Dispensa 4. June 11, 2009

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1 Dispensa 4 June 11, Il mercato dei bidoni Il problema della selezione avversa è dovuto al fatto che l agente detiene informazioni private (delle quali il principale non è a conoscenza) prima della firma del contratto. Per esempio: gli azionisti o il datore di lavoro non conoscono le caratteristiche professionali di un manager o un lavoratore che assumono per svolgere delle mansioni. Le società di assicurazioni non conoscono il tempo che un assicurato stà alla guida della macchina e neanche che tipo di persona questo è (prudente, che ama la guida veloce, ecc.). Certamente l agente potrebbe approfittare delle informazioni private che ha per incrementare il suo profitto a discapito del principale. Pertanto il problema del principale è di trovare una possibilità, una strada (di redigere un contratto in modo da) per limitare, per ridurre il suo svantaggio informazionale. L esempio classico utilizzato per illustrare le conseguenze della selezione avversa è quello analizzato da Akerlof (1970) nel suo articolo riguardando il mercato delle auto usate. Questo modello è chiamato (riferito come) il mercato dei bidoni. L esempio di Akerlof è estremamente intuitivo. Sul mercato delle automobili usate ci sono auto delle più diverse qualità: da automobili che sono in ottimo stato, vendute dai loro proprietari solo perché questi desiderano acquistare un modello più sofisticato o più grande fino ad auto di scarsissima qualità vendute in seguito a grossi incidenti. Il problema che un compratore (principale) deve affrontare su questo mercato: è molto difficile (se non impossibile) distinguere la qualità delle macchine presenti sul mercato e questo ha conseguenze negative sulle transazioni che si effetuano sul mercato. Supponiamo che sul mercato ci sono tre categorie di auto: di qualità buona, di qualità media e di qualità scarsa, nelle stesse proporzioni, 1 3, 1 3, 1 3 (cioè la probabilità di trovare una macchina buona è pari alla probabilità di trovare un auto di qualità media ed è pari alla probabilita di prendere un auto di qualità scarsa e sono pari a 1 3 ). Un auto buona dà un utilità pari a 1 al compratore, mentre se l auto è di qualità media li dà un utilità pari a 1 2 e un utilità pari a 0 se l auto è di scarsa qualità. Allo stesso modo supponiamo che il valore che il venditore Integrazione basata su I. Macho-Stadler, D. Perez-Castrillo, An Introduction to the Economics of Information 1

2 (l agente) dà alle auto è 3 4 per le auto buone, 1 2 per le auto di qualità media e 0 per le auto di scarsa qualità. Perché una compra-vendita avvenga, il prezzo che il compratore offre deve essere maggiore del prezzo di riserva del venditore. Il compratore (principale) non può distinguere la qualità delle macchine che ha di fronte. Pertanto, lui sarà disposto a pagare un prezzo al massimo pari al valore medio delle auto sul mercato cioè: ( ) + 0 p c = 1 3 = 1 2 Ma a questo prezzo i proprietari di auto buone non sono disposti a vendere in quanto la loro valutazione per le auto buone è 3 4 > 1 2. Questo significa che sul mercato rimangono solo macchine di qualità scarsa e media. Perció, anticipando questo, il compratore rivede le sue aspettative e sarà diposto a pagare al massimo un prezzo pari al valore medio delle auto nelle nuove condizioni del mercato, cioè: p c = 1 ( ) = 1 4 Ma questo nuovo prezzo è inferiore al valore che i venditori (proprietari) danno alle auto di qualità media perció anche questi non saranno disposti a vendere. Di conseguenza, sul mercato o non avviene alcuna transazione o saranno vendute solo macchine di scarsa qualità (solo bidoni). In realtà, anche se l informazione asimmetrica implica un costo, qualchevolta è possibile discriminare tra i prodotti sul mercato. 2 Un modello di selezione avversa Supponiamo che un principale neutrale al rischio vuole assumere un agente (neutrale o avverso al rischio) per svolgere alcune mansioni. Un livello di impegno lavorativo e è associato (conduce) ad un risultato (livello di produzione) R(e). Supponiamo che R (e) > 0 e R (e) 0, cioè il risultato è una funzione crescente è concava del impegno lavorativo del agente. Assumiamo che in questo caso l impegno del agente è verificabile ma l agente può essere di uno tra due tipi diversi tra i quali il principale non riesce a distinguere. I due tipi differiscono solo attraverso la disutilità indotta dal impegno lavorativo. Questa è v(e) per il tipo 1 (chiamiamolo tipo buono : per esempio una persona con esperienza nel campo delle vendite la quale per presentare bene i vantaggi del prodotto non ha bisogno di prepararsi in più) ed è kv(e) per il tipo 2 (chiamiamo questo tipo di agente cattivo : per esempio una persona senza esperienza nel campo delle vendite la quale per presentare bene il prodotto deve lavorare e prepararsi a casa), con k > 1. Cioè per il tipo 2 è più costoso effettuare lo stesso sforzo lavorativo. L implicazione di questo fatto è che un lavoratore del tipo 2 deve essere pagato di più rispetto ad un lavoratore di tipo 1 per lo stesso sforzo. Supponiamo che l utilità del agente è data dalla differenza tra l utilità del reddito e il costo del impegno lavorativo. Perció un agente del tipo 1 avrà un utilità pari a: U 1 (w, e) = u(w) v(e) 2

