E solo questione di metodo:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "E solo questione di metodo:"

Transcript

1 E solo questione di metodo: problemi e algoritmi di matematica elementare Progetto Lauree Scientifiche Scuola Estiva di Matematica ( ) Stefano Finzi Vita Dipartimento di Matematica - Sapienza Università di Roma Collaborano: Cecilia Andreotti, Antonio Fanelli e Andrea Minotti Per risolvere un problema matematico è opportuno analizzarlo a fondo alla ricerca del punto migliore da cui attaccarlo, riscrivendolo magari in modo diverso, scomponendolo, usando la logica delle implicazioni per trasformarlo in una sequenza di passaggi più semplici, fino a trovare una soluzione accettabile In genere non esisterà un unica strada per arrivarci, e si può sempre migliorare quella già trovata per renderla più efficiente Se poi il tutto dovrà essere eseguito da un computer, che può fare milioni di operazioni in pochi secondi ma va istruito in modo opportuno, ecco che la scelta di un metodo efficace diventa essenziale Qui ci occuperemo di problemi elementari che hanno a che fare essenzialmente coi numeri, cercando per ognuno di essi di arrivare ad un algoritmo risolutivo In qualche caso confronteremo più algoritmi per lo stesso problema, al fine di valutarne la convenienza (contando ad esempio il numero di operazioni necessarie effettuate), perché mai come in questo caso il tempo (di calcolo) è denaro Ci occuperemo inoltre di un altro aspetto cruciale che non può essere trascurato lavorando con un computer Noi siamo abituati a ragionare nell insieme dei numeri reali, sfruttandone le proprietà di continuità e illimitatezza Nella memoria di un computer di numeri ne sono rappresentabili solo un numero finito (li chiameremo i numeri macchina), e l algebra di questi numeri è molto diversa da quella abituale, così che possono diventare false alcune ovvie identità matematiche, con effetti a volte disastrosi nella risoluzione dei problemi Comprendere questi fenomeni è fondamentale per costruire algoritmi veramente efficaci 1 Somme, prodotti e potenze Le operazioni più semplici di tutte sono somme e moltiplicazioni Proprio perché le più usate, e in genere su grandi quantità di dati, è importante che siano fatte nel modo più efficiente Una situazione frequente è che ci si trovi a sommare o moltiplicare tra loro diverse quantità indicizzate: somma = n a i = a 1 + a a n ; prodotto = i=1 n b i = b 1 b 2 b n i=1 Lo strumento ideale in entrambi i casi (pensando al computer che dovrà fare i conti per noi) è un ciclo attraverso il quale accumulare tali quantità in una variabile opportuna (che andrà inizializzata a zero nel primo caso, a uno nel secondo) Ecco gli schemi (o pseudocodici) corrispondenti: 1) somma = 0; per i = 1,, n calcola: somma = somma + a i 2) prodotto = 1; per i = 1,, n calcola: prodotto = prodotto b i In qualche caso la matematica potrà venirci incontro per risparmiare calcoli E nota la formula (attribuita al giovane Gauss): n(n + 1) n = 2 1

2 che ci consente di sommare i primi n numeri interi mediante solo due operazioni, un prodotto e una divisione Questa formula ci sarà utile in seguito anche per valutare la complessità degli algoritmi A partire dall algoritmo del prodotto ricaviamo subito quello della potenza intera di un numero q Infatti q n = q q q, e rientriamo nello schema precedente: dato q, pot=1; per i=1,,n calcola: pot=pot*q Stavolta l indice i non compare nelle espressioni da calcolare, ma serve solo a contare il numero dei fattori in gioco, tutti uguali tra loro Misuriamoci con un paio di esempi dove confrontare approcci diversi Esercizio 1 Sia q un numero reale assegnato; siamo interessati alla quantità: S n (q) = 1 + q + q q n = n q i, cioè alla somma dei primi n termini della progressione geometrica di ragione q (i) Contare quante operazioni sono necessarie per calcolare S n (q) (in funzione di n) eseguendo i calcoli così come sono scritti (ii) Sapreste trovare un altra strada per ottenere lo stesso risultato con soli n prodotti e n somme? (iii) Una nota formula matematica potrebbe ridurre ulteriormente il calcolo a n prodotti, un quoziente e due somme Qualcuno la ricorda? Esercizio 2 Supponiamo di dover valutare in un punto x = x un polinomio di grado n i=0 p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n (i) Quante operazioni (somme e prodotti) sono necessarie per calcolare p n ( x)? (ii) Provate ora a riscrivere il polinomio in un altro modo: p n (x) = a 0 + x(a 1 + x(a 2 + x(a 3 + (a n 1 + a n x))) ed eseguite il calcolo dall interno all esterno delle parentesi: dato x = x; s = a n ; per i = 1,, n calcola: s = s x + a n i E l algoritmo di Horner, molto noto in Analisi numerica e particolarmente utile quando in un problema occorrono molte valutazioni polinomiali Quanti sono ora i prodotti effettuati? (iii) Calcolate il valore di p 5 (2) mediante l algoritmo di Horner per il polinomio p 5 (x) = 3x 5 2x 4 +x 2 4x+1 2 Pari e dispari, divisori, multipli Sappiamo tutti riconoscere istantaneamente se un numero intero n è pari o dispari Ma come può farlo un computer? Possiamo ricorrere al valore del resto della divisione (intera) di n per 2 Se tale resto varrà 0 il numero sarà pari, altrimenti dispari Con variabili intere, il quoziente di due interi sarà un intero, e quindi: se (n/2)*2=n --> n pari; altrimenti n dispari; Ad esempio, per n = 6 avremo n/2 = 3 e 3 2 = 6 = n Invece per n = 7 si avrà n/2 = 3 (!) e quindi 3 2 = 6 n Più in generale un numero intero a sarà un multiplo di un altro numero b (o, il che è lo stesso, b sarà un divisore di a) se la divisione di a per b dà resto zero Il resto della divisione tra interi è anche alla base della suddivisione dei numeri interi in classi resto modulo n mediante la seguente relazione di equivalenza: a b mod n (a congruo b modulo n) (a b) è multiplo di n 2

