Piano Lauree Scientifiche 2012/2013. Liceo Scientifico Renato Caccioppoli Napoli Napoli

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1 Piano Lauree Scientifiche 2012/2013 Liceo Scientifico Renato Caccioppoli Napoli Napoli

2 Pitagora utilizzando l inversione circolare

3 Euclide e Gli Elementi Negli Elementi Euclide parte da postulati formula proposizioni le dimostra utilizzando postulati o proposizioni precedentemente dimostrate. Alla fine del Primo libro Euclide dimostra il teorema di Pitagora con una serie di equivalenze di figure, senza utilizzare i concetti di rapporto e di proporzione.

4 TEOREMA DI TOLOMEO Sia ABCD un quadrilatero ciclico. Allora: AB * CD + BC * AD = AC * BD.

5 Trasformazioni del piano Una trasformazione del piano è un applicazione biunivoca del piano in sé. Un importante trasformazione del piano è l isometria che conserva le distanze tra i punti. Si può provare che manda rette in rette e conserva il parallelismo.

6 Inversione Circolare Assegnata, nel piano euclideo, una circonferenza Γ di centro O e raggio r, si definisce inversione circolare rispetto a Γ la trasformazione f Γ che associa ad ogni punto P del piano, distinto da O, il punto P appartenente alla semiretta OP e tale che il prodotto delle distanze di P e P da O sia uguale a r², cioè: OP*OP' = r². Osserviamo che f Γ non è una trasformazione del piano, ma del piano privato del punto O, e in tale sottoinsieme è biunivoca. f Γ non è una isometria.

7 L Inversione Circolare gode delle seguenti PROPRIETA : Una circonferenza passante per O si trasforma in una retta non passante per O Una circonferenza non passante per O si trasforma in una circonferenza non passante per O Una retta non passante per O si trasforma in una circonferenza passante per O privata del punto O Una retta passante per O si trasforma in se stessa È involutoria

8 Dove vanno le circonferenze passanti per il centro? Nel 1864 Peaucellier costruisce un apparecchio e riesce a verificare l importante proprietà: una circonferenza Ω passante per il centro O di una inversione circolare rispetto a Γ viene mandata da f Γ nell'asse radicale delle due circonferenze Γ e Ω. Si costruisce la circonferenza Γ di inversione di centro O. Si disegna la circonferenza Ω passante per O e si applica l inversione circolare ad un suo qualsiasi punto P, ottenendo P'. Al variare di P sulla circonferenza Ω, P descrive una retta: l'asse radicale delle due circonferenze.

9 Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con l Inversione Circolare (parte 1) Lemma: siano P',Q' le controimmagini di P,Q. Allora: P'Q' = PQ * r² /(OP*OQ) Dim: dalla definizione di inversione e da uno dei criteri di similitudine segue che i triangoli OPQ e OP Q sono simili. Si ha quindi P Q :PQ=OQ :OP. Sapendo che OQ = r² /OQ, segue la tesi.

10 Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con l Inversione Circolare (parte 2) Consideriamo un generico quadrilatero OABC inscritto nella circonferenza Ω, e l inversione circolare di centro O associata ad una circonferenza Γ, di centro O e raggio r. Indichiamo con A, B, C le immagini di A,B,C mediante l inversione assegnata. Le immagini sono allineate, in particolare: A'B' + B'C' = A'C'.

11 Dimostrazione del Teorema di Tolomeo con l Inversione Circolare (parte 2) Utilizzando il Lemma precedentemente dimostrato, l uguaglianza assume la seguente forma: Moltiplicando tutti i membri per OA*OB*OC, segue la tesi.

12 ...E ora? Teorema di Pitagora: la somma dei quadrati dei cateti di un triangolo rettangolo ABC è pari al quadrato dell'ipotenusa. Dimostrazione: costruisco un punto D tale che ABCD sia un rettangolo, che è un quadrilatero inscritto in una circonferenza. La tesi segue immediatamente dal teorema di Tolomeo: infatti, tenendo conto del fatto che AB=CD, BC=AD e AC=BD, segue che:

13 Bibliografia Appunti e dispense distribuite nel laboratorio PLS, prof.ssa S. Dragotti; R. Courant e H. Robbins, Che cos è la matematica, casa editrice Universale Bollati Boringhieri; geomeccan0.php?id=5;

14 Liceo Scientifico Renato Caccioppoli Napoli Grazie per l attenzione