3 mentre un agente del tipo 2: U 2 (w, e) = u(w) kv(e) k > 1 Supponiamo che l utilità del principale è data dal profitto dell attività: Π = R(e) w Innanzitutto analizziamo il caso in cui non c è informazione asimmetrica e il principale può distinguere il tipo di agente che ha di fronte. 1) Ad un agente di tipo 1 offrirebbe il contratto che è la soluzione del seguente problema: e,w R(e) w s.v. u(w) v(e) U Tenendo presente che il vincolo di partecipazione è soddisfato con uguaglianza, possiamo scrivere dal vincolo: w = u 1 (U + v(e)) e sostituendo nella funzione obiettivo il nostro problema diventa un problema di ottimizzazione non vincolata: R(e) u 1 (U + v(e)) e Dalla condizione di primo ordine troviamo: R (e) u 1 (U + v(e)) v (e) = 0 Dalla regola di derivazione delle funzioni inverse possiamo scrivere: u 1 = 1 u (w) e sostituendo questo nella condizione di primo ordine otteniamo: e da qui risulta: Il sistema di equazioni: R (e) 1 u (w) v (e) = 0 R (e) = v (e) u (w) { u(w) = U + v(e) R (e) = v (e) u (w) ci dà il contratto ottimale per un agente di tipo 1, (e 1, w 1), quando il principale e l agente hanno informazione simmetrica. (1) 3