3 Se a e b sono entrambi positivi, la definizione precedente equivale ad affermare che i due numeri divisi per n danno lo stesso resto Questa relazione suddivide tutto l insieme dei numeri interi in esattamente n classi di equivalenza, in base al valore del resto della divisione per n: [0], [1], [2],, [n 1] Ad esempio se n = 2 le 2 classi di equivalenza coincideranno con l insieme dei numeri pari (la classe [0]) e quello dei numeri dispari (la classe [1]) Oppure se n = 5, la classe [3] mod 5 sarà ad esempio l insieme [3] = {3, 8, 13, 18,, 2, 7, 12, } 21 Massimo comun divisore e minimo comune multiplo Le note formule apprese a scuola per il calcolo di MCD e mcm di due numeri interi a e b si basano sulla preventiva scomposizione di entrambi i numeri in fattori primi: nel primo caso si parlava di prendere tutti i fattori comuni col minimo esponente, nel secondo di prendere tutti i fattori comuni e non comuni col massimo esponente Questo approccio non è in generale conveniente perché costoso Vediamo come possiamo calcolare il MCD senza scomporre i due numeri, e come questo ci fornisca facilmente anche il mcm Algoritmo 1 per il MCD (Sottrazioni successive) Se due numeri a e b (con per esempio 0 < a < b) sono entrambi divisibili per un intero d, lo sarà anche la loro differenza b a Allora: MCD(b, a) = MCD(b a, a) e si ripete il ragionamento a partire da numeri più piccoli finché uno dei due numeri diventa zero Ad esempio: MCD(60, 18) = MCD(42, 18) = MCD(24, 18) = MCD(18, 6) = MCD(12, 6) = MCD(6, 6) = MCD(6, 0) Se assumiamo per convenzione MCD(n, 0) = n, 6 sarà il valore cercato L algoritmo è dunque: dati 0<a<b, ripeti: { r=b-a; se r=0 mcd=a; altrimenti se (r<a) poni b=a; a=r; altrimenti poni b=r } finche (r>0) Questo algoritmo potrebbe essere molto lento: se i due numeri fossero ad esempio 900 e 15, servirebbero ben 60 passaggi per concludere che 15 è proprio il loro MCD, come era subito determinabile dal fatto che si tratta di un divisore di 900 Seguiamo quindi un altra strada Algoritmo 2 per il MCD (Divisioni successive) Se due numeri a e b (sempre con 0 < a < b) sono entrambi divisibili per un intero d, lo sarà anche il resto r della divisione di b per a (b = a q + r, con 0 r < a) In particolare, se r = 0 allora MCD(b, a) = a, altrimenti MCD(b, a) = MCD(a, r) e possiamo ripetere il ragionamento a partire da numeri più piccoli finché non si perviene anche in questo caso alla situazione MCD(s, 0) = s Nell esempio precedente si avrebbe ora: Quindi l algoritmo diventa: dati 0<a<b; ripeti: {r=b-a*(b/a); se r non e 0 poni b=a; a=r; altrimenti mcd=a;} finche (r>0) MCD(60, 18) = MCD(18, 6) = MCD(6, 0) = 6 3

4 Algoritmo per il mcm Vale la seguente formula: ( ) mcm(a, b) = (a b)/mcd(a, b) Esercizio 3 Le classi resto mod p ci possono essere utili ad esempio per stampare una lista di numeri a gruppi di p (cioè p per riga), come nel caso di una tabella Ad esempio sapreste scrivere uno pseudocodice per stampare i numeri interi da 1 a 25 su 5 righe? Esercizio 4 Dimostrare la formula (*) Esercizio 5 Calcolare mediante gli Algoritmi 1 e 2 il MCD dei numeri 6510 e L algebra dei numeri macchina e le sue conseguenze 31 La rappresentazione dei numeri: il caso continuo Ogni numero reale può essere rappresentato come un numero decimale illimitato: dove n Z, a i = 0, 1,, 9 In particolare: x = na 1 a 2 a k = n + a a a k 10 k + periodici razionali : 2(00000), 35(00000), 06, non periodici irrazionali : 2, 3, π, e Ogni numero reale x può essere approssimato (con precisione arbitraria) mediante un numero razionale x [densità di Q in R] e la retta reale non ha buchi [continuità dei numeri reali] Definiremo: errore assoluto: e A (x) = x x, errore relativo: e R (x) = x x x troncamento (arrotondamento per difetto) di x a k cifre: = e A x x (k) = na 1 a 2 a k arrotondamento per eccesso di x a k cifre: x (k) = na 1 a 2 (a k + 1) = x (k) + 10 k arrotondamento di x alla k-ma cifra : f l k (x) = x (k) se a k+1 < 5; f l k (x) = x (k) se a k+1 5 x (k) x < x (k), x x (k) < 10 k, x x (k) < 10 k, x f l k (x) < k Per operare con i numeri decimali è spesso comodo rappresentarli in una forma normalizzata che ne mette in risalto l ordine di grandezza, la rappresentazione in virgola mobile: x = ±m 10 z = (±m, z), 01 m < 1, z Z con m = mantissa, z = esponente La corrispondenza x (m, z) è unica Esempi: 9 (09, 1), ( , 3), (0715, 4) 32 La memoria del computer e i numeri macchina I computer elaborano le informazioni (istruzioni e dati) in formato digitale L unità di informazione binaria è il bit (binary digit) che può assumere solo i valori 0 o 1 I mattoni fondamentali (le celle di memoria) sono i byte, sequenze di 8 bit scritte o lette per intero con un unica operazione Un numero verrà quindi rappresentato attraverso la sua espressione in base due, usando in genere 2, 4 o 8 byte (dipende dal tipo, intero o reale, e dalla precisione desiderata) I reali in particolare saranno memorizzati in virgola mobile, con un numero fissato di cifre rappresentative per la mantissa e l esponente, che dipendono dalla macchina utilizzata Se chiamiamo A l insieme dei numeri rappresentabili, avendo a disposizione k cifre per la mantissa e j per l esponente, allora non apparterranno ad A i numeri: 4

