Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

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1 Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore mercoledì ore luigi.augugliaro@unipa.it (Dipartiment 1 / 42

2 Cenni di calcolo delle probabilità Il Calcolo delle probabilità è una disciplina che ci insegna a controllare la correttezza dei nostri ragionamenti allora che, per carenza d informazione, ci troviamo in condizioni di incertezza. In tal senso esse appare come una logica, e precisamente come la logica del possibile, che amplia, con l introduzione di una valutazione di probabilità basata sull informazione di cui si dispone, la logica del certo. (Dipartiment 2 / 42

3 Definizioni Un esperimento il cui esito non può essere previsto con certezza è definito esperimento casuale o aleatorio. L insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento casuale viene definito spazio campionari ed è denotato con Ω. Esempi Si consideri l esperimento casuale lancio di una moneta. In questo caso lo spazio campionario Ω è l insieme dei possibili esiti Testa, Croce, formalmente Ω = {Testa, Croce}. (Dipartiment 3 / 42

4 Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado. Definire lo spazio campionario Ω. Poiché lo spazio campionari è l insieme di tutti i possibili esiti, si ricava che Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si consideri l esperimento casuale lancio di due dadi. Definire lo spazio campionario Ω. Poiché lo spazio campionari è l insieme di tutti i possibili esiti, si ricava che Ω = {(i, j) : i, j = 1,..., 6} ovvero Ω è l insieme di tutte le possibili coppie (i, j), dove il primo indice indica che il numero i compare nel primo dado mentre il secondo indice indica che il numero j compare nel secondo dado. (Dipartiment 4 / 42

5 Definizione Un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario Ω è definito evento casuale o aleatorio. Nel seguito indicheremo con E un generico evento casuale. Si consideri l esperimento casuale lancio di una moneta. In questo caso lo spazio campionario è l insieme Ω = {Testa, Croce}, il quale è definito come unione degli eventi elementari E 1 = {Testa} e E 2 = {Croce}. Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado. In questo caso lo spazio campionario è l insieme Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ed è definito come unione degli eventi elementari E 1 = {1}, E 2 = {2},..., E 6 = {6}. Si consideri l esperimento casuale consistente nel misurare il tempo di vita di un transistor. In questo caso lo spazio campionari è l insieme Ω = {x : 0 x < + }, ovvero l insieme di tutti i valori reali non negativi. (Dipartiment 5 / 42

6 Operazioni logiche sugli eventi Definizione Dato un evento E si definisce negato di un evento, denotato con Ē, l evento il cui valore logico è l opposto di quello di E. Esempio: Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e l evento E descritto dall enunciato uscita della faccia con il numero due. Il negato dell evento E, denotato con Ē, è l evento descritto dall enunciato uscita della faccia con un numero diverso da due. Esempio: Si consideri l esperimento casuale consistente nel misurare il tempo di vita di un transistor e l evento E descrito dall enunciato il tempo di vita di un transistor non è superiore a 5 ore. In questo caso E = { x : 0 x 5}. Dalla descrizione dell evento E si ricava che l evento negato Ē è descritto dall enunciato il tempo di vita di un transistor è superiore a 5 ore, ovvero E = { x : 5 < x}. (Dipartiment 6 / 42

7 Unione o Somma logica Dati due eventi E 1, E 2, definiamo unione o somma logica degli eventi E 1, E 2, l evento, denotato con E 1 E 2, che è vero se almeno uno dei due eventi è vero. Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori E 1 = { esce la faccia con il numero 1 }; E 2 = { esce la faccia con il numero 2 }. Definire l insieme unione E 1 E 2. Dalla descrizione degli eventi E 1 ed E 2 si deduce che l evento unione è descritto dall enunciato esce un numero inferiore o uguale a 2. uigi Augugliaro (Dipartiment 7 / 42

