Logica e teoria degli insiemi

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1 Introduzione Le ricerche booleane L insieme delle parti La logica è la disciplina che studia le regole del ragionamento, per poter costruire oggetti e relazioni di senso compiuto... Date delle frasi di senso compiuto, se su di esse s opera... [in questo modo]..., si ottengono frasi di senso compiuto... e per poter trasferire attraverso il ragionamento un valore di verità Date delle frasi..., la frase ottenuta operando... [in questo modo]... è vera. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 1 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 2 Si parte da proposizioni elementari: Ho fame Compro l insalata Esiste l amore Ho sete Quel libro è bello e si combinano con dei segni logici, che danno luogo ad operazioni logiche. Da Piove, Compro l insalata, che sono frasi di senso compiuto, si può dire (alternanza) Piove o compro l insalata e Compro l insalata o piove; da Esiste l amore si può dire (negazione) Non esiste l amore. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 3 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 4

2 Da Mangio, Vado a dormire, si può dire, analogamente: Combinando Piove e Compro l insalata e da Ho sete Mangio o vado a dormire Vado a dormire o mangio; si può dire (implicazione) Piove implica compro l insalata si può dire (negazione) Non ho sete. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 5 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 6 da Piove Compro l insalata si può dire (congiunzione) Piove e compro l insalata ed analogamente Mangio e vado a dormire. combinando implicazione e congiunzione (equivalenza) (Piove implica mi bagno) e (mi bagno implica piove) ovvero Piove è equivalente a mi bagno Tavole di verità Le proposizioni, elementari o no, possono avere un contenuto di verità. Piove può esser vero oppure falso (oppure incerto, perché non si sa). Analogamente ho fame, compro l insalata, mi bagno, ecc. La logica non è in grado di stabilire se queste proposizioni sono vere o false: occorre una verifica empirica. La logica è in grado di stabilire se, supposte vere o false alcune proposizioni, quelle ottenute operando su di esse sono vere o false. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 7 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 8

3 Si può stabilirlo col calcolo logico, basato sulle tavole di verità. A v v f f B v f v f nona f f v v nonb f v f v A o B v v v f A e B v f f f non(nona o nonb) v f f f A implica B v f v v nona o B v f v v Sostituendo A e B con frasi compiute, s ottengono tavole di verità empiriche, identiche a quella proposta. Piove v v f f Mi bagno v f v f la negazione scambia vero e falso non piove f f v v non mi bagno f v f v l alternanza è vera se almeno una delle due frasi è vera piove o mi bagno v v v f "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 9 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 10 la congiunzione è vera se tutte e due le frasi sono vere piove e mi bagno v f f f ma l alternanza delle due negazioni: non piove o non mi bagno f v v v e la sua negazione non(non piove o non mi bagno) v f f f dànno, se applicate in sequenza, una tavola identica alla congiunzione. l implicazione è falsa solo quando la prima frase è vera e la seconda è falsa piove implica mi bagno v f v v la tavola è identica all alternanza della negazione della prima frase con la seconda non piove o mi bagno v f v v L equivalenza è vera quando le due proposizioni sono entrambe vere od entrambe false piove equivale a mi bagno v f f v "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 11 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 12

4 I quantificatori I segni logici servono a concatenare proposizioni sempre più complesse. Le tavole di verità servono a trasferire la verità da proposizioni più semplici a proposizioni più complesse. In effetti si dimostra che questo non è sufficiente in matematica, perché oltre alle proposizioni si usano degli oggetti. In particolare, per trasferire le verità relative ad oggetti s introducono i quantificatori. Il quantificatore esistenziale corrisponde all enunciato esiste un oggetto x tale che la proposizione R Il quantificatore universale corrisponde all enunciato Per ogni oggetto x la proposizione R Per sapere se questi enunciati sono veri o no, non si possono usare le tavole di verità ed occorre ricorrere ad un ragionamento più complesso. In pratica, per dimostrare l esistenza d un oggetto, occorre mostrarne effettivamente uno, per dimostrare l universalità d una proposizione, occorre mostrare che non esiste nessun oggetto per cui essa sia falsa. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 13 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 14 Esempio: Esiste un x tale che (x miagola) Per stabilire che questa proposizione è vera, occorre dotarsi d un gatto e tirargli la coda. Per ogni x ((x è un uomo) implica (x è mortale)) Per stabilire che questa proposizione è falsa, occorre trovare un uomo immortale. La logica permette di costruire correttamente delle proposizioni relative a certi oggetti e trasferire la verità da una proposizione all altra. Il trasferimento avviene in base a tre criteri: C1) assiomi espliciti: la proposizione Gli asini volano è da considerarsi vera a priori; C2) schemi d assioma: la proposizione Se (non T) è vera, allora T è falsa è vera qualunque sia T; C3) sillogismi: se le due proposizioni T e T implica S sono vere, allora è vera anche la proposizione S. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 15 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 16