5 irrazionali (decimali illimitati non periodici) decimali periodici (periodo diverso da zero) decimali finiti con più di k cifre significative per la mantissa in modulo maggiori di M (massimo numero macchina) [overflow] in modulo minori di m (minimo numero macchina positivo, o zero macchina) [underflow] Il nostro insieme A è dunque un colabrodo, e tutti i numeri che non sono in A vanno approssimati per arrotondamento con il più vicino numero macchina Per capire come stanno le cose ragioniamo d ora in avanti su di un esempio semplificato, una sorta di computer giocattolo che però riproduce fedelmente il tipo di limitazioni del caso reale e le sue conseguenze: TOY COMPUTER Supponiamo di avere a disposizione solo TRE cifre per la mantissa e UNA per l esponente (per comodità ragioniamo in base 10 con solo numeri positivi) Allora se x A: x = 0a 1 a 2 a 3 10 ±e = (a 1 a 2 a 3, ±e), a 1 0 Esercizio 6 Indicare in questo caso chi sono M e lo zero macchina m Esercizio 7 Dire quali dei seguenti numeri appartengono all insieme A dell esempio giocattolo e quali no Per ognuno scrivere la sua rappresentazione come numero macchina (arrotondando quando necessario): , 127, 2, 1/3, 39210, 10 8, 2175, 10 9, , Vediamo un po di conseguenze (a volte drammatiche!) del fatto di lavorare nell insieme A L insieme A non è chiuso rispetto alle operazioni elementari: x, y A non implica x + y, x y, xy, x/y A Esercizio 8 Eseguire nel computer giocattolo i seguenti calcoli Per ognuno scrivere la rappresentazione dei numeri in ingresso (appartenenti ad A) e quella del risultato rappresentabile in A, ragionando sulla sua correttezza: ; ; ; 1000/32; Le operazioni non rispettano sempre le proprietà di cui godono tra i reali (associativa, distributiva, ecc) Esercizio 9 Controllare che per a = 1, b = 0005 e c = 0007 non vale (a + b) + c = a + (b + c); analogamente per a = 3, b = 815 e c = 521 mostrare che non vale a (b c) = a b a c In entrambi i casi qual è la sequenza che fornisce il risultato migliore? L elemento neutro della somma non è unico: x + y = x non implica y = 0 Lo zero macchina ci dice qual è il primo numero rappresentabile a destra dello zero, quindi ci dà un idea della solitudine del numero zero, e grazie alla rappresentazione in virgola mobile può davvero essere molto piccolo: le cifre significative del numero possono infatti scorrere liberamente verso destra giocando sull esponente Chiameremo invece precisione macchina il più piccolo numero positivo ε tale che 1 + ε > 1 Essa ci dà quindi la misura della solitudine del numero uno, cioè della taglia dei buchi più grandi del nostro colabrodo, indicando lo spazio vuoto che c è tra un numero intero non nullo e il successivo numero rappresentabile: poichè stavolta non possiamo perdere la prima cifra significativa relativa all unità, agire sull esponente non ci aiuterà molto In genere, se b indica la base utilizzata e k il numero di cifre a disposizione per la mantissa, vale ε = b 1 k Esercizio 10 Calcolare nel nostro esempio la precisione macchina ε e confrontarla con lo zero macchina Indicare un numero macchina y minore di ε tale che 1 + y = 1 5