8 Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori E 1 = { faccia 2 } E 2 = { faccia 4 } E 3 = { faccia 6 }. Definire l evento unione E 1 E 2 E 3. Dalla descrizione degli eventi E 1, E 2 ed E 3 si deduce che l evento unione è descritto dall enunciato esce un numero pari. Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori E 1 = { faccia 1 } E 2 = { faccia 3 } E 3 = { faccia 5 }. Definire l evento unione E 1 E 2 E 3. Dalla descrizione degli eventi E 1, E 2 ed E 3 si deduce che l evento unione è descritto dall enunciato esce un numero dispari. (Dipartiment 8 / 42

9 Intersezione o Prodotto logico Dati due eventi E 1, E 2, definiamo intersezione o prodotto logico degli eventi E 1, E 2, l evento, denotato con E 1 E 2, che è vero se sono veri gli eventi E 1 ed E 2. Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e gli eventi aleatori descritti dagli enunciati E 1 = { uscita di un numero inferiore a 4 } E 2 = { uscita di un numero dispari } Definire l evento unione E 1 E 2. Dalla descrizione degli eventi si ricava che E 1 = {1, 2, 3}, E 2 = {1, 3, 5}. da cui discende che l evento intersezione è definito nel seguente modo E 1 E 2 = {1, 3} (Dipartiment 9 / 42

10 Con riferimento all esperimento casuale consistente nel misurare il tempo di vita di un transistor, si considerino gli eventi casuali descritti dagli enunciati E 1 = { il tempo di vita è inferiore a 4 ore } E 2 = { il tempo di vita è superiore a 5 ore } E 3 = { il tempo di vita è compreso tra 2 e 7 ore } Definire gli eventi E 1 E 2, E 2 E 3. Soluzione Dalla descrizione degli eventi si ricava che E 1 E 2 = (evento impossibile) E 2 E 3 = {x : 5 < x < 7} (Dipartiment 10 / 42

11 Le operazioni logiche tra gli eventi, introdotte in precedenza, possono essere rappresentate graficamente mediante l utilizzo dei diagrammi di Venn. L area ombreggiata identifica l evento A B (Dipartiment 11 / 42

12 L area ombreggiata identifica l evento A B (Dipartiment 12 / 42

13 L area ombreggiata identifica l evento Ē (Dipartiment 13 / 42

14 Le operazioni di unione logica ed intersezione logica soddisfano le seguenti proprietà Commutativa Associativa E 1 E 2 = E 2 E 1 E 1 E 2 = E 2 E 1 (E 1 E 2 ) E 3 = E 1 (E 2 E 3 ) = E 1 E 2 E 3 (E 1 E 2 ) E 3 = E 1 (E 2 E 3 ) = E 1 E 2 E 3 Distributiva E 1 (E 2 E 3 ) = (E 1 E 2 ) (E 1 E 3 ) E 1 (E 2 E 3 ) = (E 1 E 2 ) (E 1 E 3 ) (Dipartiment 14 / 42

15 Con riferimento ad un certo stato d informazione, un evento si dice certo, rispettivamente impossibile, quando dai dati è possibile dedurre logicamente la verità, rispettivamente la falsità dell evento. Diremo che un evento è possibile quando non è possiamo dedurre logicamente la verità o falsità dell evento. Due eventi si dicono incompatibili (compatibili nel caso opposto) quando la loro intersezione logica è uguale all evento impossibile. In altri termini, E 1 ed E 2 sono incompatibili quando il verificarsi di uno di essi implica il non verificarsi dell altro, formalmente E 1 E 2 =. Si considerino l esperimento casuale lancio di due dadi e gli eventi definiti dagli enunciati: E 1 = { al primo e al secondo lancio di un dado esce un punto pari }, E 2 = { la somma dei punti realizzati col primo e il secondo lancio di un dado è dispari }. (Dipartiment 15 / 42