4 In modo del tutto simile troviamo il contratto ottimale per un agente di tipo 2 dal problema di massimizzazione: e,w R(e) w s.v. u(w) kv(e) U Il contratto ottimale in condizioni di informazione simmetrica per un agente del tipo 2 è dato dalla coppia (e 2, w2) che soddisfa le equazioni: { u(w) = U + kv(e) R (e) = kv (e) (2) u (w) La seconda condizione si chiama condizione di efficienza in quanto stabilisce che il tasso marginale di sostituzione tra impegno e stipendio deve essere uguale per entrambe le parti contrattuali nel punto di ottimo. Supponiamo ora che vi è informazione asimmetrica, cioè il principale non può distinguere il tipo di agente che ha di fronte. Supponiamo che il principale conosce la probabilità q che l agente sia di tipo 1 ( buono ). Allora con probabilità (1 q) l agente è di tipo cattivo. Il problema che nasce in condizioni di informazione asimmetrica è dovuta al fatto che, mentre l agente di tipo 2 (cattivo) sceglierà comunque il contratto destinato a lui, l agente del tipo 1 (efficiente) preferirà mentire se il principale chiede di che tipo è, e scegliere il contratto destinato al tipo cattivo. Questo perché, mentre il contratto destinato a se li dà un utilità pari al utilità di riserva, il contratto (e 2, w2) li dà un utilità pari a: U 1 (w 2, e 2) = u(w 2) v(e 2) > u(w 2) kv(e 2) = U e quindi maggiore dell utilità di riserva. In queste condizioni, se la probabilità che un agente sia del tipo 1 è pari a q mentre 1 q è la probabilità che l agente sia cattivo, allora il problema del principale è redigere, disegnare un menu di contratti con la caratteristica che questi siano seletivi, cioè che ogni tipo di agente scelga il contratto che è stato pensato per se. Formalmente scriviamo questo: q [R(e 1 ) w 1 ] + (1 q) [R(e 2 ) w 2 ] w 1,e 1,w 2,e 2 s.v. u(w 1 ) v(e 1 ) U (V P 1 ) u(w 2 ) kv(e 2 ) U (V P 2 ) u(w 1 ) v(e 1 ) u(w 2 ) v(e 2 ) (CI 1 ) u(w 2 ) kv(e 2 ) u(w 1 ) kv(e 1 ) (CI 2 ) I primi due vincoli sono vincoli di partecipazione i quali assicurano la partecipazione del agente alla relazione contrattuale a prescindere dal suo tipo. Gli ultimi due vincoli sono vincoli di compatibilità degli incentivi i quali assicurano che ogni tipo di agente seglie il contratto che il principale li ha destinato. Proponendo questo menu di contratti, il principale riesce a capire, attraverso la 4

5 scelta del agente, quale è il suo tipo. La scelta del agente rivela l informazione privata di quest ultimo. Possiamo dimostrare che nel risolvere questo problema è sufficiente che il principale utilizzi il vincolo di partecipazione del tipo cattivo di agente ed il vincolo di partecipazione del tipo buono. Se questi due vincoli sono soddisfatti gli altri due sono soddisfatti automaticamente. Dal vincolo di compatibilità degli incentivi del agente di tipo 1 abbiamo che: U (w 1, e 1 ) = u(w 1 ) v(e 1 ) u(w 2 ) v(e 2 ) ma dato che k > 1 abbiamo anche che: u(w 2 ) v(e 2 ) > u(w 2 ) kv(e 2 ) U dove l ultima disuguaglianza segue dal vincolo di partecipazione del tipo cattivo. Per transitività possiamo trovare che: u(w 1 ) v(e 1 ) > U dimostrando che se i vincoli (V P 2 ) e (CI 1 ) sono soddisfatti allora è automaticamente soddisfatto anche il vincolo di partecipazione (V P 1 ). In più il vincolo di partecipazione del tipo buono è soddisfatto con disuguaglianza stretta. Dai vincoli di compatibilità degli incentivi possiamo dimostrare che e 2 e 1. Dal vincolo (CI 1 ) abbiamo: v(e 2 ) v(e 1 ) u(w 2 ) u(w 1 ) mentre dal vincolo (CI 2 ), riordinando i termini, troviamo: Riassumendo, abbiamo quindi: da dove risulta: e quindi: u(w 2 ) u(w 1 ) k [v(e 2 ) v(e 1 )] v(e 2 ) v(e 1 ) u(w 2 ) u(w 1 ) k [v(e 2 ) v(e 1 )] v(e 2 ) v(e 1 ) k [v(e 2 ) v(e 1 )] 0 (k 1) [v(e 2 ) v(e 1 )] v(e 1 ) v(e 2 ) Sotto l ipotesi che v > 0, cioè che la funzione v(e) è crescente, questo significa che e 1 e 2. È intuitivo il fatto che il principale ha maggiore interesse nel chiedere un impegno maggiore dal tipo di agente efficiente (meno costoso). Dimostreremo ora che entrambi i vincoli V P 2 e CI 1 sono soddisfatti con uguaglianza nel punto di ottimo del principale. Supponiamo per contradizione che il vincolo di partecipazione del tipo cattivo sia soddidfatto con disuguaglianza stretta. Allora, dato che il vincolo di partecipazione del tipo buono è sempre soddisfatto con disuguaglianza stretta, il 5