5 Esempio Tutti gli uomini sono mortali, poichè Socrate è un uomo, allora Socrate è mortale. Uso scorretto Tutti i gatti sono mortali, poichè Socrate è mortale, allora Socrate è un gatto. È vero: infatti ho un gatto di nome Socrate. (Eugène Ionesco, Il rinoceronte)) Teorie matematiche Una teoria matematica si basa su certi termini specifici della teoria, per i quali si stabiliscono delle relazioni, specifiche della teoria. La verità delle relazioni si basa su un sistema d assiomi espliciti (come la geometria euclidea). Il loro ruolo è quello di modello per la realtà da studiare. A partire da essi, mediante dimostrazioni basate su regole logiche (schemi d assiomi e sillogismi) si costruiscono verità via via più complesse. Esse, ottenute per deduzione, sono vere per tutti gli oggetti che verificano gli assiomi espliciti della teoria. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 17 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 18 Assiomi della geometria euclidea Assiomi di Peano 1. Per due punti si può tirare un segmento di retta. 2. Una retta per due punti può esser prolungata oltre i due punti. 3. Fissato un punto ed un segmento, esiste una circonferenza con centro il punto e raggio il segmento. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali. 5. Se due rette tagliate da una secante comune, formano con essa angoli diversi, allora le due rette s incontrano dal lato in cui la somma degli angoli è minore d un angolo piatto. 1. lo zero è un numero naturale; 2. il successore d un numero naturale è un numero naturale; 3. il successore d un numero naturale non è lo zero; 4. se i successori di due numeri naturali sono uguali, lo sono anche i due numeri; 5. se un insieme contiene lo zero ed il successore d ogni suo elemento, allora contiene l insieme dei numeri naturali (assioma d induzione). "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 19 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 20

6 è una teoria logica quantificata, dotata di due segni = ed che permettono, dati due termini x ed y, di formare la relazione x = y che si legge x uguale ad y o la relazione x y che si legge x appartiene ad y. L uguaglianza L uguaglianza si caratterizza con due schemi d assioma: S1 se due termini sono uguali, essi verificano le stesse relazioni (hanno le stesse proprietà) S2 se due relazioni sono equivalenti per ogni oggetto, gli oggetti che le verificano rispettivamente sono uguali. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 21 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 22 Da essi discendono i tre teoremi: Teorema 1) riflessività dell uguaglianza x = x Teorema 2) simmetria dell uguaglianza ( x = y ) ( y = x ) Teorema 3) transitività dell uguaglianza ( ( x = y ) e ( y = z ) ) ( x = z ) La negazione di T = U si indica con T U Relazioni Una relazione R(x,y) (in cui cioè compaiono due lettere distinte) può essere: riflessiva se è un teorema ( x ) R ( x, x ) esempi: essere parente di, ma non essere più vecchio di simmetrica se è un teorema ( x ) ( y ) ( R ( x, y ) R ( y, x ) ) esempi: essere parente di, ma non essere più vecchio di "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 23 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 24

