W L+q(1 r)) (1 P L ) U = r (W rq) 1 r che è la regola decisionale per colui che deve comprare l assicurazione

32 Assicurarsi si, ma quanto? Theorem (Il teorema dell assicurazione completa) se il premio è equo, cioè se r = P L, individui avversi al rischio comprano assicurazione piena Infatti, P L U (W L+q(1 r)) r (1 P L ) U = (W rq) 1 r r U (W L+q(1 r)) r 1 r U = (W rq) 1 r U (W L+q(1 r)) U = 1 (W rq) U (W L+q(1 r)) = U (W rq) Ma quest ultima è vera se e solo se q = L

33 Esempio numerico Si assuma che Giorgia ha una funzione di utilit pari a U(w) = w α con α = 1 2 e la sua ricchezza vale 100 Euro. Francesco ha una funzione di utilità V(w) = w α con α = 1 3 e la sua ricchezza vale 100. Si supponga che entrambi rischino di perdere utta la loro ricchezza con una probabilità pari a π = 0.1. Quanta assicurazione sono disposti a pagare se il prezzo di mercato è pari a 10 cent per Euro? E quanta copertura assicurativa se il prezzo è invece pari a 20 cent per Euro?

34 Il comportamento delle imprese assicurative in un mercato competitivo Le compagnie di assicurazione massimizzano il profitto Il profitto atteso è paria a: Π = (1 P L )rq P L (1 r)q Assumendo concorrenza perfetta Π = 0 da cui: (1 P L )rq = P L (1 r)q (P L ) r = = r = P L (1 P L ) (1 r) Con mercati assicurativi competitivi i clienti acquistano assicurazione completa e si raggiunge l efficienza allocativa. Infatti tutti i possibili guadagni di efficienza tra consumatori avversi al rischio e imprese neutrali al rischio sono realizzati. Note: Si noti che questo è vero solo quando l informazione è simmetrica

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