16 Evoluzione storica della definizione di probabilità Come ottenere una valutazione di probabilità degli eventi? Per rispondere a questa domanda è necessario considerare lo sviluppo storico del concetto di probabilità. Storicamente il calcolo delle probabilità nasce con lo studio del gioco di azzardo. Le prime valutazioni di probabilità sono rivolte ad un ristretto campo di applicazione dove la schematizzazione dei fenomeni si ottiene con l enumerazione di un ridotto numero di casi, assunti tutti ugualmente possibili. Definizione classica di probabilità La probabilità di un evento E, denotata con P(E), è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi dell evento E e il numero di casi possibili, supposti tutti ugualmente possibili. (Dipartiment 16 / 42

17 Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi casuali: Soluzione E 1 = {si ottiene la faccia con il numero 3}; E 2 = {si ottiene una faccia con un numero pari}; E 3 = {si ottiene un faccia con un valore inferiore o uguale a 4}. Lo spazio campionario Ω è l insieme Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Applicando la definizione classica di probabilità si ricava che P(E 1 ) = 1 6 P(E 2 ) = 3 6 = 0, 5 P(E 3) = 4 6 0, 67 (Dipartiment 17 / 42

18 Si consideri l esperimento casuale lancio di due dadi. Determinare la probabilità che il punteggio ottenuto sia 9. Determinare il punteggio più probabile. Soluzione Tutte le possibili coppie sono 6 6 = 36, quindi la probabilità di estrarre una qualsiasi coppia è , 028. Il numero di casi favorevole è uguale al numero di coppie la cui somma è uguale a 9, ovvero (3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3) da cui si ricava, applicando la definizione classica di probabilità, che la probabilità di ottenere una coppia la cui somma è uguale a 9 è 4 36 = 1 9. uigi Augugliaro (Dipartiment 18 / 42

19 Analogamente a quanto fatto in precedenza si ricava x p 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/ / / /36 Da cui si ricava che 7 è il punteggio più probabile. (Dipartiment 19 / 42

20 Da un mazzo di 52 carte vengono estratte successivamente due carte, senza che la prima venga reinserita. Calcolare la probabilità che le due carte estratte siano due assi. Soluzione Gli eventi elementari sono tutti le possibili coppie estraibili da un mazzo di 52 carte in cui la prima carta estratta non e reinserita nel mazzo. Si deduce che il numero di eventi elementari è = La probabilità 1 di estrarre una data coppia è. Poiché esistono 4 3 = 12 possibili 2652 coppie ordinate di assi, la probabilità di estrarre una coppia di assi è uguale 0, 005. a Calcolare la probabilità richiesta in precedenza assumendo che la prima carta venga reinserita nel mazzo. (Dipartiment 20 / 42

21 Nel gioco del domino si usano tessere rettangolari divise in due parti, in ciascuna delle quali è rappresentato un numero intero da 0 a 6. Determinare la probabilità di estrarre una tessera il cui punteggio totale sia 9. Determinare la probabilità di estrarre una tessera le cui due parti rechino lo stesso numero. Soluzione Differentemente dall esercizio precedente, il totale dei casi possibili è costituito da tutte le possibili coppie non ordinate. Ne consegue che esistono soltanto due tessere in cui la somma dei numeri riportati è uguale a 9. Poiché tutte le possibili tessere sono 28, si ricava che la probabilità di estrarre una tessera il cui punteggio totale sia 9 è 2 28 = 0, 071. Poiché vi sono soltanto 7 tessere con il punteggio uguale, si ricava che la probabilità di estrarre una tessera le cui due parti rechino lo stesso numero è = 0, (Dipartiment 21 / 42

22 Determinare: la probabilità di estrarre un 8 di picche da un mazzo di 52 carte, la probabilità di estrarre una figura (F,Q,P), la probabilità di estrarre un asso o una carta di fiori, la probabilità di estrarre una carta con un numero pari oppure una carta che non sia di fiori, la probabilità che, lanciando due dadi, la somma dei valori ottenuti sia sette. (Dipartiment 22 / 42