6 principale potrebbe ridurre entrambi i stipendi (w 1, w 2 ) di una quantità molto piccola, aumentando cosi il suo profitto e continuando a soddisfare anche i vincoli di compatibilità degli incentivi. Perció un contratto che soddisfa con disuguaglianza stretta il vincolo di partecipazione del tipo cattivo non può essere un contratto ottimale per il principale, in quanto vi sarebbero possibilità di miglioramento. Pertanto, nel punto di ottimo il vincolo di partecipazione del tipo cattivo di agente deve essere soddisfatto con uguaglianza. In modo del tutto simile possiamo dimostrare che anche il vincolo di compatibilità degli incentivi del tipo buono di agente deve essere soddisfatto con uguaglianza. Il problema di ottimizzazione del principale diventerà: q [R(e 1 ) w 1 ] + (1 q) [R(e 2 ) w 2 ] w 1,e 1,w 2,e 2 s.v. u(w 2 ) kv(e 2 ) = U u(w 1 ) v(e 1 ) = u(w 2 ) v(e 2 ) Risolveremo questo problema per sostituzione: Dal primo vincolo possiamo scrivere: u(w 2 ) = U + kv(e 2 ) w 2 = u 1 (U + kv(e 2 )) e sostituendo u(w 2 ) per la sua espressione nel secondo vincolo otteniamo: u(w 1 ) v(e 1 ) = U + (k 1)v(e 2 ) w 1 = u 1 [U + (k 1)v(e 2 ) + v(e 1 )] Sostituendo w 1 e w 2 per le loro espressioni nella funzione obiettivo il problema del principale diventa un problema di ottimizzazione non vincolata in e 1 e e 2 : q { R(e 1 ) u 1 [U + (k 1)v(e 2 ) + v(e 1 )] } +(1 q) { R(e 2 ) u 1 [U + kv(e 2 )] } e 1,e 2 e le condizioni di primo ordine rispetto a e 1 e e 2 sono: q R (e 1 ) qu 1 U + (k 1)v(e 2 ) + v(e 1 ) v (e 1 ) = 0 } {{ } u(w 1) q u 1 U + (k 1)v(e 2 ) + v(e 1 ) (k 1)v (e 2 ) + (1 q) R (e 2 ) } {{ } u(w 1) (1 q) u 1 U + kv(e 2 ) k v (e 2 ) = 0 } {{ } u(w 2) Tenendo presente la regola di derivazione delle funzioni inverse in base alla quale possiamo scrivere u 1 = 1 u (w), le condizioni di primo ordine diventano: { q R (e 1 ) q v (e 1) u (w = 0 1) q (k 1)v (e 2) u (w 1) + (1 q) R (e 2 ) (1 q) k v (e 2) u (w = 0 2) 6