6 Fenomeni di propagazione dell errore: quando x e y sono due numeri positivi molto vicini tra loro, anche se gli errori relativi e R (x), e R (y) sono piccoli può risultare e R (x y) molto grande In altre parole sottrarre tra loro numeri quasi uguali provoca la perdita di cifre significative del risultato, compromettendo i nostri calcoli Esercizio 11 (Due successioni o una?) Considerate le due successioni numeriche a k = k + 1 k, b k = 1 k k (i) Dimostrate che sono matematicamente equivalenti (ii) Al crescere di k a quale valore tenderanno? (iii) Nel nostro esempio giocattolo calcolate con le cifre a disposizione i valori di a 90 e b 90 (tenendo conto che 91 = e 90 = 94868) Quale vi sembra la formula più affidabile? Esercizio 12 (Il numero di Nepero) Il numero di Nepero e = viene in genere introdotto come il limite della successione monotona crescente ( a n = 1 + n) 1 n Si potrebbe pensare quindi di utilizzare questa successione per approssimarlo dal basso fino ad una precisione desiderata La cosa purtroppo non funziona affatto Infatti la crescita è molto lenta (per n = 10 milioni si troverebbero appena 6 cifre esatte del numero) Ma soprattutto per valori di n troppo grandi si osserva che la successione smette di essere monotona per poi convergere (!) al numero 1 In altre parole da un certo n in poi a n = 1 Sapete spiegare il perché? Nel nostro computer giocattolo, da quale valore di n in poi succederebbe? Le equazioni di secondo grado Tutti ricordano come si risolve un equazione di secondo grado: ax 2 + bx + c = 0 Ecco lo pseudocodice di una possibile procedura per la sua risoluzione (limitandoci al solo caso delle soluzioni reali distinte): 1 Leggi a, b, c e calcola = b 2 4ac 2 Se > 0, poni: x 1 = b, x 2 = b+ Tutto bene, se non che abbiamo scoperto nel paragrafo sui numeri macchina che certe operazioni sono potenzialmente pericolose, in particolare le sottrazioni tra quantità quasi uguali possono portare alla cancellazione di cifre significative del risultato Esercizio 13 Nel nostro giocattolo assumiamo a = 0005, b = c = 1 Calcolare in A le due soluzioni con l algoritmo precedente e il loro residuo (per residuo r(z) intendiamo il valore dell espressione az 2 + bz + c, che ci dà un idea di quanto la soluzione trovata soddisfi l equazione di partenza; ovviamente in aritmetica esatta il residuo sarebbe zero) Risolviamo ora il problema ricorrendo ad altre formule, matematicamente equivalenti Vale infatti: b ± = b ± b b = 2c b dove quando nella prima formula scegliamo il segno +, nella seconda prenderemo quello -, e viceversa Esercizio 14 Calcolare in A le due soluzioni dell esercizio precedente ma con le nuove formule Confrontare i risultati e i relativi residui Un algoritmo più affidabile per le equazioni di secondo grado dovrebbe quindi ricorrere a una formula o all altra, in base al segno di b Ecco come andrebbe modificato lo pseudocodice (per le sole radici distinte): 1 se b > 0 allora x 1 = b ; x 2 = 2c b ; 2 altrimenti x 1 = 2c b+ ; x 2 = b+ 6

7 E solo questione di metodo: problemi e algoritmi di matematica elementare Progetto Lauree Scientifiche Scuola Estiva di Matematica ( ) Soluzioni degli esercizi 1 (i) (n 1) = n(n 1)/2 prodotti per calcolare le potenze più n somme; (ii) si può fare di meglio: poiché ogni volta la nuova potenza da sommare non è altro che quella sommata al passo precedente moltiplicata per q, ci basterà un solo ciclo e una sola moltiplicazione per ogni nuovo addendo se avremo cura di memorizzare quanto già fatto, quindi in totale solo n prodotti e n somme Ecco come potrebbe funzionare: dato q; x=1, s=1; per i=1,,n calcola: x=x*q; s=s+x; Nella variabile x (inizializzata ad 1) andranno accumulandosi via via le potenze successive di q da aggiungere ad s, la variabile che alla fine conterrà la sommatoria richiesta (iii) Si prova facilmente (ad esempio per induzione) che per q 1 vale la relazione: 1 + q + q q n = 1 qn+1 1 q, per cui per calcolare S n (q) avremmo potuto eseguire direttamente il quoziente a destra, quindi ci sarebbero serviti n prodotti per il calcolo di q n+1, un quoziente e due somme 2 (i) Per ogni valore dato di x saranno necessari n(n + 1)/2 prodotti e n somme (ii) I prodotti sono diventati solo n Se n è grande ma soprattutto se dobbiamo valutare il polinomio su tanti valori diversi di x il risparmio sarà notevole (iii) p 5 (2) = ( (1 + 2 (0 + 2 ( )))) = 1 + 2( 4 + 2(1 + 16)) = = 61 3 per i=1,,25 stampa i ; se i-(i/5)*5=0 vai a capo; 4 Se d = MCD(a, b), allora dovrà essere a = q d, b = p d, e necessariamente p e q dovranno essere primi tra loro Allora (a b)/d = p q d, quindi otteniamo un multiplo di a e b, necessariamente minimo perché p, q sono primi tra loro 5 ALG1: (6510,5880)=(5880,630)=(5250,630)=(4620,630)=(3990,630)=(3360,630)=(2730,630)= (2100,630)=(1470,630)=(840,630)=(630,210)=(420,210)=(210,210)=(210,0) ALG2: (6510,5880)=(5880,630)=(630,210)=(210,0) 6 In questo caso avremo: M = (999 milioni), m = = Appartengono ad A: = (715, 3), 127 = (127, 2), 10 8 = (100, 7), = (700, 9); non appertengono ad A (tra parentesi il loro valore per arrotondamento): 2 = (141, 1), 1/3 = (333, 0), = (392, 5), 2175 = (218, 3), 10 9 = M, = = (823, 3)+(195, 3) = (101, 4) 1018 (si è usato il troncamento, (102,4) per arrotondamento); = (134, 2) (275, 1) = (107, 2) = (400, 1) (500, 9) = (over f low); 1000/32 = (100, 4)/(320, 2) = (312, 2) 31, 25 9 (a + b) + c = ( ) = = 1; a + (b + c) = = 101 a (b c) = 3 ( ) = = 882; a b a c = = = 880 7

