Terza Edizione Giochi di Achille ( ) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria M1 (Alunni di prima media)

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1 Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) Terza Edizione Giochi di Achille (3--07) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria M (Alunni di prima media) Quesito Risposta esatta Punti previsti A C D A E E B E D B m Il massimo punteggio previsto è 00. Una risposta mancante vale punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti.. Una vecchia sveglia ritarda 8 secondi ogni tre ore. Quanti secondi di ritardo accumulerà dopo una settimana? A) 008; B) 304; C) 44; D) 43; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: A) Se in tre ore accumula 8 secondi di ritardo, in un ora accumulerà 6 secondi di ritardo. In un giorno, che sappiamo essere formato da 4 ore, accumulerà (4 x 6) = 44 secondi di ritardo. Infine, in una settimana, il ritardo ammonterà a 44 x 7 = 008 secondi.. Qual è il risultato della seguente espressione: 7 x x 3.5 =? A) 7; B) 0.5; C) 0; D) 5; E) 5.. Risposta esatta: C) La moltiplicazione per 0 dà sempre 0 come pure la somma Perciò avremo: 7 x x 3.5 = = L autodromo di Monza misura Km Alcuni anni fa, un pilota, durante l ultimo giro, dopo aver percorso 4800 metri, ettometri e millimetri, fu fermato da un guasto meccanico al motore. Quanti centimetri gli mancavano per raggiungere la linea di arrivo? A) 50; B) 350; C) 50; D) 5; E) nessuno dei precedenti, La risposta esatta è la D). Al pilota mancavano esattamente 5 cm corrispondenti a m,5. Bisogna fare qualche equivalenza e la somma. m 4800 = cm ; hm = cm 7835; mm = cm cm ( ) = cm (distanza percorsa nell ultimo giro) La pista misura km pari a m 5793 e a cm Perciò avremo: cm ( ) = 5 cm. 4. Adoperando quattro cifre diverse, tra le dieci disponibili (0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), formate due numeri, ciascuno di due cifre, e moltiplicateli. La cifra 0 ( zero ) non può occupare il posto delle decine. Quale sarà il prodotto minimo che si può ottenere? A) 30; B) 0; C) 34; D) 3; E) nessuno dei precedenti. La risposta esatta è la A). Affinché il prodotto sia minimo bisogna rispettare due condizioni: ) che la differenza tra i due numeri presi sia massima. ) che le decine dei due numeri abbiano cifre consecutive e minime (escludendo lo zero, al posto delle decine bisogna porre, quindi, e ). Soluzioni_M_III-Ed._Giochi_di_Achille (3--007) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag.

2 I numeri che si possono prendere come primo fattore sono: 0,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a cui possiamo abbinare in corrispondenza come fattore: 3, 30, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0. Tra questi prodotti (0x3; x30; 3x0;.) il primo 3x0 = 30 va bene. Verifichiamo le due condizioni: le decine sono consecutive -; la differenza è la massima (3). Attenzione!!! Se avessimo preso e 30 avremmo avuto una differenza massima maggiore di 3 (30-=8) però non avremmo rispettato la seconda condizione (cifre delle decine = due numeri consecutivi). Quindi 30 rappresenta il prodotto minimo che si può ottenere moltiplicando due numeri costituiti da due cifre ciascuno (adoperando cifre diverse). 5. A quale frazione dell intera figura corrisponde la parte tratteggiata in grigio? A) 7/45; B) /; C) /3; D) /5; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta: E) La figura è un rettangolo formato da 90 quadretti (5 x 6); la parte in grigio è formata da = 3 quadretti. Dunque la frazione sarà: 3/90 = 6/ Angelica, Alessandro e Ludovica misurano la lunghezza della pista dell impianto sportivo della loro scuola adoperando i loro passi. Angelica conta 00 passi, Alessandro conta 80 passi mentre Ludovica ne conta ben 0. Cosa si può dire dei loro passi? A) Ludovica ha il passo più lungo rispetto al passo di Angelica; B) Angelica ha il passo più lungo rispetto al passo di Alessandro; C) Alessandro ha il passo più corto sia rispetto a quello di Angelica che a quello di Ludovica; D) Le informazioni non bastano per fornire una risposta giusta; E) Nessuna delle risposte precedenti è esatta. Risposta esatta: E) Si procede per esclusione: A) Non è vera. Infatti Ludovica per misurare la stessa distanza arriva con più passi, quindi il suo passo è più corto rispetto al passo di Angelica.. B) Non è vera. Infatti Angelica per misurare la stessa distanza arriva con più passi, quindi il suo passo è più corto rispetto al passo di Alessandro. C) Non è vera. Infatti Alessandro per misurare la stessa distanza arriva con meno passi (sia rispetto ad Angelica che a Ludovica), quindi il suo passo è più lungo rispetto sia al passo di Angelica che a quello di Ludovica. D) Non è vera. Le informazioni sono sufficienti per risolvere il problema. Quindi la risposta giusta è la E). 7. Lancio quattro dadi contemporaneamente e sommo i punti posti sulle loro facce superiori: Quante somme diverse posso ottenere? A) 4; B) ; C) 0; D) 4; E) altro numero. Soluzioni_M_III-Ed._Giochi_di_Achille (3--007) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag.