7 e da qui, riordinando e semplificando otteniamo: { R (e 1 ) = v (e 1) u (w 1) R (e 2 ) = q(k 1)v (e 2) (1 q)u (w + k v (e 2) 1) u (w 2) Pertanto, possiamo affermare che il contratto ottimale in condizioni di informazione asimmetrica è caratterizzato dai vincoli (V P 2 ), (CI 1 ) e dalle due equazioni qui sopra. Il menu ottimale di contratti in condizioni di informazione asimmetrica ha le seguenti caratteristiche. Innanzitutto il vincolo di partecipazione è soddisfatto con uguaglianza solo pe il tipo cattivo di agente (l agente con costi maggiori) mentre il tipo buono riceve un guadagno informazionale pari a (k 1)v(e 2 ). Cioè l agente più efficiente riceve attraverso il contratto un utilità superiore alla sua utilità di riserva a causa della sua informazione privata. Questo lo possiamo vedere subito utilizzando i vincoli V P 2 e IC 1. Da IC 1 abbiamo: U(e 1, w 1 ) = u(w 1 ) v(e 1 ) = u(w 2 ) v(e 2 ) ma dal V P 2 possiamo scrivere: Pertanto possiamo scrivere che: u(w 2 ) v(e 2 ) = U + (k 1)v(e 2 ) U(e 1, w 1 ) = u(w 1 ) v(e 1 ) = U + (k 1)v(e 2 ) Un altra caratteristica importante è che il vincolo di compatibilità degli incentivi è soddisfatto con uguaglianza per il tipo efficiente di agente mentre rimane una disuguaglianza per il tipo cattivo. Terzo, la condizione di efficienza (che pone uguaglianza tra il tasso marginale di sostituzione del principale e del agente) è soddisfata solo per il tipo efficiente. Questa proprietà indica che in condizioni di informazione asimmetrica l unico contratto efficiente è quello indirizato al agente buono. Una distorsione è introdotta nel contratto indirizzato al tipo di agente cattivo : il tasso marginale di sostituzione tra sforzo e salario è maggiore nel ottimo per il principale rispetto al agente. Questa distorsione è introdotta con il preciso scopo di fare il contratto per il tipo cattivo meno attraente per gli agenti efficienti. Il principale perde efficienza nel contratto per il tipo di agente cattivo ma paga meno guadagno informazionale al agente di tipo buono. L ammontare della distorsione ottimale dipende dalla probabilità che l agente sia di tipo buono. Minore è questa probabilità, cioè maggiore è la probabilità che l agente sia di tipo cattivo, meno profitabile è distorcere (cambiare) il contratto per il tipo cattivo di agente e più profitabile diventa pagare una rendita informazionale all agente di tipo efficiente (situazione rara sotto questa ipotesi). 7

8 Esercizio 1. Un imprenditore vuole assumere un operaio ma ci sono aspetti riguardanti il lavoratore che non sono a conoscenza del principale. Più precisamente, il lavoratore può essere di due tipi: la sua disutilità del impegno lavorativo è e 2 oppure 2e 2. Cioè il tipo 2 ha una disutilità maggiore dallo stesso livello di sforzo lavorativo. Perció le funzioni di utilità dell agente sono: U 1 (w, e) = w e 2 per il tipo 1 e U 2 (w, e) = w 2e 2 per l agente di tipo 2. La probabilità che il lavoratore sia del tipo 1 è pari a q. Entrambi i tipi di lavoratore hanno la stessa utilità di riserva, pari a U = 0. L imprenditore, che è neutrale al rischio, valuta l impegno lavorativo del agente in base alla funzione R(e) = ke, dove k è una costante abbastanza alta da determinare il principale ad essere interessato nell assumere il lavoratore indipendentemente dal suo tipo. Perció per ogni unità di sforzo lavorativo dell agente l imprenditore riceve k unità di ricavo. (a) Formulare e risolvere il problema dell imprenditore se questo avesse informazione perfetta riguardando il tipo del lavoratore. Quali sono i livelli di sforzo richiesti e quali sono i salari pagati? (b) Formulate il problema del principale quando vi è un problema di selezione avversa. (c) Risolvete il problema trovando il contratto ottimale. (d) Comparate i casi di informazione simmetrica e asimmetrica. Soluzione: (a) Il problema del imprenditore è di redigere due contratti, uno per ogni tipo di agente, in modo da massimizzare il suo profitto. Le variabili con le quali può agire in questo senso, i strumenti a sua disposizione sono rappresentati dalle variabili che possono essre stipulate nel contratto, cioè, livello di impegno lavorativo, e, e stipendio, w. e 1,w 1 ke 1 w 1 s.v. w 1 e 2 1 U Tenendo presente che il vincolo di partecipazione è soddisfatto con uguaglianza nel punto di ottimo, e sostituendo U con il suo valore, possiamo esplicitare w 1 in funzione di e 1 : w 1 = e 2 1 e sostituendo nella funzione obbiettivo, il problema si riduce a: La condizione di primo ordine: e 1 ke 1 e 2 1 k 2e 1 = 0 ci conduce al livello di sforzo ottimale per l agente di tipo 1: e 1 = k 2 8