7 antisimmetrica se è un teorema ( x ) ( y ) ( ( R ( x, y ) e R ( y, x ) ) ( x = y ) ) esempi: essere in fila, ma non essere parente di Nota: una relazione antisimmetrica è implicitamente riflessiva. transitiva se è un teorema ( x ) ( y ) ( z ) ( ( R ( x, y ) e R ( y, z ) ) R ( x, z ) ) esempi: essere un discendente di, ma non essere parente di Nota: Solo la relazione x = y è simmetrica ed antisimmetrica insieme. Una relazione R si dice univoca in x se è un teorema che se R è vera per due oggetti essi sono uguali Esempi: x ha y come madre è univoca, perché se è viva, è unica. x ha il passaporto y non è univoca, perché uno può averne due. Una relazione R si dice funzionale in x se è un teorema che esiste ed è unico un x tale che R Esempi: x è nato y è funzionale, perché ognuno è nato una sola volta. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 25 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 26 La relazione x y si legge L appartenenza x appartiene ad y, x è elemento di y, y contiene x Se S è un termine della teoria degli insiemi, si dirà S è un insieme La negazione S non è elemento di T si scrive S / T In pratica, si chiama insieme un qualunque termine d una teoria matematica del quale si possa stabilire a priori, con certezza e senza contraddizioni, quali altri termini della teoria contenga, detti elementi dell insieme. questo è possibile mediante l enumerazione degli elementi: A = {a, b, c, d} = {d, c, a, b} (l ordine non conta) B = The Beatles = {John, Paul, George, Ringo } oppure con una relazione vera che caratterizza tutti e soli gli elementi dell insieme: N = {x x è un numero naturale} F (R) = {f f è una funzione reale di variabile reale}. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 27 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 28

8 Se è vero che I = {x R}, allora si dice che R è collettivizzante in x. In tal caso si scrive anche I = Coll x R con I l insieme che collettivizza R. Esempi: T = {io, mammeta e tu} C = {Totò, Peppino e la malafemmina} D = {io, tu e le rose} I = {x x è italiano} N = {x x è un numero naturale} R = {x x è un triangolo rettangolo} AA = {x x è un attrice americana} non sono insieme AB = {x x è un bell attore americano} C = {x x è un concetto astratto} X = {x x / x} "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 29 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 30 L inclusione La relazione ( z ) ( ( z x ) ( z y ) ) si chiama inclusione e si scrive e si legge x y x contenuto in y ovvero x è sottoinsieme di y Teorema 4) x x (riflessività dell inclusione) Un insieme è sottoinsieme di sé stesso. Teorema 5) ( ( x y ) e ( y z ) ) ( x z ) (transitività dell inclusione) Un insieme sottoinsieme d uno che è sottoinsieme d un terzo, è anch esso sottoinsieme del terzo. Esempi: BS = I Beatles superstiti = { Paul, Ringo} E = { io, tu } E D BS B Nota: x y z x z ma non x y z x z. Il gatto Fuffi appartiene alla specie Felis catus, che appartiene all insieme delle specie, ma Fuffi non è una specie... "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 31 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 32

9 Assioma di estensionalità: ( x ) ( y ) ( ( ( x y ) e ( y x ) ) ( x = y ) ) (antisimmetria dell inclusione) ovvero: due insiemi uno contenuto nell altro sono uguali. È la tecnica che si usa per verificare se due insiemi sono uguali. Conseguenza: L inclusione é una relazione d ordine (riflessiva, antisimmetrica e transitiva). Esempio X = { x x è un multiplo di 2 } Y = { y y diviso 2 dà resto 0 } x X, allora x = 2n, dunque x / 2 = 2n / 2 = n (resto 0) e x Y, dunque X Y. y Y, allora y / 2 = n con resto 0, dunque y = 2n e y X e quindi Y X. Quindi, per l assioma d estensionalità, X = Y. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 33 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 34 Sia la relazione A X x / A e x X è collettivizzante in x e l insieme si chiama { x x / A e x X } complementare di A rispetto ad X e s indica con C x A l insieme S indica con Coll x { x x / X e x X } è l insieme vuoto, il quale dovrebbe collettivizzare la relazione x / X e x X. Il fatto che questa relazione sia falsa per ogni X (dunque una contraddizione), non ha elementi. Risulta perø che l insieme vuoto è sottoinsieme d ogni insieme. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 35 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 36