3 La risposta esatta è la B). Infatti posso ottenere possibili somme: (4-4+) dal 4 compreso fino al 4 compreso: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3,4. I 4 dadi possono presentare le seguenti quaterne di punti: --- la cui somma vale 4. Oppure (---; ---; ---; ---) la cui somma è 5. Oppure (---3; ---; --3-; ---; ---; -3--; ---; ---; ---; 3---) la cui somma è 6. Oppure (---4; ---3; --3-; --4-; ---3; ---; --3-; -3--; -3--; -4--; ---3; ---; --3-; ---; ---; -3--; 3---; 3---; 3---; 4---), la cui somma è 7. Ecc. ecc Il parcheggio condominiale (per auto, moto e bici) ha la forma indicata nella figura a fianco. Le misure sono espresse in dam. Tutti gli angoli sono retti (misurano 90 ). Quanto vale l area del parcheggio? A) 80 dam ; B) 0 dam ; C) 90 dam ; D) 0 dam ; E) Nessuna delle precedenti. Soluzione: A 3 5 B La risposta esatta è la E). D C L area è pari a 00 dam. Infatti guardando il quadrato tratteggiato ABCD notiamo che le caselle di dam di lato che sono fuori ( in tutto) sono tante quante le caselle vuote all interno dello stesso quadrato (evidenziate in grigio). Per cui l area del parcheggio è la stessa di quella del quadrato avente il lato lungo 0 dam. Perciò la sua area sarà pari a dam (0x0) = 00 dam. Soluzioni_M_III-Ed._Giochi_di_Achille (3--007) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 3

4 9. La griglia riportata a fianco rappresenta uno schema del Sudoku 9x9. Per completarla bisogna rispettare le seguenti regole: ) Ogni riga deve contenere una sola volta i numeri da a 9; ) Ogni colonna deve contenere una sola volta i numeri da a 9; 3) Ognuna delle 9 sottogriglie, ciascuna formata da 3 righe e 3 colonne, deve contenere una sola volta i numeri da a 9. Che numero dobbiamo mettere nella casella b4 (indicata in grigio)? A) 8; B) 5; C) 4; D) 6; E) altro numero. a b 3 7 c 7 6 d 4 7 e 9 4 f g 5 7 h 3 5 i Risposta esatta: D) 6. Considerando la seconda sottogriglia, il 6 deve andare sul rigo b. Infatti nella prima sottogriglia il 6 è presente sulla riga a; nella terza sottogriglia il 6 è presente nel rigo c. L unica casella libera resta la b4 (per il 6). 0. Dovendo scrivere tutti i numeri multipli di 9 da 69 a 3069 (estremi compresi) qual è la cifra che si ripete di più? A) 3; B) ; C) 9; D) 6; E) un altra. Risposta esatta: B) Può sembrare strano che tra i multipli di 9 una cifra pari (qual è ) si ripeta più spesso. Questo perché l intervallo numerico presenta il nella posizione delle migliaia 93 volte, in quella delle centinaia volte, in quella delle decine e nelle unità 0 volte. In tutto si ripete per ben 4 volte!!!!. Pensa un numero. Aggiungi 4 e moltiplica il risultato per 3. Quindi sottrai 9 e dividi il numero ottenuto per 3. Togli, infine, il numero che avevi pensato. Quale numero hai ottenuto? Risposta esatta:. Il numero da indovinare non dipende dal numero pensato bensì dalle operazioni indicate nel quesito. Qualsiasi sia il numero di partenza (numero pari o dispari non fa differenza!!!) se aggiungo 4 e moltiplico tutto per tre avrò un numero che è la somma del triplo del numero pensato più (il triplo di 4, il numero che ho aggiunto). Dal numero così composto (il triplo di quel numero più ), togliendo 9, mi resterà un numero formato dal triplo di quel numero più tre (-9=3). Se divido questo numero per tre, avrò il numero pensato più (triplo del numero + 3): 3 = numero pensato + (3:3=). Togliendo infine il numero pensato non mi resta che. Succede sempre così con qualsiasi numero. Soluzioni_M_III-Ed._Giochi_di_Achille (3--007) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 4