23 La concezione frequentista di probabilità deriva dalla constatazione di un fatto sperimentale. Consideriamo un evento ripetibile E. Definiamo frequenza relativa di successo dell evento E il rapporto tra il numero di volte che si verifica un evento e il numero totale delle prove effettuate. Si osserva che al crescere del numero delle prove la frequenza relativa di successo tende a stabilizzarsi verso un valore costante. Sulla base di tale constatazione, nel 1918 si perviene con R. von Mises a quella che è nota come definizione frequentista di probabilità. Definizione frequentista di probabilità La probabilità di un evento ripetibile E è il limite cui tende la frequenza relativa di successo dell evento considerato, al divergere del numero delle prove (n + ). (Dipartiment 23 / 42

24 Sia la definizione classica che frequentista conferiscono alla probabilità un contenuto oggettivo. La concezione soggettiva di probabilità conduce invece ad una definizione di probabilità basata sulla valutazione soggettiva. La definizione che segue è dovuta a de Finetti, uno dei principali fautori della teoria soggettiva della probabilità. Definizione soggettivista di probabilità La probabilità di un evento E, secondo l opinione di un dato individuo, è il prezzo p che egli stima equo attribuire ad un importo unitario esigibile al verificarsi di E. Dalla definizione discende che la probabilità di un evento E è interpretabile come la quota di una scommessa che un individuo, sulla base delle sue esperienze passate ed opinioni, giuduca equo pagare per riscuotere l importo unitario dovuto se si verifica l evento E. (Dipartiment 24 / 42

25 L impostazione assiomatica si differenzia dalle precedenti definizioni dato che non fonda la definizione di probabilità ne sul significato di probabilità ne su quello di evento. Definizione assiomatica di probabilità Sia E l evento di cui si vuole determinare una valutazione di probabilità. La probabilità dell evento E, denotata con P(E), è quel numero reale che soddisfa i seguenti tre assiomi: P(E) 0 (non negatività) P(Ω) = 1 (normalizzazione) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) se e solo se E 1 ed E 2 sono incompatibili (additività). Il terzo assioma è noto come teorema delle probabilità totali per eventi incompatibili. (Dipartiment 25 / 42

26 Utilizzando i tre assiomi è possibile dimostrare i seguenti teoremi. Teorema 1. La probabilità dell evento impossibile è zero, in altri termini P( ) = 0. Dimostrazione Osserviamo che lo spazio degli eventi elementari può essere definito come Ω = Ω, da cui discende che 1 = P(Ω) = P(Ω ). Dato che Ω e sono incompatibili, per il terzo assioma si ricava 1 = P(Ω) = P(Ω ) = P(Ω) + P( ) = 1 + P( ), da cui si deduce che P( ) = 0. (Dipartiment 26 / 42

27 Teorema 2. Sia E un evento ed Ē il suo negato. La probabilità di Ē è il complemento ad uno della probabilità di E, in altri termini P(Ē) = 1 P(E). Dimostrazione Osserviamo che sono verificate le relazioni Ω = E Ē e E Ē =. Attraverso l utilizzo degli assiomi introdotti in precedenza si ricava 1 = P(Ω) = P(E Ē) = P(E) + P(Ē), da cui si ricava che P(Ē) = 1 P(E). (Dipartiment 27 / 42

28 Teorema 3. Siano E 1 ed E 2 due eventi. Si dimostra che P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E 1 E 2 ). Dal teorema 3 discende che in generale P(E 1 E 2 ) P(E 1 ) + P(E 2 ) con l uguaglianza che sussiste se e solo se gli eventi E 1 ed E 2 sono incompatibili. (Dipartiment 28 / 42

29 Uno studente ha programmato di sostenere gli esami A e B in una determinata sessione. In base alla sua preparazione ritiene che la probabilità di superare l esame A sia pari a 0.7, la probabilità di superare l esame B sia 0.5, mentre la probabilità di superarli entrambi sia 0.4. Qual è la probabilità che lo studente superi almeno uno dei due esami? (Dipartiment 29 / 42