8 10 ε = = 10 2 = 001 Infatti: = 101, mentre si avrà : = 1 11 a 90 = (954, 1) (949, 1) = (500, 1) = 005; b 90 = (100, 1)/((954, 1) + (949, 1)) = (100, 1)/(190, 2) = (526, 1) = 00526, valore corretto alle prime 3 cifre significative 12 Per quanto visto sui numeri macchina il motivo è chiaro: nelle formule usate si deve sommare il numero 1 al numero via via più piccolo 1/n; appena questo diviene minore della precisione macchina la somma restituisce semplicemente 1, che elevato alla n farà sempre 1; nel toy computer succederebbe da n = Soluzioni esatte dell equazione: x 1 = , x 2 = Con le formule tradizionali in A si ottiene: = 102, = = 101 A (per arrotondamento), x 1 = = 201, x 2 = = 1; quindi x 1 = 201, r(x 1 ) = 0005, x 2 = 1, r(x 2 ) = Con le formule alternative si ottiene x 1 = = 200, x 2 = = = 0995 A, quindi x 1 = 200, r(x 1 ) = 1, x 2 = 0995, r(x 2 ) = 498e 05 Notate che i risultati migliori si ottengono con le prime formule per x 1, con le seconde per x 2 8

Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri.

Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri. Codici Numerici. Modifica dell'informazione. Rappresentazione dei numeri. A partire da questa lezione, ci occuperemo di come si riescono a codificare con sequenze binarie, quindi con sequenze di 0 e 1,

Dettagli

Obiettivi dell Analisi Numerica. Avviso. Risoluzione numerica di un modello. Analisi Numerica e Calcolo Scientifico

Obiettivi dell Analisi Numerica. Avviso. Risoluzione numerica di un modello. Analisi Numerica e Calcolo Scientifico M. Annunziato, DIPMAT Università di Salerno - Queste note non sono esaustive ai fini del corso p. 3/43 M. Annunziato, DIPMAT Università di Salerno - Queste note non sono esaustive ai fini del corso p.

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

Aritmetica: operazioni ed espressioni

Aritmetica: operazioni ed espressioni / A SCUOLA DI MATEMATICA Lezioni di matematica a cura di Eugenio Amitrano Argomento n. : operazioni ed espressioni Ricostruzione di un abaco dell epoca romana - Museo RGZ di Magonza (Germania) Libero da

Dettagli

Laboratorio di Informatica

Laboratorio di Informatica per chimica industriale e chimica applicata e ambientale LEZIONE 2 Rappresentazione delle informazioni: numeri e caratteri 1 Codice La relazione che associa ad ogni successione ben formata di simboli di

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Sistemi di Numerazione Sistema decimale La

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

ESTRAZIONE DI RADICE

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza. L esponente della potenza è l indice della radice che può essere: quadrata (); cubica (); quarta (4); ecc. La base della

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

ESERCIZI DI PREPARAZIONE E

ESERCIZI DI PREPARAZIONE E ESERCIZI DI PREPARAZIONE E CONSOLIDAMENTO PER I FUTURI STUDENTI DEL PRIMO LEVI si campa anche senza sapere che cos è un equazione, senza sapere suonare uno strumento musicale, senza conoscere il nome del

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

Sistemi di Numerazione

Sistemi di Numerazione Fondamenti di Informatica per Meccanici Energetici - Biomedici 1 Sistemi di Numerazione Sistemi di Numerazione I sistemi di numerazione sono abitualmente posizionali. Gli elementi costitutivi di un sistema

Dettagli

Informatica. Rappresentazione dei numeri Numerazione binaria

Informatica. Rappresentazione dei numeri Numerazione binaria Informatica Rappresentazione dei numeri Numerazione binaria Sistemi di numerazione Non posizionali: numerazione romana Posizionali: viene associato un peso a ciascuna posizione all interno della rappresentazione

Dettagli

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

CODIFICA BINARIA. ... sono rappresentati ricorrendo a simboli che sintezzano il concetto di numerosità.

CODIFICA BINARIA. ... sono rappresentati ricorrendo a simboli che sintezzano il concetto di numerosità. I METODI DI NUMERAZIONE I numeri naturali... sono rappresentati ricorrendo a simboli che sintezzano il concetto di numerosità. Il numero dei simboli usati per valutare la numerosità costituisce la base

Dettagli

Architettura degli Elaboratori I Esercitazione 1 - Rappresentazione dei numeri

Architettura degli Elaboratori I Esercitazione 1 - Rappresentazione dei numeri Architettura degli Elaboratori I Esercitazione 1 - Rappresentazione dei numeri 1 Da base 2 a base 10 I seguenti esercizi richiedono di convertire in base 10 la medesima stringa binaria codificata rispettivamente

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA. 2. Insiemi numerici. A. A. 2014-2015 L.Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA. 2. Insiemi numerici. A. A. 2014-2015 L.Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 2. Insiemi numerici A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 INSIEMI NUMERICI rappresentano la base su cui la matematica si è sviluppata costituiscono le tappe