5 . Sommate tutti i numeri pari da 00 a e poi tutti i numeri dispari da 99 ad. Sottraete la seconda somma (quella dei numeri dispari) dalla prima. Che risultato ottenete? Risposta esatta: 00. Infatti posso disporre così queste operazioni: = (00-99) + (98-97) + (96-95) +.+ (-) = = 00x = volte 8 A 8 4 E 4 3 B D F C Questa figura è formata da 6 quadrati tutti di dimensione diversa. Si hanno le seguenti informazioni: Il lato del quadrato A è doppio di quello del quadrato B che a sua volta è doppio del lato del quadrato E. Il lato del quadrato D è doppio di quello del quadrato F. Il lato del quadrato C è uguale alla somma dei lati dei due quadrati B ed E. Il lato del quadrato B è più corto di un metro rispetto al lato del quadrato F, il cui lato, a sua volta, è più corto di metro rispetto al lato del quadrato C. Sapendo che il lato del quadrato C misura 6 m, calcolate il perimetro della figura a linea continua. Risposta esatta: 78 m. Il lato del quadrato C misura 6 m. Il lato del quadrato F misura (6-) m = m 5. Il lato del quadrato B misura (5-) = m 4. Il lato del quadrato A misura (4x) = m 8. Il lato del quadrato E misura (4:) = m. Il lato del quadrato D misura (6+4) = m 0. Il perimetro della figura sarà (partendo dal vertice in basso a sinistra, in senso orario): m( ) = m 78. Soluzioni_M_III-Ed._Giochi_di_Achille (3--007) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 5

6 4. Giacomo dedica ai compiti da svolgere a casa un ora ed un quarto. Un terzo di questo tempo lo dedica allo studio della matematica che è la sua materia preferita. Dedica un quinto del tempo a disposizione per lo studio dell italiano. Dedica solo dieci minuti per lo studio della geografia. Poi dedica il tempo restante, in parti uguali, allo studio della lingua inglese e della storia. Quanti minuti Giacomo dedica allo studio dell inglese? Risposta esatta: 5 minuti. Un ora ed un quarto corrispondono a (60+5) = 75 minuti. /3 di 75 = 5 minuti. (tempo dedicato allo studio della matematica) Minuti (75-5) = 50 minuti (tempo restante per le altre materie da studiare). /5 di 50 = 0 minuti (tempo dedicato allo studio della geografia) (50-0) = 40 minuti (tempo restante per le altre materie da studiare). (40-0) = 30 minuti (tempo restante dopo aver studiato matematica, italiano e geografia). (30:) = 5 minuti (tempo dedicato in parti uguali per l inglese e la storia). 5. Nel Campionato di Calcio Italiano del in serie A giocavano 8 Squadre. Siccome erano e sono tuttora previsti due turni o gironi (uno di andata ed uno di ritorno), con 8 squadre presenti, ogni squadra, nel corso del campionato, deve disputare 34 incontri (due incontri per ognuna delle 7 squadre restanti). Per la classifica, negli ultimi anni, sono previsti: per ogni partita vinta 3 punti; per ogni pareggio punto e per ogni sconfitta o punti. In quel campionato il Milan si è classificato al terzo posto con 6 punti. Sapendo che ha totalizzato complessivamente 7 pareggi quante partite ha vinto? Risposta esatta: 8 partite. Risposta: Con 7 pareggi ha totalizzato 7 punti: I restanti 6-7=54 punti sono dovute alle partite vinte: ma ogni partita dà diritto a 3 punti per cui le partite vinte sono state (54:3) = Quanti triangoli, di tutte le dimensioni, si possono contare nella figura? Risposta esatta: i triangoli sono in tutto 60. I triangoli piccoli x (un solo triangolino formato da mezza casella) sono 3 I triangolini x (formati da 4 triangolini x) sono I triangolini 3x3 (formati da 9 triangolini) sono I triangolini 4x4 (formati da 6 triangolini) sono + Totale = 3 3x3 + 3x3 = = = 8 + = Soluzioni_M_III-Ed._Giochi_di_Achille (3--007) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 6