30 Siano E 1 ed E 2 due eventi. La probabilità condizionata dell evento E 2 dato l evento E 1, denotata con P(E 2 E 1 ), è definita come analogamente Legge delle probabilità composte P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ), P(E 1 ) P(E 1 E 2 ) = P(E 2 E 1 ). P(E 2 ) P(E 1 E 2 ) = P(E 2 E 1 )P(E 1 ). Definizione Diremo che due eventi sono indipendenti quando il verificarsi di un evento non modifica la probabilità di verificarsi del secondo P(E 2 E 1 ) = P(E 2 ). (1) (Dipartiment 30 / 42

31 Data una famiglia con due figli, calcolare la probabilità che entrambi siano maschi sapendo che almeno uno sia maschio. Soluzione Indicato con m il sesso maschio e con f il sesso femmina, l insieme degli eventi elementari è {(m, m), (m, f ), (f, m), (f, f )}, da cui si ricava, applicando la definizione classica di probabilità, che la probabilità richiesta è 1/3. (Dipartiment 31 / 42

32 Indichiamo con E 1, l evento condizionante ovvero E 1 = {almeno un figlio è maschio}. Poiché vi sono 3 casi favorevoli, si ricava che P(E 1 ) = 3 4. Indichiamo con E 2 l evento descritto dall asserzione {entrambi i figli sono maschi}. Poiché E 1 = {(m, m), (m, f ), (f, m)}, E 2 = {(m, m)} si deduce che E 1 E 2 = {(m, m)} quindi P(E 1 E 2 ) = 1 4. Applicando il teorema delle probabilità condizionate si ricava P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ) P(E 1 ) = 1/4 3/4 = 1 3 (Dipartiment 32 / 42

33 Si consideri l esperimento casuale lancio di due dadi. Si calcoli la probabilità che la somma dei valore ottenuti sia uguale a 3 sapendo che il primo dado lanciato ha fornito il valore 1. Come cambia la probabilità calcolata in precedenza se al primo lancio si ottiene il valore 3? (Dipartiment 33 / 42

34 Da un mazzo di 52 carte vengono estratte 3 carte senza reinserimento. Calcolare la probabilità di estrarre tre assi. Soluzione Sebbene la probabilità richiesta possa essere calcolata mediante la nozione classica di probabilità, risulta più agevole il calcolo attraverso la nozione di probabilità condizionata. Consideriamo i tre eventi E 1 = {la prima carta estratta è un asso} E 2 = {la seconda carta estratta è un asso} E 2 = {la terza carta estratta è un asso} (Dipartiment 34 / 42

35 La probabilità richiesta può essere espressa come P(E 3 E 2 E 1 ), la quale, applicando le formule precedenti si ricava che P(E 3 E 2 E 1 ) = P(E 3 E 2 E 1 ) P(E 2 E 1 ) = = P(E 3 E 2 E 1 ) P(E 2 E 1 ) P(E 1 ) Applicando la nozione classica di probabilità si ricava P(E 1 ) = 4 52 P(E 2 E 1 ) = 3 51 P(E 3 E 2 E 1 ) = 2 50 quindi P(E 3 E 2 E 1 ) = (Dipartiment 35 / 42

36 Un risultato teorico legato alla probabilità condizionata di due eventi E 1 ed E 2 è il teorema di Bayes. Consideriamo la probabilità dell evento condizionato E 2 E 1, ovvero P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ). P(E 1 ) Applicando la legge delle probabilità composte si racava P(E 1 E 2 ) = P(E 1 E 2 )P(E 2 ) P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ) P(E 2) P(E 1 ). La relazione appena introdotta è nota in letteratura come regola di Bayes, la quale consente di calcolare la probabilità condizionata di due eventi nota la probabilità dei singoli eventi e la probabilità condizionata nella quale gli eventi scambiano i propri ruoli. (Dipartiment 36 / 42