10 Se R ed S sono relazioni, e Dati insiemi A e B, il termine A B = {x x A e x B} si legge intersezione di A e B A B è un insieme, anzi un sottoinsieme sia di A che di B. A risulta A = Coll x R e B = Coll x S, A B = Coll x (R e S) Esempio: A = { le attrici americane } B = { le attrici bionde } A B = { le attrici americane bionde } B "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 37 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 38 Dati insiemi A e B, il termine Se R ed S sono relazioni, e A B = {x x A o x B} si legge unione di A e B ed è un insieme che contiene A e B. A risulta A = Coll x R e B = Coll x S, A B = Coll x (R o S) Esempio: A = { le attrici americane } B = { le attrici bionde } A B = {le attrici americane o bionde} B "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 39 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 40

11 Dati insiemi A e B, il termine A - B = {x x A e x / B} si legge A meno B è un sottoinsieme di A. A A-B Se R ed S sono relazioni, e A = Coll x R e B = Coll x S, risulta A B = Coll x (R e non S) B - A = B - (A B) = C B (A B) A - B = A - (A B) = C A (A B) Esempio: A = { le attrici americane } B = { le attrici bionde } A - B = {le attrici americane che non sono bionde} Rita Hayworth A - B Marilyn Monroe / A - B. B A B "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 41 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 42 Se B A allora A - B = C A B si chiama complementare di B rispetto ad A. A Dati insiemi A e B A Δ B = {x x A B e x / A B} si legge A aut B oppure o A o B B è un sottoinsieme di A B, la differenza simmetrica fra A e B. Esempio: A = { le attrici americane } B = { le attrici americane bionde } C A B = {le attrici americane che non sono bionde} A B "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 43 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 44

12 È l unione degli insiemi (x A e x / B) ed (x B e x / A), cioè: A Δ B = (A - B) (B - A) = (A B) - (A B)= C A B A B Se R ed S sono relazioni, e A = Coll x R e B = Coll x S, risulta A Δ B = Coll x ((R o S) e non (R e S)), ovvero A Δ B = Coll x (o R o S). Esempio: A Δ B = {x x A B e x / A B} A Δ B = (A B) - (A B) = (A - B) (B - A) A = { le attrici americane } B = { le attrici bionde } A Δ B = {le attrici americane non bionde e le attrici bionde non americane} dunque, Rita Hayworth,Valeria Marini A Δ B. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 45 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 46 Proprietà (da dimostrare per esercizio): associativa: commutativa: (coll insieme vuoto): A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A B = B A A B = B A distributiva: De Morgan: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A - (B C) = (A - B) (A - C) A - (B C) = (A - B) (A - C) A = A = A "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 47 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 48

13 Le ricerche booleane Le ricerche booleane Le operazioni fra insiemi si utilizzano per eseguire le ricerche nelle basi di dati o sul web. Impostando la ricerca con elefante o elefante, s ottengono tutti i documenti in cui compare (esattamente) la parola elefante: {x x contiene la parola elefante} Impostando la ricerca con elefante africano, s ottengono tutti i documenti in cui compaiono (esattamente) o la parola elefante o la parola africano (o tutt e due): {x (x contiene la parola elefante) o (x contiene la parola africano)} È quindi come scrivere elefante OR africano. Le ricerche booleane Per ottenere invece le informazioni sugli elefanti africani, occorre scrivere elefante africano, perché le virgolette impongono la ricerca sulle due parole contigue: {x x contiene la parola elefante africano } Impostando la ricerca con elefante AND africano, s ottengono tutti i documenti in cui compaiono simultaneamente le parole elefante ed africano, ma non necessariamente vicine: {x (x contiene la parola elefante) e (x contiene la parola africano)} Se dai documenti con elefanti si vogliono escludere quelli con la parola africano, occorre chiedere elefante AND NOT africano: {x (x contiene la parola elefante) e (x non contiene la parola africano)} "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 49 "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 50 L insieme delle parti L insieme delle parti I sottoinsiemi d un insieme costituiscono un insieme P(X) = {Y Y X} detto insieme delle parti di X. L insieme P(X) non è mai vuoto: infatti P(X) ed X P(X). Inoltre, rammentando che { }, si ha in particolare P( ) = { }, P(P( )) = {, { }}... Se = {a, b}, allora P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}} Se A = {a, b, c} allora P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. "Lezione 2".tex 19 ottobre 2014 II - 51