Dettagli

PRIMAVERA IN BICOCCA

PRIMAVERA IN BICOCCA PRIMAVERA IN BICOCCA 1. Numeri primi e fattorizzazione Una delle applicazioni più rilevanti della Teoria dei Numeri si ha nel campo della crittografia. In queste note vogliamo delineare, in particolare,

Dettagli

I SISTEMI DI NUMERAZIONE

I SISTEMI DI NUMERAZIONE ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE G. M. ANGIOY CARBONIA I SISTEMI DI NUMERAZIONE Prof. G. Ciaschetti Fin dall antichità, l uomo ha avuto il bisogno di rappresentare le quantità in modo simbolico. Sono nati

Dettagli

I SISTEMI DI NUMERAZIONE E LA NUMERAZIONE BINARIA

I SISTEMI DI NUMERAZIONE E LA NUMERAZIONE BINARIA I SISTEMI DI NUMERAZIONE E LA NUMERAZIONE BINARIA Indice Introduzione Il sistema decimale Il sistema binario Conversione di un numero da base 10 a base 2 e viceversa Conversione in altri sistemi di numerazione

Dettagli

Sistemi di Numerazione Binaria NB.1

Sistemi di Numerazione Binaria NB.1 Sistemi di Numerazione Binaria NB.1 Numeri e numerali Numero: entità astratta Numerale : stringa di caratteri che rappresenta un numero in un dato sistema di numerazione Lo stesso numero è rappresentato

Dettagli

Esercitazione Informatica I AA 2012-2013. Nicola Paoletti

Esercitazione Informatica I AA 2012-2013. Nicola Paoletti Esercitazione Informatica I AA 2012-2013 Nicola Paoletti 4 Gigno 2013 2 Conversioni Effettuare le seguenti conversioni, tenendo conto del numero di bit con cui si rappresenta il numero da convertire/convertito.

Dettagli

ESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765

ESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765 COMPLEMENTO A 10 DI UN NUMERO DECIMALE Sia dato un numero N 10 in base 10 di n cifre. Il complemento a 10 di tale numero (N ) si ottiene sottraendo il numero stesso a 10 n. ESEMPIO 1: eseguire il complemento

Dettagli

I SISTEMI DI NUMERAZIONE

I SISTEMI DI NUMERAZIONE Istituto di Istruzione Superiore G. Curcio Ispica I SISTEMI DI NUMERAZIONE Prof. Angelo Carpenzano Dispensa di Informatica per il Liceo Scientifico opzione Scienze Applicate Sommario Sommario... I numeri...

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Alessandro Pellegrini

Alessandro Pellegrini Esercitazione sulle Rappresentazioni Numeriche Esistono 1 tipi di persone al mondo: quelli che conoscono il codice binario e quelli che non lo conoscono Alessandro Pellegrini Cosa studiare prima Conversione

Dettagli

Introduzione. Rappresentazione di numeri in macchina, condizion

Introduzione. Rappresentazione di numeri in macchina, condizion Introduzione. Rappresentazione di numeri in macchina, condizionamento e stabilità Dipartimento di Matematica tel. 011 0907503 stefano.berrone@polito.it http://calvino.polito.it/~sberrone Laboratorio di

Dettagli

Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica

Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica Dispensa 05 La rappresentazione dell informazione Carla Limongelli Ottobre 2011 http://www.dia.uniroma3.it/~java/fondinf/ La rappresentazione

Dettagli

(71,1), (35,1), (17,1), (8,1), (4,0), (2,0), (1,0), (0,1) 0, 7155 2 = 1, 431 0, 431 2 = 0, 862 0, 896 2 = 1, 792 0, 724 2 = 1, 448 0, 448 2 = 0, 896

(71,1), (35,1), (17,1), (8,1), (4,0), (2,0), (1,0), (0,1) 0, 7155 2 = 1, 431 0, 431 2 = 0, 862 0, 896 2 = 1, 792 0, 724 2 = 1, 448 0, 448 2 = 0, 896 2 Esercizio 2.2 La rappresentazione esadecimale prevede 16 configurazioni corrispondenti a 4 bit. Il contenuto di una parola di 16 bit può essere rappresentato direttamente con 4 digit esadecimali, sostituendo

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

I sistemi di numerazione

I sistemi di numerazione I sistemi di numerazione 01-INFORMAZIONE E SUA RAPPRESENTAZIONE Sia dato un insieme finito di caratteri distinti, che chiameremo alfabeto. Utilizzando anche ripetutamente caratteri di un alfabeto, si possono

Dettagli

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

2.12 Esercizi risolti

2.12 Esercizi risolti Codifica dell'informazione 55 Lo standard IEEE prevede cinque cause di eccezione aritmetica: underflow, overflow, divisione per zero, eccezione per inesattezza, e eccezione di invalidità. Le eccezioni

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

Elementi di informatica

Elementi di informatica Elementi di informatica Sistemi di numerazione posizionali Rappresentazione dei numeri Rappresentazione dei numeri nei calcolatori rappresentazioni finalizzate ad algoritmi efficienti per le operazioni

Dettagli

3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3

3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3 CAPITOLO 3 Successioni e serie 3. Successioni Un caso particolare di applicazione da un insieme numerico ad un altro insieme numerico è quello delle successioni, che risultano essere definite nell insieme

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI

TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI NUMERI INTERI QUESITO Un quesito (facile) sulle cifre:

Dettagli

Codifica dei numeri negativi

Codifica dei numeri negativi E. Calabrese: Fondamenti di Informatica Rappresentazione numerica-1 Rappresentazione in complemento a 2 Codifica dei numeri negativi Per rappresentare numeri interi negativi si usa la cosiddetta rappresentazione

Dettagli

Corso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti

Corso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti Corso di Analisi Numerica - AN1 Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari Roberto Ferretti Richiami sulle norme e sui sistemi lineari Il Metodo di Eliminazione di Gauss Il Metodo di Eliminazione con

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione dell informazione negli elaboratori

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione dell informazione negli elaboratori Informazione e computer Si può rappresentare l informazione attraverso varie forme: Numeri Testi Suoni Immagini 0001010010100101010 Computer Cerchiamo di capire come tutte queste informazioni possano essere

Dettagli

Un po di teoria dei numeri

Un po di teoria dei numeri Un po di teoria dei numeri Applicazione alla crittografia RSA Christian Ferrari Liceo di Locarno Matematica Sommario 1 L aritmetica modulare di Z n Le congruenze L anello Z n Le potenze in Z n e algoritmo

Dettagli

Convertitori numerici in Excel

Convertitori numerici in Excel ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE G. M. ANGIOY CARBONIA Convertitori numerici in Excel Prof. G. Ciaschetti Come attività di laboratorio, vogliamo realizzare dei convertitori numerici con Microsoft Excel

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la

Dettagli

SISTEMI DI NUMERAZIONE DECIMALE E BINARIO

SISTEMI DI NUMERAZIONE DECIMALE E BINARIO SISTEMI DI NUMERAZIONE DECIMALE E BINARIO Il sistema di numerazione decimale (o base dieci) possiede dieci possibili valori (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9) utili a rappresentare i numeri. Le cifre possiedono

Dettagli

LA RAPPRESENTAZIONE DELLE INFORMAZIONI

LA RAPPRESENTAZIONE DELLE INFORMAZIONI ISTITUTO TECNICO E LICEO SCIENTIFICO TECNOLOGICO ANGIOY LA RAPPRESENTAZIONE DELLE INFORMAZIONI Prof. G. Ciaschetti DATI E INFORMAZIONI Sappiamo che il computer è una macchina stupida, capace di eseguire

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Floating Point N = M BE. Notazione in virgola mobile. base. esempi 34.76 104 3.6891 106 = 36.891 105 =368.91 104 12.78 10-3 1.

Floating Point N = M BE. Notazione in virgola mobile. base. esempi 34.76 104 3.6891 106 = 36.891 105 =368.91 104 12.78 10-3 1. Floating Point Notazione in virgola mobile N = M BE mantissa base esponente esempi 34.76 104 3.6891 106 = 36.891 105 =368.91 104 12.78 10-3 1.6273 102 forma normalizzata: la mantissa ha una sola cifra

Dettagli

Codifica binaria dei numeri

Codifica binaria dei numeri Codifica binaria dei numeri Caso più semplice: in modo posizionale (spesso detto codifica binaria tout court) Esempio con numero naturale: con 8 bit 39 = Codifica in virgola fissa dei numeri float: si

Dettagli

Lezione2 Ricerca di zeri. http://idefix.mi.infn.it/~palombo/didattica/lab-tnds/corsolab/lezionifrontali. Fernando Palombo

Lezione2 Ricerca di zeri. http://idefix.mi.infn.it/~palombo/didattica/lab-tnds/corsolab/lezionifrontali. Fernando Palombo Lezione2 Ricerca di zeri http://idefix.mi.infn.it/~palombo/didattica/lab-tnds/corsolab/lezionifrontali Fernando Palombo Aritmetica Finita nel Computer Nel computer l aritmetica è a precisione finita cioè

Dettagli

Dispense di Informatica per l ITG Valadier

Dispense di Informatica per l ITG Valadier La notazione binaria Dispense di Informatica per l ITG Valadier Le informazioni dentro il computer All interno di un calcolatore tutte le informazioni sono memorizzate sottoforma di lunghe sequenze di

Dettagli

BIT? Cosa c è dietro a questo nome? Che cos è il bit? Perché si usa? Come si converte un numero binario?

BIT? Cosa c è dietro a questo nome? Che cos è il bit? Perché si usa? Come si converte un numero binario? BIT? Cosa c è dietro a questo nome? Che cos è il bit? Perché si usa? Come si converte un numero binario? Cosa c è dietro a questo nome? BIT è un acronimo e deriva da BInary digit, cioè cifra binaria Che

Dettagli

Rappresentazione delle informazioni

Rappresentazione delle informazioni Rappresentazione delle informazioni Abbiamo informazioni (numeri, caratteri, immagini, suoni, video... ) che vogliamo rappresentare (e poter elaborare) in un calcolatore. Per motivi tecnologici un calcolatore

Dettagli

Unità 1. I Numeri Relativi

Unità 1. I Numeri Relativi Unità 1 I Numeri Relativi Allinizio della prima abbiamo introdotto i 0numeri 1 naturali: 2 3 4 5 6... E quattro operazioni basilari per operare con essi + : - : Ci siamo però accorti che la somma e la

Dettagli

Pre Test 2008... Matematica

Pre Test 2008... Matematica Pre Test 2008... Matematica INSIEMI NUMERICI Gli insiemi numerici (di numeri) sono: numeri naturali N: insieme dei numeri interi e positivi {1; 2; 3; 4;...} numeri interi relativi Z: insieme dei numeri

Dettagli

Categoria Student Per studenti degli ultimi due anni della scuola secondaria di secondo grado

Categoria Student Per studenti degli ultimi due anni della scuola secondaria di secondo grado Categoria Student Per studenti degli ultimi due anni della scuola secondaria di secondo grado. Risposta A). Il triangolo ABC ha la stessa altezza del triangolo AOB ma base di lunghezza doppia (il diametro

Dettagli

B9. Equazioni di grado superiore al secondo

B9. Equazioni di grado superiore al secondo B9. Equazioni di grado superiore al secondo Le equazioni di terzo grado hanno una, due o tre soluzioni, risolvibili algebricamente con formule molto più complesse di quelle dell equazione di secondo grado.