37 Una azienda di credito deve decidere se concedere un finanziamento ad un proprio cliente. I clienti vengono ripartiti in due categorie: solvente e insolvente. Sulla base delle esperienze passate è noto che la probabilità che un soggetto appartenga alla categoria insolvente dato che ha ottenuto il finanziamento è dello 0.2. Supponendo che la probabilità che l azienda di credito conceda il finanziamento sia dello 0.4 e che la probabilità che un cliente appartenga alla categoria insolvente sia dello 0.1, calcolare la probabilità che l azienda di credito conceda erroneamente il finanziamento al proprio cliente ovvero la probabilità che venga concesso il finanziamento dato che il soggetto appartiene alla categoria insolvente. (Dipartiment 37 / 42

38 Soluzione Per calcolare la probabilità richiesta definiamo gli eventi E 1 = { il cliente è di tipo insolvente } E 2 = { l azienda di credito concede il finanziamento } Sulla base della descrizione si ricava che P(E 1 E 2 ) = 0.2 P(E 2 ) = 0.4 P(E 1 ) = 0.1. Per calcolare la probabilità richiesta, ovvero P(E 2 E 1 ), applicando il teorema di Bayes si ricava P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ) P(E 2) 0.4 = 0.2 P(E 1 ) 0.1 = 0.8 (Dipartiment 38 / 42

39 Una compagnia assicurativa divide i clienti in due gruppi: il primo gruppo comprende i clienti che sono propensi agli incidenti mentre il secondo gruppo comprende quelli che non lo sono. Le statistiche della compagnia assicurativa mostrano che la probabilità che un assicurato abbia un incidente, dato che appartiene al primo gruppo, è 0,4 mentre la probabilità si riduce a 0,2 se il cliente appartiene al secondo gruppo. Si assuma che probabilità che un nuovo cliente appartenga al primo gruppo sia 0,3. Calcolare la probabilità che un nuovo assicurato abbia un incidente. Assumendo che il nuovo cliente abbia un incidente, determinare la probabilità che si tratti di un cliente del primo gruppo. (Dipartiment 39 / 42

40 Soluzione Per calcolare le probabilità richieste, definiamo gli eventi E 1 = { il cliente ha un incidente } E 2 = { il cliente appartiene al primo gruppo } Ē 2 = { il cliente appartiene al secondo gruppo } Sulla base delle informazioni fornite è noto che P(E 1 E 2 ) = 0, 4 P(E 2 ) = 0, 3 P(E 1 Ē 2 ) = 0, 2 P(Ē 2 ) = 1 P(E 2 ) = 0, 7 Il primo quesito richiede il calcolo di P(E 1 ). (Dipartiment 40 / 42

41 Osservando che Ω = E 2 Ē2 si ottiene E 1 = E 1 Ω = E 1 (E 2 Ē2) = (E 1 E 2 ) (E 1 Ē2) si ricava che la probabilità richiesta può essere espressa come ( ) P(E 1 ) = P (E 1 E 2 ) (E 1 Ē2) Poiché gli eventi (E 1 E 2 ) e (E 1 Ē2) sono incompatibili possiamo scrivere P(E 1 ) = P(E 1 E 2 ) + P(E 1 Ē 2 ). (Dipartiment 41 / 42

42 Utilizzando la legge delle probabilità composte si ricava P(E 1 E 2 ) = P(E 1 E 2 ) P(E 2 ) = 0, 4 0, 3 = 0, 12 P(E 1 Ē 2 ) = P(E 1 Ē 2 ) P(Ē 2 ) = 0, 2 0, 7 = 0, 14 quindi P(E 1 ) = 0, , 14 = 0, 26. Il secondo punto richiede il calcolo della probabilità P(E 2 E 1 ). Applicando il teorema di Bayes si ricava P(E 2 E 1 ) = P(E 1 E 2 ) P(E 2) 0, 3 = 0, 4 0, 462 P(E 1 ) 0.26 (Dipartiment 42 / 42