9 Pertanto il contratto ottimale per l agente di tipo 1 è: ( ) k (e 1, w1) = 2, k2 4 I profitti del principale da un tale contratto sono: Π 1 = k k 2 k2 4 = k2 4 Il contratto per l agente del tipo 2 si trova in modo del tutto simile. Il problema del principale è: e 2,w 2 ke 2 w 2 s.v. w 2 2e 2 2 U Tenendo presente che il vincolo di partecipazione è soddisfatto con uguaglianza nel punto di ottimo, e sostituendo U con il suo valore, possiamo esplicitare w 2 in funzione di e 2 : w 2 = 2e 2 2 e sostituendo nella funzione obbiettivo, il problema si riduce a: La condizione di primo ordine: e 2 ke 2 2e 2 2 k 4e 2 = 0 ci conduce al livello di sforzo ottimale per l agente di tipo 2: e 2 = k 4 Pertanto il contratto ottimale per l agente di tipo 2 è: ( ) k (e 2, w2) = 4, k2 8 ed i profitti del principale sono: Π 2 = k k 4 k2 8 = k2 8 (b) Con informazione asimmetrica il problema del principale diventa: e 1,w 1,e 2,w 2 q(ke 1 w 1 ) + (1 q)(ke 2 w 2 ) s.v. w 1 e 2 1 U w 2 2e 2 2 U w 1 e 2 1 w 2 e 2 2 w 2 2e 2 2 w 1 2e 2 1 9

10 (c) Per risolvere questo problema ricordiamo che il vincolo di partecipazione del tipo cattivo (con costi maggiori, il tipo 2 qui) e il vincolo di compatibilità degli incentivi dell agente di tipo buono (con costi minori, del tipo 1 nel problema) sono soddisfatti con uguaglianza mentre gli altri due vincoli li possiamo ignorare in quanto sono automaticamente soddisfatti quando i sudetti vincoli si verificano. Pertanto il secondo e il terzo vincolo sono: e da qui possiamo esplicitare: w 2 2e 2 2 = 0 w 1 e 2 1 w 2 e 2 2 Il problema di ottimizzazione diventa: w 2 = 2e 2 2 w 1 = e w 2 e 2 2 = e e 2 2 q[ke 1 (e e 2 e 1,e 2 2)] + (1 q)(ke 2 2e 2 2) Dalle condizioni di primo ordine: { q(k 2e1 ) = 0 q( 2e 2 ) + (1 q)(k 4e 2 ) = 0 e da qui troviamo: e 1 = k 2, e 2 = k(1 q) 2(2 q) e sostituendo questi valori nelle espressioni degli salari troviamo: w 1 = k2 4 + k2 (1 q) 2 4(2 q) 2, w 2 = k2 (1 q) 2 2(2 q) 2 I profitti attesi del principale sono: EΠ = q [k k2 ( k k2 (1 q) 2 )] [ k(1 q) 4(2 q) 2 +(1 q) k 2(2 q) k2 (1 q) 2 ] k 2 2(2 q) 2 = 4(2 q) Esercizio 2. (a) Risolvere l esercizio precedente per il caso in cui k = 1 e q = 1 2. (b) Considerate l altra possibilità che l imprenditore ha: di assumere un lavoratore solo se questo è del tipo 1. (c) Comparate le situazioni (a) e (b) con informazione asimmetrica. Quale è il contratto ottimale? 10

= 8.000 + 2.000 = 5.000.

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