Dettagli

SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI

SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI Il Sistema di Numerazione Decimale Il sistema decimale o sistema di numerazione a base dieci usa dieci cifre, dette cifre decimali, da O a 9. Il sistema decimale è un sistema

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Codifica binaria e algebra di Boole

Codifica binaria e algebra di Boole Codifica binaria e algebra di Boole Corso di Programmazione A.A. 2008/09 G. Cibinetto Contenuti della lezione Codifica binaria dell informazione Numeri naturali, interi, frazionari, in virgola mobile Base

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

Informatica Generale 02 - Rappresentazione numeri razionali

Informatica Generale 02 - Rappresentazione numeri razionali Informatica Generale 02 - Rappresentazione numeri razionali Cosa vedremo: Rappresentazione binaria dei numeri razionali Rappresentazione in virgola fissa Rappresentazione in virgola mobile La rappresentazione

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

CALCOLATORI ELETTRONICI A cura di Luca Orrù. Lezione n.6. Unità di controllo microprogrammata

CALCOLATORI ELETTRONICI A cura di Luca Orrù. Lezione n.6. Unità di controllo microprogrammata Lezione n.6 Unità di controllo microprogrammata 1 Sommario Unità di controllo microprogrammata Ottimizzazione, per ottimizzare lo spazio di memoria occupato Il moltiplicatore binario Esempio di architettura

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso.

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Scheda I. La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Dopo Menecmo, Archita, Eratostene molti altri, sfidando gli dei hanno trovato interessante dedicare il loro tempo per trovare una

Dettagli

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana Al-giabr wa al-mukabalah di Al Khuwarizmi scritto approssimativamente nel 820 D.C. Manuale arabo da cui deriviamo due nomi: Algebra Algoritmo

Dettagli

Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica

Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Ercole Suppa Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo e-mail: ercolesuppa@gmail.com Teramo, 3 dicembre 2014 USR Abruzzo - PLS 2014-2015,

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 1 RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 Numeri Binari 2 Sistemi di Numerazione Il valore di un numero può essere espresso con diverse rappresentazioni. non posizionali:

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione Le funzioni elementari La struttura di R La struttura di R è definita dalle operazioni Addizione e moltiplicazione. Proprietà: Commutativa Associativa Distributiva dell addizione rispetto alla moltiplicazione

Dettagli

CURRICOLO MATEMATICA ABILITA COMPETENZE

CURRICOLO MATEMATICA ABILITA COMPETENZE CURRICOLO MATEMATICA 1) Operare con i numeri nel calcolo aritmetico e algebrico, scritto e mentale, anche con riferimento a contesti reali. Per riconoscere e risolvere problemi di vario genere, individuando

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

4. Operazioni aritmetiche con i numeri binari

4. Operazioni aritmetiche con i numeri binari I Numeri Binari 4. Operazioni aritmetiche con i numeri binari Contare con i numeri binari Prima di vedere quali operazioni possiamo effettuare con i numeri binari, iniziamo ad imparare a contare in binario:

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

1 Sistema additivo e sistema posizionale

1 Sistema additivo e sistema posizionale Ci sono solamente 10 tipi di persone nel mondo: chi comprende il sistema binario e chi no. Anonimo I sistemi di numerazione e la numerazione binaria 1 Sistema additivo e sistema posizionale Contare per

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI BINARI. Corso di Fondamenti di Informatica AA 2010-2011

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI BINARI. Corso di Fondamenti di Informatica AA 2010-2011 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI BINARI Corso di Fondamenti di Informatica AA 2010-2011 Prof. Franco Zambonelli Numeri interi positivi Numeri interi senza segno Caratteristiche generali numeri naturali (1,2,3,...)

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Lezione 2 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Rappresentazione dei numeri

Dettagli

Fondamenti di Informatica Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio

Fondamenti di Informatica Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università degli Studi di Parma Fondamenti di Informatica Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio Rappresentazione dell Informazione

Dettagli

SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI

SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI I numeri relativi sono l insieme dei numeri negativi (preceduti dal segno -) numeri positivi (il segno + è spesso omesso) lo zero. Valore assoluto di un numero relativo

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Guardiamo ora però la cosa da un altro punto di vista analizzando il seguente grafico a forma di torta. La torta in 5 parti

Guardiamo ora però la cosa da un altro punto di vista analizzando il seguente grafico a forma di torta. La torta in 5 parti L EQUIVALENZA FRA I NUMERI RAZIONALI (cioè le frazioni), I NUMERI DECIMALI (quelli spesso con la virgola) ED I NUMERI PERCENTUALI (quelli col simbolo %). Ora vedremo che ogni frazione (sia propria, che

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli